Методы решения дифференциальных уравнений
Контрольная работа
Методы решения дифференциальных
уравнений
Содержание
Введение
1. Теоретическая часть
1.1 Методы Рунге - Кутты
1.2 Аппроксимация МНК
1.3 Метод золотого сечения
1.4 Метод прямоугольников
2. Расчетная часть
Заключение
Список литературы
Введение
Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной
функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же
точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию,
ее производные и независимые переменные. Решить дифференциальное уравнение не
просто. Есть большое число способов их решения.
1.
Теоретическая часть
1.1 Методы
Рунге - Кутты
Методы Рунге-Кутты - важное семейство численных алгоритмов решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
<#"878203.files/image001.gif">
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по
итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где h - величина шага сетки по x
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная
ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O (h4)
(ошибка на каждом шаге порядка O (h5)).
.2
Аппроксимация МНК
Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного
анализа
<#"878203.files/image007.gif">. Тогда для того, чтобы найти определённое
значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть
это будет минимум
<#"878203.files/image008.gif"> и такие, что:
<#"878203.files/image011.gif">,
где - пропорция золотого сечения
<#"878203.files/image013.gif">
То есть точка делит отрезок в отношении золотого сечения. Аналогично делит отрезок в той же пропорции. Это свойство и
используется для построения итеративного процесса.
1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка и точность .
2. Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления:
3. и значения в них целевой функции
<#"878203.files/image019.gif">.
§ Если (для поиска max изменить
неравенство на ), то
§ Иначе .
4. Шаг 3.
§ Если , то и останов.
§ Иначе возврат к шагу 2.
1.4 Метод
прямоугольников
Метод прямоугольников - метод численного интегрирования <#"878203.files/image026.gif"> является элементарным и не подвергается
дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по
В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше
формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя
соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы
1. Для левых прямоугольников:
. Для правых прямоугольников:
Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке
можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически,
либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной
точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять
среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых
прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле
трапеций
<#"878203.files/image031.gif">
Рисунок 1-полученные значения
. Составим Блок-схему алгоритма программы
Рисунок 2 - Блок-схема алгоритма
Заключение
Освоение методов решения дифференциальных уравнений, в ходе
выполнения курсовой работы, позволяет проводить различные вычислительные
операции, которые упрощают вычисления.
Метод Рунге-Кутты позволяет вычислить дифференциальное
уравнение за короткое время. Удобен в работе.
Аппроксимация МНК достаточно трудоемко в использовании.
Метод золотого сечения очень прост в использовании, легок к
восприятию.
Метод наименьших квадратов прост в использовании, имеет не
очень высокую точность.
Данные методы были реализованы на языке высокого уровня программирования
PASCAL.
Список
литературы
1.
Демидович Б.П., Марон Дифференциальное исчисление 2010г.
.
И.А., Шувалова Э.З. "Численные методы анализа", М.: "Наука"
2012г.
3.
<http://rsc-team.ru/>
.
http://pascal. proweb. kz <http://pascal.proweb.kz/>