Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины

Рис. 1
Решение

Рис. 2

Задача теплопроводности в пластине запишется в виде

(1)

(2)

(3)

где - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена , - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала

. (4)

Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.

Триангуляция.

Результат триангуляции представлен на рис.3.

Рис. 3

Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.

Метод конечных элементов

Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы

, (5)

где , A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках

. (6)

. (7)

Минимум функционала (4) находим из условия

(8)

Функционал можно представить в виде

(9)

Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.

Продифференцируем функционал (9):

Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .

В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.

В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и вектор будут определяться несколько различным образом.

Обозначим

Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений .

Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:

Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .

Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений

, (10)

, . (11)

Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:

· Вычисление разложения матрицы ().

· Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к большим отклонениям в решении.

· . .

Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Список литературы:

1. Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.

2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

3. Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Похожие работы на - Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине