Распределение вероятностей экономических факторов
Задача1
Предприятие состоит из трех независимо
работающих подразделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной
работы в течение времени t соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Найти
вероятность того, что в течение времени t рентабельными будут: а) все
подразделения, б) два подразделения.
Решение.
Пусть событие Аi
- “i -ое подразделение
рентабельно в течении времени t”
Тогда
а) Найдем вероятность того, что в
течении времени t будут рентабельны все подразделения
(событие А).
б) Найдем вероятность того, что в
течении времени t будут рентабельны два подразделения
(событие В).
Так как все три события являются
независимыми, то искомая вероятность равна
Ответ: а) 0,336,
б) 0,452
Задача 2
Задана плотность распределения
вероятностей f( x)
непрерывной случайной величины Х. Требуется:
1) определить коэффициент А
) найти функцию распределения F(x)
) схематично построить графики F(x) и
f(x)
) найти математическое ожидание и
дисперсию Х
) найти вероятность того, что Х примет
значение из интервала (2 , 3)
Решение.
) Определим коэффициент А из
условия:
т е. .
Плотность распределения примет вид
) Найдем функцию распределения :
) если , то ;
) если , то ;
) если , то
Следовательно
4) Построим графики функций F(x)
и f(x)
4) Вычислим ,
Дисперсию вычислим по формуле
(X) = M(X 2) - M 2(X), где
) Найдем вероятность того, что Х
примет значение из интервала (2;3)
Ответ: 1) 2) 4)
5)
Задача 3
Заданы математическое ожидание а = 3
и среднеквадратическое отклонение σ = 2 нормально
распределенной случайной величины. Требуется
) написать плотность распределения
вероятностей f(x) и
схематично построить ее график;
) найти вероятность того, что Х
примет значение из интервала (2; 8)
Решение.
) Непрерывная случайная величина Х
имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ, если ее
плотность вероятности имеет вид
Построим график f(x)
) Вероятность того, что Х примет
значение из интервала (2;8) найдем по формуле
Ответ: ,
Задача 4
Производится некоторый опыт, в котором
случайное событие А может появиться с вероятностью р. Опыт повторяют в
неизменных условиях n раз.
n = 900; p = 0,5.
Определить вероятность того, что в 900 опытах событие А произойдёт в
большинстве опытов.
Решение.
Необходимо найти вероятность того,
что событие произойдёт не менее, чем в 451 опыте из 900. Воспользуемся
интегральной теоремой Лапласа:
, где
,
Подставляя в формулу данные задачи,
получаем:
Ответ: 0,4721
Задача 5
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
x9
|
x10
|
7,1
|
6,3
|
6,2
|
5,8
|
7,7
|
6,8
|
6,7
|
5,9
|
5,7
|
5,1
|
Решение.
Поскольку в задаче имеется выборка малого
объема, применим распределение Стьюдента.
Необходимо построить доверительный интервал для
оценки математического ожидания а при неизвестном значении
среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной
совокупности.
Требуется отыскать такое число , для
которого верно равенство
В этой формуле
- выборочное среднее- стандартное
(среднеквадратическое) отклонение- математическое ожидание- объем выборки
(нашем случае 10)
- величина, в сумме с доверительной
вероятностью дающая 1 (в данном случае 0,05)
Величину (в нашем
случае) находим по
таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.
Находим выборочное среднее как
среднее арифметическое
Рассчитаем среднеквадратическое
отклонение через исправленную выборочную дисперсию:
Тогда
Получаем:
вероятность
распределение среднеквадратический отклонение
Истинное значение случайной величины
лежит в доверительном интервале (5,79; 6,87) с доверительной вероятностью 0,95.
Ответ: (5,79; 6,87)
Задача 6
Отдел технического контроля проверил
n = 1000 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных
деталей в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице,
в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной
партии, а в другой строке - количество ni партий, содержащих xi нестандартных
изделий.
Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить
гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной
партии) распределена по закону Пуассона.
xi012345
|
|
|
|
|
|
|
|
1000
|
ni
|
403
|
370
|
167
|
46
|
12
|
2
|
Решение.
Находим выборочную среднюю
В качестве оценки параметра λ
распределения Пуассона
выберем полученное значение
выборочного среднего λ = 0,9 .
Расчет теоретических частот ведем по
формуле
Расчетная таблица значений:
xi
|
ni
|
P(xi)
|
n∙ti
|
ni - n∙ti
|
(ni - n∙ti)2
|
(ni - n∙ti)2/
n∙ti
|
0
|
403
|
0,408
|
-5
|
25
|
0,061
|
1
|
370
|
0,367
|
367
|
3
|
9
|
0,024
|
2
|
167
|
0,164
|
164
|
3
|
9
|
0,055
|
3
|
46
|
0,048
|
48
|
-2
|
4
|
0,083
|
4
|
12
|
0,011
|
11
|
1
|
1
|
0,091
|
5
|
2
|
0,002
|
2
|
0
|
0
|
0
|
Сумма
|
1000
|
1
|
|
|
|
0,314
|
Получили:
Число степеней свободы k = s - r -
1, т.к. проверяется гипотеза о распределении Пуассона (т.е. проверяется один
параметр), то r = 1, k = s - 2 = 4 (s = 6)
По таблице получаем:
Та как , то
гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона может
быть принята.
Ответ: гипотеза может быть принята.