Потрійний інтеграл
ПОТРІЙНИЙ
ІНТЕГРАЛ
1. Поняття
потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови
потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та
подвійного інтеграла.
Нехай функція визначена в обмеженій
замкненій області . Розіб'ємо
область сіткою
поверхонь на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких
дорівнюють . У кожній
частині візьмемо
довільну точку і
утворимо суму
,(1)
яка називається інтегральною
сумою для функції за
областю . Нехай – найбільший з діаметрів областей .
Якщо інтегральна
сума (1) при має
скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним
інтегралом і позначається одним із таких символів:
або .
Таким чином, за
означенням
,(2)
де – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; і – змінні інтегрування; (або ) – елемент об'єму.
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною
густиною в точці , то маса цього тіла знаходиться за формулою
. (3)
Формула (3)
аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного
інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає
формула для обчислення об'єму тіла :
.(4)
Потрійний
інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний
простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла,
тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і
короткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровності
функції). Якщо функція неперервна
в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.
Властивості
потрійних інтегралів.
1. Сталий множник
можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний
інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних
інтегралів від доданків:
.
3. Якщо в області
інтегрування , то
.
4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і , то
.
5. (Адитивність
потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
6. (Оцінка
потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то
,
де і відповідно найменше і найбільше значення
функції в області .
7. (Середнє
значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує
така точка , що
.
Величина
називається середнім
значенням функції в області .
2. Обчислення
потрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтеграла
зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній
окремо.
Нехай область обмежена знизу і зверху
поверхнями і , а з боків циліндричною
поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .
Рисунок 1 – Область
Якщо при цьому
область є правильною,
то область називається
правильною у напрямі осі .
Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі , перетинає межу області у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а точку – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо
відповідно через і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула
.(5)
Зміст формули (5)
такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною , вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є
апліката точки входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо
функцію від змінних та .
Якщо область , наприклад, обмежена
кривими і , де і – неперервні функції, тобто
, то, переходячи від подвійного
інтеграла до
повторного (п. 1.3), отримаємо формулу
,(6)
яка зводить
обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених
інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні і у правій частині формули (6) за певних умов
можна міняти місцями.
Якщо, наприклад,
область правильна в
напрямі осі :
,
де – неперервні функції, то
.
Зокрема, якщо
областю інтегрування є паралелепіпед:
,
то
. (7)
У цьому разі
інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох
координатних осей .
3. Заміна
змінних в потрійному інтегралі
Заміну змінної в
потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена
область взаємно
однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних
функцій , , , якобіан в області не дорівнює нулю:
і – неперервна в , то справедлива формула
. (8)
На практиці
найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від
прямокутних координат до
циліндричних (рис.4, а),
пов'язаних з співвідношеннями
;
,
якобіан
перетворення
.
З формули (8) отримуємо
потрійний інтеграл у циліндричних координатах:
.(9)
Назва
«циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є циліндром, прямолінійні
твірні якого паралельні осі .
(рис. 4, б), які
пов'язані з формулами
Рисунок 4 –
Координати: а) циліндричні; б) сферичні
;
,
якобіан
перетворення
.
З формули (8)
знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
. (10)
Назва «сферичні
координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла
в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування
знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових
координат. При цьому рівняння поверхонь та , які обмежують область , записують у нових координатах.
Зокрема, якщо
область обмежена
циліндричною поверхнею та
площинами , то всі
межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:
і не змінюються
при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку,
коли – куля: або кульове кільце.
Наприклад, якщо –
кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних
координатах має вигляд
або
,
звідки . Аналогічно – рівняння зовнішньої сфери, тому
.
У випадку, коли – куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних
рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат,
дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної
функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише
після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.
Приклад
1. Обчислити
інтеграл , якщо
область обмежена
поверхнями і .
Розв’язання
Область є конусом (рис. 5).
Рисунок 5 – Область
Рівняння конічної
поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді , а саму область подати таким чином: , де – круг радіуса з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до
послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:
.
Проте зручніше
перейти до циліндричних координат . Тоді прообраз круга є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області – область . Якобіан переходу до циліндричних
координат дорівнює ,
підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за
областю до
послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо
Зазначимо, що
розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують,
розглядаючи не область , а зміну циліндричних координат в
області . Наочно видно, що в області змінна змінюється від до , при кожному значенні змінна змінюється від до , а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області ) до (значення на конічній поверхні).
4. Деякі
застосування потрійного інтеграла
інтеграл
потрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщо
деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю , що має об'єм , то згідно з формулою
(4)
.(11)
Застосування у
механіці. Нехай – обмежена замкнена область
простору , яку займає
деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді:
а)маса цього тіла
;(12)
б)моменти інерції
тіла відносно
координатних осей відповідно
дорівнюють
. (13)
Моменти інерції тіла відносно координатних
площин обчислюються
за формулами
.(14)
Момент інерції
тіла відносно початку координат
(15)
в) статичні
моменти тіла відносно
координатних площин обчислюються
за формулами
;(16)
г) координати центра маси тіла
визначаються за формулами
. (17)
Доведення формули
(11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
.