Преобразования фигур
Малоязовская башкирская гимназия
Геометрия
Реферат
на тему:
“Преобразования фигур”
Выполнил: ученик 10 Б класса
Халиуллин А.Н.
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
План:
I. Преобразование.
II. Виды преобразований
1. Гомотетия
2. Подобие
3. Движение
III. Виды движения
1. Симметрия относительно
точки
2. Симметрия относительно
прямой
3. Симметрия относительно
плоскости
4. Поворот
5. Параллельный перенос в
пространстве
I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры
каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
II. Виды преобразования в пространстве: подобие,
гомотетия, движение.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
3.
Подобие
переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры
называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием
подобия.
Гомотетия
Гомотетия – простейшее преобразование относительно
центра O с коэффициентом гомотетии k. Это
преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX,
такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии: 1.
Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр
гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).
Доказательство. Действительно, пусть O –
центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O.
Возьмем любую прямую AB в плоскости a.
Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует
подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство
соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’.
Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она
при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При
рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в
плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так
как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых
одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой
плоскости, плоскости a и a’
параллельны, что и требовалось доказать.
Движение
Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние
между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной
фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении
переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного
расположения. Это значит, что если A, B, C,
лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если
точка B лежит между точками A и C, то
точка B1
лежит между точками A1 и C1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит
между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1
лежат на одной прямой.
Если точка A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами
треугольника. Поэтому A1C1
< A1B1 + B1C1. По определению движения отсюда следует, что AC<AB+BC.
Однако по свойству измерения отрезков AC=AB+BC.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит на прямой A1C1. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка B1 лежит между A1 и C1.
Допустим, что точка A1 лежит между точками B1 и C1.
Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC.
Таким образом, точка A1 не может лежать между точками B1 и C1.
Аналогично доказываем, что точка C1 не может лежать между точками A1 и B1.
Так как из трех точек A1,B1,C1 одна лежит между двумя другими, то этой
точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.
2. При движении прямые переходят в прямые,
полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки
3. При движении сохраняются углы между
полупрямыми.
Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не
лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые
полупрямые A1B1 и A1C1. Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства
треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1A1C1, что и требовалось доказать.
Докажем это свойство. Пусть a -
произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не
лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость a'.
Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость a переходит в плоскость a'.
Пусть X - произвольная точка плоскости a. проведем через нее какую-нибудь прямую a в
плоскости a, пересекающую треугольник ABXC в
двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую
прямую a'. Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y' и Z',
принадлежащие треугольнику A'B'C', а значит, плоскости a'.
Итак прямая a' лежит в плоскости a'. Точка X при движении переходит в точку X'
прямой a', а значит, и плоскости a', что и требовалось доказать.
В пространстве, так же как и на плоскости,
две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
III. Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия
относительно прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение,
параллельный перенос.
Симметрия относительно точки
Пусть О - фиксированная точка и X -
произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за
точку O отрезок OX', равный OX. Точка X' называется симметричной точке X относительно точки O.
Точка, симметричная точке O, есть сама точка O.
Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X
переходит в точку X', симметричную относительно данной точке O,
называется преобразованием симметрии относительно точки O. При
этом фигуры F и F' называются симметричными относительно
точки O.
Если преобразование симметрии относительно точки O
переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной,
а точка O называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной
фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.
Теорема: Преобразование симметрии относительно
точки является движением.
Доказательство. Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F.
Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X' и Y'.
Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники равны по первому признаку
равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные,
а OX=OX', OY=OY' по определению симметрии относительно точки O. Из
равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X'Y'. А
значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.
Симметрия относительно прямой
Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и
опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A
отложим отрезок AX', равный отрезку AX. Точка X' называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то
симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть
точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X
переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g,
называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При
этом фигуры F и F' называются симметричными относительно
прямой g.
Если преобразование симметрии относительно прямой g
переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной
относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения
диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии
прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями
симметрии.
Теорема: Преобразование симметрии относительно
прямой является движением.
Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они
перейдут в точки A' (-x;y) и B' (-x;y).
Имеем:
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
A'B'2=(-x2+
x1) 2+(y2-y1)2
Отсюда видно, что AB=A'B'. А
значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема
доказана.
Симметрия относительно плоскости
Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из
точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на
плоскость a и на его продолжении за точку Aоткладываем
отрезок AX', равный XA. Точка X' называется симметричной точке X
относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в
симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии
относительно плоскости a.
Если точка X лежит в плоскости a, то
считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование
симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется
симметричной относительно плоскости a, а плоскость a называется плоскостью
симметрии этой фигуры.
Поворот
Поворот плоскости около данной точки называется такое
движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и
тот же угол в одном и том же направлении.
Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку
X', то лучи OX и OX' образуют один и тот же угол, какова бы ни
была точка X. Этот угол называется углом поворота.
Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.
Параллельный перенос в пространстве
Параллельным переносом в пространстве называется такое
преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z)
фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и
те же для всех точек (x; y; z). Параллельный переносов пространстве
задается формулами
x'=x+a, y'=y+b, z'=z+c,
выражающими координаты x', y', z' точки, в которую переходит точка (x; y; z) при
параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие
свойства параллельного переноса:
1. Параллельные перенос есть движение.
2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным
(или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную
ей прямую (или в себя).
4. Каковы бы ни были точки A и A',
существует единственный параллельный перенос, при котором точка A
переходит в точку A'.
Новым для параллельного переноса в пространстве является
следующее свойство:
Действительно, пусть a -
произвольная плоскость, проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При
параллельном переносе прямые a и b переходят либо в себя, либо в параллельные
прямые a' и b'. Плоскость a
переходит в некоторую плоскость a',
проходящую через прямые a' и b'. Если плоскость a' не совпадает с a, то по
теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными
с пересекающимися прямыми другой плоскости, она параллельна a, что и
требовалось доказать.
Список использованной литературы:
1. Учебник Геометрии 7-11 классы.
А.В. Погорелов
2. Учебник Геометрии 10-11
классы. А.Д. Александров.