Физика: Движение
Ðåôåðàò
ïî
ñòåðåîìåòðèè
Ó÷åíèêà
11 “” êëàññà
Àëåêñååíêî
Íèêîëàÿ
Òåìà
:
Äâèæåíèå.
Ñïàñèáî
çà âíèìàíèå
!
29.10.1995 ã.
Øêîëà # 1278,
êë. 11 “”.
Äâèæåíèÿ.
Ïðåîáðàçîâàíèÿ
ôèãóð.
Ïðè
ñîçäàíèè
ðåôåðàòà
áûëè
èñïîëüçîâàíû
ñëåäóþùèå
êíèãè:
1.
“Ãåîìåòðèÿ
äëÿ 9-10 êëàññîâ”.
À.Ä.Àëåêñàíäðîâ,
À.Ë.Âåðíåð,
Â.È.Ðûæèê.
2.
“Ãåîìåòðèÿ”.
Ë.Ñ.Àòàíàñÿí,
Â.Ô.Áóòóçîâ,
Ñ.Á.Êàäîìöåâ
è äð.
3.
“Ìàòåìàòèêà”.
Â.À.Ãóñåâ,
À.Ã.Ìîðäêîâè÷.
Âñå
ðèñóíêè íàõîäÿòñÿ
íà
îòäåëüíîì
ëèñòå,
ïðèëîæåííîì
ê ðåôåðàòó.
Ðåøåíèÿ
çàäà÷ òàêæå
íà
îòäåëüíîì ëèñòå.
Äîêàçàòåëüñòâà
îñíîâíûõ òåîðåì,
ñâÿçàííûõ ñ
äâèæåíèåì, ÿ òàêæå
ïðèâîæó íà
îòäåëüíûõ
ëèñòêàõ. Â
ðåôåðàòå -
òîëüêî
îïðåäåëåíèÿ
è êëàññèôèêàöèÿ.
Äâèæåíèåì
â ãåîìåòðèè
íàçûâàåòñÿ
îòîáðàæåíèå,
ñîõðàíÿþùåå
ðàññòîÿíèå.
Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü,
÷òî
ïîäðàçóìåâàåòñÿ
ïîä ñëîâîì
“îòîáðàæåíèå”.
1.
Îòîáðàæåíèÿ,
îáðàçû,
êîìïîçèöèè
îòîáðàæåíèé.
Îòîáðàæåíèåì
ìíîæåñòâà M â
ìíîæåñòâî N
íàçûâàåòñÿ
ñîîòâåòñòâèå
êàæäîìó
ýëåìåíòó èç M
åäèíñòâåííîãî
ýëåìåíòà èç
N.
Ìû
áóäåì
ðàññìàòðèâàòü
òîëüêî
îòîáðàæåíèå
ôèãóð â ïðîñòðàíñòâå.
Íèêàêèå
äðóãèå
îòîáðàæåíèÿ
íå
ðàññìàòðèâàþòñÿ,
è ïîòîìó
ñëîâî “îòîáðàæåíèå”
îçíà÷àåò
ñîîòâåòñòâèå
òî÷êàì
òî÷åê.
Î
òî÷êå X’,
ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðè äàííîì
îòîáðàæåíèè
f òî÷êå X,
ãîâîðÿò, ÷òî
îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì
òî÷êè X, è
ïèøóò X’ = f(X).
Ìíîæåñòâî
òî÷åê X’,
ñîîòâåòñòâóþùèõ
òî÷êàì
ôèãóðû M, ïðè
îòîáðàæåíèè
f íàçûâàåòñÿ îáðàçîì
ôèãóðû M è
îáîçíà÷àåòñÿ
M’ = f(M).
Åñëè
îáðàçîì M
ÿâëÿåòñÿ âñÿ
ôèãóðà N, ò.å. f(M) = N,
òî ãîâîðÿò
îá îòîáðàæåíèè
ôèãóðû M íà
ôèãóðó N.
Îòîáðàæåíèå
íàçûâàåòñÿ âçàèìíî
îäíîçíà÷íûì,
åñëè ïðè
ýòîì
îòîáðàæåíèè
îáðàçû
êàæäûõ äâóõ
ðàçëè÷íûõ
òî÷åê
ðàçëè÷íû.
Ïóñòü
ó íàñ åñòü
âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
f ìíîæåñòâà M
íà N. Òîãäà
êàæäàÿ òî÷êà
X’ ìíîæåñòâà N
ÿâëÿåòñÿ
îáðàçîì
òîëüêî îäíîé
(åäèíñòâåííîé)
òî÷êè X
ìíîæåñòâà M. Ïîýòîìó
êàæäîé
òî÷êå X’ Ì N
ìîæíî
ïîñòàâèòü â
ñîîòâåòñòâèå
òó åäèíñòâåííóþ
òî÷êó X Ì M,
îáðàçîì
êîòîðîé ïðè
îòîáðàæåíèè
f ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà X’. Òåì
ñàìûì ìû
îïðåäåëèì
îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà N
íà
ìíîæåñòâî M,
îíî íàçûâàåòñÿ
îáðàòíûì
äëÿ
îòîáðàæåíèÿ
f è
îáîçíà÷àåòñÿ
f. Åñëè
îòîáðàæåíèå
f èìååò
îáðàòíîå, òî
îíî íàçûâàåòñÿ
îáðàòèìûì.
Íåïîäâèæíîé
òî÷êîé
îòîáðàæåíèÿ
j
íàçûâàåòñÿ
òàêàÿ òî÷êà A,
÷òî
j(A) = A.
Èç
äàííûõ
îïðåäåëåíèé
íåïîñðåäñòâåííî
ñëåäóåò, ÷òî
åñëè
îòîáðàæåíèå
f îáðàòèìî, òî
îáðàòíîå
åìó
îòîáðàæåíèå
f òàêæå îáðàòèìî
è (f ) = f. Ïîýòîìó
îòîáðàæåíèÿ
f è f íàçûâàþòñÿ
òàêæå âçàèìíî
îáðàòíûìè.
Ïóñòü
çàäàíû äâà
îòîáðàæåíèÿ:
îòîáðàæåíèå
f ìíîæåñòâà M
â ìíîæåñòâî N
è
îòîáðàæåíèå
g ìíîæåñòâà N
â ìíîæåñòâî P.
Åñëè ïðè
îòîáðàæåíèè
f òî÷êà
X
Ì N
ïåðåøëà â òî÷êó
X’ = f(X) Ì N, à
çàòåì X’ ïðè
îòîáðàæåíèè
g ïåðåøëà â
òî÷êó X’’ Ì P, òî
òåì ñàìûì â
ðåçóëüòàòå X
ïåðåøëà â X’’
(ðèñ.1).
Â
ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåòñÿ
íåêîòîðîå
îòîáðàæåíèå
h ìíîæåñòâà M
â ìíîæåñòâî P.
Îòîáðàæåíèå
h íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé
îòîáðàæåíèÿ
f ñ ïîñëåäóþùèì
îòîáðàæåíèåì
g.
Åñëè
äàííîå
îòîáðàæåíèå
f îáðàòèìî, òî,
ïðèìåíÿÿ åãî,
à ïîòîì
îáðàòíîå
åìó
îòîáðàæåíèå
f , âåðíåì,
î÷åâèäíî,
âñå òî÷êè â
èñõîäíîå
ïîëîæåíèå,
ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå,
òàêîå,
êîòîðîå
êàæäîé
òî÷êå
ñîïîñòàâëÿåò
ýòó æå òî÷êó.
2.
Îïðåäåëåíèå
äâèæåíèÿ.
Äâèæåíèåì
(èëè
ïåðåìåùåíèåì)
ôèãóðû íàçûâàåòñÿ
òàêîå åå
îòîáðàæåíèå,
ïðè êîòîðîì êàæäûì
äâóì åå
òî÷êàì A è B
ñîîòâåòñòâóþò
òàêèå òî÷êè
A’ è B’, ÷òî |A’B’| = |AB|. (ðèñ.2).
Òîæäåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå
ÿâëÿåòñÿ îäíèì
èç ÷àñòíûõ
ñëó÷àåâ
äâèæåíèÿ.
Ôèãóðà
F’ íàçûâàåòñÿ
ðàâíîé
ôèãóðå F, åñëè
îíà ìîæåò
áûòü
ïîëó÷åíà èç F
äâèæåíèåì.
3.
Îáùèå
ñâîéñòâà
äâèæåíèÿ.
Ñâîéñòâî
1 (ñîõðàíåíèå
ïðÿìîëèíåéíîñòè).
Ïðè
äâèæåíèè
òðè òî÷êè,
ëåæàùèå íà
ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò
â òðè òî÷êè,
ëåæàùèå íà ïðÿìîé,
ïðè÷åì
òî÷êà,
ëåæàùàÿ
ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè,
ïåðåõîäèò â
òî÷êó,
ëåæàùóþ
ìåæäó îáðàçàìè
äâóõ äðóãèõ
òî÷åê
(ñîõðàíÿåòñÿ
ïîðÿäîê èõ
âçàèìíîãî
ðàñïîëîæåíèÿ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç
ïëàíèìåòðèè
èçâåñòíî,
÷òî òðè
òî÷êè A, B, C
ëåæàò íà
ïðÿìîé òîãäà
è òîëüêî
òîãäà, êîãäà
îäíà èç íèõ,
íàïðèìåð
òî÷êà B, ëåæèò
ìåæäó äâóìÿ
äðóãèìè -
òî÷êàìè A è C,
ò.å. êîãäà
âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî
|AB| + |BC| = |AC|.
Ïðè
äâèæåíèè
ðàññòîÿíèÿ
ñîõðàíÿþòñÿ,
à çíà÷èò,
ñîîòâåòñòâóþùåå
ðàâåíñòâî
âûïîëíÿåòñÿ
è äëÿ òî÷åê A’, B’, C’:
|A’B’| + |B’C’| = |A’C’|.
Òàêèì
îáðàçîì,
òî÷êè A’, B’, C’
ëåæàò íà
îäíîé ïðÿìîé
è èìåííî
òî÷êà B’ ëåæèò
ìåæäó A’ è C’.
Èç
äàííîãî
ñâîéñòâà
ñëåäóþò
òàêæå åùå íåñêîëüêî
ñâîéñòâ:
Ñâîéñòâî
2. Îáðàçîì
îòðåçêà ïðè
äâèæåíèè
ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.
Ñâîéñòâî
3. Îáðàçîì
ïðÿìîé ïðè
äâèæåíèè
ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, à
îáðàçîì
ëó÷à - ëó÷.
Ñâîéñòâî
4. Ïðè
äâèæåíèè
îáðàçîì
òðåóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ
ðàâíûé åìó
òðåóãîëüíèê,
îáðàçîì ïëîñêîñòè
- ïëîñêîñòü,
ïðè÷åì
ïàðàëëåëüíûå
ïëîñêîñòè
îòîáðàæàþòñÿ
íà
ïàðàëëåëüíûå
ïëîñêîñòè,
îáðàçîì
ïîëóïëîñêîñòè
-
ïîëóïëîñêîñòü.
Ñâîéñòâî
5. Ïðè
äâèæåíèè
îáðàçîì
òåòðàýäðà
ÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð,
îáðàçîì
ïðîñòðàíñòâà
- âñå ïðîñòðàíñòâî,
îáðàçîì
ïîëóïðîñòðàíñòâà
- ïîëóïðîñòðàíñòâî.
Ñâîéñòâî
6. Ïðè
äâèæåíèè
óãëû
ñîõðàíÿþòñÿ,
ò.å. âñÿêèé óãîë
îòîáðàæàåòñÿ
íà óãîë òîãî
æå âèäà è òîé
æå âåëè÷èíû.
Àíàëîãè÷íîå
âåðíî è äëÿ äâóãðàííûõ
óãëîâ.
Ñíà÷àëà
ÿ ðàññìîòðþ
âñå
îñíîâíûå
âèäû äâèæåíèé,
à çàòåì
ñâåäó èõ â
åäèíóþ
ñèñòåìó.
4.
Ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ.
Îïðåäåëåíèå.
Ïàðàëëåëüíûì
ïåðåíîñîì,
èëè, êîðî÷å,
ïåðåíîñîì
ôèãóðû,
íàçûâàåòñÿ
òàêîå åå
îòîáðàæåíèå,
ïðè êîòîðîì
âñå åå òî÷êè
ñìåùàþòñÿ â
îäíîì è òîì
æå íàïðàâëåíèè
íà ðàâíûå
ðàññòîÿíèÿ (ðèñ.3),
ò.å. ïðè
ïåðåíîñå
êàæäûì äâóì
òî÷êàì X è Y
ôèãóðû
ñîïîñòàâëÿþòñÿ
òàêèå òî÷êè
X’ è Y’, ÷òî
XX’ = YY’.
Îñíîâíîå
ñâîéñòâî
ïåðåíîñà: Ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ
ñîõðàíÿåò
ðàññòîÿíèÿ
è
íàïðàâëåíèÿ,
ò.å.
X’Y’ = XY.
Îòñþäà
âûõîäèò, ÷òî ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ åñòü
äâèæåíèå,
ñîõðàíÿþùåå
íàïðàâëåíèå
è íàîáîðîò,
äâèæåíèå,
ñîõðàíÿþùåå
íàïðàâëåíèå,
åñòü ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ.
Èç
ýòèõ
óòâåðæäåíèé
òàêæå
âûòåêàåò,
÷òî êîìïîçèöèÿ
ïàðàëëåëüíûõ
ïåðåíîñîâ
åñòü ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ.
Ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ
ôèãóðû
çàäàåòñÿ óêàçàíèåì
îäíîé ïàðû
ñîîòâåòñòâóþùèõ
òî÷åê.
Íàïðèìåð,
åñëè
óêàçàíî, â
êàêóþ òî÷êó A’
ïåðåõîäèò
äàííàÿ
òî÷êà A, òî
ýòîò ïåðåíîñ
çàäàí
âåêòîðîì AA’, è
ýòî
îçíà÷àåò,
÷òî âñå
òî÷êè
ñìåùàþòñÿ
íà îäèí è òîò
æå âåêòîð, ò.å. XX’
= AA’ äëÿ âñåõ
òî÷åê Õ.
5.
Öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ.
Îïðåäåëåíèå
1. Òî÷êè A è A’
íàçûâàþòñÿ
ñèììåòðè÷íûìè
îòíîñèòåëüíî
òî÷êè Î, åñëè
òî÷êè A, A’, O
ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé è OX = OX’.
Òî÷êà Î
ñ÷èòàåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé
ñàìà ñåáå (îòíîñèòåëüíî
Î).
Äâå
ôèãóðû
íàçûâàþòñÿ
ñèììåòðè÷íûìè
îòíîñèòåëüíî
òî÷êè Î, åñëè
äëÿ êàæäîé
òî÷êè îäíîé
ôèãóðû åñòü
ñèììåòðè÷íàÿ
åé îòíîñèòåëüíî
òî÷êè Î
òî÷êà â
äðóãîé
ôèãóðå è
îáðàòíî.
Êàê
÷àñòíûé
ñëó÷àé,
ôèãóðà
ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íà
ñàìà ñåáå
îòíîñèòåëüíî
íåêîåé
òî÷êè Î.
Òîãäà ýòà
òî÷êà Î
íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ñèììåòðèè
ôèãóðû, à
ôèãóðà - öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé.
Îïðåäåëåíèå
2. Öåíòðàëüíîé
ñèììåòðèåé
ôèãóðû
îòíîñèòåëüíî
Î
íàçûâàåòñÿ
òàêîå
îòîáðàæåíèå
ýòîé ôèãóðû,
êîòîðîå
ñîïîñòàâëÿåò
êàæäîé åå
òî÷êå òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ
îòíîñèòåëüíî
Î.
Îñíîâíîå
ñâîéñòâî : Öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
ñîõðàíÿåò
ðàññòîÿíèå,
à
íàïðàâëåíèå
èçìåíÿåò íà
ïðîòèâîïîëîæíîå.
针֌
ãîâîðÿ, ëþáûì
äâóì òî÷êàì X è
Y ôèãóðû F
ñîîòâåòñòâóþò
òàêèå òî÷êè
X’ è Y’, ÷òî
X’Y’ = -XY.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ïðè
öåíòðàëüíîé
ñèììåòðèè ñ
öåíòðîì â
òî÷êå Î
òî÷êè X è Y
îòîáðàçèëèñü
íà X’ è Y’. Òîãäà,
êàê ÿñíî èç
îïðåäåëåíèÿ
öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè
(ðèñ.4),
OX’ = -OX, OY’ = -OY.
Âìåñòå
ñ òåì
XY = OY - OX, X’Y’ = OY’ - OX’.
X’Y’ = -OY + OX = -XY.
Îòñþäà
âûõîäèò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
ÿâëÿåòñÿ
äâèæåíèåì,
èçìåíÿþùèì
íàïðàâëåíèå
íà ïðîòèâîïîëîæíîå
è íàîáîðîò, äâèæåíèå,
èçìåíÿþùåå
íàïðàâëåíèå
íà ïðîòèâîïîëîæíîå,
åñòü
öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ.
Öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
ôèãóðû
çàäàåòñÿ óêàçàíèåì
îäíîé ïàðû
ñóùåñòâóþùèõ
òî÷åê: åñëè
òî÷êà À
îòîáðàæàåòñÿ
íà À’, òî öåíòð
ñèììåòðèè -
ýòî
ñåðåäèíà
îòðåçêà AA’.
6.
Çåðêàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
(îòðàæåíèå â
ïëîñêîñòè).
Îïðåäåëåíèå
1. Òî÷êè A è A’
íàçûâàþòñÿ
ñèììåòðè÷íûìè
îòíîñèòåëüíî
ïëîñêîñòè a,
åñëè îòðåçîê
AA’
ïåðïåíäèêóëÿðåí
ýòîé ïëîñêîñòè
è äåëèòñÿ åþ
ïîïîëàì.
Ëþáàÿ òî÷êà
ïëîñêîñòè a
ñ÷èòàåòñÿ
ñèììåòðè÷íîé
ñàìîé ñåáå
îòíîñèòåëüíî
ýòîé
ïëîñêîñòè
(ðèñ.5).
Äâå
ôèãóðû F è F’
íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè
îòíîñèòåëüíî
äàííîé ïëîñêîñòè,
åñëè îíè
ñîñòîÿò èç
òî÷åê,
ïîïàðíî
ñèììåòðè÷íûõ
îòíîñèòåëüíî
ýòîé
ïëîñêîñòè, ò.å.
åñëè äëÿ
êàæäîé
òî÷êè îäíîé
ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ
åé òî÷êà â
äðóãîé
ôèãóðå.
Åñëè
ïðåîáðàçîâàíèå
ñèììåòðèè
îòíîñèòåëüíî
ïëîñêîñòè
ïåðåâîäèò
ôèãóðó â
ñåáÿ, òî
ôèãóðà
íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé
îòíîñèòåëüíî
ïëîñêîñòè a, à
ïëîñêîñòü a -
ïëîñêîñòüþ
ñèììåòðèè.
Îïðåäåëåíèå
2. Îòîáðàæåíèå
ôèãóðû, ïðè
êîòîðîì
êàæäîé åå
òî÷êå
ñîîòâåòñòâóåò
òî÷êà,
ñèììåòðè÷íàÿ
åé
îòíîñèòåëüíî
äàííîé
ïëîñêîñòè,
íàçûâàåòñÿ
îòðàæåíèåì
ôèãóðû â
ýòîé ïëîñêîñòè
(èëè
çåðêàëüíîé
ñèììåòðèåé).
Òåîðåìà
1. Îòðàæåíèå
â ïëîñêîñòè
ñîõðàíÿåò
ðàññòîÿíèÿ
è, ñòàëî áûòü,
ÿâëÿåòñÿ
äâèæåíèåì.
Ñì.
Äîêàçàòåëüñòâî
1.
Òåîðåìà
2. Äâèæåíèå,
ïðè êîòîðîì
âñå òî÷êè
íåêîòîðîé
ïëîñêîñòè
íåïîäâèæíû,
ÿâëÿåòñÿ
îòðàæåíèåì
â ýòîé
ïëîñêîñòè
èëè
òîæäåñòâåííûì
îòîáðàæåíèåì.
Çåðêàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
çàäàåòñÿ
óêàçàíèåì
îäíîé ïàðû
ñîîòâåòñòâóþùèõ
òî÷åê, íå ëåæàùèõ
â ïëîñêîñòè
ñèììåòðèè:
ïëîñêîñòü
ñèììåòðèè
ïðîõîäèò
÷åðåç ñåðåäèíó
îòðåçêà,
ñîåäèíÿþùåãî
ýòè òî÷êè,
ïåðïåíäèêóëÿðíî
ê íåìó.
7.
Ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé.
Äëÿ
áîëåå
÷åòêîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ
î ïîâîðîòå
âîêðóã
ïðÿìîé
ñëåäóåò
âñïîìíèòü
ïîâîðîò íà
ïëîñêîñòè
îêîëî
äàííîé
òî÷êè. Ïîâîðîòîì
íà
ïëîñêîñòè
îêîëî
äàííîé òî÷êè
íàçûâàåòñÿ
òàêîå
äâèæåíèå, ïðè
êîòîðîì êàæäûé
ëó÷,
èñõîäÿùèé
èç äàííîé
òî÷êè, ïîâîðà÷èâàåòñÿ
íà îäèí è òîò
æå óãîë â
îäíîì è òîì
æå
íàïðàâëåíèè
(ðèñ.6).
Ïåðåéäåì
òåïåðü ê
ïîâîðîòó â
ïðîñòðàíñòâå.
Îïðåäåëåíèå.
Ïîâîðîòîì
ôèãóðû
âîêðóã
ïðÿìîé a íà
óãîë j
íàçûâàåòñÿ
òàêîå
îòîáðàæåíèå,
ïðè êîòîðîì â
êàæäîé
ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé
ïðÿìîé a,
ïðîèñõîäèò
ïîâîðîò
âîêðóã
òî÷êè åå
ïåðåñå÷åíèÿ
ñ ïðÿìîé a íà
îäèí è òîò æå
óãîë j â îäíîì
è òîì æå
íàïðàâëåíèè
(ðèñ. 7). Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ
îñüþ
ïîâîðîòà, à
óãîë j - óãëîì
ïîâîðîòà.
Îòñþäà
âèäèì, ÷òî
ïîâîðîò
âñåãäà
çàäàåòñÿ
îñüþ, óãëîì è
íàïðàâëåíèåì
ïîâîðîòà.
Òåîðåìà
1. Ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé
ñîõðàíÿåò
ðàññòîÿíèÿ,
ò.å. ÿâëÿåòñÿ
äâèæåíèåì.
Ñì.
Äîêàçàòåëüñòâî
2.
Òåîðåìà
2. Åñëè
äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
èìååò ìíîæåñòâîì
ñâîèõ
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê ïðÿìóþ,
òî îíî
ÿâëÿåòñÿ
ïîâîðîòîì
âîêðóã ýòîé
ïðÿìîé.
7.1.
Ôèãóðû
âðàùåíèÿ.
Ôèãóðà
íàçûâàåòñÿ
ôèãóðîé
âðàùåíèÿ,
åñëè
ñóùåñòâóåò
òàêàÿ ïðÿìàÿ,
ëþáîé
ïîâîðîò âîêðóã
êîòîðîé
ñîâìåùàåò
ôèãóðó ñàìó
ñ ñîáîé,
äðóãèìè
ñëîâàìè,
îòîáðàæàåò
åå ñàìó íà
ñåáÿ. Òàêàÿ
ïðÿìàÿ
íàçûâàåòñÿ îñüþ
âðàùåíèÿ
ôèãóðû.
Ïðîñòåéøèå
òåëà
âðàùåíèÿ :
øàð, ïðÿìîé
êðóãîâîé
öèëèíäð,
ïðÿìîé êðóãîâîé
êîíóñ.
7.2.
Îñåâàÿ
ñèììåòðèÿ.
×àñòíûì
ñëó÷àåì
ïîâîðîòà
âîêðóã
ïðÿìîé
ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò
íà 180°.
Ïðè ïîâîðîòå
âîêðóã
ïðÿìîé a íà 180°
êàæäàÿ
òî÷êà A
ïåðåõîäèò â
òàêóþ òî÷êó
A’, ÷òî ïðÿìàÿ a ïåðïåíäèêóëÿðíà
îòðåçêó AA’ è
ïåðåñåêàåò
åãî â
ñåðåäèíå. Ïðî
òàêèå òî÷êè A
è A’ ãîâîðÿò, ÷òî
îíè
ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî
îñè a. Ïîýòîìó
ïîâîðîò íà 180°
âîêðóã
ïðÿìîé
ÿâëÿåòñÿ
íàçûâàåòñÿ
îñåâîé
ñèììåòðèåé
â
ïðîñòðàíñòâå.
8.1.
Íåïîäâèæíûå
òî÷êè
äâèæåíèé
ïðîñòðàíñòâà.
Âàæíîé
õàðàêòåðèñòèêîé
äâèæåíèÿ
ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿåòñÿ
ìíîæåñòâî
åãî
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê. Çäåñü
ìîãóò
ïðåäñòàâèòüñÿ
ëèøü ñëåäóþùèå
ïÿòü
ñëó÷àåâ:
1. Ó
äâèæåíèÿ
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê íåò
(íåòîæäåñòâåííûé
ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ).
2. Äâèæåíèå
èìååò ëèøü
îäíó
íåïîäâèæíóþ
òî÷êó
(öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ).
3. Ìíîæåñòâî
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê
äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîé
(ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé).
4. Ìíîæåñòâî
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê
äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿåòñÿ
ïëîñêîñòüþ
(çåðêàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ).
5. Ìíîæåñòâî
íåïîäâèæíûõ
òî÷åê
äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿåòñÿ
âñåì
ïðîñòðàíñòâîì
(òîæäåñòâåííîå
äâèæåíèå).
Äàííàÿ
êëàññèôèêàöèÿ
î÷åíü
óäîáíà, òàê
êàê ïðåäñòàâëÿåò
âñå âèäû
äâèæåíèÿ
êàê åäèíóþ
ñèñòåìó.
8.2.
Îñíîâíûå
òåîðåìû î
çàäàíèè
äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.
Òåîðåìà
1. Ïóñòü â
ïðîñòðàíñòâå
äàíû äâà
ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà
ABC è A’B’C’. Òîãäà
ñóùåñòâóþò
äâà è òîëüêî
äâà òàêèõ äâèæåíèÿ
ïðîñòðàíñòâà,
êîòîðûå
ïåðåâîäÿò A â A’, B
â B’, C â C’. Êàæäîå
èç ýòèõ
äâèæåíèé
ïîëó÷àåòñÿ
èç äðóãîãî ñ
ïîìîùüþ
êîìïîçèöèè
åãî ñ îòðàæåíèåì
â ïëîñêîñòè A’B’C’.
Òåîðåìà
2. Ïóñòü â
ïðîñòðàíñòâå
çàäàíû äâà
ðàâíûõ òåòðàýäðà
ABCD è A’B’C’D’. Òîãäà
ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííîå
äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà
j,
òàêîå, ÷òî j (A) = A’, j (B) = B’, j (C) = C’, j (D) = D’.
9.
Äâà ðîäà
äâèæåíèé.
Ñëåäóåò
òàêæå çíàòü,
÷òî âñå
äâèæåíèÿ ïîäðàçäåëÿþòñÿ
íà äâà ðîäà â
çàâèñèìîñòè
îò òîãî,
íåïðåðûâíû
îíè èëè íåò.
Äëÿ ëó÷øåãî
ïîíèìàíèÿ
ñóùíîñòè
ýòîãî ðàçäåëåíèÿ
ââåäó
ïîíÿòèå
áàçèñà è
åãî îðèåíòàöèè.
9.1.
Áàçèñû è èõ
îðèåíòàöèÿ.
Áàçèñîì
â
ïðîñòðàíñòâå
íàçûâàåòñÿ
ëþáàÿ òðîéêà
âåêòîðîâ,
íåïàðàëëåëüíûõ
îäíîâðåìåííî
íèêàêîé
ïëîñêîñòè.
Òðîéêà
áàçèñíûõ
âåêòîðîâ
íàçûâàåòñÿ
ïðàâîé
(ëåâîé), åñëè
ýòè âåêòîðû,
îòëîæåííûå
îò îäíîé
òî÷êè,
ðàñïîëàãàþòñÿ
òàê, êàê
ðàñïîëîæåíû
ñîîòâåòñòâåííî
áîëüøîé,
óêàçàòåëüíûé
è ñðåäíèé
ïàëüöû
ïðàâîé (ëåâîé)
ðóêè.
Åñëè
èìåþòñÿ äâå
ïðàâûå (ëåâûå)
òðîéêè âåêòîðîâ,
ãîâîðÿò, ÷òî
ýòè òðîéêè îðèåíòèðîâàíû
îäèíàêîâî.
Åñëè îäíà
òðîéêà
ÿâëÿåòñÿ
ïðàâîé, à
âòîðàÿ -
ëåâîé, òî îíè îðèåíòèðîâàíû
ïðîòèâîïîëîæíî.
9.2. Äâà
ðîäà
äâèæåíèÿ.
Äâèæåíèÿ
ïåðâîãî ðîäà -
òàêèå
äâèæåíèÿ, êîòîðûå
ñîõðàíÿþò
îðèåíòàöèþ
áàçèñîâ íåêîåé
ôèãóðû. Îíè
ìîãóò áûòü
ðåàëèçîâàíû
íåïðåðûâíûìè
äâèæåíèÿìè.
Äâèæåíèÿ
âòîðîãî ðîäà -
òàêèå
äâèæåíèÿ,
êîòîðûå
èçìåíÿþò
îðèåíòàöèþ
áàçèñîâ íà
ïðîòèâîïîëîæíóþ.
Îíè íå
ìîãóò áûòü
ðåàëèçîâàíû
íåïðåðûâíûìè
äâèæåíèÿìè.
Ïðèìåðàìè
äâèæåíèé
ïåðâîãî ðîäà
ÿâëÿþòñÿ ïåðåíîñ
è ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé, à
äâèæåíèÿìè
âòîðîãî ðîäà -
öåíòðàëüíàÿ
è çåðêàëüíàÿ
ñèììåòðèè.
Êîìïîçèöèåé
ëþáîãî
÷èñëà
äâèæåíèé
ïåðâîãî ðîäà
ÿâëÿåòñÿ
äâèæåíèå
ïåðâîãî ðîäà.
Êîìïîçèöèÿ
÷åòíîãî
÷èñëà
äâèæåíèé
âòîðîãî ðîäà åñòü
äâèæåíèå 1
ðîäà, à
êîìïîçèöèÿ
íå÷åòíîãî
÷èñëà
äâèæåíèé 2
ðîäà -
äâèæåíèå 2
ðîäà.
10.
Íåêîòîðûå
ðàñïðîñòðàíåííûå
êîìïîçèöèè.
Ðàññìîòðèì
òåïåðü
íåêîòîðûå
êîìáèíàöèè
äâèæåíèé,
èñïîëüçóåìûå
äîñòàòî÷íî
÷àñòî, íî íå
óäåëÿÿ èì
îñîáîãî
âíèìàíèÿ.
10.1.
Êîìïîçèöèè
îòðàæåíèé â
ïëîñêîñòè.
Òåîðåìà
1. Äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
ïåðâîãî ðîäà
ïðåäñòàâèìî
â âèäå
êîìïîçèöèè
äâóõ èëè
÷åòûðåõ
îòðàæåíèé â
ïëîñêîñòè.
Äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
âòîðîãî âèäà
åñòü ëèáî
îòðàæåíèå â
ïëîñêîñòè,
ëèáî ïðåäñòàâèìî
â âèäå
êîìïîçèöèè
òðåõ
îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.
Îòñþäà
ìû ìîæåì
îáúÿñíèòü
óæå
èçâåñòíûå
íàì
äâèæåíèÿ
òàê:
·
Êîìïîçèöèÿ
îòðàæåíèÿ â 2
ïàðàëëåëüíûõ
ïëîñêîñòÿõ
åñòü ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ.
·
Êîìïîçèöèÿ
îòðàæåíèÿ â 2 ïåðåñåêàþùèõñÿ
ïëîñêîñòÿõ åñòü
ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé
ïåðåñå÷åíèÿ
ýòèõ
ïëîñêîñòåé.
·
Öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ
îòíîñèòåëüíî
äàííîé
òî÷êè
ÿâëÿåòñÿ
êîìïîçèöèåé
3 îòðàæåíèé
îòíîñèòåëüíî
ëþáûõ 3
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ïëîñêîñòåé,
ïåðåñåêàþùèõñÿ
â ýòîé òî÷êå.
10.2.
Âèíòîâûå
äâèæåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Âèíòîâûì
äâèæåíèåì
íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ
ïîâîðîòà è
ïåðåíîñà íà
âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé
îñè
ïîâîðîòà.
Ïðåäñòàâëåíèå
î òàêîì
äâèæåíèè
äàåò
ââèí÷èâàþùèéñÿ
èëè
âûâèí÷èâàþùèéñÿ
âèíò.
Òåîðåìà
2. Ëþáîå
äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
ïåðâîãî ðîäà -
âèíòîâîå
äâèæåíèå (â
÷àñòíîñòè
ïîâîðîò
âîêðóã
ïðÿìîé èëè
ïåðåíîñ).
Îïðåäåëåíèå.
Çåðêàëüíûì
ïîâîðîòîì
âîêðóã îñè a
íà óãîë j
íàçûâàåòñÿ
êîìïîçèöèÿ
ïîâîðîòà
âîêðóã îñè a
íà óãîë j è
îòðàæåíèÿ â
ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñè
ïîâîðîòà.
Òåîðåìà
3. Ëþáîå
äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
âòîðîãî ðîäà,
èìåþùåå
íåïîäâèæíóþ
òî÷êó,
ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì
ïîâîðîòîì,
êîòîðûé, â
÷àñòíîñòè,
ìîæåò áûòü
öåíòðàëüíîé
èëè
çåðêàëüíîé
ñèììåòðèåé.
10.4.
Ñêîëüçÿùèå
îòðàæåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå.
Ñêîëüçÿùèì
îòðàæåíèåì
íàçûâàåòñÿ
êîìïîçèöèÿ
îòðàæåíèÿ â íåêîåé
ïëîñêîñòè è
ïåðåíîñà íà
âåêòîð,
ïàðàëëåëüíûé
ýòîé
ïëîñêîñòè.
Òåîðåìà
4. Äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
âòîðîãî ðîäà,
íå èìåþùåå íåïîäâèæíûõ
òî÷åê, åñòü
ñêîëüçÿùåå
îòðàæåíèå.
Òåîðåìà
Øàëÿ. Äâèæåíèå
ïëîñêîñòè
ïåðâîãî ðîäà
ÿâëÿåòñÿ
ëèáî
ïîâîðîòîì,
ëèáî
ïàðàëëåëüíûì
ïåðåíîñîì.
Äâèæåíèå
ïëîñêîñòè
âòîðîãî ðîäà
ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùèì
îòðàæåíèåì.
Ïðèìå÷àíèå:
Ê ðåôåðàòó
ïðèëàãàþòñÿ
7 ðèñóíêîâ, 2
ïèñüìåííûõ
äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåì è
ðåøåíèÿ
çàäà÷.
ÑÏÀÑÈÁÎ
ÇÀ ÂÍÈÌÀÍÈÅ
!
Ðåôåðàò
ñîñòàâëåí è
íàïå÷àòàí
Íèêîëàåì
Àëåêñååíêî
â ðåäàêòîðå Word for
Windows 6.0.