Метод Зойтендейка

ГК и ВО России

НГТУ

Кафедра АСУ

Реферат на тему:

Метод Зойтендейка

Факультет:            АВТ

Группа:                  АС-513

Студент:               Ефименко Д.В.

Преподаватель:   Ренин С.В.

Новосибирск

1997

Содержание:

Введение                                                                                                   2

Случай линейных ограничений                                                           2

Геометрическая интерпретация возможного

направления спуска                                                                                2

Построение возможных направлений спуска                                     3

Задачи с нелинейными ограничениями-неравенствами                   9

Алгоритм метода Зойтендейка (случай нелинейных

ограничений-неравенств)                                                                       11

Учет нелинейных ограничений-равенств                                            14

Использование почти активных ограничений                                   15

Список литературы                                                                                18

Введение

Я хочу описать Вам метод возможных направлений Зойтендейка. На каждой итерации метода строится возможное направление спуска и затем проводится оптимизация вдоль этого направления.

Следующее определение вводит понятие возможного направления спуска.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условии, что хÍS, где f: Е_nàЕ₁, а S—непустое мно­жество из Е_n. Ненулевой вектор d называется возможным направлением в точке хÍS, если существует такое d>0, что х+lxÍS для всех lÍ(0,d). Вектор d называется возможным направлением спуска в точке xÍS, если существует такое d>0, что f(х+ld)<f(x) и х+ldÍS для всех lÍ(0, 6).

Случай линейных ограничений

Вначале рассмотрим случай, когда допустимая область S опре­делена системой линейных ограничений, так что рассматривае­мая задача имеет вид

минимизировать        f(х)

при условиях              Ах£b,

Ех=е.

Здесь А—матрица порядка m ´ n, Е—матрица порядка l ´ n, b есть m-мерный вектор, а е есть l-мерный вектор. В следующей лемме приводятся соответствующие характеристики допустимой области и формулируются достаточные условия для существо­вания возможного направления спуска. В частности, вектор d является возможным направлением спуска, если A₁d£0, Еd=0 и Ñf(х)^Td<0.

ЛЕММА. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условиях Ах£b и Ех=е. Пусть х—допустимая точка, и предположим, что А₁x=b₁ и А₂x<b₂, где   А^T=(А₁^T, А₂^T), а b^T=(b₁^T, b₂^T). Тогда ненулевой вектор и является возможным направлением в точке х в том и только в том случае, если A₁d£0 и Еd=0. Если, кроме того, Ñf(х)^Td<0, то d является возможным направлением спуска.

Геометрическая интерпретация возможного направления спуска

Проиллюстрируем теперь геометрически на примере множество возможных направлений спуска.

ПРИМЕР

Минимизировать при условиях

                                      (x₁-6)²+(x₂-2)²

                                      -x₁+2x₂£4

                                      3x₁+2x₂£12

                                      -x₁£0

                                      -x₂£0

Возьмем х=(2, 3)^T и заметим, что первые два ограничении являются активными в этой точке. В частности, матрица А₁ из леммы равна А₁=[^-1₃  ²₂]. Следовательно, вектор d является возможным направлением тогда и только тогда, когда А₁d£0, т.е. в том и только в том случае, если

-d₁+2d₂£0,

 3d₁+2d₂£0.

На рис. 1, где начало координат перенесено в точку х, изо­бражена совокупность этих направлений, образующая конус возможных направлений. Заметим, что если сдвинуться на не­большое расстояние от точки х вдоль любого вектора d, удов­летворяющего двум приведенным выше неравенствам, то оста­немся в допустимой области.

Если вектор d удовлетворяет неравенству 0>Ñf(х)^Td=-8d₁+2d₂, то он является направлением спуска. Таким образом, совокупность направлений спуска определяется открытым полупространством {(d₁,d₂}: -8d₁+2d₂<0}. Пересече­ние конуса возможных направлений с этим полупространством задает множество всех возможных направлений спуска.

Рис. 1. Возможные направления спуска, 1—конус возможных направле­ний: 2 — конус возможных направлений спуска; 3 — линии уровня целевой функции; 4 — полупространство направлений спуска.

Построение возможных направлений спуска

Пусть задана допустимая точка х. Как показано в лемме , ненулевой вектор и является возможным направлением спуска. Естественный подход к построению такого направления заключается в минимизации Ñf(х)^Td. Заметим, однако, что если существует вектор d, такой, что Ñf(х)^Td <0, А₁d£0, Еd= 0, то оптимальное значение целевой функции в сформу­лированной задаче равно — ¥ , так как ограничениям этой за­дачи удовлетворяет любой вектор ld, где l—сколь угодно большое число. Таким образом, в задачу должно быть включено условие, которое ограничивало бы вектор и или оптимальное значение целевой функции. Такое ограничение обычно называют нормирующим. Ниже приведены три задачи построения

возмож­ного направления спуска, В каждой из этих задач используются различные формы нормировки.

Задачи Р1 и РЗ являются задачами линейного программиро­вания и, следовательно, могут быть решены симплекс-методом. Задача Р2 содержит квадратичное ограничение, но может быть рассмотрена в несколько упрощенном виде. Так как d = 0 является допустимой точкой в каждой из приведен­ных выше задач и так как значение целевой функции в этой точке равно нулю, то ее оптимальное значение в задачах Р1, Р2 и РЗ не может быть положительным. Если минимальное значе­ние целевой функции в задачах Р1, Р2 или РЗ отрицательно, то по лемме построено возможное направление спуска. С другой стороны, если минимальное значение целевой функции равно нулю, то, как показано ниже, х является точкой Куна — Таккера.

ЛЕММА. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условиях Ах£b и Ех=е. Пусть х — допустимая точка, для которой А₁x=b и А₂x<b₂, где А^T=(А₁^T, А₂^T), а b^T=(b₁^T, b₂^T). Тогда х является точкой Куна—Таккера в том и только в том случае, если оптимальное значение целевой функции в задачах Р1, Р2 или РЗ равно нулю.

Доказательство. Вектор х является точкой Куна—Таккера тогда и только тогда, когда существуют векторы u³0 и v, такие, что                        . По следствию 2 из теоремы эта система разрешима в том и только в том случае, если система                                            не имеет решений, т. е. тогда и только тогда, когда оптимальное значение в задачаx Р1, Р2 или РЗ равно нулю.

Линейный поиск

Только что было показано, как строить возможное направление спуска или убедиться, что текущая точка удовлетворяет условиям Куна—Таккера. Пусть теперь х_k —текущая точка, а d_k-возможное направление спуска. В качестве следующей точки x_k+1 берется                      , где длина шага К& определяется из реше­ния следующей задачи одномерной минимизации:

Минимизировать

при условиях  

Предположим теперь, что А^T=(А₁^T, А₂^T), а b^T=(b₁^T, b₂^T), так что                 и                          . Тогда задачу одномерной мини­мизации можно упростить следующим образом. Во-первых, за­метим, что Ех_k=е и Еd_k=0, так что ограничение                            излишне. Так как                  и                                              для всех l³0. Таким образом, рассматриваемая задача приводится к следующей задаче линейного поиска;

                                      (1)

Алгоритм метода Зойтендейка (случай линейных ограничений)

Ниже приведен алгоритм метода Зойтендейка для минимизации дифференцируемой функции f при условии, что                                               .

Начальный этап. Найти начальную допустимую точку х₁, для которой                             . Положить k = 1 и перейти к основ­ному этапу.

Основной этап. Шаг 1. Пусть задан х_k. Предположим, что А^T=(А₁^T, А₂^T), а b^T=(b₁^T, b₂^T), так что                           . Взять в качестве d_k оптимальное решение следующей задачи (заметим, что вместо этой задачи можно использовать Р2 или РЗ):

Если                              , то остановиться; х_k—точка Куна—Таккера, В противном случае перейти к шагу 2.

Шаг 2. Положить         равным оптимальному решению еле-., дующей задачи линейного поиска:

где              определяется в соответствии с (1). Положить                      , определить новое множество активных ограниче­ний в       и переопределить А₁ и А₂. Заменить k на k+1 и перейти к шагу 1.

Заметим, что                                                              . Решим задачу методом Зойтендейка, взяв в качестве начальной точки            . Каждая итерация алгоритма содержит решение подзадачи, определенной в описании шага 1, для нахождения направления, а затем линейный поиск вдоль этого направления.

Итерация 1

Поиск направления. В точке                 имеем                                   . Кроме того, в точке x₁ активными являются толь­ко ограничения неотрицательности переменных, так что l = {3,4}. Задача для нахождения направления имеет вид

Рис. 2

Эту задачу можно решить симплекс методом для решения задач линейного программирования. На рисунке 2 показана допустимая область этой задачи.

Линейный поиск. Теперь, двигаясь из точки (0, 0) вдоль направления (1, 1), нужно найти точку, в которой значение це­левой функции                                                            минимально. Любая точка может быть записана в виде                        , а целевая функция в этой точке принимает вид                                               . Максимальное значение коэффициента l, для ко­торого точка                     допустима, вычисляется по формулам  и равно

Следовательно, если                   —новая точка, то значение         по­лучается из решения следующей задачи одномерной миними­зации:

минимизировать    —10+2

при условии         0£     £    .

Очевидно, что решением является              , так что

Итерация 2

Поиск, направления. В точке                          имеем                                                                                   .

Рис 3.

Кроме того, множество активных ограничений в точке х₂ равно l={2}, так что направление движения получается из решения следующей задачи:

минимизировать

при условии

Линейный поиск. При начальной точке х₂ любая точка в на­правлении d₂ может быть представлена в виде                               Соответствующее ей значение целевой функ­ции равно

Максимальное значение l для которого точка Х₂+ld₂ остается допустимой, определяется в соответствия с (1) следующим образом:

Таким образом, в качестве ^ берется оптимальное решение сле­дующей задачи:

минимизировать

при условии        

Оптимальным решением этой задачи является                    , так что

Рис 4.

Итерация 3

Поиск направления. В точке х₃=                             имеем                                    Кроме того, множество активных ограни­чений в точке х_з равно l = {2}, так что направление движения получается из решения следующей задачи:

Можно легко проверить по рис. 4. что                                       действительно является решением этой задачи ли­нейного программирования. Соответствующее значение целевой функции равно нулю, и процедура заканчивается. Более того, точка                             является точкой Куна—Таккера.

В этой конкретной задаче функция f выпукла, и по теореме 4.3.7 точка х является оптимальным решением.

Таблица 1

Результаты вычислений по методу Зойтендейка для случая линейных ограничений

Рис. 5. Поиск решения методом Зойтендейка (случай линейных ограничений).

В табл. 1 приведены результаты вычислений для рассмо­тренной задачи. На рис. 10.5 изображен процесс поиска решения в соответствии с описанным алгоритмом.

Задачи с нелинейными ограничениями-неравенствами

Теперь рассмотрим задачу, в которой допустимая область за­дается системой ограничений-неравенств не обязательно ли­нейных:

минимизировать    f(х)

при условиях      g_i (х)£0, i=1, ...,m.

В теореме формулируются достаточные условия, при которых вектор d является возможным направлением спуска.

 ТЕОРЕМА. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условиях g_i (х)£0, i=1, ...,m.. Пусть х—допустимая точка, а I—множество индексов активных в этой точке ограни­чений, т. е.                        . Предположим, кроме того, что функции f и g_i для                дифференцируемы в х, а функции g_i для             непрерывны в этой точке. Если                                                при            , то вектор d является возможным на­правлением спуска.

 

Рис. 6. Совокупность возможных направлений спуска в задаче с нелиней­ными ограничениями. 1— 1-е ограничение; 2—3-е ограничение; 3—4-е ограни­чение; 4— 2-е ограничение; 5— возможные направления спуска; 6— линии уровня целевой функции.

Доказательство. Пусть вектор и удовлетворяет неравенствам                      и                           при            . Для                     выполняются неравенства                  , и так как g_i непрерывны в точке х, то              для достаточно малых                 . В силу дифференцируемости функций g_i при         имеем

где              при            . Так как              , то                                 при достаточно малых       . Следовательно,                  при i = 1, . . .,m, т.е. точка             допустимая для достаточно малых положительных значений  . Аналогично из                       следует, что для достаточно малых  > 0 имеем                                                          . Следовательно, вектор и является возможным направлением спуска.

На рис. 6 показана совокупность возможных направлений спуска в точке х. Вектор d, удовлетворяющий равенству                         , является касательным к множеству                             в точке х. Поскольку функции g_i нелинейны, движение вдоль такого вектора d  может привести в недопустимую точку, что вы­нуждает нас требовать выполнения строгого неравенства              .

Чтобы найти вектор d, удовлетворяющий неравенствам                                           для        , естественно минимизи­ровать максимум из            и                 для           . Обозначим этот максимум через z. Вводя нормирующие ограничения                 Для каждого j, получим следующую задачу для нахождения направления.

Пусть (z, d)—оптимальное решение этой задачи линейного про­граммирования. Если z<0, то очевидно, что d—возможное направление спуска. Если же z = 0, то, как показано ниже, те­кущая точка является точкой Ф. Джона.

ТЕОРЕМА.. Рассмотрим задачу минимизации f(х) при условиях g_i(х)£0, i = 1,..., m. Пусть х—допустимая точка, а                            . Рассмотрим следующую задачу на­хождения направления:

Точка х является точкой Ф. Джона для исходной задачи тогда и только тогда, когда оптимальное значение целевой функции задачи поиска направления равно нулю.

Точка х является точкой Ф. Джона для исходной задачи тогда и только тогда, когда оптимальное значение целевой функции задачи поиска направления равно нулю.

Доказательство. Оптимальное значение целевой функции в сформулированной задаче нахождения направления равно нулю в том и только в том случае, если система неравенств                                         при             не имеет решения. По теореме  для того, чтобы эта система не имела решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа u_o и u_i,              , что

Это и есть условие Ф. Джона.

Алгоритм метода Зойтендейка (случай нелинейных ограничений-неравенств)

Начальный этап. Выбрать начальную точку х₁, для которой g_i(x_i)£0 при i= 1, ..., m. Положить k= 1 и перейти к ос­новному этапу.

Основной этап. Шаг 1. Положить                            и ре­шить следующую задачу:

Пусть (z_k, d_k) — оптимальное решение. Если z_k=0, то остано­виться; x_k является точкой Ф. Джона. Если z_k < 0, то перейти к шагу 2.

Шаг 2. Взять в качестве ^ оптимальное решение следующей задачи одномерной минимизации:

где.                                                                                Положить                                       . заменить k на k+1 и перейти к шагу 1.

ПРИМЕР. Рассмотрим задачу

Решим эту задачу методом Зойтендейка. Начнем процесс из точки                       .Отметим, что

Итерация 1

Поиск направления. В точке х₁ = (0.00, 0.75)^T имеем                                 а множество индексов активных ограничений есть I= {3}. При этом                            Задача нахождения направления имеет вид

Можно легко проверить, используя симплекс-метод, что оптимальным решением этой задачи является вектор

Линейный поиск. Любая точка по направлению d₁== (1.00, —1.00)^T из точки x_i = (0.00, 0.75)^T может быть представлена в виде                                                    ,а соответствующее ей значение целевой функции равно                                            . Макси­мальное значение  , для которого             остается допустимой точкой, равно     == 0.414. При этом значении  l активным ста­новится ограничение               . Значение l получается из решения следующей задачи одномерной минимизации:

 минимизировать   6l²—2.5l—3.375

при условии       0£l£0.414

Оптимальное значение равно l₁= 0.2083. Следовательно, х₂ = (x₁ +l₁d₁) -(0.2083,0.5417)^T.

Итерация 2

Поиск направления. В точке x₂= (0.2083, 0.5417)^T имеем (х₂)=(—4,2500, —4.2500)^T Активных ограничений в этой точке нет, и поэтому задача определения направления имеет вид

минимизировать     z

при условиях      —4.25d₁—4.25d₂—z£0,

-1<d₁<1, j=1,2.

Оптимальным решением является вектор d₂=(1, 1)^T, а z₂ = -8.50.

Линейный поиск. Можно легко проверить, что мак­симальное l, при котором точка x₂+ld₂ допустима, равно l_max == 0.3472. При этом активным становится ограничение               . Значение l₂ получается минимизацией                                           при условии                          и, оче­видно, равно l₂ = 0.3472, так что х_з = х₂ +l₂d₂ = (0.5555, 0.8889)^T.

Итерация 3

Поиск направления. В точке x_з= (0,5555, 0.8889)^T имеем (х_з)=(—3.5558, —3.5554)", а множество индексов активных ограничений есть I ={1}. Задача определения направления имеет вид

Оптимальным решением является вектор                                                           .

Линейный поиск. Максимальное значение l при котором точка x_з + ld_з допустима, равно l_max = 0,09245. При этом l ак­тивным становится ограничение                    . Значение l₃ полу­чается минимизацией                                                                                при условии                0,09245. Оптимальным решением этой за­дачи является   l₃ = 0.09245, так что                     = (0.6479, 0.8397)^T.

Итерация 4

Поиск, направления. Для точки х₄= (0.6479, 0.8397)^T имеем         =(— 3.0878, —3.9370)^ а I={2}. Задача определения направления имеет вид

Оптимальным решением этой задачи является вектор d₄ = (-0.5171, 1.0000)^T и z₄=— 2.340.

Линейный поиск. Максимальное значение К, для которого точка х₄ +ld₄ допустима, равно l_mах= 0.0343. При этом огра­ничение       становится активным. Значение l₄ полу­чается  минимизацией  f(x₄+ ld₄) == 3,569l²— 2.340l —6.4681 при условии                и равно l₄= 0.0343. Следовательно, новой точкой является x₅==x₄ + l₄d₄ = (0.6302, 0.8740)^T. Значе­ние целевой функции в этой точке равно -6.5443, т. е. сравняю со значением —6.5590 в оптимальной точке (0.658872, 0.808226)^T .

В табл. 2 приведены результаты вычислений на первых четырех итерациях метода. На рис. 7 показан процесс поиска оптимума.

Таблица 2

Рис 7

 

Учет нелинейных ограничений-равенств

Метод возможных направлений может быть модифицирован на случай, когда имеются нелинейные ограничения-равенства. Для иллюстрации обратимся к рис. 8, который отвечает единствен­ному ограничению-равенству. Для заданной допустимой точки х_k, в этом случае не существует ненулевого направления d, та­кого, что                    при             для некоторого положи­тельного d. Это затруднение можно преодолеть, если двигаться вдоль касательного направления d_k, для которого                  , а затем скорректировать движение и возвратиться в до­пустимую область.

Рис. 8. Нелинейные ограничения-равенства. 1—касательное направление; 2 — корректирующее движение в допустимую область.

Чтобы быть более точным, рассмотрим следующую задачу:

минимизировать    f(х)

 при условиях             g_i(х)£0, i= 1,..., m,

          h_i(х)=0, i=1, ...,i.

Пусть x_k—допустимая точка и l= {i. g_i(х_k)==0}. Решим сле­дующую задачу линейного программирования:

Искомое направление d_k является касательным к ограниче­ниям-равенствам и к некоторым активным нелинейным ограни­чениям-неравенствам. Линейный поиск вдоль d_k н последующее возвращение в допустимую область приводят в точку х_k+1, после чего процесс повторяется.

Рис. 9. Использование почти активных ограничений. 1 — оптимальное решение; 2— линии уровня целевой функции; 3—1-е ограничение; 4— 2-е ограничение.

Использование почти активных ограничений

Напомним задачу определения направления как для случая ли­нейных, так и нелинейных ограничений-неравенств. Если задан­ная точка близка к границе, определяемой одним из ограниче­ний, и если это ограничение не используется в процессе нахож­дения направления движения, то может случиться так, что удастся сделать только маленький шаг и мы окажемся на гра­нице, определяемой этим ограничением. На рис. 9 в точке х активным является только первое ограничение. Однако точка х близка к границе, определяемой вторым ограничением. Если множество I в задаче определения направления задать в виде I= {1}, то оптимальным будет направление d и до выхода на границу допустимой области можно сделать только маленький шаг. Если же в множество активных ограничений включить оба ограничения, т. е. положить I={1, 2), то решение задачи Р

определения направления даст вектор и, который обеспечивает большие возможности для движения в рамках допустимой об­ласти. Таким образом, это наводит на мысль о том, что в ка­честве множества I следует брать совокупность индексов почти активных ограничений. Точнее, вместо множества {i: g_i(х)=0} в качестве I следует брать множество {i, g_i(х)+е³0}, где е>0—достаточно малое число. Метод возможных направлений не обязательно сходится к точке Ф. Джона. Это

следует из того, что соответствующее алгоритмическое отображение незамкнуто. При более формальном использовании введённого здесь понятия почти активного ограничения можно установить замкнутость алгоритмического отображения и, следовательно, сходимость общего алгоритма.

Список литературы:

1.   М. Базара, К. Шеттл «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы» М.: Мир 1982

2.   Д. Химмельблау «Прикладное нелинейное программирование» М.: Мир 1975