Использование искусственной неизотропности пространства в событийном моделировании
Введение
неизотропность блуждание частица
Законы механики основываются на однородности
времени, однородности и изотропности пространства [1]. Рассмотрим в качестве
модели ящик с перегородкой, заполненный молекулами газа. Перегородка
реализуется как энергетический барьер .
Внесем в закон движения асимметрию. Будем считать, что действие барьера
справедливо только для тех частиц, которые подлетают с одной стороны. Если же
частица подлетает с другой стороны, то барьер действует противоположным
образом: частица отражается от барьера, если величина ее скорости превышает
предельное значение. Эта конструкция эквивалентна рассмотренной Максвеллом и
приведшей его к понятию «демона» [2]. Технический прием, заключающийся во
введение в рассмотрение неизотропности пространства, позволяет моделировать
большое количество физических явлений.
Неизотропность
и блуждание частицы в ячейках
Пусть вдоль числовой оси расположены
одинаковые ячейки цилиндрической формы с образующими, параллельными оси .
Торцевые границы ячеек перпендикулярны оси .
Номер нижней границы отождествим с номером ячейки. Частица - материальная
точка, движущаяся со скоростью , параллельной оси .
При движении вверх с вероятностью частица
из ячейки с номером переходит в ячейку
с номером без изменения
скорости и с вероятностью отражается. При
достижении нижней границы она с вероятностью переходит
в ячейку с номером и
с вероятностью
отражается.
Переходы можно представить в виде графа цепи Маркова [3] (рис.1).
Рис. 1 Граф цепи Маркова переходов из ячейки в
ячейку; в фигурных скобках - номер состояния
Финальные вероятности таковы:
,
(1)
Тогда для частиц, блуждающих независимо,
справедливо соотношение:
,
.(2)
Сравним с зависимостью количества молекул покоящегося
газа в единице объема от высоты , которая
описывается формулой Больцмана [4]:
,
(3)
где −
плотность на нулевой высоте, − масса
молекулы,
− ускорение свободного падения, −
постоянная Больцмана, −
температура.
При
:
.
Итак, предположение о неизотропности
пространства приводит к модели цепи Маркова.
Событийное
моделирование двумерного одноатомного газа
Рассмотрим точек,
случайно распределенных в рабочей области, представляющей собой прямоугольник с
вершинами (1, 1), (, 1), (,
),
(1, ).
Для каждой из модельных частиц с центрами в выбранных точках постулируются два
типа событий: столкновение с другой частицей; пересечение центром частицы
участка границы той ячейки, которой принадлежит рассматриваемая частица [5-8].
Каждое из указанных событий не приводит к изменению суммарной энергии. Энтропии
в
отдельных ячейках задаются выражением:
.
(4)
Энтропия в каждой ячейке при отсутствии
коллективного движения зависит только от плотности:,
.
Отсюда следует, что суммарная энтропия в стационарном состоянии не
отличается от энтропии в начальном состоянии ,
как и энтропия , приходящаяся на
одну молекулу:
Если диаметр модельных сфер близок к единице
(т.е. длине ребра ячейки), то формула Больцмана несправедлива. Однако с помощью
событийного моделирования можно численно получить распределение плотности
сильно сжатого газа из твердых сфер в однородном поле, что или затруднительно,
или невозможно выполнить, основываясь на континуальном представлении.
Имитационное
моделирование вихревого движения в газе
Предположим, модельные частицы в рассмотренной
схеме могут принадлежать к одному из двух типов. При столкновении с нижней
границей рабочей области частица первого типа становится частицей второго типа,
при столкновении частицы второго типа с верхней границей она приобретает тип 1.
Частицы первого типа за счет искусственной неизотропности притягиваются к
нижней границе, второго - к верхней. Возникающие вихревые структуры имеют
универсальную форму при одинаковых длинах свободного пробега, зависящих от
общего количества модельных частиц и их радиусов [5-9]. Поле скоростей
приведено на рис. 2.
Рис. 2 Вихревые структуры при конвективной
неустойчивости
Событийное
моделирование самоорганизации графена
Графен - плоский кристалл, образованный атомами
углерода. Каждый атом ковалентно связан силами притяжения не более чем с тремя
соседними. Ввиду перестройки электронного облака возникают силы отталкивания
между «соседями соседей» (или соседями второго порядка). Радиус действия сил
отталкивания превышает радиус действия сил притяжения (рис.3). Модельные частицы
1 и 2, 1 и 3, 1 и 4 - это соседи первого порядка; расстояния dist(ance)
между их центрами не может превышать величины .
Частицы 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4 - соседи второго порядка [10, 11]. Внутренние
барьеры обладают свойством непроницаемости изнутри; внешние барьеры
непроницаемы снаружи. Непроницаемость изнутри обеспечивает возникновение
связанности. (рис. 4). Должно быть также учтено, что узлы в соответствующем
графе не должны быть более чем трехвалентными. Конечность высоты внутреннего
барьера дополнительно позволяет моделировать разрывы связей с ростом
температуры.
Рис. 3 Потенциальные барьеры для соседей первого
и второго порядков
Рис. 4 Фрагмент самоорганизации графеноподобной
структуры, как результат применения событийного моделирования при наличии
односторонней проницаемости внутренних барьеров
Уточнение
модели фильтрации
В работах [6,12] приведен пример событийного
моделирования процесса прохождения рабочего вещества совместно с включениями
сквозь фильтр. Однако не учитывалось «прилипание» включений к элементам
фильтра. Это явление чрезвычайно сложно формализовать, если не использовать
свойство полупроницаемости.
Пусть в окрестности элемента фильтра ячейкам
сетки придано свойство полупроницаемости границ. Если модельная частица
расположена в ячейке, то вероятность преодоления каждого из участков ее границы
изнутри положим равной величине, меньшей единицы. Варьируя этой вероятностью и
количеством ячеек с полупроницаемыми границами, можно учесть тот или иной
уровень «прилипания» - от нулевого до полного закрепления. Преодоление границы
извне происходит беспрепятственно. На рис. 5 приведен пример фрагмента участка
2D фильтра с
областями прилипания [10,11]. Вершины ячеек квадратной сетки, границам которых
приписаны меньшие единицы вероятности проникновения наружу, - отмечены точками.
Рис. 5 Фрагмент участка фильтра с областями
прилипания
Включения представлены линейными структурами с
односторонне проницаемыми барьерами между соседними модельными частицами и
отталкивательными барьерами между соседями второго порядка; максимальная
валентность равняется двум (рис. 6).
Рис. 6 Модель линейных включений с двумя видами
асимметрично проницаемых барьеров
Выводы
и заключение
Литература:
.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика - М.: «Наука», 1965.
- 204 с.
.
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике - М.: Мир,
1990. - 240 с.
.
Карлин С. Основы теории случайных процессов -
М.: Мир, 1971. -
536
с.
.
Телеснин Р.В. Молекулярная физика − М.: Высш.шк.,
1965. − 298 с.
.
Чернышев Ю.К. Применение теории систем для алгоритмизации прямого
математического моделирования течения газа // Двигатели внутреннего сгорания. -
2004. - № 2. - С. 44-47.
6. Чернышев Ю.К. Решение задач имитационного моделирования
поведения большого количества модельных частиц - Х.: ХАИ, 2006. - 58 с.
7. Чернышев Ю.К. Событийное программирование. Применение к решению некоторых задач физики - Х.: ХАИ, 2008. - 68 с.
8.
Rapaport D.C. The Art of Molecular Dynamics
Simulation - Cambridg - 2005. - 549 pp.
9.
Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа - М.: Мир, 1986. - 184 с.
10.
Chernyshev Y.C, Sokolov O.Y. Event-driven
simulation of join behavior of objects with complex form // MS’10, Prague,
22-25 June 2010. - PS34, 4 pp.