Метод комплексных чисел в планиметрии

Предисловие

    В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».

    Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.

    Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.

§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.

    1.1. Коллинеарность векторов.

                                                                         (1.2)

    1.2. Коллинеарность трёх точек.

                                                                                            (1.3)

Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой.

                                                                                                   (1.5)

определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.

    1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов).

                                                        (1.7)

Уравнение касательной

                                                                                                   (1.8)

                                                                                                       (1.9)

    З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.

§ 2 Углы и площади

    2.1. Угол между векторами.

(2.1)

(2.2)

    2.2. Площадь треугольника

                                  (2.3)

    З а д а ч а 2. Основание D высоты CD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.

§ 3 Многоугольники

    3.1. Подобные треугольники.

                                          (3.1)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия.

                                          (3.2)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия.

    Если , то треугольники  и  равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников.

    3.2. Критерий правильного треугольника.

Треугольник ориентирован положительно:                                 

                                                                                                  (3.4)

Треугольник ориентирован отрицательно:                                  

                                                  (3.5)

3.3  Правильные многоугольники.

где k принимает значения . Все n значений имеют один и тот же модуль  

Корням уравнения

соответствуют вершины .

    З а д а ч а 3. Точки  симметричны точке Р, лежащей в плоскости треугольника ABC, относительно, соответственно, прямых AB, BC, CA. Точки  – середины отрезков  Докажите, что треугольники  и  подобны и противоположно ориентированы (рис. 5).

    З а д а ч а 4. На сторонах  и  выпуклого четырёхугольника  вне его построены правильные треугольники  и  а на сторонах  и  построены правильные треугольники  и  лежащие с четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых  и  соответственно. Докажите, что  –параллелограмм (рис. 6).

    З а д а ч а 5. Точка  делит сторону  правильного треугольника  в отношении 3:2 считая от точки . Точка  делит сторону  в отношении 3:14, считая от точки . Отрезки  и  пересекаются в точке. Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

    З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин  треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.

    З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности,  и

 – стороны вписанного в неё и описанного около

неё правильных n-угольников.  Докажите, что

 (рис. 9).

§ 4 Прямая и окружность

    4.1. Уравнение прямой.

                                                    (4.1)

Пусть коэффициенты a и b не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению:  которое а) имеет единственное решение при  б) имеет бесконечное множество решений при

    Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при  б) прямую при  в) пустое множество при

    4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение

                                                                                            (4.2)

где z – координата переменной точки окружности.

                                                (4.4)

Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда  и ab - c – действительное число. Отсюда , а значит, с должно быть действительным числом. Итак, уравнение

                                               (4.5)

    4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность  проходит через точки A, B, C. Тогда однородная линейная система

относительно  имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:

                                              (4.6)

Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.

    4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

    Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями:  где  и  где  Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы  или

                                             (4.7)

или

                                                      (4.8)

    З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB и CD. Найдите множество точек М, для каждой из которых площади треугольников MAB и MDC равны (рис. 10).

З а д а ч а 9.  На гипотенузе AB прямоугольного треугольника  ABC дана произвольная точка P. Докажите, что окружности, описанные около треугольников  APC  и BPC, ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С  данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В, P соответствуют комплексные числа 1, b, p, а центрам окружностей РАС и РВС числа  (рис. 11). По условию  или . Переходя к комплексным числам, получаем:  откуда .

    Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС:

или

После раскрытия определителя получаем:

или

откуда

    Из уравнения находим:

Аналогично, для окружности РAС имеем:

и

отсюда

Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы  Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:

    Таким образом, окружности РАС и РВС являются ортогональными.