Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания
Лабораторная работа №4
Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью
системы массового обслуживания
1.
Цель работы
Целью
работы является:
1.
Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.
2.
Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной
функциональной зависимости
3.
Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом
2.Теоретические
сведения
2.1
Планирование эксперимента
Эффективность
машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания
существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем
и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической
обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность
использования ЭВМ при моделировании.
Планирование
эксперимента – это средство построения математических моделей различных процессов,
способ сокращения времени и средств, повышение производительности труда
исследователя.
Под
планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий
их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой
точностью. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели,
обладающей хорошими статистическими свойствами.
Такой
моделью является абстрактная схема типа «черного ящика» вида:
Y=F(x), (1)
Где
Y={y1,y2…ym} - множество выходных переменных,
называемых реакциями или откликами ( эндогенные переменные)
X={x1,x2,…xn}- множество
переменных называемых факторами(экзогенные переменные)
F- функция,
связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.
При
проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса
функционирования исследуемой системы необходимо создать также условия, которые
способствовали бы выявлению факторов, влияющих на реакцию системы. Для этого
необходимо, в первую очередь, установить область экспериментирования.
Локальная
область эксперимента задается выбором комбинации основных уровней факторов xi( i= 1,n), их
интервалами варьирования xi( i= 1,n) и центром эксперимента хi0( i= 1,n). Затем следует описать
функциональную зависимость, оценить необходимое число реализаций и их порядок в
эксперименте.
При
классическом методе планирования опыта варьируется один фактор, а при
математическом планировании эксперимента одновременно изменяются все факторы.
Одной
из задач математического планирования эксперимента является получение модели
описывающей реакции получаемой системы на много факторные экзогенные
переменные. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам
статистического моделирования являются полиномиальные модели вида:
y= a0+aixi+aijxixj
+aijkxixjxk+……
( 2)
Для
оценки коэффициентов данного уравнения используется метод множественной
регрессии, оснований на методе наименьших квадратов.
После
выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение
эксперимента.
Для
планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой
отражаются условия изменения уровней факторов xi( i= 1,n).
Эксперимент,
в котором реализуются все возможные сочетания уровней называется полным
факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний определяется
по формуле:
N=qn (3 )
где
q – число уровней изменения факторов.
n - число факторов
При
q = 2 получается двухуровневый план
эксперимента. Такой план называется планом N=2n. . Для
получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях:
нижнем xi0-∆xi и верхнем xi0+∆
xi, расположенных симметрично,
относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов
и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем
уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить
в виде таблицы- матрицы планирования, в которой строки соответствуют различным
опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3 ) матрица планирования примет вид
(Таблица 1). При этом в таблице добавлены “фиктивные переменные” единичного
столбца х0 и столбцов произведений х1*х2, х1*х3,
х2*х3 и х1*х2*х3,
которые используются для оценки свободного члена а0 и эффектов
взаимодействия а12,а13,а23, а123.
Таблица
1
Матрица
планирования
|
Номер опыта
|
Факторы
|
|
х0
|
х1
|
х2
|
х3
|
х1*х2
|
х1*х3
|
х2*х3
|
х1*х2*х3
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
|
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
|
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
|
-1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
|
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
|
+1
-1
-1
+1
-1
-1
-1
+1
|
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
|
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
|
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
|
Как
видно из таблицы, количество опытов равно N=23=8.
Рассматриваемый
полный факторный эксперимент 2n обладает тремя основными свойствами:
1.
Симметричность
относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма
элементов вектор – столбца для каждого фактора равна 0, т.е.
ij=0 (4
)
где
i – номер фактора (i=1,n);
j –
номер опыта (j=1,N ).
2.
Условием нормировки, т.е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу
опытов:
ij 2= N (i=1,n) (5
)
3.Ортогональностью,
это означает, что сумма почленных произведений любых двух вектор- столбцов
матрицы равна 0, т.е.
ij *хkj=0 (ik; i, k=1,n) (6
)
Данные
свойства, особенно условие ортогональности, позволяют значительно упростить
определение коэффициентов уравнения множественной регрессии. В этом случае
оценки коэффициентов регрессионной модели можно вычислить по формуле:
ai=ij*yj /N (i=0,n) (7
)
А
коэффициенты парных взаимодействий соответственно по формуле:
aik=ij*xkj*yj /N (ik; i, k=1,n) (8)
Количество
испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов
линейной модели плана эксперимента, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью и
поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется
дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть полного
факторного эксперимента. Матрица планирования для дробного факторного
эксперимента называется дробной репликой. Различают регулярные и нерегулярные
дробные реплики.
Регулярные
реплики образуются из ПФЭ 2n
делением пополам, на четыре части, восемь частей ит.д., т.е. на число кратное
2. Они называются соответственно: полурепликой, четверть- репликой, - реплики и т.д.. ДФЭ обозначается
как 2n-k, где
k –
кратность деления ПФЭ 2n
на части 2k. Например,
ДФЭ типа 4-2 означает, что ПФЭ из N=24=16 делится на 22=4 и получается план
эксперимента, состоящий из N=24-2=4
опытов.
Если
регулярные реплики умножить на нечетные числа, больше единицы, то получаются
нерегулярные реплики. Как например, реплики, реплики, реплики и т.д. являются нерегулярными.
Использование
ДФЭ позволяет значительно сократить количество экспериментов и тем самым
сэкономить ресурсы ЭВМ.
2.2
Пример планирования машинного эксперимента для модели СМО
Пусть
необходимо провести машинный эксперимент по определению функциональной
зависимости среднего времени ожидания заявки в очереди (ож) от факторов: интенсивность
поступления заявок λ, интенсивности обслуживания μ и емкости буфера L для однофазной одноканальной системы
массового обслуживания со следующими параметрами: интенсивность поступления заявок
λ=155; интенсивность обслуживания μ=105; количество мест в очереди L=102.
Для
определения заданной зависимости представим математическую модель системы в
виде:
y= a0+a1x1+a2x2+a3x3,
(9)
x1= λ ; x2= μ
; x3= L ; y=ож
Так
как порядок модели n=3, то матрица
планирования для полного факторного эксперимента примет вид (Таблица 2).
Таблица
2. Матрица планирования для модели СМО
|
Номер опыта
|
х1
|
х2
|
х3
|
y
|
|
1
|
+1
|
-1
|
-1
|
-1
|
|
|
2
|
+1
|
+1
|
-1
|
-1
|
|
|
3
|
+1
|
-1
|
+1
|
-1
|
|
|
4
|
+1
|
+1
|
+1
|
-1
|
|
|
5
|
+1
|
-1
|
-1
|
+1
|
|
|
6
|
+1
|
+1
|
-1
|
+1
|
|
|
7
|
+1
|
-1
|
+1
|
+1
|
|
|
8
|
+1
|
+1
|
+1
|
+1
|
|
При
этом следует помнить, что кодированные значения факторов соответствуют -1
нижнему уровню фактора, а +1 верхнему уровню фактора:
·
для интенсивности
поступления заявок λ нижний уровень равен λk=10 , а верхний λb=20;
·
для интенсивности
обслуживания μ нижний уровень равен μk=5,
а верхний 15 μb;
·
для количества
мест в очереди L нижний уровень Lk =8и верхний Lb=12
Поэтому
при моделировании этих уровней факторов в блоке управления необходимо
организовать их изменения. Это можно сделать путем введения нуля циклов. Тогда
блок- схема управления вариантами моделирования примет вид (Рис1)
Рис1.
Блок- схема управления вариантами моделирования
Для
определения среднего времени ожидания ож можно воспользоваться блок- схемой Рис
лабораторной работы 3. Результаты моделирования заносятся в Таблицу 2 в колонку
для y.
По
Таблице 2 и формуле 7 определяются коэффициенты выбранной модели планирования
эксперимента аi (i=0.3). Таким образом, зависимость
среднего времени ожидания от интенсивности поступления заявок, интенсивности
обслуживания и количества мест в очереди примет вид:
ож =…..λ+….μ+…L (10)
2.
Содержание
исследования
В
состав исследования, проводимого в данной лабораторной работе, входит:
1.
Анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели однофазной
одноканальной СМО на эндогенные переменные.
2.
Построение плана машинного эксперимента на основе множественного регрессионного
анализа и метода наименьших квадратов.
3.Моделирование
системы массового обслуживания
В
качестве объекта моделирования рассматривается однофазная одноканальная
система, структура, которой показана на Рис 2:
μ
очередь
λ
L
Рис2Структура
исследуемой системы
Параметры
системы:
·
интенсивность
поступления заявок λ=155;
·
интенсивность
обслуживания μ=105;
·
длина очереди L=102;
4.
Порядок
выполнения работы
1.
Ознакомится с
методическими указаниями по выполнению данной лабораторной работы.
2.
Получить у
преподавателя вариант задания на составление плана машинного эксперимента для
СМО
3.
Составить матрицу
планирования для проведения машинного эксперимента
4.
Разработать блок-
схему моделирующего алгоритма в соответствии с содержанием проводимого
исследования
5.
Составить
программу на одном из языков программирования
6.
Произвести
отладку программы и решение поставленной задачи на ПЭВМ
7.
Оформить отчет
Интерфейс
программы
Листинг программы
Private Sub Command1_Click()
Dim L As Integer
Dim Tobs As Currency
Dim Tosv As Currency
Dim Toch() As Currency
Dim Potk As Currency
Dim q As Currency
Dim a(8) As Currency
Dim Kpr As Currency
List1.Clear
List2.Clear
List2.AddItem ("Коэффициенты:")
For lyamda = 10 To 20 Step 10
For nyu = 5 To 15 Step 10
For L = 8 To 12 Step 4
ReDim Toch(L) As Currency
x = 0.5
k = 0
Kotk = 0
Noch = 0
Toj = 0
Tsis = 0
Kobs = 0
Tnezan = 0
Tpost = 0
Tosv = 0
10: x = Rnd(x)
T = -1 / lyamda * Log(x)
Tpost = Tpost + T
k = k + 1
If k > 50 Then
GoTo 100
End If
30: If Tpost < Tosv Then
GoTo 20
Else
GoTo 40
End If
20: If Noch = L Then
Kotk = Kotk + 1
GoTo 10
Else
Noch = Noch + 1
Toch(Noch) = Tpost
GoTo 10
End If
40: If Noch = 0 Then
Kobs = Kobs + 1
Tnezan = Tpost - Tosv
x = Rnd(x)
Tobs = -1 / nyu * Log(x)
Tosv = Tpost + Tobs
Tsis = Tsis + Tobs
GoTo 10
Else
Voj = Tosv - Toch(1)
For i = 1 To Noch - 1
Toch(i) = Toch(i + 1)
Next i
Toj = Toj + Voj
x = Rnd(x)
Tobs = -1 / nyu * Log(x)
Tsis = Tsis + Tobs + Voj
Tosv = Tosv + Tobs
Kobs = Kobs + 1
GoTo 30
End If
100: Kpr = Tnezan / Tsis
Potk = Kotk / k
q = 1 - Potk
Ab = q * L
j = j + 1
List1.AddItem (Str(j) + "-е испытание при:")
List1.AddItem ("Лямбда=" + Str(lyamda) + "
Нью=" + Str(nyu) + " L=" + Str(L))
List1.AddItem ("Количество заявок в" + Str(j) + " испытании = " + Str(k) +
" и потраченное время =" + Str(Tsis))
List1.AddItem ("Вероятность отказа=" + Str(Potk))
List1.AddItem ("Коэффициент простоя=" + Str(Kpr))
List1.AddItem ("Относительная пропускная
способность" + Str(q))
List1.AddItem ("Обсолютная пропускная
способность" + Str(Ab))
List1.AddItem ("")
List1.AddItem ("")
a(j) = (lyamda + nyu + L) * Toj
List2.AddItem ("a(" + Str(j - 1) + ")=" +
Str(a(j)))
Next L
Next nyu
Next lyamda
Label1.Caption = "Tож = " + Str(a(1)) + " +
" + Str(a(2)) + "lymda" + " + " + Str(a(3)) +
"nyu" + " + " + Str(a(4)) + "L"
End Sub