Значения
переменных
|
входные
|
выходные
|
|
a
|
b
|
c
|
e
|
g
|
Исходное
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Промежуточное
|
2
|
2
|
0
|
2
|
2
|
Окончательное
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Таким образом, результат расчета по выходным
переменным e и g
показывает наличие статистического риска сбоя.
Задача №2. Анализ цифровых схем по
методу простой итерации и событийному методу
Задание: выполнить
анализ заданной схемы по методу простой итерации и событийному методу для
заданного изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
Заданный вариант изменения вектора входных
переменных:
X=(a,b,c,d,e)
меняет свое значение с 00100 на 11101
Решение:
Для выполнения анализа схемы необходимо
разработать ее синхронную модель в двоичной логике. Математическая модель
заданной схемы имеет вид:
Для
реализации анализа по методу простой итерации необходимо задать начальное
приближение для вектора выходных переменных Y0=(f,g,h,p,q). Для
расчета начальных приближений вектора выходных переменных воспользуемся
начальным значением вектора входных переменных X=(a,b,c,d,e)=(00100),
предварительно расположив уравнения в порядке прохождения сигналов по схеме:
Y0=(f,g,h,p,q)=(
1,0,1,1,1).
Метод
простой итерации состоит
в выполнении итераций по формуле:
Yi=y (Yi-1,
X),
где
Yi - значение вектора Y на i-й
итерации, т.е. при вычислении Y1 в правые
части уравнений модели поставляются значения выходных переменных из начального
приближения Y0, при
вычислении Y2 - значения
из результата первой итерации Y1 и так далее.
Если Yi=Yi-1, то решение найдено; если
Yi¹Yi-1, то
выполняется новая итерация; если итерационный процесс не сходится, то это
свидетельствует об ошибках проектирования схемы устройства, вызывающих
неустойчивость его состояния.
Результат
анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 3.
Таблица
3
№
итерации
|
Начальное
приближение Y0
|
|
g
|
p
|
f
|
h
|
q
|
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
1
2
|
0
0
|
1
1
|
0
0
|
1
1
|
1 1
|
|
Из таблицы 3 видно, что потребовалось два раза
обращаться к каждому из пети уравнений модели, прежде чем результат второй
итерации, совпадающий с результатом первой итерации, показал, что решение
найдено.
Таким образом, искомое значение вектора выходных
переменных при изменении X=(a,b,c,d,е)
с 00100 на 11101 для заданной схемы равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,1,1).
При использовании событийного метода
вычисления на каждой итерации выполняются только по уравнениям активизированных
элементов, т.е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло
событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на
каждом шаге вычислительного процесса имеется своя группа активизированных
элементов.
В заданном варианте изменения вектора входных
переменных изменяются только значения переменных а, b
и е, следовательно, на первой итерации при реализации событийного
алгоритма анализа должны быть пересчитаны только выходные переменные f
и h, в правые
части уравнений которых входят аргументами b
и d. Если по
результатам вычисления значения f
и h совпадут с
начальным приближением, то решение будет найдено, если хотя бы одна из этих
переменных изменится, то на второй итерации должны быть пересчитаны те выходные
переменных, в правые части уравнений которых входят изменившиеся в результате
первой итерации переменные. Процесс продолжается до тех пор, пока в результате
очередной итерации значения рассчитываемых переменных не совпадут с их
предыдущими значениями, т.е. до выполнения условия Yi=Yi-1.
Результат анализа заданной схемы по методу
простой итерации приведен в таблице 4.
Таблица 4
№
итерации
|
Начальное
приближение Y0
|
Изменяющиеся
переменные
|
Активизированные
уравнения
|
|
e
|
g
|
p
|
f
|
h
|
q
|
|
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|
|
0
1 2 3 4 5 6
|
0
|
0
1
|
1
1 0
|
1
0
|
0
1 1
|
b,
d f g h q p -
|
4
и 5 2 5 6 3 6 -
|
Результат
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
Как видно из таблицы 4, на 6-ой итерации
результат расчета переменной q
совпал с ее предыдущим значением, следовательно решение найдено.
Таким образом, искомое значение вектора выходных
переменных при изменении X=(a,b,c,d)
с 0110 на 0011 при расчете по событийному методу для заданной схемы совпадает с
результатом анализа по методу простой итерации и равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,0,0,1).
Однако, при вычислении по методу простой
итерации, потребовалось на каждой итерации вычислять все выходные переменные,
т.е. объем вычислений составил 6×6=36 операций. Тот
же результат при использовании событийного метода потребовал значительно
меньшего объема вычислений, а именно выполнения 8 операций. Таким образом,
трудоемкость событийного метода значительно меньше.
Задача №3. Анализ цифровых схем по
методам Зейделя
Задание: выполнить
анализ заданной схемы по методам Зейделя для заданного изменения вектора входных
переменных.
Исходные данные:
Схема:
Заданный вариант изменения вектора входных
переменных:
X=(a,b,c,d,e)
меняет свое значение с 00100 на 11101
Математическая модель заданной схемы имеет вид:
При
реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов
вектора Yi в правую часть уравнений системы там, где это
возможно, подставляются не элементы вектора Yi-1, а те
элементы вектора Yi, которые уже вычислены к данному моменту,
т.е. итерации выполняются по формуле: Yi=y (Yi,Yi-1,
X).
Результат
вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного
порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось
значение начального приближения вектора выходных переменных Y0, полученное
в задаче 2.
Таблица
5
№
итерации
|
Начальное
приближение Y0
|
|
g
|
p
|
f
|
h
|
q
|
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
1
2
|
0
0
|
1
1
|
0
0
|
1
1
|
1 1
|
|
Задача №4. Моделирование аналоговых
схем (метод узловых потенциалов)
Цель: освоение
метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Задание: для
заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с
использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь»,
записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме;
в виде системы уравнений по законам Кирхгофа.
Решение:
В методе узловых потенциалов в вектор базисных
координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла,
принимаемого за опорный. Топологические уравнения - это уравнения закона токов
Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений
ветвей U с вектором узловых потенциалов:
A×I=0;
ATj+U=0,
где А - матрица «узел-ветвь»; AT
- транспонированная матрица «узел-ветвь»; I - вектор токов ветвей.
Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы. В столбце i-той
ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1
соответствует узлу, в который ток i-той ветви втекает, а -1
соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для
схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на
рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве
опорного).
|
С1
|
С2
|
С3
|
С4
|
С5
|
С6
|
R1
|
R2
|
R3
|
R4
|
R5
|
E1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
2
|
-1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
3
|
0
|
+1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
4
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
-1
|
0
|
0
|
6
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
0
|
7
|
0
|
0
|
0
|
+1
|
+1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
Рисунок 14
Запишем топологические уравнения по закону токов
Кирхгофа
- в общем виде:
A×I=0;
- в развернутой матричной форм
- в виде системы уравнений, которая
получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на
матрицу «узел-ветвь»:
Запишем
топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:
- в общем виде:
ATj+U=0;- в
развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют
строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):
- в виде системы уравнений, которая
получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на
матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-ATj
:
Таким
образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода
узловых потенциалов в виде двух систем уравнений - по закону токов Кирхгофа и
по закону напряжений через узловые потенциалы.
Задача №5. Моделирование аналоговых
схем (метод переменных состояния)
Цель: освоение
метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Теория, методы и примеры решения:
раздел 3.3.2.3 курса лекций.
Задание: для
заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с
использованием метода переменных состояния: построить граф, нормальное
фундаментальное дерево и матрицу контуров и сечений. Записать топологические
уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений
по законам Кирхгофа. Записать окончательную математическую модель схемы в виде
системы уравнений, в которой ёмкостные токи и индуктивные напряжения выражены
явно и заменены производными переменных состояния.
Решение:
Базисными координатами в этом методе являются переменные
состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы
энергии в элементах электрической схемы. К таким переменным относятся
независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходными
топологическими уравнениями являются те же уравнения, что и в табличном методе:
Ux+MUвд=0; Iвд=MТIx=0.
Матрицу М контуров и сечений в методе
переменных состояния формируют на основе построения нормального дерева графа
схемы. Нормальным деревом называют фундаментальное дерево, в которое
включение ветвей производится не произвольно, а в следующем порядке: ветви
источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные, источников тока.
Использование нормального дерева облегчает дальнейшее преобразование исходных
уравнений с целью получения нормальной формы Коши.
В графе схемы, приведенной на рисунке 12,
построенное фундаментальное дерево является нормальным. Топологические
уравнения в общем виде и в развернутой матричной форме были получены при
решении задачи 6. Топологические уравнения в виде системы уравнений по законам
Кирхгофа, полученные с использованием матрицы контуров и сечений, построенной в
задаче №6, имеют вид:
Для
получения окончательной ММС используют компонентные уравнения. При их
преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IС
и индуктивные напряжения UL через переменные состояния.
Далее, заменяя IC и UL производными
переменных состояния, получают окончательную ММС.
Запишем
компонентные уравнения (уравнения сопротивления, емкости и индуктивности) в
общем виде:
В
заданной схеме нет индуктивных ветвей, поэтому уравнение индуктивности нам не
понадобится.
В
левых частях уравнений второй системы необходимо заменить ICj на
Сj×dUCj/dt, а в правые
части вместо IRi подставить величины URi,
выраженные из уравнений первой системы путем деления на Ri.
Окончательная форма ММС по методу переменных состояния имеет вид:
Таким
образом, с использованием метода переменных состояния получена окончательная
полная ММС заданной схемы, объединяющая в себе компонентные и топологические
уравнения схемы.