Математика. Интегралы
1.
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если
для любых точек x1<x2
из (a,b) справедливо неравенство f(x1)£f(x2) (f(x1)³f(x2)).
*2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если
x1<x2 из (a,b) справедливо неравенство f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).
Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не
возрастает) на (a,b), когда f¢(x)³0 (£0) при любом xÎ(a,b).
Док-во: 1) Достаточность. Пусть f¢(x)³0 (£0)
всюду на (a,b). Рассмотрим любые x1<x2 из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x1,x2]. По теореме Лагранжа: f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f¢(a), x1<a<x2. Т.к. (x2-x1)>0,
f¢(a)³0 (£0), f(x2)-f(x1)³0 (£0),
значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2)
Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), xÎ(a,b), x+DxÎ(a,b), Dx>0. Тогда (f(x+Dx)-f(x))/Dx³0. Переходя к приделу при Dxà0, получим f¢(x)³0.
Теорема доказана.
Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f¢(x)>0
(<0) при любом xÎ(a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.
Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x)
возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f¢(x)>0 (<0) при любом xÎ(a,b).
*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если
хотя бы одно из предельных значений или равно +¥
или –¥.
Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции
y=f(x) при xà+¥(–¥), если f(x)=kx+b+a(x), где
Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика
функции y=f(x) при xà+¥(–¥), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при xà+¥(–¥)
наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет
наклонную асимптоту y=kx+b при xà+¥, т.е.
имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x).
Тогда . Переходя
к пределу при xà+¥,
получаем . Далее
из f(x)=kx+b+a(x)à b=f(x)-kx-a(x).
Переходя к пределу при xà+¥,
получаем .
Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и
конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a(x), где a(x)à0,
при xà+¥(–¥).
Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x).
Теорема доказана.
Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем
при xà+¥(–¥) –
правой (левой).
2.
*1.
Точку х0 назовем стандартной для функции f(x), если
f(x) дифференцируема в точке x0 и f¢(x0)=0.
*2.
Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет
в точке x0
локальный экстремум, то либо x0 – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0.
Замечание
1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.
Т1.
(Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при
переходе x через x0 слева направо f¢(x) меняет знак с + на –, то точка x0 является точкой максимума, при перемене знака
с – на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xÎ(a,b), x¹x0, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с
+ на –. Покажем что f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к
отрезку [x,x0] или [x0,x]) f(x)–f(x0)=(x- x0)f¢(a), где a лежит между
x0
или x: а) x< x0Þx- x0<0, f¢(a)>0Þf(x)–f(x0)<0Þf(x0)>f(x); б) x>x0Þx–x0>0, f¢(a)<0Þf(x)–f(x0)<0Þf(x0)>f(x).
Замечание 2. Если f¢(x) не
меняет знака при переходе через точку х0, то х0 не
является точкой экстремума.
Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции y=f(x),
которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда: 1) f¢¢( x0)>0Þf имеет
в точке x0
локальный минимум. 2) f¢¢( x0)<0Þf имеет
в точке x0
локальный максимум.
3.
*2.
График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым
вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой
расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.
Т1.
Пусть y=f(x) имеет на (a,b)
конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f¢¢(x)>0, "xÎ(a,b)Þграфик
f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f¢¢(x)<0,
"xÎ(a,b)Þграфик f(x) имеет на (a,b)
выпуклость, направленную вверх
*3.
Точка (c,f(с)) графика функций f(x)
называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) –
достаточно малая окрестность точки c).
Т2.
(Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и
функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую
производную, то f¢¢(c)=0.
Замечание1.
Необходимое условие перегиба не является достаточным.
Замечание2.
В точке перегиба вторая производная может не существовать.
Т3.
(Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет
вторую производную на cÎ(a,b), f¢¢(c)=0. Если f¢¢(x) имеет на (a,c), (c,b)
разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
Т4.
(Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f¢¢(c)=0, а f¢¢¢(c)¹0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
4.
*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x),
производная которой равна данной функции: F¢(x)=f(x).
T1.
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем
любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и
Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем F¢(x)=f(x), Ф¢(х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим
[F(x)–Ф(х)]¢=0. Но
если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х))
тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Þ F(x)–Ф(х)=С.
*2.
Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных ,где F¢(x)=f(x).
5.
Свойства
неопределенного интеграла:
- Производная НИ
=подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному
выражению: ;
. Док-во: ;
- НИ от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного
слагаемого: .
Док-во: Обозначим .
На основании первого св-ва: , откуда , т.е. .
- НИ от суммы
конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v,
…,w-функции независимой переменной х. Док-во:
- Постоянный
множитель можно выносить за знак НИ:, где с – константа. Док-во .
Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть òf(x)dx=F(x)+C –
какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция,
имеющая непрерывную производную. Тогда òf(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что òf(x)dx=F(x)+C,
следует F¢(x)=f(x).
Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об
инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=F¢(u)du=f(u)du. Отсюда òf(u)du=òdF(u)=f(u)+C.
6.
Метод замены переменных.
1) Подведение под знак
дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также
существует f(x)=f(j(t))
тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула: –формула замены
переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е.
F¢(x)=f(x).
Найдем первообразную для f(j(t)), [F(j(t))]¢t=F¢(x)(j(t)) j¢(t)=F¢(x) j¢(t)=f(x) j¢(t). òf(x) j¢(t)dt=f(j(t))+C. F(j(t))+C=[F(x)+C]|x=j(t)=òf(x)dx|x=j(t).
Замечание1. При интегрировании иногда
целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j(t), а в виде t=j(x).
2) Подведение под
знак дифференциала. F(x)dx=g(j(x)) j¢(x)dx=g(u)du. òf(x)dx=òg(j(x)) j¢(x)dx=òg(u)du.
7.
Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) –
функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu.
Интегрирование
функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый интеграл табличного
вида: òdu/uk:
Второй интеграл
сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=, q-p2/4>0
– рекуррентная формула.
Интегрирование
рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены.
Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей,
где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)k
в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на
слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t
простейших дробей типа .
Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на
слагаемые.
Правила
интегрирования рациональных дробей:
- Если рац. дробь
неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной
дроби.
- Разлагают
знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь
разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац.
дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
8.
Интегрирование
тригонометрических функций:
I.
1 Интеграл
вида:
2
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то
cosx=t.
3
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то
sinx=t.
4
R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то
tgx=t.
II.
1
III.
òtgmxdx и òctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1.
IV.
òtgmxsecnxdx и òctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
V.
òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx,
òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b));
cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));
9.
Интегрирование
иррациональных функций:
I.
1 òR(x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk, dx=ktk–1dt
2
òR(x,, …)dx, , x=, dx=
II.
1
Вынести 1/Öa или 1/Ö-a. И выделим полные квадраты.
2
3
Разбить
на два интеграла.
4
III.
1
2
3
1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое
число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.
10.
Определенный
интеграл:
1)
интервал [a,b], в котором
задана функция f(x), разбивается на n
частичных интервалов при помощи точек a=x0<x1<…<xn–1<xn=b;
2)
Значение функции f(xI)
в какой нибудь точке xiÎ[xi–xi–1] умножается на длину этого интервала xi–xi–1,
т.е. составляется произведение f(xi)(xi–xi–1);
3)
,
где xi–xi–1=Dxi;
*1.
Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при
стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что
предел существует).
Т1.
(Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция
f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не
достаточно. Док-во: Функция Дирихле: