Топологические пространства
§1. Топологические
пространства
(предварительные сведения)
1.1.
Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y
топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y
называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в
пространстве Y, полный прообраз f –1(О)
открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и
отображения f: X→Y справедливо
следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F,
замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F)
замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y
является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y,
прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F
произвольное замкнутое в Y множество.
Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу
непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F)
замкнуто в Х.
Достаточность. Пусть для любого множества F,
замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое
в Y множество О. Тогда множество CO
будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно,
множество открыто
в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y,
полный прообраз открыт
в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое
пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на
два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О1 О2.
Определение 5. Пространство
Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х
разбито на два непустых открытых множества О1 и О2,
не имеющих общих точек, то О1 = CO2
и O2 = CO1.
Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое
пространство Х называется связным, если в нём одновременно
открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое
множество.
Определение 7. Множество
Н в топологическом пространстве Х называется связным, если
оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1) существуют непустые открытые множества О1
и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = Х;
(2) существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х;
(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство.
Из (1) следует (2).
Пусть О1 и О2 непустые открытые множества,
для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1 и F2 = СО2. Они
являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х.
Из (2) следует
(3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых
F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х. Рассмотрим
множество G = F1 Ì Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение
до замкнутого множества F2 (F1 = CF2).
Поэтому множество G = F1 является нетривиальным открыто-замкнутым
множеством в Х.
Из (3) следует
(4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое
множество в Х. Тогда множество Q = CG
тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х) =
Функция φ является непрерывной
и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их
соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует
(1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная
сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х = φ –1(М) = φ –1(А В) = φ –1(А) φ –1(В),
причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся
множества. В силу того, что функция φ непрерывная,
множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые
в Х и Х = О1 О2 . €
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых
множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1 F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в
объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.
Доказательство.
Пусть F1 и F2
дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1 F2. Тогда
М = (М ∩ F1) (M ∩ F2).
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М
связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых
множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда
М = М ∩ F1 Í F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных
открытых множеств О1 и О2 топологического
пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих
в объединение.
Теорема 1.5. Пусть
f : Х→Y непрерывное
отображение и f (X) = Y. Тогда
если Х связно, то Y связно.
Доказательство
от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных
множества
Y = O1 O2.
В силу того, что f
непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме
дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8.
Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие
этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество
А в топологическом пространстве Х называется компактным,
если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество
А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из
любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное
подпокрытие.
Теорема 1.7.
Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А
открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого
добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим
открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства
Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы
всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,
.
Очевидно, что множества образуют искомое конечное
подпокрытие множества А. €
Определение 10.
Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его
различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то
и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти
в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие
свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное
отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY
прообраз f –1(U) называется трубкой (над
U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над
точкой y).
Определение 11..
Непрерывное отображение f : Х→Y
называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность
Oy точки y, что трубка f –1(U) является
несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В
данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy,
т.к., если U = U1 U2, где U1,
U2 – непустые
дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y
) множества, то
f –1(U) = f
–1(U1) f –1(U2),
f –1(U1) ∩ f
–1(U2) = Æ,
т.е. f –1(U) несвязно
автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y
называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным
над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная
окрестность U Í Oy точки y, что трубка f
–1(U) связна.
Определение 13.
Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над
каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;
(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что
каждая трубка f –1(U) над окрестностью
U Í Oy точки у распадается
на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3) существует такая окрестность Oy
точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью
U Í Oy точки у распадается
на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное
открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что
для каждой трубки f –1(U) над
окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная
сюръективная функция φ : f
–1(U) ® {1, 2}.
f
–1(U) = О1 О2,
О1 ∩ О2 = Æ.
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U)
распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества.
Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U)
распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U)
распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует
нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует
нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2,
для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная
функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f –1(U) над некоторой
окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f
–1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U)
распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества.
Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что
отображение f несвязно
над точкой y Î Y. €
Определение 14. Отображение f : Х→Y
называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y Î Y, этого
отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные
и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g φ. Тогда, если отображение f связно
над точкой y Î Y (слой f –1(y) связен),
то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна.
Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного
множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) –
связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g
–1(y) несвязен над точкой y Î Y).
По условию, f = g φ, следовательно,
f –1(U) = (g φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).
Отсюда,
φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное
(слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно
над каждой точкой y Î
Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если
отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f –1(y) связен),
то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В
силу произвольности выбора точки y, заключаем, что
отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно
связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и
послойной связности
Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого
замкнутого множества F Í Х образ f (F)
является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yÎY, если для всякой окрестности О слоя
f –1(y) Ì Х
найдётся окрестность Oy
точки y, трубка над которой f –1(Oy)
содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей
замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y
замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yÎY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и
рассмотрим окрестность О множества f –1(y).
Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F)
замкнуто в Y и точка y Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает
таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY в
силу того, что точка y взята
произвольно.
Достаточность. Пусть непрерывное отображение f
замкнуто над каждой точкой yÎY.
Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y Î [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F).
Множество X \ F является
окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Æ
и поэтому точка y Ï [f (F)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f
замкнуто. €
Следующие утверждения указывают на
некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово
пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F,
замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный
образ f (F) компактного множества F будет компактен в
Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким
образом, отображение f является замкнутым.
Следствие 2.1. Биективное
непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово
пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу
предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f
–1 является непрерывным,
следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если
отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z
слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое
множество U¢ такое, что U = U¢ Z.
Множество O = U¢ (X \ Z)
будет окрестностью слоя f –1(y) .
Отображение f замкнутое над точкой y Î Y, поэтому найдётся такая
окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì O. Тогда g–1(Oy) Ì Z O = Z U¢ = U.
В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если
отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y.
Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y,
где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f | : f –1(T) ® T замкнуто над точкой y.
В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение g
тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и
некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что
O = O' f –1(T),
где О¢ – открытое в Х
множество. Так как отображение f замкнутое
над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y
точки y, что f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy
точки y, что Oy = Oy' T, и f –1(Oy) = g–1(Oy) Ì O' f –1(T) = О. Следовательно, отображение g будет
замкнуто над y Î Y.
Если отображение f
замкнутое над каждой точкой y,
то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.
Установим теперь связь между связными и
послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и
слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда
отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто
и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся
такие непустые открытые в f –1(y) множества О1 и О2,
что О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = f –1(y). Тогда в Х
существуют открытые множества Q1 и Q2
такие, что
O1 = Q1 f –1(y),
O2 = Q2 f
–1(y).
Рассмотрим замыкание этих множеств и
в Х. Их пересечение есть замкнутое множество, и F f –1(y) = Æ (т.к. О1
и О2 замкнутые в f –1(y), как
дополнения до открытых). Множество О = (Q1 Q2) \ F открыто в
Х, причём f –1(y) Ì О.
Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f ) найдётся такая окрестность Oy
точки y, что f –1(Oy) Ì О.
Пусть G1 = f –1(Oy) Q1 и G2 = f –1(Oy) Q2 – открытые в f –1(Oy) множества. Так как
Ì Х \ f –1(Oy),
то G1 ∩ G2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G1 G2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.
Пусть U Í Oy –
произвольная окрестность точки y. Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в
f –1(U), и непустые, т.к. О1 Ì и О2 Ì . Следовательно, для любой
окрестности U Í Oy трубка f –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда,
для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y.
Из установленного предложения автоматически
вытекает
Следствие 2.2. Пусть
отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и
связно над точкой y.
Тогда слой f –1(y) является
связным множеством. В частности, если f замкнутое и
связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение
2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и
предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy
точки y, что трубка f –1(U) является
несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:
f –1(U) = О1 О2, О1 ∩ О2 = Æ,
где О1 и О2 – непустые открытые в f –1(U) множества.
Слой f –1(y) связен и f –1(y) Ì f –1(U), отсюда, f –1(y) содержится
либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4).
Рассмотрим произвольную точку х1ÎО1. Образ этой точки f (x1) = y1 Ì U. По условию, слой f –1(y1) связен и f –1(y1) Ì О1 О2 = f –1(U). Поскольку
О1 ∩ О2 = Æ и х1ÎО1, следовательно (по теореме 1.4), f –1(y1) Ì О1. (Другими
словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О1, то и
весь слой принадлежит этому множеству.)
Отсюда, так как точка х1
произвольная, то О1 = f –1( f (O1)).
Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).
Отображение f
замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1) и f (O2) = g (O2) будут
непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O1) f (O2), т.е. окрестность U несвязна. Это
противоречит выбору окрестности U.
Для замкнутых отображений итоговую
взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в
форме следующей теоремы:
Теорема 2.3.
Замкнутое отображение f : X→Y
связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения
2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3
получаются такие следствия:
Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y
замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→Y
замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f –1(T) ® T является связным
тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Рассмотренные
здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для
построения примеров связных и несвязных отображений.
2.3. Связь между связностью пространств
и отображений
Пусть
пространство Y = {*}
– одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда
пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.
Этот факт
позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для
этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные
множества.
Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х Î [-1;1].
Отображение f связно тогда и только тогда, когда
слой f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём,
понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают,
поэтому отображение f является связным и послойно
связным.
Если
отображение f :
[-1;1] [2;3] ® R задано условием f (х) = 0 для любого х Î [-1;1] [2;3], то оно
несвязно (послойно несвязно) над точкой y = 0 в силу несвязности трубки (слоя) f –1(0) = [-1;1] [2;3].
В рассмотренных
примерах пространство Y является связным. Это
условие и условие связности отображения f оказались
необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более
того, имеет место
Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→Y
непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда,
когда пространство Y связное.
Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим,
что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые
дизъюнктные открытые множества О1 и О2, что
О1 О2 = Х. Допустим,
что найдётся точка y Î . Тогда
в любой окрестности слоя f –1(y) содержаться как точки множества О1,
так и точки множества О2. С другой стороны, f –1(y) Ì f –1(U), где
трубка f –1(U) является связным множеством (в силу связности отображения f над точкой y) и должна содержаться либо в О1,
либо в О2 (по теореме 1.4). Получили противоречие.
Следовательно,
= Æ,
т.е. и – непустые дизъюнктные замкнутые
множества. Но f (О1) f (О2) = Y, значит,
= f (О1) и
= f (О2),
т.е. эти множества
открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.
Таким образом, предположение о несвязности
топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать.
€
Другой связи
между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.
Примеры. Пусть отображение
f :
X→Y непрерывно. Если пространство
Х связно, то и его образ
f (
X) связен, но отображение
f не обязано быть связным. А именно, пусть
f :
R ® [0; + ¥], и
f (
х) =
х 2 для любого
х Î
R
(рис. 1). Расмотрим произвольную
точку
y Î (0; + ¥). Пусть окрестностью
точки
y является любой интервал
U = (
a;
b) Í (0; + ¥), содержащий эту точку. Тогда трубка
f –1(U) =
распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f –1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.
Можно привести
ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная
декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале
координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть prX : ω → [– b; b] – проекция этого кольца на ось Ox, где prX (x; y) = х Î [– b; b] для любой точки (x; y) Î ω. Возьмём произвольную точку х Î (– a; a) Ì [– b; b]. Для любой окрестности U Ì (– a; a) точки х трубка является несвязной, т.к. состоит из двух частей A и B (рис. 2).
Таким образом, проекция prX –
является несвязным отображением.
Может быть и наоборот, отображение
f
связное, а пространства
X и
Y – несвязные.
Пусть,
например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой f (х) = для любого х Î R \ {0} (рис. 3). Возьмём
произвольную точку y Î R \ {0}. Для любой окрестности Oy Ì R \ {0} точки y найдётся связная
окрестность U Í (0; + ¥) (или U Í (– ¥; 0)), трубка f –1(U) над которой
связна (т.к. f –1(U) содержит
часть ветви гиперболы или всю ветвь, которая связна и даже линейно связна).
Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1] [2; 3]. Рассмотрим
проекцию : X ´ Y ® Y (рис. 4), где prY (x; y) = y Î Y для любой точки (x; y) Î X ´ Y. Множества X ´ Y и Y являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу
теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).
Рассмотрим другие примеры связных
отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.
Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является
связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек
х, х¢ Î [a; b], где х £ х¢, выполняется
только одно из двух свойств: f (x) £ f (x¢ ) либо f (x) ³ f (x¢ ).
Доказательство. Необходимость. Функция f является
отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она
замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.
Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х1, х2,
х3 Î [a; b] и х1 < х2 < х3, для которых выполняется система неревенств:
.
Положим f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 и y3 ³ y1 (или y1 ³ y3). Тогда слой f –1(y3) является
связным замкнутым подмножеством прямой y = y3 (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном
значении функции, существует точка х¢ Î [x1; x2)
и f (x¢ ) = y3. В силу связности слоя f –1(y3), отрезок
[А ; В] (см.
рис. 5) должен целиком лежать в слое f –1(y3). Но точка
(x2; y2), где x¢ < x2 < x3, не принадлежит прямой y = y3, поэтому слой f –1(y3)
распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f –1(y3) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.
Достаточность. Предположим, что функция f не является
связной. Следовательно, f не является
послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y¢ Î R, что слой f –1(y¢) – несвязен, т.е. f –1(y¢) = О1 О2,
где О1 и О2 – непустые дизъюнктные
замкнутые в f –1(y¢) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x1 Î О1, x2 Î О2 и точка х, где
x1 < x < x2 и x Ï О1, x Ï О2, что
.
Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. ÿ
Данная теорема
утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо
невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт
обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде
нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков,
на каждом из которых функция f будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17. Пусть Х и Y – топологические
пространства с топологиями tХ и tY соответственно. Топологическим произведением этих пространств
называется множество X ´ Y с топологией tХ ´ Y, образованной семейством всех множеств вида
U ´ V = ,
и их всевозможных
объединений, где U Î tХ, V Î tY и : X ´ Y ® Х, : X ´ Y ® Y – это проекции,
причём (x; y) = x и (x; y) = y. Множества вида U ´ V = называются элементарными
(или базисными) открытыми множествами.
Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого
множества О Í Х образ f (О) является открытым множеством в Y.
Лемма 2.2. Проекции : X ´ Y ®Х и : X ´ Y ® Y являются
непрерывными открытыми отображениями.
Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества = G ´ Y по определению топологии
произведения открыт в X ´ Y. Тогда проекции и будут
непрерывными отображениями.
Пусть точка z Î X ´ Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность
точки
z, где
U – окрестность точки
,
V
– окрестность точки
. Точка
является
внутренней точкой множества
U, а значит и множества
. Аналогично, точка
– внутренняя точка множества
.
Следовательно, множества
и
открытые, и проекции
и
– открытые
отображения. ÿ
Лемма 2.3. Пусть
пространство Х является компактным. Тогда проекция : X ´ Y ® Y является
замкнутым отображением.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим слой = {(x; y): x Î X} = X ´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому
является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим
произвольную точку z = (x; y) слоя Ì X ´ Y и её элементарную окрестность
G ,
где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё
множество . Пусть –
это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное
открытое подпокрытие ,
причём Ì О,
которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть
U = ,
где Оi j = (Gi j). Тогда
Í Ì О,
т.е. проекция является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым
отображением. €
Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда
проекция : X ´ Y ® Y является связным отображением.
Доказательство.
Пусть х – произвольная фиксированная точка
пространства Х. Рассмотрим слой = = Y ´ {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y,
поэтому слой также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох
точки х, что трубка является
несвязной для всякой окрестности U Í Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую
связную окрестность U. Для неё найдутся
непустые открытые в множества О1
и О2, что О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится
либо в О1, либо в О2.
Рассмотрим произвольную точку w1 Î О1. Образ этой точки = х1 Ì U. Слой Ì О1 О2 = , и точка w1 принадлежит множеству О1
и слою , поэтому Ì О1
(т.к. О1 ∩ О2 = Æ). Поскольку w1 – произвольная точка множества О1,
то . Аналогично, .
Множества О1 и О2
дизъюнктные открытые в и – открытое отображение.
Следовательно, (O1) и (O2) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O1) (O2) = U.
Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит
выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому
проекция является связным отображением. €
Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ´ Y является связным множеством.
Доказательство. Предположим обратное.
Пусть множество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О1 О2, где О1 и О2
– непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y
множества.
Возьмём произвольную точку z Î О1.
Образ этой точки (z) = x. Слой Ì О1 О2 связен, и точка х Î О1,
следовательно, Ì О1 (так как О1 О2 = Æ). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О1
и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y, и отображение – открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные
открытые в Y и = Y. Это противоречит связности Y.
Доказательство можно
получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X ´ Y ® Y является связным и непрерывным
отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X ´ Y – связное множество.
Определение 19. Отображение f : X ® Y
называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое
топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в
топологическое произведение Y ´ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ´ F и)
f = prY i,
где prY : Y ´ F® Y – проекция на сомножитель Y.
Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.
Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно
отождествить с подотображением проекции prY : Y ´ F® Y. Пусть y Î Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность.
Предположим, что для любой связной окрестности U Í Oy точки у трубка f –1(U) несвязна. Положим f –1(U) = О1 О2,
где О1, О2 – непустые дизъюнктные открытые
в f –1(U) множества и U Í Oy – некоторая фиксированная связная
окрестность точки y.
Пусть х Î f –1(y). Тогда х Î О1 или х Î О2.
Допустим х Î О1. Найдётся такое открытое в Y ´ F множество G1, что О1 = G1 X. По определению топологии, в Y ´ F найдутся окрестность Vx Í U точки y и открытое в F множество W такие, что
х Î = Vx ´ W Í G1.
Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х Î f –1(y) Í О1.
Пусть х¢ – произвольная точка
из (Vx ´ W) Х.
Тогда х¢ Î О1 и
f –1(f (x¢ )) Í О1.
Следовательно, О1
содержит всякий слой f –1(y¢ ), где y¢ Î Vx (в силу послойной связности f ).
Таким образом, для каждой точки х Î О1
найдётся окрестность Vx Í U точки f (x),
что х Î f –1(Vx ) Í О1.
Поэтому
.
Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f –1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ´ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = Î Y и слой f –1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) Î X ´ Y, где х = , y = .
Тогда слой f –1(y) \ {z} – несвязное множество. Отображение f = prY при этом останется
связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f –1(U) – линейно
связна, следовательно, трубка f –1(U) – связна.
2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g
этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где
и
.
Из данного определения вытекает смысл
названия такого определения:
для любой точки y Î Y.
Таким образом, в силу следствия 2.5,
становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y
послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4.
Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x Î X
: f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X
найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Ì Х \ Т.
Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y1 Î Y, g(x) = y2 Î Y.
Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют
окрестности Оy1 точки y1 и
Оy2 точки y2 такие, что
Оy1 Оy2 = Æ.
{*}
Отображения f и
g – непрерывные, поэтому множества f –1(Oy1), g–1(Oy2) – открытые в Y и x Î f –1(Oy1), x Î g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1) g–1(Oy2) точки
х. Предположим, что Ох Т ≠ Æ, т.е.
существует такая точка х1 Î Ох, что f (x1) = g (x1) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy1, так и окрестности Oy2, что противоречит условию {*}. ÿ
Лемма 2.5. Если
пространства Х и Y компактные, то и их
произведение X ´ Y является компактным
множеством.
Доказательство. Пусть х –
произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω =
– открытое
покрытие пространства X ´ Y. Рассмотрим слой
= Y ´ {x}.
Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия
Ω(х) = Í Ω,
(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) = . Объединение
U(x) = (x) (**)
есть открытое множество, содержащее слой , и prX –
замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно,
существует такая окрестность Ох точки х, что Í U(x). Семейство {Оx: x Î X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω = образует конечное подпокрытие
пространства X ´ Y. ÿ
Теорема 2.10. Пусть
f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство. По определению послойного произведения, (, –
непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и .
Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z,
которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т
компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в
Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3,
отображение h = f ´ g
является связным. €
Следующая теорема указывает, в каком случае
отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её
доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым
множеством.
Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки
пространства X ´ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2
различны, следовательно, x1 ¹ x2 или y1 ¹ y2. Пусть y1 ¹ y2. Тогда, по определению хаусдорфова
пространства, в Y существуют такие
окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1 Oy2 = Æ. Проекция prY является непрерывным
отображением, поэтому множества и – открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z1 Î и z2 Î .
Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению.
Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y
компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h =
= f ´ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и
множество Т = {(x; y): fprX = iprY = prY}. По лемме 2.4,
множество Т замкнуто в X ´ Y.
Пусть (x1; y1) Î T – произвольная фиксированная
точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = fprX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) Î Т
выполняется неравенство prX (x1; y1) ¹ prX (x2; y2) при х1 ¹ х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как
замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X) Í X ´ Y (в
силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T ® X по
следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т Х, и f = prY. Тогда в качестве
топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1:
X ® T. Таким образом, множество d(Х) = Т
замкнуто в X ´ Y, и f = prYd.
Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно
пространству Х по определению.
Литература.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.:
«Наука»,1977.
2. Александров П.С. Геометрия.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной
геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты
топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство
«Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов
пединститута. – Киров, 1990.