Экономико-математические методы
Контрольная работа по курсу
«Экономико-математические методы»
Вариант 0
Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на
стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность
коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного
удоя приведена в табл. 2.
Таблица 2.
Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг
№ варианта
Среднесуточный
удой, кг
Потребность
в
кормовых
единицах, кг
переваримом
протеине, г
0
12
10,3
1136
Рацион составляется
из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ
в единице каждого вида корма показано в табл. 3.
Таблица 3.
Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов
Показатель
Комбикорм
Сено
Силос
Кормовые единицы,
кг
1
0,5
0,2
Переваримый
протеин, г
160
60
30
Себестоимость 1
кг корма, руб.
4,2
0,9
0,6
Согласно
физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее
допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)
Таблица 4.
Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в
корм. ед.
№
варианта
Концентрированные
корма, не менее
№
варианта
Грубые
корма, не более
0
26%
0
21%
Составить рацион
кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу
вручную симплексным методом.
Решение:
Выразим все условия
задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого
обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 –
сена (кг) и через х3 – силоса (кг).
Составим систему
ограничений:
1)
условие по содержанию кормовых единиц в рационе:
1*х1+0,5*х2+0,2*х3³10,3
2)
условие по содержанию переваримого протеина в
рационе:
160*х1+60*х2+30*х3³1136
3)
условие по содержанию концентратов в рационе (не
менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):
1*х1³2,678
4)
условие по содержанию грубых кормов в рационе (не
менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):
0,5*х2£2,163
Целевая
функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3®min
Перейдем
в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем
дополнительные переменные:
1)
1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3
2)
160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136
3)
1*х1-х6=2,678
4)
0,5*х2+х7=2,163
Целевая
функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7®min
Дополнительные
переменные имеют следующий экономический смысл:
х4
– количество кормовых единиц сверх минимума, кг
х5
– количество переваримого протеина сверх минимума, г
х6
– количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.
х7
– разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим
содержанием в рационе, кг корм. ед.
В
ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1»,
введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем
их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.
1)
1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3
2)
160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136
3)
1*х1-х6+у3=2,678
4)
0,5*х2+х7=2,163
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6)
®0
Разрешим
уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с
коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для
удобства двумя строками:
1)
у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)
2)
у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)
3)
у3=2,678-(1*х1-1*х6)
4)
х7=2,163-(0,5*х2)
Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) ®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6)
®0
Заполним
симплексную таблицу 1:
i
Базисные переменные
Свободные члены, bi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
bi/aij
1
y1
10,300
1,000
0,500
0,200
-1,000
0,000
0,000
10,300
2
y2
1136,000
160,000
60,000
30,000
0,000
-1,000
0,000
7,100
3
y3
2,678
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
-1,000
2,678
4
x7
2,163
0,000
0,500
0,000
0,000
0,000
0,000
-
m+1
Z
0,000
-4,200
-0,900
-0,600
0,000
0,000
0,000
X
m+2
F
1151,141M
157,8M
60,1M
29,6M
-M
-M
-M
x
- Разрешающий
столбец – х1.
- Разрешающая
строка – у3.
- Заполняется
симплексная таблица 2.
3.1.
Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1
вводится в базис.
3.2.
Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:
1/1=1
3.3.
Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте
разрешающей:
2,678/1=2,678;
0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1
157,8М/(-1)=157,8М
3.4.
Расчет остальных элементов таблицы:
Столбца
bi:
10,300-1*2,678=7,622;
1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;
0-(-4,200)*2,678=11,248;
1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;
Столбца
х2:
0,500-1,000*0,000=0,5000;
60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при
расчете требуется постоянно умножать на 0,000
без
изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в
начальной строке стоят нулевые элементы.
Расчет
элементов столбца х6:
0,000-1,000*(-1,000)=1,000;
0,000-160,000*(-1,000)=160,000;
0,000-0,000*(-1,000)=0,000;
0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;
-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.
Аналогично
составляем симплексную таблицу 2:
i
Базисные переменные
Свободные члены, bi
y3
x2
x3
x4
x5
x6
bi/aij
1
y1
7,622
-1,000
0,500
0,200
-1,000
0,000
1,000
7,622
2
y2
707,520
-160,000
60,000
30,000
0,000
-1,000
160,000
4,422
3
x1
2,678
-1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
-1,000
-2,678
4
x7
2,163
0,000
0,500
0,000
0,000
0,000
0,000
-
m+1
Z
11,248
-4,200
-0,900
-0,600
0,000
0,000
-4,200
X
m+2
F
728,552М
-157,8M
60,1M
29,6M
-M
-M
156,8М
x
Симплексная
таблица 3:
i
Базисные переменные
Свободные члены, bi
y3
x2
x3
x4
x5
y2
bi/aij
1
y1
-152,378
-159,500
-159,800
-161,000
-160,000
0,955
2
x6
4,422
0,375
0,188
0,000
-0,006
11,792
3
x1
162,678
160,000
160,000
160,000
160,000
1,017
4
x7
2,163
0,500
0,000
0,000
0,000
4,326
m+1
Z
683,248
671,100
671,400
672,000
672,000
X
m+2
F
-24359,448M
60,1M
-25058,4M
-25089M
-25089M
x
Симплексная
таблица 4:
i
Базисные переменные
Свободные члены, bi
y3
х7
x3
x4
x5
y2
bi/aij
1
y1
-153,460
-319,000
-159,800
-161,000
-160,000
0,960
2
x6
3,341
0,750
0,188
0,000
-0,006
-0,021
3
x1
1,082
320,000
160,000
160,000
160,000
-0,007
х2
4,326
1,000
0,000
0,000
0,000
-0,006
m+1
Z
682,167
1342,200
671,400
672,000
672,000
-4,269
m+2
F
-243360,53М
120,2М
160,4M
-25089M
-25089M
x
Симплексная
таблица 5:
i
Базисные переменные
Свободные члены, bi
y3
х7
у1
x4
x5
y2
bi/aij
1
х3
27,295
-319,000
1,000
-1,200
-25728,000
-
2
x6
-0,986
0,750
-0,001
0,000
-25568,006
-
3
x1
2,678
320,000
-1,001
-25567,800
-25408,000
-
4
х2
4,326
1,000
0,000
0,000
-25568,000
-
m+1
Z
677,841
1342,200
-4,202
-25055,800
-24896,000
х
m+2
F
0М
0М
0M
0M
0M
x
Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит
из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.
Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти
4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл.
6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.
Таблица 5.
Количество зеленой массы с полей, т
№ варианта
Поле
1-е
2-е
3-е
4-е
5-е
0
800
1000
1200
400
600
Таблица 6.
Потребность ферм в зеленой массе, т
№ варианта
Ферма
1-я
2-я
3-я
4-я
0
1000
600
800
1600
Таблица 7.
Расстояние от полей до ферм, км
Поля
Ферма
1-я
2-я
3-я
4-я
1-е
5
6
2
2
2-е
9
7
4
6
3-е
7
1
4
5
4-е
5
2
2
4
5-е
6
4
3
4
Составить такой
план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется
решить задачу методом потенциалов.
Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего»
элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим
расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно
заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1
Поле
Ферма
Наличие зеленой
массы, т
Ui
1-я
2-я
3-я
4-я
1-е
5
6
2-
2-
0
400
400
800
2-е
9-
7
4+
6+
5
1000
1000
3-е
7+
1
4
5
3
600
600
1200
4-е
5
2
2
4
0
400-
400
5-е
6
4
3
4-
2
600
600
Потребность в
зеленой массе, т
1000
600
800
1600
4000
Z
Vj
4
-2
2
2
17400
Переходим к анализу
первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.
Проверим, является
ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.
1. Рассчитаем
значения потенциалов:
u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;
v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2
2. Рассчитаем
характеристики для свободных клеток:
d
1
2
3
4
1
5
8
0
0
2
0
4
-1
-1
3
0
0
0
0
4
1
4
0
2
5
0
4
-1
0
3.
Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3,
для которой строим цепь.
4.
Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках
со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит
знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.
Поле
Ферма
Наличие зеленой
массы, т
Ui
1-я
2-я
3-я
4-я
1-е
5
6
2
2
0
44
756
800
2-е
9
7
4
6
5
756
244
1000
3-е
7
1
4
5
3
400
600
200
1200
4-е
5
2
2
4
0
400
5-е
6
4
3
4
2
200
400
600
Потребность в
зеленой массе, т
1000
600
800
1600
4000
Z
Vj
6
-2
2
2
15288
Расчеты
ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2
Перераспределяем по
цепи поставку 400. Строим таблицу 3.
Поле
Ферма
Наличие
зеленой массы, т
Ui
1-я
2-я
3-я
4-я
1-е
5
6
2
2
0
0
0
44
756
800
2-е
9
7
4
6
3
0
0
756
244
1000
3-е
7
1
4
5
1
0
600
0
600
1200
4-е
5
2
2
4
1
400
0
0
0
400
5-е
6
4
3
4
2
600
0
0
0
600
Потребность
в зеленой массе, т
1000
600
800
1600
4000
Z
Vj
6
0
1
2
15288
Анализ решения: По
оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной
таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288
тонна-километров
Решение методом
линейного прораммирования:
1. Проверим, прежде
всего условие равенства ресурсов:
С полей
поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы
Потребность ферм в
зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам
потребителей.
2. Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем
ограничения:
х11+х12+х13+х14=800
х21+х22+х23+х24=1000
х31+х32+х33+х34=1200
х41+х42+х43+х44=400
х51+х52+х53+х54=600
Из условия
потребностей ферм:
х11+х21+х31+х41+х51=1000
х12+х22+х32+х42+х52=600
х13+х23+х33+х43+х53=800
х14+х24+х34+х44+х54=1600
Целевая функция
задачи – количество тонна-километров:
Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+
9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+
7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+
5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+
6*х51+4*х52+3*х53+4*х54®min
Решим
систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск
решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате
выполнения программы, получаем решение:
Поле
Ферма
Наличие
зеленой массы, т
Сумма
1-я
2-я
3-я
4-я
1-е
5
6
2
2
0
0
44
756
800
800
2-е
9
7
4
6
0
0
756
244
1000
1000
3-е
7
1
4
5
0
600
0
600
1200
1200
4-е
5
2
2
4
400
0
0
0
400
400
5-е
6
4
3
4
600
0
0
0
600
600
Потребность
в зеленой массе, т
1000
600
800
1600
Z
Сумма
1000
600
800
1600
15288
Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с
полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288
тонна-километров.