Средние велиичины в экономическом анализе

В данной работе рассмотрим такое понятие, как средние величины. Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

В теоретической части рассмотрим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая и структурные средние - в экономическом анализе, а также условия их применения. Материал изложен с пояснениями и примерами.

В расчетной части представлены задачи на нахождение средних величин, на примере этих задач покажем различные способы нахождения средних величин, и использование их в экономическом анализе.

В аналитической части проведем небольшое исследование в области дифференциации заработной платы с использованием средних величин.

При проведении статистического анализа данных для текущей работы были использованы следующие программные средства: Microsoft Word и Microsoft Excell.

Теоретическая часть

Средние величины в экономическом анализе.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.

Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц. Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности.

Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур. Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние. Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку).

Групповые средние позволяют избежать "огульных" средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д.

Однако нельзя сводить роль средних только к характеристике типических значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика использует так называемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристики государства, единой народнохозяйственной системы: например, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всей стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда).

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000:

Результат расчета средней величины по данному показателю может выражаться в дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым числом.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности. «Понятие о средней величине существует вне науки, которая только придает ему определенность и точность[1]».

Математические приемы, используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны с вычислением средних величин.

Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.

Условия применения средних величин в анализе

Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака.

Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами.

Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.

Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

Виды средних величин.

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

где - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент совокупности;

n – число наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины. (Табл. 1):

Таблица 1

Степень

средней величины (k)

Название
средней

-1

гармоническая

геометрическая

арифметическая

квадратическая

кубическая

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.Для этого введем следующие понятия и обозначения:

Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х"

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x₁, x₂, x₃ и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " .

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Например,имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

№ раб.

Выпущено изделий за смену

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле , где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i (таблица 2).

Таблица 2

Возраст рабочего, лет

Число рабочих, чел (f_i)

Середина возрастного интервала, лет (x_i)

20-30

30-40

40-50

50-60

60 и более

Итого

106

Средний возраст рабочих цеха будет равен лет.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

Средняя гармоническая

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле , т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

все затраченное время

Среднее время, затраченное = --------------------------------------

на одну деталь число деталей

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Средняя гармоническая взвешенная:

, где M_i=x_i*f_i (по содержанию).

Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 3):

Таблица 3

Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.

Культуры

Валовой сбор, ц (M_i)

Урожайность, ц/га (x_i)

Хлопчатник

Сахарная свекла

Подсолнечник

Льноволокно

97,2

601,2

46,3

2,6

30,4

467,0

11,0

2,9

Итого

743,3

Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь M_i=x_i*f_i, поэтому , а средняя урожайность будет равна .

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная:

где f-веса.

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

где f-веса.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).

Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 4

Группы предприятий по числу работающих, чел

Число предприятий

100 — 200

200 — 300

300 — 400

400 — 500

500 — 600

600 — 700

700 — 800

ИТОГО

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где

x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me_-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me- частота медианного интервала.

Таблица 5

Группы предприятий по числу рабочих, чел.

Число предприятий

Сумма накопительных частот

100 — 200

200 — 300

4 (1+3)

300 — 400

11 (4+7)

400 — 500

41 (11+30)

500 — 600

—

600 — 700

—

700 — 800

—

ИТОГО

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенная численность рабочих является порядка 467,6 чел. В то же время более половины предприятий имеют численность рабочих более 496,6 чел., при среднем уровне 510 чел. чел. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по численности промышленно - производственного персонала.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

Расчетная часть

Задание:

1. Определите, по первичным данным таблицы №7(в методическом указании №5.2) среднегодовую стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие.

2. Постройте статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и их удельным весом.

По ряду распределения (п.2) рассчитайте среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака:

а) по числу предприятий;

б) по удельному весу предприятий.

Сравните полученную среднюю с п.1, поясните их расхождение.

3. Имеются данные о финансовых показателях предприятий фирмы за отчетный период (таблица №6):

Таблица 6

Предприятия

Получено прибыли, тыс.руб.

Рентабельность акционерного капитала, %

Удельный вес акционерного капитала в общем объеме, %

1512

5040

528

1320

1410

5640

Определите средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы, используя показатели:

а) гр.1 и гр. 2; в) гр.1 и гр.3;

б) гр.2 и гр. 3; г) гр.3 и гр.4.

Таблица 7

№ п/п

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.

Выпуск продукции, млн. руб.

Решение:

1. Для определения среднегодовой стоимости основных производственных фондов в расчете на одно предприятие воспользуемся формулой средней арифметической простой (т.к. имеются индивидуальные несгруппированные значения признака),

где x₁,x₂,…x_n - среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n – число предприятий.

=42 (млн.руб.),

где x₁=27,x₂=46,…x₃₀=28 - среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n =30 – число предприятий.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие равна 42 млн.руб.

2. Для построения статистического ряда распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением 4 групп найдем величину равного интервала:

Величина равного интервала определяется по формуле:

где x_maxи x_min– максимальное и минимальное значение признака, n – число групп.

где x_max=60, x_min=20 - максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.)

n=4 – группы предприятий.

Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака в группе получим следующие группы предприятий по значению среднегодовой стоимости основных производственных фондов (табл. 8)

Таблица 8

Ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

№ группы

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб.

число предприятий

удельный вес

центр интервала

20-30

0,167

30-40

0,267

40-50

0,333

50-60

0,233

Всего

а) По ряду распределения рассчитаем среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по числу предприятий (табл. 9):

Таблица 9

Ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

№ группы

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб.

число предприятий

центр интервала

x`f

20-30

125

30-40

280

40-50

450

50-60

385

Всего

1240

Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, выразим варианты одним (дискретным) числом, которое найдем как среднюю арифметическую простую из верхнего и нижнего значений интервала (центр интервала – x`).

; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их количество, - общее число предприятий.

=млн.руб.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по числу предприятий равна: 41,33 млн.руб.

б) По ряду распределения рассчитаем среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по удельному весу предприятий (табл.10):

Таблица 10

Ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

№ группы

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн.руб.

число предприятий

удельный вес

центр интервала

x`d

20-30

0,167

4,17

30-40

0,267

9,33

40-50

0,333

15,00

50-60

0,233

12,83

Всего

41,33

Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, в качестве весов используем относительную величину (d) (удельный вес):

; где - сумма произведений среднегодовой стоимости основных производственных фондов предприятий на их удельный вес, =1.

4,17+9,33+15+12,83 = 41,33 млн.руб.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака по удельному весу предприятий равна: 41,33 млн.руб.

При сравнении полученных в п.2 результатов средней с результатом, полученным в п.1 обнаруживаем небольшое расхождение, которое объясняется тем что в первом случае расчет проводился по формуле средней арифметической простой в расчете на одно предприятие, а во втором случае по формуле средней арифметической взвешенной по ряду распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением четырех групп (интервалов). Для вычислений мы использовали средние значения в интервале (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы.

Таблица 11

Предприятия

Получено прибыли, тыс.руб.

Акционерный капитал, тыс.руб.

Рентабельность акционерного капитала, %

Удельный вес акционерного капитала в общем объеме, %

М=xf

1512

5040

528

1320

1410

5640

а) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (табл.11) т.к. дано значение общего объема (М=xf), и частота (f),но нет сведений о значениях признака (вариант) (x).

,где - общая прибыль, - общий акционерный капитал.

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

б) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (табл.11) т.к. даны единичные значения признака (вариант) (x) и частота(f).

,где - сумма произведений акционерного капитала на его процент рентабельности, - общий акционерный капитал.

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

в) Расчет будем производить по формуле средней гармонической взвешенной (табл.11) т.к. дано значение общего объема (М=xf), но нет сведений о частотах (f). , т.е. Акционерный капитал = .

, где - общая прибыль, - общий акционерный капитал.

0,287 (28,7%)

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

г) Расчет будем производить по формуле средней арифметической взвешенной (таблица№11) т.к. даны единичные значения признака (вариант) (x) и относительная величина – удельный вес (d). , где - доля каждой частоты в общей сумме всех частот, (проценты заменим коэффициентами).

Средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы равен 28,7%.

При вычислении среднего процента рентабельности акционерного капитала фирмы, используя различные показатели, получаем один результат, что подтверждает правильность решения.

Аналитическая часть.

В данной части курсовой работы проведены аналитические исследования в области дифференциации заработной платы с использованием средних величин, на примере Республики Коми. Все используемые данные взяты за 2001г. В ходе исследования использовались такие программные продукты, как MS Word и MS Excel.

На начало 2001 г. в республике насчитывалось 2,7 тыс. крупных и средних предприятий, представивших данные о заработной плате, которая в январе в среднем составила 4,6 тыс. рублей. На этих предприятиях работало 375 тыс. человек, или три четверти занятого населения, или половина трудоспособного населения.

Данные статистических наблюдений сообщают информацию только о средней по предприятию заработной плате. Однако если взвесить среднюю заработную плату на численность работающих, то есть условно распространить среднюю зарплату по предприятию на каждого, работающего на этом предприятии, то можно проследить дифференциацию оплаты труда по предприятиям.

Оценить общую картину распределения значений заработной платы позволяет гистограмма (рис.1). Весь диапазон значений заработной платы от минимума до максимума делится на равные интервалы. Столбики представляют списочную численность работников с определенным значением заработной платы в данном интервале. Вдоль столбиков расположена кривая нормального распределения, имеющая длинный правый «хвост», что свидетельствует о неравномерном распределении показателя.

Рисунок 1. Встречаемость значений заработной платы

То есть небольшая численность работающих имеет довольно высокий (по сравнению с основной массой) уровень зарплаты, который распределился следующим образом:

Таблица 12. Распределение работающих по уровню заработной платы

Численность работающих, (человек)

В % к общей численности работающих

Кумулятивный (накапливаемый процент)

Всего работающих:

374603

100,0

В том числе с уровнем средней заработной платы на предприятии рублей:

до 1000

14758

3,9

1000-2000

90601

24,2

28,1

2000-3000

79002

21,1

49,2

3000-4000

41836

11,2

60,4

4000-5000

30869

8,2

68,6

5000-6000

25569

6,8

75,4

6000-8000

40199

86,1

8000-10000

23041

6,2

92,3

10000-14000

15558

4,2

96,5

Свыше 14000

13170

3,5

100,0

На рис. 2 приводится распределение работающих по уровню заработной платы в городах и районах (показатели ранжированного ряда).

Рисунок 2. Распределение работающих по уровню заработной платы

Условные обозначения:

г. Сыктывкар
г. Воркута
г. Вуктыл
г. Инта
г. Печора
г. Сосногорск
г. Усинск
г. Ухта
Ижемский р-н
Княжногостский р-н
Койгородский р-н
Корткеросский р-н
Прилузский р-н
Сыктывкарский р-н
Сысольский р-н
Троицко-печорский р-н
Удорский р-н
Усть-Вымский р-н
Усть-Куломский р-н
Усть-Цилемский р-н.

Граница, отделяющая нижнюю заштрихованную область - 25-й процентиль. Заработная плата четверти самых низкооплачиваемых работающих не превышает эту величину (в среднем по предприятиям - 1,9 тыс. рублей). Выше расположена медиана (в среднем - 3,1 тыс. рублей). Половина работников получает зарплату в пределах этой суммы. Три четверти работающих имеет зарплату, не превышающую величину 75-ro процентиля (в среднем по предприятиям он равен 5,9 тыс. рублей). В пределах верхней границы (в среднем по предприятиям- 12,2 тыс. рублей) получает заработную плату большинство работающих, за ней начинаются экстремальные значения, не отображенные на данной диаграмме. Экстремально высокие значения зарплаты начисляются 5% работников. Наибольшие из экстремальных значений приводятся в таблице 13:

Таблица 13. Размах величины средней заработной платы на предприятиях городов и районов

Количество предприятий

Средняя заработная плата, рублей.

Минимум

Медиана

Максимум

Размах

Максимум к минимуму, раз

Города:

Сыктывкар

447

102

2768

78501

771

Воркута

173

314

3125

17443

17129

Вуктыл

950

2544

19338

18388

Инта

117

403

2525

11200

10797

Печора

182

183

2227

21300

21117

116

Сосногорск

333

2588

12587

12253

Усинск

110

483

4447

26276

25792

Ухта

217

280

3143

19464

19184

Районы:

Ижемский

434

1936

7396

6962

Княжногостский

114

575

1814

10508

9933

Койгородский

317

2137

7500

7183

Корткеросский

124

293

1550

6311

6018

Прилузский

135

500

1640

6669

6169

Сыктывдинский

326

1823

12206

11880

Сысолский

320

1781

6600

6280

Троицко-Печорский

200

1953

6830

6630

Удорский

125

300

1767

11300

11000

Усть-Вымский

120

400

1817

9224

8824

Усть-Куломский

141

200

1694

7839

7639

Усть-Цилемский

262

1939

7065

6803

Размах между максимальными и минимальными значениями зарплаты чрезвычайно велик, особенно на предприятиях городов Сыктывкара, Печоры, Ухты, Воркуты, Усинска. Вместе с тем основная доля значений средней заработной платы довольно низкая (рис. 3):

Рисунок 3. Распределение предприятий по величине средней заработной платы по городам и районам.

Ящичковая диаграмма представляет ранжированный ряд значений заработной платы на предприятиях городов и районов. На всех ящичках значение медианы (жирная черта) смещено к низу, то есть ближе к минимальной величине заработной платы; в городах оно выше, чем в районах. Межквартильная широта (высота ящичка) показывает, насколько сильно различается уровень зарплаты у половины предприятий, находящихся в центре ранжированного ряда. Она несколько больше в городах (2-3 тыс.), ниже - в районах (1,2-2 тыс.). Экстремально высокие значения зарплаты на предприятиях городов начинаются с 6-10 тыс. рублей, районов - с 4-6 тыс.

Лишь города Усинск и Ухта выделяются большим разбросом значений средней зарплаты основной массы предприятий. Здесь больше межквартильная широта (соответственно 6,8 и 4,1 тыс. рублей) и выше граница экстремальных значений (с 19 и с 12 тыс.).

Величина средней заработной платы не превышала прожиточный минимум для трудоспособного населения (в среднем по республике он составил 1,9 тыс. рублей) более чем на трети предприятий, где была занята пятая часть работающих. Однако в большинстве районов эта доля была значительно выше (см. рис. 4):

Рисунок 4. Доля работающих со средней заработной платой меньше прожиточного минимума (в % к общей численности работающих в городе,районе)

Таким образом, наблюдается резкая дифференциация зарплаты в пределах городов и районов и между ними. Имеются экстремально высокие значения начисленной заработной платы, на порядок и более превышающие минимальные размеры заработной платы. При этом минимальные уровни зарплаты не представлены ни как выбросы, ни как экстремумы, то есть значения, явно отличающиеся от основной их массы. Напротив, основная доля работающих имеет довольно невысокий уровень зарплаты. Пятая часть из них получает заработную плату, не превышающую прожиточный минимум для трудоспособного населения, а в ряде районов - половина и более. Заработная плата половины работающих не превышает 3,1 тыс. рублей. Те, кто не относится ни к низко-, ни к высокооплачиваемым, получают в пределах 1,9-5,9 тыс. рублей. Меньшую, чем среднюю по республике заработную плату (4,6 тыс. рублей), имеют 66% работников.

Выявленные пропорции позволяют предположить, что уровень средней зарплаты несколько завышен, если оценивать основную массу работающих. Поэтому возникает необходимость применения альтернативных показателей, характеризующих среднее значение заработной платы.

Одним из них является медиана, величина которой приводилась выше (3,1 тыс. рублей).

Иногда для аналитических целей используется 5%-ное усеченное среднее. Оно вычисляется путем упорядочивания значений по возрастанию, отсечением (удалением) 5% значений от начала и от конца, а затем - вычислением обычного среднего для оставшихся значений. Как уже отмечалось, именно эта доля работающих на крупных и средних предприятиях получает зарплату с экстремально высокими значениями. То есть 5%-ное усеченное среднее - более корректный показатель. По республике он составил 4,1 тыс. рублей, что меньше средней зарплаты (4,6 тыс.), но больше медианы.

И все же традиционно в аналитической работе используется среднее. Поэтому актуальной становится задача корректного вычисления этого показателя, то есть с учетом того, что оценка среднего очень чувствительна к экстремальным значениям.

Вычисление среднего, сравнение групповых средних допустимо только для переменных с так называемым нормальным распределением. В существующей практике органами статистики среднее вычисляется без проверки характера распределения, хотя последнее может оказаться не похожим на нормальное. Это может привести к ошибочным выводам, особенно когда распределение значительно отклоняется от нормального. Плотность нормального распределения представляет симметричную кривую, в которой численности растут до максимума, а потом с такой же постепенностью убывают. Приведение данных к нормальному распределению заключается в преобразовании исходных данных - логарифмировании, возведении в степень, извлечении корня и т.п.

В нашем случае кривая нормального распределения несимметрична, имеет длинный «хвост», что видно на гистограмме (рис. 1). Для улучшения распределения показателя «заработная плата» использовалось возведение в степень. После этого было найдено среднее, 5%-ное усеченное среднее, медиана. Далее с ними были произведены вычисления, обратные проведенным преобразованиям. В результате были получены следующие значения:

Таблица 14. Показатели, характеризующие средний уровень заработной платы.

Заработная плата по республике, рублей

Среднее

5%-ное усеченное среднее

Медиана

До преобразования

4581

4044

3098

После преобразования

3349

3097

После преобразований значение медианы практически не изменилось, значения среднего и 5%-ного усеченного среднего сравнялись и гораздо меньше стали отличаться от медианы.

Таким образом, средняя заработная плата по крупным и средним предприятиям республики составила 4,6 тыс. рублей, однако для основной доли этих предприятий среднее намного ниже - 3,3 тыс. рублей.

Итак, в республике наблюдается существенная дифференциация уровней заработной платы, что отражает процесс расслоения общества по величине доходов. Применяемое в статистической практике среднее, вычисляемое без проверки характера распределения данных, испытывает влияние экстремальных значений и может искажать явления, происходящие в обществе. Значимость этого вывода имеет особую важность для показателей, характеризующих уровень жизни.

Заключение

В заключении подведем итоги. Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.

Список литературы:

Бестужев-Лада И.В. Мир нашего завтра, М.: «Мысль», 1998
Боярский А.Я., Громыко Г.Л. Общая теория статистики, М., 1995.
Гусаров В.М. Теория статистики. – М., 1998.
Российский статистический ежегодник. – М.:2002. – часть1
[1] Кетле А. Социальная физика или Опыт исследования о развитии человеческих способностей. Т. 1. Киев. – 1911. – С. 37.

Средние велиичины в экономическом анализе

Средние велиичины в экономическом анализе

Государственный Университет Управления

Кафедра Финансы и кредит

Курсовая работа

Похожие работы на - Средние велиичины в экономическом анализе