Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется  n-мерным арифметическим пространством и обозн Rⁿ.  {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xÎR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xÎX  $ e >0  такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва  Х  Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым  {Метрическое пр-во.} Метрическим  пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам   1 r(x,y)=0 Û x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,yÎX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y)  " x,y,z ÎX     в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u)  u=j(x)  и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f  и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1   у – неявная ф-ия от х  {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t)   у=y(t) f:T®X     y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x)   l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия  пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение  g:Y®X  "yÎY   g(y)=x  где хÎХ  такой что f(x)=y  такое отображ называется обратным к f  и обознач f( в степ -1)

#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед  f:N®X обозн {Xn} или Хn   n=1,2,3…   число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®¥)xn если "e>0 $ne =n(e)ÎN  тако что при n>ne  выполн нер-во /Хn-А/<e   нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e   обознач на граф чертеже эти точки  тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®¥)xn=a   lim(n®¥)xn=b   a<b   a<r<b  Þ для e1=r-a>0  $n1 при n>n1  /xn-a/<e1=r-a   Þ   a-r <xn-a<r-a   Þ   xn<r  при   n>n1   для e2=b-r>0  $ n2  такое что при n>n2  /xn-b/<e2=b-r  Þ  r-b<xn-b<b-c    =>  xn>r  при  n>n2   пусть no=max(n1,n2)=> при  n>no  xn>r   xn<r что невозм. => a=b  Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность а_N сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®¥)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп  Док-во т.к  {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что  при n>ne вып неравенство /xn/>1/e =>  1//xn/<e  при n>ne = lim(n®¥) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп  {док-во} пусть {xn}- бмп  а {уn}- огранич => $M>0  такое что /уn/<M при " n  пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e)  при n>ne /Xn/<e/M  => при  n>ne  /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e  => lim_(n®¥)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n₀: "n>n₀ a_N£b_N£c_N и $ Lim a_N=a, $ Lim c_N=c, причем a=c, то $ Lim b_N=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => c_N<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<a_N. При n>max{n₀,n’,n”} (a-E)<a_N£b_N£c_N<(a+E), т.е. " n>max{n₀,n’,n”}=>b_NÎ(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, $n₀: "n>n₀ х_N£y_N, тогда x£y {Док-во} (от противного):  Пусть х>у => по определению предела $ n₀’: "n>n₀’ |х_N-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n₀”: "n>n₀” |y_N-y|<E. "n>max{n₀’, n₀”}: |х_N-х|<|х-у|/2 & |у_N-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n₀’, n₀”} х_NÎ(х-Е,х+Е) & у_NÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у  получаем: "n>max{n₀’, n₀”} х_N>y_N - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 :   "x    0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E   {O lim_x®af(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x  0<|x-a|<d Þ |f(x)|<E Þ lim_x®af(x)=¥ {O lim_x®af(x)=+¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x  0<|x-a|<d  вып f(x)>E {O lim_x®af(x)=-¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x  0<|x-a|<d  вып f(x)<-E {O lim_x®¥f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x  |x|>D  вып |f(x)-A|<e {O lim_x®¥f(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x   |x|>D  вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) Þ |f(x)-A|<e  A=lim_x®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет lim_x®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть lim_x®af(x)=A  lim_x®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e);  U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)-A|<e Þ f(x)ÎU(A;e) 2) $d₂=d₂(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d₂ Þ |f(x)-B|<e Þ f(x)ÎU(B;e) Пусть d₀=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)ÎU(A;E),  f(x)ÎU(B;E) Þ Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а  f(x)}  Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $lim_x®af(x)=A, то для e=1  $d>0 | при  "x  0<|x-a|<d вып.  |f(x)-A|<1 Þ |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если lim_x®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если lim_x®af(x)=+(-)¥  {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а  {Док} Возьмём E>0  Þ $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d Þ |f(x)|>1/E Þ 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d Þ 1/f(x) бм при x®a  Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 Þf(x)¹0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)Þ при "x , 0<|x-a|<d  вып-ся f(x)¹0, |f(x)|<1/E Þ 1/f(x)>E Þ 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть  lim_x®af1(x)=0 lim_x®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 Þ |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2Þ |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) Þ "x 0<|x-a|<d Þ |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e Þ lim_x®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть lim_x®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ÎU(a,d1)Þ |g(x)|<m "e>0 Þ $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 Þ |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |f(x)g(x)|=|f(x)|×|g(x)|<em/m=e Þ lim_x®af(x)g(x)=0

#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x)  при х®а  А=lim(a®¥)f(x)  Û f(x)=A+j(x) ;Где   j(x) – б м ф-ия  при х®а  {док-во}  Пусть А=lim(х®а) f(x)   предположим ; j(x)=f(x)-A  и докажем что j(x)-б м ф  при х®а.   Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что   "х, 0</x-a/<d  =>  /f(x)-A/<e  =>  /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом  j(x) – бмф при х®а    пусть f(x)= j(x)+A  где j(x) – бмф при х®а тогда  при " e>0 $ d>0  такая что "х  удв  0</x-a/<d  выполняется   /j(x)/< e  => /f(x)-A/=/j(x)/ <e  => lim_(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А   и сущ lim_(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B  при  В¹0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B  =>  f1(x)=A+j1(x)     f2(x)=B+j2(x)  где j1j2  бм ф-ии при  х®а  тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)==  где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство}  пусть lim_(х®а)f1(x)=b1  lim_(х®а)f2(x)=b2  и b1<b2 тогда  $  U(a,d)  такая что  "хÎ U(a,d)  =>  f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2    b1<c<b2  => 1)e1=c-b1>0 $d1>0  так что "хÎU(a,d)   /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1  =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0  так что "хÎU(a,d)  =>/f2(x)-b2/<e=b2-c  => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x)  пусть d=min(d1d2) =>"хÎU(a,d) => f1(x)<c  c<f2(x)=>  f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim_(х®а)f1(x)=b1  lim_(х®а)f2(x)=b2  и  $ U(a,d)  так что  "хÎU(a,d)  f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2  {док} противоп утверждение те b1>=b2  в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d)  так что  "хÎU(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хÎU(a1,do)  => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2  чтд  {Т} Пусть существует lim_x®aj(x) ; lim_x®af(x) причём lim_x®aj(x)=A lim_x®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)£f(x)£Y(x) тогда $lim_x®af(x)=A  {Док-во} "E>0 Þ $d2>0 | "x  0<|x-a|<d2 Þ A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x,  0<|x-a|<d3 Þ A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)Þ "x 0<|x-a|<d Þ A-E<j(x)£f(x)£j(x)<A+EÞ |f(x)-A|<E

     #7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть $lim_x®af(x)=A $lim_y®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)¹А тогда $lim_x®ag(f(x))=lim_y®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ lim_y®Ag(y)=B Þ $s>0 |"y , 0<|y-A|<s Þ|g(y)-B|<E  т.к. $ lim_x®af(x)=A Þдля Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d Þ 0<|f(x)-A|<s Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |g(x)-B|<E $lim_x®ag(f(x))=B=lim_y®Ag(y)

     #8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на  E , если $ C>0 | |f(x)|£C(g(x)) "x Î E f(x)=O(1) на E Þ f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 |  |f(x)|£C "xÎE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены  в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.)  f(x) есть o-малое  от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где lim_x®fE(x)=0 x²=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x  h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a  f(x) есть  O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции  определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ lim_x®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)¹0 (x¹a) {Док-во}  Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ lim_x®af(x)/g(x)=1 Þ $ E(x), E(x)®0 при x®a  | f(x)/g(x)=1+E(x)Þ f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно  Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где lim_x®aE(x)=0 Þ f(x)/g(x)=1+E(x) Þ lim_x®af(x)/g(x)=1 Þ f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)¹0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a  {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и g^k(x) б.м. одного порядка при x®a

   №9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки  h=0   и для "e >0  $ d=d(e)>0  такое что "h  /h/<d     /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а  необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0)  и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=lim_x®a+0f(x) (f(a-0)=lim_x®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва}  если для ф-ии f(x) в т а $  f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)¹0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "xÎU(a,g)   ((1)f(a)>0)  f(x)< -c  "xÎU(ag)  при  f(a)<0  {Док-во} возьмем  e =/f(a)//2>0  тогда $ d>0 такое что  "xÎU(ag)  => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2   f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=>  "xÎU(ag)    f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=>  "xÎU(ag)    f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0  =>  f(x)<-c  чтд   

#10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b Î X , a<b A=f(a)¹f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ cÎ(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B  Þ A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ по теореме Больцана –Каши $ сÎ(a,b) | j(c)=0 Þ f(c)-C=0Þ f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция  f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b Î[a,b] | f(a)=minf(x) xÎ[a,b]; f(b)=maxf(x) xÎ[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x Î[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХÎRⁿ  называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 |   "x’,x’’ÎX,r(x’,x’’)<dÞ|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’ÎR, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.

#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x))  в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии  g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у  /у-b/<d  так что ф-ия  g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e  из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0  l(х) опред на (а-d;а+d)  и  "хÎ(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная  ф-ия g(f(x)) причем "хÎ(а-d;а+d)  /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а  чтд.

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хÎ [a,b] "уÎ[A,B]  и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0Î[A,B] Þ x0=j(y0), f(x0)=y0 x0Î(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]Ì[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yÎ(y1,y2)Þx=j(y)Î(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] Þ мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "уÎ(у1,у2) соответсвует j(y)Î(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Þ ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Þ х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f  "yÎ(y,y0] Þ x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) Þ ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.

#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; lim_h®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlim_h®0h=0; 3)f(x)=xⁿ, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xⁿ=x^n-1×x; 4)f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xⁿ+a1x^n-1+…+an)/(b0x^m+b1x^m-1+..+b^m)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением  тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x|  Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки Þ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| lim_h®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2|  |h|®0; 8)f(x)=a^{x –}непр на всей числ пр,a>=0 Df=(a^x+h-a^x)=a^x(a^h-1) lim_h®0a^x(a^h-1)=0; 9)f(x)=log_ax  a>0 a¹1 непрерывна на (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an}  составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп å сумма n  1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд åаn сход то lim_(n®¥)an=0  док-во если ряд åan сх то $ lim_(n®¥)S_n=S=lim_(n®¥)S_(n-1) тогда lim_(n®¥)an = lim_(n®¥)(Sn-S_(n-1)) = lim_(n®¥)Sn-lim_(n®¥)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)an ó "e >0 $ ne  такое что при n>ne  и "рÎ Z  p>=0  вып неравенство /аn+a_n+1+a_n+2+a_n+p/<e; {} å(n=1..¥)1/n( в степ a) a >1 сход  a<1 расход; n^a<=n Пусть a<=1 Þ 1/n^a+1/(n+1)^a+…+1/(2n-1)^a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+a_n+p|>e Þ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда  S_2k=1+1/2^a+(1/3^a+1/4^a)+(1/5^a+1/6^a+1/7^a+1/8^a)+…+(1/(2^k-1+1)^a+,,,+1/(2^k)^a); 1/(n+1)^a+1/(n+2)^a+…+1/(2n)^a>1/n^a+1/n^a+1/n^a=n/n^a=1/n^a-1=1/n^s<1+1/2^a+1/2^s/(1-1/2^s) Þ {S_2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2^k Þ Sn<S_2kÞ ряд сход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å^+¥_n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть å_k=m+1^+¥ak-остаток ряда. Обозначим А_n=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда  å(1,+¥)an A’_s=a_m+1+…+a_m+s –s-ая частная сумма å_k=m+1^+¥ak, тогда A’_s=A_m+s-A_m т.к. $lim_n®aAnÞ $ lim_S®+¥Am+SÞ $lim_S®+¥A’_S=lim_s®+¥A_m+S-A_m Þ å_k=m+1^+¥ak cx-cя; Пусть å_k=m+1^+¥ak сх-ся ; A_m+S=A_S’+A_m; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lim_s®+¥A’_SÞ$lim_n®+¥A’n=m Þ $lim_n®+¥A=lim_n®+¥A_n-n+A_m Þ å_n=1^+¥an ряд сх. {Следствие} Если ряд å(1,+¥)an сх-ся и an=å(k=n+1,+¥)ak Þlim_n®+¥a_n=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=lim_n®+¥An Þ A=An+a_nÞa_n=A-A1 Þ lim_n®+¥a_n=A-lim_n®+¥A_n=0 {Т} Если ряды å(n=1,+¥)an и å(n=1,+¥)bn сх-ся и l-число, то å(n=1,+¥)(an+bn) сх-ся и å(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=å(k=1,n)ak, Bn=å_k=1ⁿbk; A=lim_n®+¥An, B=lim_n®+¥Bn; $lim_n®+¥(An+Bn)=A+B, $lim_n®+¥lAn=lA Т.к. A_n+B_n=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда å(n=1,+¥)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

 #16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда å(n=1..¥)an  и  å(n=1..¥)bn   аn>=0  bn>=0  (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no  аn<bn  те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход  å(к=no+1..¥)bk сход  Аn = a(no+1)+…+a(no+m),  Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0  такое что  Bn<M  "n  An<=Bn<=M => å(k=no+1..¥)ak  сх-ся =>å(k=1..¥)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®¥) an/bn =k  то; 1).0<=k<+¥   из сход  åbn следует сходимость åan; 2).0<k<=+¥   из расх  åbn следует расходимость åan {док-во} если 0<=к<+¥  => e=1 $ no такое что при n>no  an/bn<k+e =k+1  => an<(n+1)bn "n>no => из сх åbn следует сходимость åan => åaк  сходится 0<к<=+¥  e=к/2  (к<+¥)  и e=1 к=+¥  $ no такое что при n>no  an/bn>k/2  (k<+¥)  an/bn>1; k=+¥ => при n>no  аn>(k/2)bn   (k<+¥) => из расход åbn =>åаn расх =>åак   а>bn (k=+¥) Þ Утв.

#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åan  an>0  n=1,2,3…  Если а(n+1)/an <=q<1  (n=1,2,3…) => ряд сход  если  q>=1 ряд расх {Док-во}  аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1q^n-1  q<1 т.к. å(n=1,+¥)q^n-1 cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аn  cх-ся    Пусть а(n+1)/an >=1  => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0   lim(n®¥)an¹0  =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $lim_n®+¥a_n+1/a_n=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$ n0 | n>n0 a_n+1/a_n<k+e{=q}<1Þ å(k=n0+1,+¥)ak –сх-ся Þ å_n=1^+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥ e>0 | k-e>1 Þ $n0 | при n>n0  an+1/an>k-e>1 Þ å_n=1^+¥an расход { Радик Признак Коши}  пусть дан ряд åan>0   кор n-ой степ(аn)<=q<1  ряд сх-ся  если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх  к>1 – ряд расход

#18 {O} Знакопеременными рядами называют å_n=1^+¥(-1)^n-1an,   an>0{Т Лейбница}  пусть дан знакоперем ряд  å(-1)^n-1 сn  cn>0; 1)C(n+1)<=C(n)  n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0  то ряд сход {Док-во}  рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S_2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма  образует возрастающую последовательность  по усл теоремы  S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1   $lim(n®¥)(S2n)=S  Рассм теперь сумму с нечётными номерами  S2k+1=S2k+C2k+1  т к limC2k+1 = 0  =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S  {Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю          

#19 Ряд å_n=1^¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд å_n=1^+¥an -абс сх Þ å_n=1^+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $n_e| при n>n_e и "pÎZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+a_n+1+…+a_n+p|<=|an|+…+|a_n+p|<e Þ по критерию Коши Þ å_n=1^+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если å_n=1^+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды å_n=1^+¥an и å_n=1^+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an  и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда å_n=1^+¥an  на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; lim_n®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд å_n=1^+¥an- сход при k<1 ряд å_n=1^+¥an-сх при k>1 ряд å_n=1^+¥an- расх {Т2} Если для посл-ности åⁿÖ|an|; k=lim_n®+¥ ⁿÖ|an|; при k<1 ряд å_n=1^+¥an-сх при k>1 ряд å_n=1^+¥an- расх.

#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ n_e | при n>n_e  вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность  zn=xn+iyn сход  необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=lim_n®¥znÞ "e>0 $n_e  | при n>n_e =|z_n-z₀|<e Т.к. |z_n-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>n_e вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e Þ по опр. lim_n®¥Xn=x0 а lim_n®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды å(n=1,+¥)xn и å(n=1,+¥)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=å(k=1,n)xk+iå(k=1,n)yk и если ряд å(n=1,+¥)zn –сх то lim_n®+¥zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn Þ т.к. å(n=1,+¥)zn –сх Þ å(n=1,+¥)xn сх и å(n=1,+¥)уn –сх Þ lim_n®+¥xn=lim_n®+¥yn=0 Þlim_n®+¥zn=lim_n®+¥xn+ilim_n®+¥yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть å(n=1,+¥)zn –абс сход  Þ å(n=1,+¥)|zn| -сх Þ Т.к. |xn|<=Ö(x²n+yn²)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) Þ по признаку сравнения å(n=1,+¥)|xn| -cх и å(n=1,+¥)|yn| -сх Þ å(n=1,+¥)xn –сх и å(n=1,+¥)уn-сх Þ å(n=1,+¥)zn –cх  {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть å(n=1,+¥)|xn| и å(n=1,+¥)|уn| сх |zn=Ö(xn²+yn²)<= Ö(yn²+2|xn||yn|+yn²) <= Ö(|xn|+|yn|)²=|xn|+|yn| то  по признаку сравнения å(n=1,+¥)|zn| - cх-ся.

#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=lim_Dx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ lim_Dx®0Dy/Dx=f’(x0)Þ Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)×Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxÞ lim_Dx®0Dy=0 Þ в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxÎU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма  в х0 Þ Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; lim_Dx®0Dy/Dx= lim_Dx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/DxÞDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), lim_Dx®0e(Dx)=0 Þ Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxÞ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Þ ф-ция f- дифференцируема в т. х0

№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+DxÎ(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 Þ|M0M|=Ö(Dx²+Dy²)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ lim_Dx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=lim_Dx®0k(Dx)= lim_Dx®0Dy/Dx=f’(x0) Þ уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) Þ касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент  k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1×(x-x0)/f’(x0)  x и y – точки на нормали

#23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда  d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V²

№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть:  z=f(y) - дифф. в точке y₀ ; y=j(x)   дифф. в точке х₀ . y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х₀ и справедлива формула: z’_x=z’_y×y’_x=f’(y)×j’(x) ;  dz/dx=dz/dy × dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y₀ ÞDz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х₀ ÞDy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке Þ (Dx®0ÞDy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); lim_Dx®0t×Dt/Dx; lim_Dx®0t(Dx)/Dx= lim_Dx®0[f’(x0)×b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= lim_Dx®0a(Dy)/Dx= lim_Dx®0a(Dy)/Dy× lim_Dx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где lim_Dx®0t(Dx)/Dx=0Þ (f(j(x)))’_x=z’_x=f’(y0)j’(x0)

#25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)¹0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f^-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)¹0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x¹x0®y¹y0ÞDx¹0® Dy¹0Þ Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда lim_Dx®0Dy=0ÞDx®0ÞDy®0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx= lim_Dy®01/Dy/Dx=1/lim_Dy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)¹0Þj’(y0)=1/f’(x0)

#26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]^v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=u^v×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции  {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0Þlim_Dx®0Dy/DxÞ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (a^x)’=a^xlna 5)(arcsinx)’=1/Ö1-x² 6)(arccosx)’=-1/Ö(1-x²) 7) (arctgx)’=1/(1+x²) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x²) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x^a)’=a×x^a-1

#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение  n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f^(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ   ) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹ u^(n-1)v' +C_n² u^(n-2)v'' + … +C¹_n u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =å_k=0ⁿC^k_n  u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где C_n^k  =n!/k!×(n-k)! ,  0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = å_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона.  формула Лейбница доказывается по индукции.

#28 {Параметрическое дифференцирование}  Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’_t(t0)×t’_x(x0); t’_x(x0)=1/x’_t(t0)  Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0) x’(t0)¹0  Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’ _x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0×t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)×x’_t(t0)-y’_t(t0)×x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))

#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем  f’(c)=lim_Dx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx  откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений  вытекает, что f'(c)=0.

#30 Теорема  (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1Î [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2Î[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех хÎ(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.

#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)  (а<с<b). Док-во:  tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) Þ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим  вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси  f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a)  xÎ(a,b) и F(a)=0=F(b) Þ по теореме Ролля $ сÎ(a,b) | F’(c)=0 Þ f^’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

      Теорема   Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой сÎ(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая  есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))

#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точка cÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) 

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)¹0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))×(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a))  В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cÎ(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))×g’(x)/(g(b)-g(a))  поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.

#33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_x®a+0f(x)=lim_x®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_x®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а  в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x  ; g(x)¹0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)Þ$ lÎ(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию.  Если x®a Þ c®a Þ lim_x®a+0f(x)/g(x)= lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) lim_x®+¥f(x)=lim_x®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+¥)  g’(x)¹0 ;4)$ lim_x®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда lim_x®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) lim_t®0f(1/x)= lim_t®0g(1/x)=0 ;По усл 4) lim_t®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 lim_x®a+¥f(x)/g(x)= lim_x®a+¥f’(x)/g’(x)=k   {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_x®a+0f(x)=+¥; lim_x®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_x®a+0f(x)/g(x)=k

#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f⁽ⁿ⁾(x);  f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+o((x-x0)ⁿ)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция  rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)ⁿ ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0)  (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)ⁿ;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(xn)=f⁽ⁿ⁾(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)^n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)^n-2  ;Pn⁽ⁿ⁾=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f^(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fⁿ(x0)(x-x0)²/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0) ; r_n(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир r_n^(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то lim_x®x0r_n^(n-1)(x)/(x-x0)= lim_x®x0 (r_n^(n-1)(x))-r_n^n-1(x0)/(x-x0)=r_nⁿ(x0)  Раскрывая по правилу Лапиталя получим lim_x®x0r_n(x)/(x-x0)ⁿ= lim_x®x0r_n’(x)/n(x-x0)^n-1=…= lim_x®x0r_n^(n-1)(x)/n!(x-x0)=r_n⁽ⁿ⁾(x)/n!=0 Þr_n(x)=o((x-x0)ⁿ),x®x0

#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=e^x, f(0)=1, f^(k)(x)=e^x, f^(k)(0)=1, e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f^(IV)(x)=sinx,…; f^(k)(x)={(-1)^msinx, k=2m {(-1)^m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f^(2m-1)(0)=(-1)^m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)^n-1x^2m-1/(2m-1)!+o(x)^2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x⁴/2!-x⁶/6!+….+(-1)^mx^2m/(2m)!+o(x^2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)³…,f^(k)(x)=(-1)^k-1(k-1)/(1+x)^k  ;f^(k)(0)=(-1)^k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þ l(1+x)=x-x²/2+x³/3+..+(-1)^n-1xⁿ/n+o(xⁿ),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)^b   f(0)=1, f’(x)=b(1+x)^b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)^b-2; f^(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)^b-k  ;f^(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)^b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xⁿ/n!+o(xⁿ), x®0

#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) Þ Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þ f’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0)  a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0  (f’(c)<=0)Þ f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þ f(x2)>=f(x1)  (f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b)  (f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)

#37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ $ U(x0,d) | " xÎU(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)Þ по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " xÎ(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " xÎ(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для xÎ(d,x0+d); f’(x)>0,a для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0, а для xÎ(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для xÎ(x0-d,x0) f’(x)>0 для  xÎ(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 Þ x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0ÞDf<0. Если х<x0 Þ x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0ÞDf>0 Þ f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично

#38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ÎX выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Þx>x1Þx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Þx1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2  q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) Û f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2)  x®x1 Þf’(x)<=f’(x2)Þ  производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) Þ выполнено нер-во 1 Þ ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) Û f’ – возрастает(убывает) Û f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+a(x)(x-x0)², a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)²/2! ; Если предположить что f’’(x)¹0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Þ при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию Þ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Þ(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 Þ Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак Þ х0-т. перегиба.

#39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L  стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+¥  Аналогично при х®-¥{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ö(1+a²) Т.к. прямая L –является асимптотой то lim_x®+¥r(x)=0Þ lim_x®+¥(f(x)-ax-b)=0Þ lim_x®+¥(f(x)/x-a-b/x)=0Þ lim_x®+¥(f(x)/x-a)=0Þ a= lim_x®+¥f(x)/x ; b= lim_x®+¥(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить lim_x®+¥f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+¥ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств lim_x®х0-0f(x)=¥ lim_x®х0+0f(x)=¥ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.

#40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Þ(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ÞF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2ÎX Þпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) Þy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.

#41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается òf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то òf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то òF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция  f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(òf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ò(f1(x)+f2(x))dx=òf1(x)dx+òf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то òf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a×aF’(ax+b)=f(ax+b);

#42 Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dx  по условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+C Þ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òe^xsinxdx=e^xsinx-òe^xcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(e^xcosx-òe^xsinxdx); òe^xsinxdx=e^xsinx-e^xcox-òe^xsinxdx; 2òe^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosxÞ òe^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2

#43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)^k1×…×(z-zs)^ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)^m×Q_n-m(z)Þ a-корень кр-ти m многочлена  Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Если  комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞ Pn(x)=(x-a1)^a1×…×(x-ar)^ar×(x-z1)^b1×…×(x-zs)^bs×(x-zs)^bs=(x-a1)^a1×…×(x-ar)^ar×(x²+p1x+q1)^b1×…×(x²+psx+qs)^bs;   Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём  степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)^m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)^m+P1(x)/(x-a)^m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b¹0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x²+px+q)^m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^m+P1(x)/(x2+px+q)^m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)^m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)^m=(Mx+N)/(x²+px+q)^m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)^mQ1(x)     {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A×(x-a1)^a1×…×(x-ar)^ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)^ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа A_i^(j), I=1,..,r; j=1,…,a_I M_i^(j),N_i^(j), I=1,…,s ; j=1,…,b_I; P(x)/Q(x)=A₁⁽¹⁾/(x-a1)^a1+..+A₁^(a1)/(x-a1)+…+A₂⁽¹⁾/(x-a2)^a2+…+A₂^(a2)/(x-a2)^a2+(M₁⁽¹⁾x+N₁⁽¹⁾)/(x²+p1x+q1)^b1+…+(M₁^(b1)x+N₁^(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(M_s⁽¹⁾x+N_s⁽¹⁾)/(x²+ps+qs)^bs+…+(Ms^(b)x+N_s^(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)^m=Aò(x-a)^-mdx=A/(1-m)(x-a)^m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)^m=M/2(1-m)(x²+px+q)^m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)^m

#44 Ф-цию вида R(x,^mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=^mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m)/(ct^m-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)²  Þ òR(x,^mÖ(ax+b)/(cx+d))dx=òR((b-dt^m)/(ct^m-a),t) (mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)²=òR1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность  где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)  и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера)  t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рациональная функ-ция от t  Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}

#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация òR(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))=2t/(1+t²), cosx=(1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=(1-t²)/(1+t²), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²), Þ òR(cosx,sinx)dx=òR(1-t²)/(1+t²),2t/(1+t²))×2dt/(1+t²)= òR1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v)  (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).

#46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{}  Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму s_t(f,x1,…,xit)=å_I=1^ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _aò^bf(x)dx Если " E >0 $d_E=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<d_E и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | å_I=1^itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=lims_t  |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение  t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_j0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xⁿ_jo}>0 | lim_n®¥f(xⁿ_jo)=¥ Рассмотрим сумму s_t=å_I=1^itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +å_I=1^itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo lims_t(f,x1,…,x₀ⁿ,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | s_t(f,x1,…,x_jo⁽ⁿ⁾,…,x_it)>m Отсюда Þ, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim_|t|®0s_tÞ"E>0 $d_E>0 | "t, |t|<d_E и любой выбор точек xi выполняется нер-во |d_t-I|<EÞ|d_t|=|d_t-I+I|<|d_t-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<d_E можно выбрать точки x1,..,x_it такие, что |s_t|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.

#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению _аò^a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред _bò^af(x)dx=-_aò^bf(x)dx  {Св-во1} _aò^bdx=b-a действительно ф-ция f(x)º1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1Þs_t=å_i=1^itf(xi)Dxi=å_i=1^itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Þ lim_|t|®0s_t=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: _aò^b(f(x)+g(x))dx= _aò^bf(x)dx+ _aò^bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiÎ[xi-1,xi] ,тогда s_E(f+g)=å_i=1^it(f(xi)+g(xi)Dxi=å^it_i=1f(xi)Dxi+å^it_i=1g(xi)Dxi=s_t(f)+s_t(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim_|t|®0s_t(f)=_aò^bf(x)dx; $lim_|t|®0s_t(g)=_aò^bg(x)dx ; $lim_|t|®0s_t(f+g)=_aò^bf(x)dx+_aò^bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство _aò^b(f(x)+g(x))dx=lim_|t|®0s_t(f+g)=_aò^bf(x)dx+_aò^bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l×f(x) - интегрируема на отр [a,b]  и имеет место равенство  _aò^blf(x)dx=l_aò^bf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: _aò^bf(x)dx=_aò^сf(x)dx+_сò^bf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] Î[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " xÎ[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b]  {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "хÎ[a,b] f(x)³0 тогдаÞ _aò^bf(x)dx³0

#48 {T о среднем} Пусть 1) f  и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x)  Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и _aò^bf(x)g(x)dx=m×_aò^bg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получим  mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0;  mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим m_aò^bg(x)dx£_aò^bf(x)g(x)dx£M_aò^bg(x)dx при g(x)³0; m_aò^bg(x)dx³_aò^bf(x)g(x)dx³M_aò^bg(x)dx при g(x)£0; Если _aò^bg(x)dx=0 то  из полученного нер-ва находим : _aò^bf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во _aò^bf(x)g(x)dx=m_aò^bg(x)dx выполнено при любом m; Пусть _aò^bg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 _aò^bg(x)dx>0, а при g(x)£0 _aò^bg(x)dx<0; Разделим нер-ва на _aò^bg(x)dx в обоих случаях получим : m£_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dx£M; Пологая m=_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dx Þ получаем утверждение теоремы _aò^bf(x)g(x)dx=m_aò^bg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что _aò^bf(x)g(x)dx=f(x)×_aò^bg(x)dx

#49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= _aò^xf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= _aò^x+Dxf(t)dt-_aò^xf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С  "xÎ[a,b]Þ|DF|=|_xò^x+Dxf(t)dt|£С×| _xò^x+Dxdt|=С|Dx| Þlim_Dx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х  Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= _aò^xf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b]  и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= _aò^x+Dxf(t)dt- _aò^x0f(t)dt= _aò^x0f(t)dt+ _x0ò^x+Dxf(t)dt- _aò^x0f(t)dt= _xò^x0+Dxf(t)dt  |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, _x0ò^x0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × _x0ò^x0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| _x0ò^x0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ d_t>0 |при|x-x0|<d_EÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<E_EÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E  ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | _x0ò^x0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× _xò^x0+Dxdt|=E Þ $lim_Dx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница _aò^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= _aò^xf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; _aò^xf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _aò^аf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ _aò^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

#51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"tÎ[a;b] j(t)Î[a,b]; Тогда _aò^bf(x)dx = _aò^bf(j(t))×j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))×j’(t) на [a,b]  По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве _aò^bj(x)dx = _aò^bj(j(t))×j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках Þ оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : _aò^bf(x)dx =F(b)-F(a); _aò^bf(j(t))×j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= _aò^bf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда _aò^bu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение  u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница  u(x)v(x)|_a^b= _aò^b (u(x)×v’(x)+u’(x)×v(x))dx= _aò^bu(x)×v’(x)dx+ _aò^bu’(x)×v(x)dx откуда Þ _aò^bu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu(x)v’(x)dx

#52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу  прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-ò_A B-ò_B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0  ò_A и ò_B ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ò;  Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)³0 "xÎ[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}_i=0^i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; g_it={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£mi=inff(x)} G_it={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£Mi=supf(x)}; S_gt=å_i=1^itmiDxi; S_Gt=å_i=1^itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim_|t|®0(S_gt-S_Gt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b]  то она интегрируема на этом отр. Þ по критерию итегрируемости lim_|t|®0S_Gt= lim_|t|®0S_gt=S= _aò^bf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)³0 "jÎ[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение g_it={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£mi=inff(j)} G_it={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезкеÞ Площадь сектора g_it=m²iDj/2 и G_it=M²iDj/2; S_gt=1/2×å_i=1^itm²iDj  S_Gt=1/2×å_i=1^itM²iDj  по критерии итегрируемости Þ lim_|t|®0S_Gt= lim_|t|®0S_gt=S=1/2× _aò^tf²(j)djÞ P-квадрируема и S_p=1/2× _aò^bf²(j)dj.

#53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥)  и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел _aò^+¥f(x)dx=lim_{b®+¥ a}ò^bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл _aò^+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ _aò^bf(x)dx= _aò^cf(x)dx+ _cò^bf(x)dx {Т} По св-ву пределов _aò^+¥f(x)dx cущ Û когда сущ lim_{b®+¥ a}ò^bf(x)dx  {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих  неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=_b’ò^b’’f(x)dx Þ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел  _aò^bf(x)dx= lim_{x®a+0 a}ò^bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} _aò^сf(x)dx и _сò^bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то _aò^bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®¥ при х®b-0, если b<+¥ {Св1} _aò^bf(x)dx= lim_h®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|^b_a $_aò^bf(x)dx  Û  $lim_h®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница _aò^bf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов _aò^bf(x)dx= lim_h®b-0 F(h)-F(A){2} _aò^bf1(x)dx и _aò^bf2(x)dx  -сходятся,  то _aò^b (mf1(x)+l _aò^bf2(x))dx=m _aò^bf1(x)dx+l _aò^bf2(x)dx  {До} Пусть a<h<b _aò^h (mf1(x+lf2(x))dx= m_aò^h f1(x)dx+l_aò^h f2(x)dx  т.к. по усл. теор $lim_h®b-0aò^h f1(x)dx и $lim_h®b-0aò^h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b _aò^bf(x)dx, _aò^bg(x)dx – сход , то _aò^bf(x)dx<= _aò^bg(x)dx {Д} a<h<b Þ _aò^hf(x)dx<= _aò^hg(x)dx переходя в данном нер-ве к lim_h®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ _aò^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр _aò^hu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|_a^h - _aò^hu’(x)×v(x)dx Þ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол.  утв.; {5} f(x) непрерывно на  [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной  на [a,b)  и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b Þa<=j(t)<b=lim_t®b-0j(t) тогда имеет место : _aò^bf(x)dx= _aò^bf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв.

         #54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -¥<a<b£+¥ {T1} Пусть f(x)³0 "xÎ[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл _aò^bf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы _aò^hf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | _aò^hf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если _aò^bg(x)dx- сходится, Þ сходится и _aò^bf(x)dx  Если _aò^bg(x)dx – расход Þ _aò^bf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 тоÞ существует левая окрестность (.) В  для любого х. Т.к. _aò^bg(x)dx –сход Þ _aò^bf(x)dx – сх Þ по Т1Þ"h,(h0,b) _h0ò^hg(x)dx£M(M=const) Þ " xÎ(h0,b) _h0ò^hf(x)dx£C   _h0ò^hg(x)dx£CM Þ все интегралы _h0ò^hf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 _h0ò^bf(x)dx-схÞ_aò^bf(x)dx –сх; Аналогично если _aò^bf(x)dx-расход Þ_aò^bg(x)dx- расх  {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)³0 существует возможно бесконечный предел $ lim_x®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0£k<+¥ из сходимости _aò^bg(x)dx Þ сх-ть_aò^bf(x)dx; 2) при 0<k£+¥ из расходимости _aò^bg(x)dx Þ расх-ть_aò^bf(x)dx; В часности при 0£k<+¥  _aò^bg(x)dx и _aò^bf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0£k<+¥ По определению  предела для E=1 $(h0,b) | " xÎ(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 Þ  k-1<f(x)/g(x)<k+1 Þ т.к. g(x)³0 Þ f(x)<(k+1)×g(x) Þf(x)=o(g(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þесли _aò^bg(x)dx –сх, то _aò^bf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k£+¥ тогда по опред предела для E={1 при k=+¥ {k/2 при k<+¥ Þ $ (h0,b) | " xÎ(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+¥  |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+¥ Þ при к=+¥ g(x)<f(x); при k<+¥ f(x)/g(x)>k/2 Þ g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þ если _aò^bg(x)dx –расход Þ_aò^bf(x)dx –расх.

    #55_aò^bf(x)dx-называется абс. сход  если сходится _aò^b |f(x)|dx Если _aò^bf(x)dx-сх , а _aò^b |f(x)| dx – расх то _aò^bf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла _aò^b |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> _b’ò^b’’ |f(x)| dx³| _b’ò^b’’ f(x)dx  т. е. для интеграла _aò^bf(x)dx  выполняется условие Коши. Так как |_aò^b’f(x)dx|£ _aò^b’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла _aò^b f(x)dx получим |_aò^b f(x)dx|£ _aò^b |f(x)| dx {Глав зн не соб ò}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного _-¥ò^+¥f(x)dx называется v.p. _¥ò^+¥f(x)dx=lim_{h®+¥  -h}ò^+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением _¥ò^+¥ по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ò наз v.p. _aò^bf(x)dx=lim_E®0 (_aò^C-Ef(x)dx +_C+Eò^bf(x)dx)

    #56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+¥) Тогда å(n=1,+¥)f(n) и ₁ò^+¥f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+¥) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]Ì[1,+¥) Þ т.к. ф-ция не возрастает на [1,+¥) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 Þ _kò^k+1f(x)dx>=_kò^k+1f(k+1)dx Þ f(k)>= _kò^k+1f(x)dx>=f(k+1) Þ å(k=1,n)f(k){=Sn}>=å(k=1,n){= ₁òⁿ⁺¹f(x)dx} _kò^k+1f(x)dx>=å(k=1,n)f(k+1){=S_n+1-f(1); Sn>= ₁òⁿ⁺¹f(x)dx>=S_n+1-f(1) ; Если ₁ò^+¥f(x)dx сх Þ $M>0 | "hÎ[1;+¥)  ₁ò^hf(x)dx<=M Þ S_n+1-f(1)<= ₁òⁿ⁺¹f(x)dx<=M Þ S_n+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху Þ ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху ₁òⁿ⁺¹f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого hÎ[1,+¥) $n Î N | h<=n ₁òⁿf(x)dx<= ₁ò^hf(x)dx+ _hòⁿ⁺¹f(x)dx= ₁òⁿ⁺¹f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx  ограничены в совокупности, значит ₁ò^+¥f(x)dx-сход. ЧТД

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rⁿ. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rⁿ.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.               

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.     

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов  и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.     

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.   

32. Теорема Коши.         

33. Правило Лопиталя. 

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена. 

36. Признак монотонности функции. 

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.                       

41. Неопределенный интеграл и его свойства.  

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,                      

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона - Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.    53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.

56. Интегральный признак сходимости ряда.