Теория случайных функций

  • Вид работы:
    Курсовая работа (п)
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    77,15 kb
  • Опубликовано:
    2008-12-09
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Теория случайных функций

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

 “Теория случайных функций“

 

 

 

 

 

 

 

Студент: Ференец Д.А.

Преподаватель: Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 1995

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.

Тип резервироавния - ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) = (x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

- функционирование элементов

x(t) Î {0, 1, 2}  - число неисправных элементов;

- функционирование КПУ

d(t) Î {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) - однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии  0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние n(t) = (0, d(t))

1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние n(t) = (1, 1)

П - состояние, при котором либо 2 неисправных  элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний  n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) - поглощающее состояние.

 

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Þ

Пусть

Þ Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

 

 

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

 

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

 

 

Þ

 

Þ

 

( - корни  =0)

 

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

 

 

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :

 

Þ

Þ

 

Þ Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

 

,

 

где

,

 

Итак,

,
где

 

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT
(T - время жизни системы):

 

 

Þ

 

 

 

Похожие работы на - Теория случайных функций

 

Не нашли материал для своей работы?
Поможем написать уникальную работу
Без плагиата!