Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Курсовая
работа
по
программированию по теме:
«Решение
системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса»
Сумы
2005
ПЛАН
Постановка
задачи
Теоретическая
часть
Методы решения
примененные в программе
Метод Гаусса.
Метод
Жордана-Гаусса.
Краткое описание
среды визуальной разработки Delphi
Таблица основных
обозначений программы.
Описание процедур
и алгоритм роботы программы
Текст программы.
Файл-модуль
unit1.pas
Файл-модуль
unit2.pas
Файл проекта -
Project1.dpr:
Результат работы
программы.
Инструкция по
работе с программой
Использованная
Литература
Составить программу для решения систем
линейных уравнений размером n на n методом Гауса и Жордана-Гаусса.
Метод
Гаусса
Метод Гаусса решения
систем линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных и
описывается следующей процедурой.
С помощью элементарных
преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы может быть приведена к виду
Эта матрица является
расширенной матрицей системы
которая эквивалентна
исходной системе
Заметим, что
перестановка столбцов означает перенумерацию переменных. На практике обычно
избегают этой процедуры, приводя расширенную матрицу к ступенчатому виду путем
элементарных преобразований над строками.
Если хотя бы одно из
чисел отлично от нуля, то
система несовместна. Если
же , то система совместна и можно получить явное
выражение для базисных
неизвестных через свободных неизвестных
Элементарные
преобразования этого метода аналогичны методу Гаусса, только матрица при
использовании этого метода приводится к виду, тоесть столбец свободных
коэффициентов превращается в столбец корней.
Среда Delphi - это сложный механизм,
обеспечивающий высокоэффективную работу программиста. Визуально она реализуется
несколькими одновременно раскрытыми на экране окнами. Окна могут перемещаться
по экрану, частично или полностью перекрывая друг друга, что обычно вызывает у
пользователя, привыкшего к относительной “строгости” среды текстового процессора
Word или табличного процессора Excel, ощущение некоторого дискомфорта. После
приобретения опыта работы с Delphi это ощущение пройдет, и вы научитесь быстро
отыскивать нужное окно, чтобы изменить те или иные функциональные свойства
создаваемой вами программы, ибо каждое окно несет в себе некоторую
функциональность, т. е. предназначено для решения определенных задач.
Запустите Delphi - и вы увидите нечто,
похожее на
На рисунке изображены шесть наиболее
важных окон Delphi: главное окно, окно Дерева объектов (Object Tree View), окно
Инспектора объектов, окно браузера, окно формы и окно кода программы.
Чтобы упорядочить окна так, как они
показаны на рисунке, вам придется вручную изменять их положение и размеры, т.
к. обычно окно кода программы почти полностью перекрыто окном формы. Впрочем,
добиваться максимального сходства того, что вы видите на экране вашего ПК, с
изображением, показанным на рисунке, вовсе не обязательно: расположение и размеры
окон никак не влияют на их функциональностью.
Замечу, что при первом запуске Delphi
поверх всех окон появится окно
С помощью этого окна вы сможете получить
доступ к Web-страницам корпорации Inprise для просмотра самой свежей информации
о корпорации и ее программных продуктах, копирования дополни тельных файлов,
чтения ответов на наиболее часто задаваемые вопросы и т. д. При повторных запусках
Delphi это окно появляется автоматически с некоторой периодичностью,
определяемой настройками на странице окна Tolls | Environment Options, связанной
с закладкой Delphi Direct. Вы также сможете его вызвать в любой момент с помощью
опции Help | Delphi Direct главного меню.
|
Обозначение
|
Описание
|
Модуль
|
|
maxr
|
Константа для
ограничения максимального размера системы
|
Unit2
|
|
arys, ary2s
|
Типы данных для переменных, в
которых хранятся значения коэффициентов системы
|
Unit2
|
|
Gauss1
|
Процедура для решения
системы линейных уравнений методом Гаусса
|
Unit2
|
|
Gaussj
|
Процедура для решения
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
|
Unit2
|
|
i,j,l
|
Счетчики
|
Unit1
|
|
prover
|
Промежуточная
переменная типа String,
используется для проверки наличия букв среди коэффициентов системы, а также
для замены «.» на «,».
|
Unit1
|
|
S
|
Переменная для хранения
размера матрицы
|
Unit1
|
|
k
|
Переменная для
хранения длины строчки
хранящейся в переменной prover.
|
Unit1
|
|
dl
|
Переменная для
проверки размера системы.
|
Unit1
|
|
MainMenu1
|
Меню программы.
|
Unit1
|
|
File1, New1, Save1,
Exit1
|
Пункты меню.
|
Unit1
|
|
Matrix,
Coef, Gauss, Jgauss
|
Таблицы для ввода
элементов системы и вывода результатов расчета.
|
Unit1
|
|
XPManifest1
|
Компонент,
который дает программе возможность использовать
оформление Windows.
|
Unit1
|
|
SaveDialog1
|
Диалоговое окно для
сохранения результатов.
|
Unit1
|
|
Button1, Button2
|
Кнопки для запуска
процедур решения системы.
|
Unit1
|
|
New1Click
|
Процедура, которая
выполняется после выбора пункта меню New.
|
Unit1
|
|
Button1Click
|
Процедура, которая
выполняется после нажатия кнопки Gauss.
|
Unit1
|
|
Button2Click
|
Процедура, которая
выполняется после нажатия кнопки J-Gauss.
|
Unit1
|
|
Save1Click
|
Процедура, которая
выполняется после выбора пункта меню Save.
|
Unit1
|
|
Exit1Click
|
Процедура, которая
выполняется после выбора пункта меню Exit.
|
Unit1
|
|
Form1
|
Собственно окно
программы.
|
Unit1
|
В программу включены следующие процедуры
: «gauss1», «gaussj», «New1Click», «Button1Click», «Button2Click», «Save1Click», «Exit1Click». С каждой из них мы ознакомимся ниже.
Процедура «gauss1» выполняет проверку системы
на сходимость и решение методом Гаусса.
Процедура «gaussj» выполняет проверку системы на
сходимость и решение методом Жордана-Гаусса.
Процедура «New1Click» выполняется
после выбора пункта меню «New» или сразу после запуска программы и выполняет чтение
размера системы и устанавливает размер таблиц для ввода коэффициентов системы.
Процедура «Button1Click» считывает
коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при
необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gauss1» для решения системы и
выводит результаты.
Процедура «Button2Click» считывает
коэффициенты системы, проверяет корректность ввода коэффициентов и заменяет при
необходимости «.» на «,». Потом запускает процедуру «gaussj» для решения системы и выводит
результаты.
Процедура «Save1Click» запускает
диалог сохранения файлов и выполняет сохранение результатов.
Процедура «Exit1Click» - Выход из
программы.
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils,
Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, Menus, XPMan,
StdCtrls, Grids, unit2;
type
TForm1 = class(TForm)
Coef: TStringGrid;
Gauss: TStringGrid;
Jgauss: TStringGrid;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
XPManifest1: TXPManifest;
SaveDialog1: TSaveDialog;
MainMenu1: TMainMenu;
File1: TMenuItem;
New1: TMenuItem;
Save1: TMenuItem;
Exit1: TMenuItem;
Matrix: TStringGrid;
procedure New1Click(Sender:
TObject);
procedure
Button1Click(Sender: TObject);
procedure
Button2Click(Sender: TObject);
procedure Save1Click(Sender:
TObject);
procedure Exit1Click(Sender:
TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
s:integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedure
TForm1.Exit1Click(Sender: TObject);
begin
close;
end;
procedure
TForm1.New1Click(Sender: TObject);
var i,dl:integer;
prover:string;
begin
form1.Enabled:=false;
repeat
prover:=inputbox('Введите размер системы','Значение между 2 и 20','2');
dl:=length(prover);
if dl=0 then showmessage('Введите размер системы') else
begin
if (dl=1) and (prover<'9')
and (prover>'0') then s:=trunc(strtofloat(prover))
else
begin
for i:=1 to dl do
begin
if prover[i]>'9' then
begin
showmessage('Введите число');
break;
end
else if i=dl then
s:=trunc(strtofloat(inputbox('Введите размер системы','Значение между 2 и 20','2')));
end;
end;
end;
until (s>=2) and
(s<=maxr);
form1.Enabled:=true;
matrix.RowCount:=s+1;
matrix.ColCount:=s+1;
gauss.colCount:=s+1;
coef.rowCount:=s+1;
jgauss.colCount:=s+1;
coef.Cells[1,0]:='B';
gauss.Cells[0,1]:='Gauss';
jgauss.Cells[0,1]:='J-Gauss';
for i:=1 to s do
begin
matrix.Cells[0,i]:=floattostr(i);
matrix.Cells[i,0]:='A'+floattostr(i);
coef.Cells[0,i]:=floattostr(i);
gauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);
jgauss.Cells[i,0]:='X'+floattostr(i);
end;
end;
procedure
TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var a:ary2s;
x,y:arys;
error:boolean;
i,j,l,K:integer;
prover:string;
begin
{Считывание массивов с исходными данными
и проверка '.' или ','}
{***********************************************}
for i:=1 to s do
for j:=1 to s do
begin
prover:=matrix.Cells[j,i];
k:=length(prover);
if k=0 then
begin
showmessage('Вы не ввели один или
несколько элементов системы.');
exit;
end;
for l:=1 to length(prover) do
if prover[l]='.' then
prover[l]:=','
else if prover[l]>'9' then
begin
showmessage('В качестве одного или
нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');
exit;
end;
matrix.Cells[j,i]:=prover;
a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);
end;
for i:=1 to s do
begin
prover:=coef.cells[1,i];
for l:=1 to length(prover) do
if prover[l]='.' then
prover[l]:=','
else if prover[l]>'9' then
begin
showmessage('В качестве одного или
нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');
exit;
end;
coef.cells[1,i]:=prover;
y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);
end;
{***********************************************}
{Решение и вывод результатов}
{***********************************************}
gauss1(a,y,x,s,error);
if not error then
for i:=1 to s do
gauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])
else
begin
showmessage('Система решения не имеет');
new1.Click;
end;
{***********************************************}
end;
procedure
TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var a:ary2s;
x,y:arys;
error:boolean;
i,j,l,k:integer;
prover:string;
begin
{Считывание массивов с исходными данными}
{***********************************************}
{Считывание массивов с исходными данными
и проверка '.' или ','}
{***********************************************}
for i:=1 to s do
for j:=1 to s do
begin
prover:=matrix.Cells[j,i];
k:=length(prover);
if k=0 then
begin
showmessage('Вы не ввели один или
несколько элементов системы.');
exit;
end;
for l:=1 to length(prover) do
if prover[l]='.' then
prover[l]:=','
else if prover[l]>'9' then
begin
showmessage('В качестве одного или
нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');
exit;
end;
matrix.Cells[j,i]:=prover;
a[i,j]:=strtofloat(matrix.cells[j,i]);
end;
for i:=1 to s do
begin
prover:=coef.cells[1,i];
for l:=1 to length(prover) do
if prover[l]='.' then
prover[l]:=','
else if prover[l]>'9' then
begin
showmessage('В качестве одного или
нескольких элементов системы введена буква. Замените их на числа!');
exit;
end;
coef.cells[1,i]:=prover;
y[i]:=strtofloat(coef.cells[1,i]);
end;
{***********************************************}
{***********************************************}
{Решение и вывод результатов}
{***********************************************}
gaussj(a,y,x,s,error);
if not error then
for i:=1 to s do
jgauss.cells[i,1]:=floattostr(x[i])
else
begin
showmessage('Система решения не имеет');
new1.Click;
end;
{***********************************************}
end;
procedure
TForm1.Save1Click(Sender: TObject);
var f:textfile;
i,j:integer;
begin
savedialog1.Filter:='Text
files (*.txt)|*.txt|';
if savedialog1.Execute then
begin
assignfile(f,savedialog1.filename+'.txt');
rewrite(f);
for i:=1 to s do
begin
writeln(f);
for j:=1 to s do
write(f,matrix.cells[i,j]:4,'
');
write(f,'|',coef.cells[1,i]);
end;
writeln(f);
writeln(f);
writeln(f,'Gauss');
for i:=1 to s do
writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+gauss.cells[i,1],'
');
writeln(f);
writeln(f,'J-Gauss');
for i:=1 to s do
writeln(f,'X'+floattostr(i)+'='+jgauss.cells[i,1],'
');
closefile(f);
end;
end;
end.
Файл-модуль unit2.pas
unit unit2;
interface
const maxr=20;
type arys=array[1..maxr] of
real;
ary2s=array[1..maxr,1..maxr]
of real;
procedure gauss1(a:ary2s;
y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);
procedure gaussj(var b:ary2s;
y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);
implementation
{Решение системы линейных уравнений
методом Гаусса}
{**********************************************************}
procedure gauss1(a:ary2s;
y:arys; var coef:arys; ncol:integer; var error:boolean);
var b:ary2s;
w:arys;
i,j,i1,k,l,n:integer;
hold,sum,t,ab,big:
real;
begin
error:=false;
n:=ncol;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
b[i,j]:=a[i,j];
w[i]:=y[i]
for i:=1 to n-1 do
begin
big:=abs(b[i,i]);
l:=i;
i1:=i+1;
for j:=i1 to n do
begin
ab:=abs(b[j,i]);
if ab>big then
begin
big:=ab;
l:=j
end
end;
if big=0.0 then error:= true
else
begin
if l<>i then
begin
for j:=1 to n do
begin
hold:=b[l,j];
b[l,j]:=b[i,j];
b[i,j]:=hold
end;
hold:=w[l];
w[l]:=w[i];
w[i]:=hold
end;
for j:=i1 to n do
begin
t:=b[j,i]/b[i,i];
for k:=i1 to n do
b[j,k]:=b[j,k]-t*b[i,k];
w[j]:=w[j]-t*w[i]
end
end
end;
if b[n,n]=0.0 then
error:=true
else
begin
coef[n]:=w[n]/b[n,n];
i:=n-1;
repeat
sum:=0.0;
for j:=i+1 to n do
sum:=sum+b[i,j]*coef[j];
coef[i]:=(w[i]-sum)/b[i,i];
i:=i-1
until i=0
end
end;
{**********************************************************}
{Решение системы линейных уравнений
методом Жордана-Гаусса}
{**********************************************************}
procedure gaussj(var b:ary2s;
y: arys; var coef:arys; ncol:integer; var error: boolean);
var w:array[1..maxr,1..maxr]
of real;
index:array[1..maxr,1..3]
of integer;
i,j,k,l,nv,irow,icol,n,l1:integer;
determ,pivot,hold,sum,t,ab,big:real;
{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}
procedure swap(var a,b:
real);
var hold:real;
begin
hold:=a;
a:=b;
b:=hold
end;
{++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++}
{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}
procedure gausj2;
var i,j,k,l,l1:integer;
{===============================================}
procedure gausj3;
var l:integer;
begin
if irow<>icol then
begin
determ:=-determ;
for l:=1 to n do
swap(b[irow,l],b[icol,l]);
if nv>0 then
for l:=1 to nv do
swap(w[irow,l],w[icol,l])
end
end;
{===============================================}
begin
error:=false;
nv:=1;
n:=ncol;
for i:=1 to n do
begin
w[i,1]:=y[i];
index[i,3]:=0
end;
determ:=1.0;
for i:=1 to n do
begin
big:=0.0;
for j:=1 to n do
begin
if index[j,3]<>1 then
begin
for k:=1 to n do
begin
if
index[k,3]>1 then
begin
error:=true;
exit;
end;
if index[k,3]<1 then
if
abs(b[j,k])>big then
begin
irow:=j;
icol:=k;
big:=abs(b[j,k])
end
end
end
end;
index[icol,3]:=index[icol,3]+1;
index[i,1]:=irow;
index[i,2]:=icol;
gausj3;
pivot:=b[icol,icol];
determ:=determ*pivot;
b[icol,icol]:=1.0;
for l:=1 to n do
b[icol,l]:=b[icol,l]/pivot;
if nv>0 then
for l:=1 to nv do
w[icol,l]:=w[icol,l]/pivot;
for l1:=1 to n do
begin
if l1<>icol then
begin
t:=b[l1,icol];
b[l1,icol]:=0.0;
for l:=1 to n do
b[l1,l]:=b[l1,l]-b[icol,l]*t;
if nv>0 then
for l:=1 to nv do
w[l1,l]:=w[l1,l]-w[icol,l]*t;
end
end
end;
end;
{@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@}
begin
gausj2;
if error then exit;
for i:=1 to n do
begin
l:=n-i+1;
if
index[l,1]<>index[l,2] then
begin
irow:=index[l,1];
icol:=index[l,2];
for k:=1 to n do
swap(b[k,irow],b[k,icol])
end
end;
for k:=1 to n do
if index[k,3]<>1 then
begin
error:=true;
exit;
end;
for i:=1 to n do
coef[i]:=w[i,1];
end;
{**********************************************************}
end.
Файл проекта - Project1.dpr:
program Project1;
uses
Forms,
Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1},
Unit2 in 'Unit2.pas';
{$R *.res}
begin
Application.Initialize;
Application.Title :=
'Gauss&J-Gauss';
Application.CreateForm(TForm1,
Form1);
Application.Run;
end.
Результаты сохраненные в
файле:
2 1 1 |2
3 2 3 |6
6 5 4 |5
Gauss
X1=-7,4
X2=1,2
X3=2,2
J-Gauss
X1=-7,4
X2=1,2
X3=2,2
Инструкция по работе с программой
1.
Сразу после запуска файла
программы (pragramma.exe) перед вами появиться окно с запросом размера системы.
Введите нужный размер и нажмите «ОК»(поскольку система размера n на n
нужно ввести только одно число).
2.
После ввода размера перед вами
появится рабочее окно программы. Введите в него данные по следующей схеме:
3.
Для решения нужным методом нажмите
соответствующую кнопку, и в таблице возле нее будут выведены корни системы.
4.
Для сохранения результатов в меню
«File» выберите «Save», перейдите в нужную папку и
введите имя файла. Нажмите «ОК».
5.
Для начала новых
рассчетов «File» выберите «New»,
введите новый размер системы, нажмите «ОК».
6.
Для выхода в меню «File»
выберите пункт «Exit».
·
Волков Е.А. численные методы: Учебное пособие для вузов. – 2-е
изд., испр. – М.:Наука, 1987. – 248 с.
·
Роганин А.М. Основные формулы высшей математики. – Х.:Торсинг, 2002
·
Справочная система Borland Delphi 7.
·
http://www.interface.ru/delphi/delphi_page.htm
·
http://pog.da.ru/