Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач
механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана
уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) =(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных
осей Ox и Oy равны
моменты
инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и
Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс и — по формулам
где
l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции
относительно осей Ох
и
Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не
указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
◄ Имеем: Следовательно,
►
Пример 2. Найти координаты центра масс
дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄
Имеем:
Отсюда получаем:
►
В
приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской
кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна
произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности
вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности
равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении
физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь,
пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный
телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус
которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело
удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#),
действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом