Оптимальный раскрой плитных материалов на заготовки

Оптимальный раскрой плитных материалов на заготовки

Министерство образования Российской Федерации

Сибирский государственный технологический университет

Факультет Механической технологии древесины

Кафедра деталей машин

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ ПЛИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

НА ЗАГОТОВКИ

Курсовой проект

(ТД.КП.01.11.00.000.ПЗ)

Руководитель:

________________Огурцов В. В.

                 ^{(подпись)}

___________________________

                ^{(оценка, дата)}   

Разработал:

студент группы 44-1

________________ Иванов И. А.

                      ^{(подпись)}

Задание

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Составить оптимальный план раскроя ДСтП размером 3500 1750 мм (ГОСТ 10632-89) на заготовки для изготовления 1000 шт.

Таблица 1 - Спецификация заготовок на одно изделие

Исходные данные:

1.   Размеры (длина и ширина) подлежащих раскрою плит l_0* h₀.

2.   Размеры заготовок l_i* h_i

3.   Количество комплектов.

Требуется:

1.   Разработать оптимальные схемы раскроя (карты раскроя) имеющихся в наличии плит на заготовки.

2.   Определить оптимальное количество плит, которое следует распиливать по каждой оптимальной схеме (карте) раскроя для получения заданного количества заготовок.

3.   Определить полезный выход заготовок.

4.   Разработать технологическую схему участка раскроя плит на заготовки.

Содержание

Реферат-----------------------------------------------------------------------------------4

Введение----------------------------------------------------------------------------------5

Расчет-------------------------------------------------------------------------------------6

Технологические характеристики оборудования для раскроя плит---28

Технологическая схема--------------------------------------------------------------4

Реферат

Целью данного курсового проекта является поиск наилучшего решения при определенной цели и заданных условиях, то есть оптимальный раскрой плитных материалов на заготовки.

Решение оптимизационных задач состоит из следующих этапов:

1. Постановка оптимизационной задачи, предусматривающая определение цели функционирования рассматриваемого объекта, управляемых и неуправляемых параметров, условий и ограничений.

2. Построение математической модели оптимизационной задачи, состоящей из целевой функции и ограничений.

3. Определение оптимального решения задачи.

4. Анализ полученных результатов.

1. Введение

Данный курсовой проект представляет собой поиск оптимального решения, целью которого является снижение количества раскраиваемых листов ДСтП, с целью получения заготовок, входящих в комплект. Расчет ведется с помощью двух методов, а именно: Метод ветвей и границ (программа ODNRAS), и симплекс метод  (программа SIMPL).

Исходные данные.

1. Размеры древесностружечных плит 3500*1750 мм.

2. Спецификация заготовок для производства одного шкафа (одного комплекта) представлена в таблице 2.

3. Количество комплектов – 1000 шт.

Таблица 2 – Спецификация заготовок

Расчет

1.1 Начальные карты раскроя.

Начальные карты раскроя можно составлять как для индивидуального, так и для группового раскроя. Для уменьшения ручной работы рекомендуется предусматривать индивидуальный раскрой, при котором из плиты вырабатываются заготовки одного типоразмера (рисунок 1.1).

1.2 Начальный план выхода заготовок

Карта раскроя №1                                                              Карта раскроя №2

   ПВ₁=70,04%                                                               ПВ₂=74,94%

Карта раскроя №3                                                         Карта раскроя №4

ПВ₃=83,66%                                                                              ПВ₄=76,19%

Карта раскроя №5

ПВ₅=87,43%

ПВ₁, ПВ₂,…, ПВ₅ – полезный выход заготовок (показывает долю площади плиты, которую занимают заготовки),

Рисунок 1,1 – Начальные карты раскроя

1.3 Математическая модель задачи.

Для составления математической модели задачи введем обозначения:

x_j – количество плит раскраиваемых по j-q карте раскроя, шт. ;

K_ij – количество заготовок i-uj вида получаемых по j-й начальной карте раскроя, шт.;

b_i – количество заготовок i-го вида, необходимое для получения заданного количества комплектов, шт.

Тогда математическая модель задачи будет иметь следующий общий вид:

          i=1,m    x_j≥0

где n – количество начальных карт, шт;

      m – число типоразмеров заготовок.

С учетом исходных данных, приведенных в таблице 1.2, математическая модель задачи будет иметь вид:

F=X₁+ X₂+ X₃+ X₄+ X₅→min

                                                                                    (1.2)

Отсюда X₁=1000/6=166,66; X₂=4000/12=333,33; X₃=1000/35=28.57;

               X₄=2000/30=66.67; X₅=2000/21=95,24; F=690.47;

X₁=167; X₂=334; X₃=29; X₄=67; X₅=96; F=693

Результаты решения нельзя считать оптимальными, поскольку они не предусматривают многовариантность получения заготовок. Для нахождения конкурирующих карт раскроя перейдем к двойственной задаче.

3.4. Постановка двойственной задачи

Используя математическую модель задачи (формула 1.2) и правила перехода от прямой задачи к двойственной (1.3) получим следующую двойственную задачу:

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

где Y₁, Y₂, Y₃, Y₄, Y₅ – двойственные оценки, показывающие долю площади плиты, которую занимает соответствующая заготовка без учета отходов.

В данном случае значения двойственных оценок  определяются непосредственно:

Y₁=1/6=0.166;   Y₂=1/12=0.083;

Y₃=1/35=0.029; Y₄=1/30=1/30=0.033;                            F_min=f_max=690.47;

Y₅=1/21=0.048;

Полученные двойственные оценки заготовок используются далее в качестве схем раскроя: чем больше суммарная двойственная оценка, тем лучше карта раскроя.

1.4  Генерирование карты раскроя №6

Для генерирования карты раскроя №6 составляем таблицу возможных ширин прямоугольных полос, получаемых из плиты продольными сквозными резами на первом этапе раскроя.

Таблица 1.2 – ширина полос

Для определения оптимальной схемы раскроя полос на заготовки решаем задачу следующего вида:

 (целые),

где R_i – оценка полосы i-го вида,

Y_i - оценка i-й заготовки;

 - количество i-х заготовок в данной полосе, шт.;

l_i - длина i-й заготовки, мм;

l₀ - длина плиты, мм;

Расчет схем раскроя полос на заготовки ведем методом ветвей и границ с помощью ЭВМ по стандартной процедуре "ODNRAS". Результаты расчета сводим в таблицу  1.4 (графы 6,7,8).

После нахождения схем раскроя возможных полос на заготовки находим схему раскроя плит на полосы, решая следующую оптимизационную задачу:

≥ 0 (целые),

где γ_i оценка карты i-г вида;

- количество i-х полос в карте раскроя, шт.;

h_i – ширина i-й полосы, мм;

h₀ – ширина плиты, мм;

k – количество типоразмеров полос, шт.

Расчет схем раскроя плиты на полосы ведем методом ветвей и границ с помощью ЭВМ по стандартной программе "ODNRAS". Результаты расчета сводим в таблицу 1.4 (графы 9,10,11).

Таблица 1.6 – результаты расчета карты раскроя №6

В данном случае оценка карты №6 γ₆=1,268>1, поэтому включаем в план раскроя. Вычерчиваем карту раскроя, используя 9,2,6,4 таблицы 1.4 (рисунок 2.2)

                         Карта раскроя №6

                              ПВ₆=93,03%

Этой карте соответствует ограничение двойственной задачи

5Y₁+6Y₃+8Y₄≤1

1.6. Уточнение двойственных оценок в связи с введением дополнительной карты №6

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,147; Y₂=0.083; Y₃=0.001; Y₄=0.033; Y₅=0.048; Y₆=0.120; Y₈=1.000;

f_max=641.905;

Вытесняем карту №1 и №3.

1.7. Генерирование карты раскроя №7

Таблица 1.7 – результаты расчета карты раскроя №7

                    Карта раскроя №7

                       ПВ₇=92,81% 

                  Ограничение двойственной задачи карте раскроя №7

3Y₁+6Y₂+8Y₄≤1

1.8. Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №7

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №4, №5, №6, №7.

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,078; Y₂=0.083; Y₃=0.057; Y₄=0.033; Y₅=0.048; f_max=630.425;

1.9. Генерирование карты раскроя №8

Таблица 1.8 – результаты расчета карты раскроя №8

Карта раскроя №8

ПВ₈=95,61%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №8

40Y₃≤1

1.10 Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №8

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №4, №5, №6, №7,№8.

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,167; Y₂=0.083; Y₃=0.025; Y₄=0.001; Y₅=0.048; Y₇=1.000; Y₉=0.017;

f_max=620.238;

Вытесняем карту №4 и №6

1.11. Генерирование карты раскроя №9

Таблица 1.9 – результаты расчета карты раскроя №9

                  Карта раскроя №9

                       ПВ₉=93,31% 

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №9

3Y₁+4Y₂+8Y₅≤1

1.12 Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №8

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №5, №7,№8, №9.

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,095; Y₂=0.083; Y₃=0.025; Y₄=0.027; Y₅=0.048;

f_max=602.381;

1.13. Генерирование карты раскроя №10

Таблица 1.10 – результаты расчета карты раскроя №10

                  Карта раскроя №10

                       ПВ₁₀=91,28%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №10

10Y₂+11Y₃+Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,095; Y₂=0.083; Y₃=0.013; Y₄=0.027; Y₅=0.048; Y₉=0.491;

f_max=590.097;

Вытесняем карту №8

1.14. Генерирование карты раскроя №11

Таблица 1.11 – результаты расчета карты раскроя №11

                  Карта раскроя №11

                       ПВ₁₁=82,56%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №11

12Y₂+3Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,105; Y₂=0.076; Y₃=0.019; Y₄=0.029; Y₅=0.048; Y₆=0.086; f_max=580.952;

Вытесняем карту №2

1.15. Генерирование карты раскроя №12

Таблица 1.12 – результаты расчета карты раскроя №12

                  Карта раскроя №12

                       ПВ₁₂=89,84%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №12

3Y₂+28Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,107; Y₂=0.076; Y₃=0.019; Y₄=0.028; Y₅=0.047; Y₆=0.021;

f_max=580.067;

Вытесняем карту №5

1.16. Генерирование карты раскроя №13

Таблица 1.13 – результаты расчета карты раскроя №13

                 Карта раскроя №13

                       ПВ₁₃=87,43%

                  Ограничение двойственной задачи карте раскроя №13

6Y₂+12Y₅≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₀=0.051;

f_max=578.477;

Вытесняем карту №12

1.17. Генерирование карты раскроя №14

Таблица 1.14 – результаты расчета карты раскроя №14             

                    Карта раскроя №14

                       ПВ₁₄=92,65%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №14

9Y₂+11Y₃+4Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₁=0.000; f_max=578.477;

1.18. Генерирование карты раскроя №15

Таблица 1.15 – результаты расчета карты раскроя №15

                  Карта раскроя №15

                       ПВ₁₅=92,65%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №15

9Y₂+11Y₃+4Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₁=0.000; f_max=578.477;

1.19. Генерирование карты раскроя №16

Таблица 1.16 – результаты расчета карты раскроя №16

                  Карта раскроя №16

                       ПВ₁₄=92,65%

9Y₂+11Y₃+4Y₄≤1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅→max;

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045;

f_max=578.477;

Карты повторились, прекращаем генерирование

Определение оптимального количества плит, которое следует раскраивать по

каждой оптимальной карте раскроя.

После того как были найдены оптимальные карты раскроя, необходимо определить какое количество плит следует раскраивать по каждой карте, чтобы получить заданное количество заготовок при минимальном расходе плит.

Для решения этой задачи переходим от двойственной задачи линейного программирования к прямой:

F= X₁+ X₂+ X₃+ X₄+ X₅→min

X₁=213,287; X₂=120.047; X₃=90.909; X₄=67.599; X₅=86.636; F=578.477;

Округляем в сторону увеличения, найденные значения X₁, X₂, X₃, X₄, X₅.

В результате получаем:

X₁=214; X₂=121; X₃=91; X₄=68; X₅=87; F=581.

Это значит, что для получения заданного количества заготовок (для изготовления 1000 изделий) следует раскроить:

214 плит по карте раскроя №7

121 плиту по карте раскроя №9

91 плиту по карте раскроя №10

68 плит по карте раскроя №11

87 плит по карте раскроя №13

Всего необходимо раскроить 581 плиту.

Таблица 2.1 – Выход заготовок

                        Анализ результатов расчета

Сравним начальные и оптимальные карты раскроя.

Для получения необходимого количества заготовок с помощью начальных карт, следует раскраивать 693 плиты, а с помощью оптимальных карт 581 плиту. В результате экономится 112 плит.

где ПВ_j – полезный выход соответствующей j-й карте раскроя %.                                 

      X_j – количество плит, раскраиваемых по j-й карте раскроя, шт.

В результате получаем:        

по начальным картам

по оптимальным картам

2. Технологические характеристики оборудования для раскроя плит.

Технологическая схема участка раскроя плит на заготовки

Технологическая схема разрабатывается на основе полученных карт раскроя с учетом технических характеристик оборудования, представленных в разделе 4, и рекомендаций по организации участков деревообрабатываю­щих производств [7,9, 11, 12].

В рассмотренном примере для реализации карт раскроя древесност­ружечных плит на загото-

вки выбираем однопильный форматно-раскроечный станок ТМ-150. Основные данные станка.

Наибольшие размеры раскраиваемого мате­риала, мм:

длина                                                  5500

ширина                                               1860

толщина                                              120

Диаметр пилы, мм                                      500

Производительность, м³/ч                          10-12

Габаритные размеры станка, мм:

длина                                                  7050

ширина                                               4200

высота                                                2300

Мощность электродвигателя пилы, кВт    5,5

Схема участка раскроя ДСтП на заготовки представлена на рисунке 3.8.

1 - конвейер продольный Г86.13; 2 - тележка траверсная ТТ-1; 3 - подающий стол; 4 - форматно-обрезной станок ТМ-150; 5 - портал; 6 - суппорт станка; 7 - секция роликового конвейера неприводного; 8 — тележка рельсовая неприводная с поворотной платформой Г86.60

Рисунок 3 - Участок раскроя ДСтП на заготовки

Участок раскроя плит на заготовки функционирует следующим обра­зом: стопа древесностружечных плит подается с промежуточного склада 1 на участок раскроя на заготовки с помощью приводной траверсной тележки 2, установленной на рельсовом пути. Подлежащий раскрою пакет плит посред­ством подающего стола 3 укладывается на стол станка 4. С помощью при­водных ремней пакет плит базируется кромками относительно упоров и фик­сируется пневматическими прижимами. По направляющим стола перемеща­ется портал 5, имеющий собственные направляющие, по которым перемеща­ется суппорт 6, несущий механизм подъема и фиксированного поворота пи­лы. По окончании раскроя пакета плит включаются транспортные ленты сто­ла и заготовки перемещаются на участок разгрузки, который оборудован на­польными неприводными секциями роликового конвейера 7. Накопленные заготовки с помощью поворотной тележки 8 передаются на участок шлифо­вания плит.

Заключение

В настоящее время существуют множество программ по оптимальному раскрою листов на заданные заготовки, но тем не менее не редко в Интернете можно встретить вопросы о том, как оптимально раскроить лист на заданные заготовки. При этом в ответах таким людям пишут, что знания по оптимальному раскрою листов на заданные заготовки инженеры хранят в секретах и в принципе делиться этим, они не торопятся. Тем не менее, приведенный выше расчет показал, что раскраивать заданный лист на заготовки с такими размерами не целесообразно, поскольку необходимо, чтобы число полезного выхода из раскраиваемого материала составляло не менее 92%. Тем не менее, если мы получили заказ, состоящей именно из такой спецификации, и исправлять линейные размеры заготовок нам запрещено, то оптимальным раскроем плитных материалов на заготовки, будет являться тот выход, который был получен в результате расчета.