Матрицы, Метод Гаусса
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации
управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ
А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент
СМИРНОВА А.И.
"МАТРИЦЫ. МЕТОД
ГАУССА"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 3
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2003г.
Протокол № ___________
Кострома, 2003
Cодержание
Введение
1. Действия над матрицами.
2. Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий
курс высшей математики,том I,
гл.2,§6, 7.
2. В.С. Щипачев, Высшая
математика, гл. 10, § 1, 7.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматривается понятие матрицы, действия
над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять
определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса
является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных
систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах
математики и в прикладных вопросах.
1-ый учебный
вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Прямоугольная
таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:
называется матрицей размера m ´ n
Числа, из которых
составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение
элемента аi j в матрице характеризуются
двойным индексом:
первый
i – номер строки;
второй
j – номер столбца, на
пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно
матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно
записывать так:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Матрица,
у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной.
Число строк (столбцов) квадратной
матрицы называется порядком матрицы.
ПРИМЕР.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы
будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и
ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты,
например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно
записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы
часто встречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
3. Матрица
размера 1
´ n, состоящая из одной
строки, называется матрицей –
строкой.
Матрица размера т ´ 1, состоящая из одного
столбца, называется матрицей – столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны
нулю.
Рассмотрим
квадратную матрицу порядка n:
побочная диагональ
главная диагональ
Диагональ
квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому
нижнему, называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали
стоят элементы вида а i i).
Диагональ, идущая
от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной
диагональю матрицы.
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1) Квадратная матрица
называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной
диагонали, равны нулю.
2) Диагональная матрица, у
которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной.
Обозначается:
3)
Квадратная
матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по
одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
верхняя нижняя
треугольная матрица треугольная матрица
Для квадратной матрицы вводится
понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из
элементов матрицы. Обозначается:
Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ.
Неквадратная матрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от
нуля, то матрица называется невырожденной, если определитель равен
нулю, то матрица называется вырожденной.
Матрицу,
транспонированную к А, обозначают АТ.
ПРИМЕР.
2 3
3 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы одного и того же
размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим действия над
матрицами.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц
одинакового размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.
Суммой двух матриц А = (аi j) и В = (bi j) одинакового размера называется матрица С = (сi j) того же размера, элементы
которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.
с i j = a i j + b i j
Обозначается
сумма матриц А + В.
ПРИМЕР.
УМНОЖЕНИЕ
МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.
Чтобы
умножить матрицу на число k, надо умножить на это число каждый элемент матрицы:
если А= (а i j ), то k · A= (k · a i j )
ПРИМЕР.
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ
МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО
1.
Переместительное свойство: А + В = В + А
2. Сочетательное
свойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С )
3.
Распределительное свойство: k · ( A + B ) = k A + k B, где k – число
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Матрицу А назовем
с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А
имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если
они одного порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.
Произведением
матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k, элемент которой аi j , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме
произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е.
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j
Обозначим: С
= А · В.
Если то
Произведение В
´ А не
имеет смысла, т.к. матрицы не согласованы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если
А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если
имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря
А ´ В ¹ В ´ А, т.е. умножение матриц не
обладает переместительным законом.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А –
квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.
Отсюда следует,
что единичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ. Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.
1.
Решение: Квадратные матрицы
одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А
´ В и В
´ А
существуют.
2.
Решение: Матрицы А
и В согласованы
Матрицы В и
А не согласованы, поэтому В ´ А не имеет смысла.
Отметим, что в
результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько
строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их
имеет матрица-множитель.
СВОЙСТВА
УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1. Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С
2. Распределительное свойство:
(А + В) ´ С = А ´ С + В ´С
Можно показать,
что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с
определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей
перемножаемых матриц, т.е.
½С½ = ½ А ½ ½ В ½
Отметим следующий
любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не
равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е.
произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль - матрице.
Действие
"деление" для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц
вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в
рекомендуемой литературе.
2 – ой учебный вопрос РЕШЕНИЕ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ГАУССА
Метод Гаусса (или метод последовательного исключения
неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число
неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.
Система т линейных уравнений с п
неизвестными имеет вид:
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или
правые части)
Система линейных
уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной,
если она не имеет решения.
Совместная
система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной,
если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные
системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество
решений.
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1. перемена местами двух любых
уравнений;
3. прибавление к обеим частям
одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения,
умноженных на любое действительное число.
Элементарные
преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.
Элементарные
преобразования системы используются в методе Гаусса.
Для простоты
рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
(
1 )
1-ый шаг
метода Гаусса.
На первом шаге
исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим
первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
( 2 )
где
Исключим х1
из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение
(2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21
и а31).
Система примет вид:
( 3 )
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о
коэффициентах первой преобразованной системы.
2-ой шаг
метода Гаусса.
На втором шаге
исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент .
Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3),
получим уравнение:
(
4 )
где
Из третьего
уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим
В результате
преобразований система приняла вид:
(5)
Система вида (5)
называется треугольной.
Процесс
приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым
ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных
из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого
найденное значение х3 подставляют во второе уравнение
системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3
подставляют в первое уравнение и находят х1.
В общем случае
для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся
аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из
всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.
Отсюда другое
называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.
Если в ходе
преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система
несовместна и решений не имеет.
В случае
совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой
ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет
приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная
система
имеет вид:
Такая система
имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного
хода метода гаусса.
Ступенчатая
система
имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы
найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными хk+1, … , xk переносят в правую часть.
Эти неизвестные называются свободными и придают им произвольные значения. Из
полученной треугольной системы находим х1, … , xk,
которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно
узнать в рекомендуемой литературе.
Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на
ЭВМ и является более экономичным (по числу действий), чем другие методы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным
инструментом для записи различных математических преобразований и широко
используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать
любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах
стандартных программ для ЭВМ.
доцент
Смирнова А.И.