Балансовая модель
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из
важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить
объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на
примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных
отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление
( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов
или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту
часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая
из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый
столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через xi
валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для
рассматриваемой системы потребление ( средства производства других
экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
Таким образом, разность xi
- yi составляет
часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления.
Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в
стоимостном разрезе.
Обозначим через xik
часть продукции i-й
отрасли, которая потребляется k-й
отраслью, для обеспечения
выпуска ее продукции в размере хk.
Таблица 1
№
потребление итого на конечный валовый
отрас.
внутре продукт выпуск
производ. ( уi )
( хi )
№ 1 2 … k
… n потребление
отрас.
( å хik
)
1 х11 х12 … х1k …
х1n å х1k у1
х1
2 х21 х22 … х2k
… х2n å х2k у2 х2
… … … … … … …
… … …
i хi1 xi2
… xik … xin å
xik yi
xi
… … … … … … … …
… …
n xn1 xn2 … xnk
… xnn å xnk
yn xn
итого
произв.
затраты å хi1 å xi2 … å xik
… å xin
в k-ю
отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны
следующими балансовыми равенствами :
х1 - ( х11 + х12 + … + х1n
) = у1
х2 - ( х21 + х22
+ … + х2n ) = у2 ( 1 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn - ( xn1
+ xn2 + … + xnn ) = yn
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на
базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные
данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а
теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым
периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в
планируемом периоде.
Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным
вектором :
_
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )
а совокупность значений x1
, x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом
:
_
x = ( x1 , x2
, … , xn ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми
равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному,
например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х,
т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2
неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.
Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :
xik
aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
xk
Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или
технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и
зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно
полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени,
охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что
x’ik xik
––– = ––– = aik = const ( 4 )
x’k xk
Исходя из этого предложения имеем
xik = aikxk
, ( 5 )
т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят
линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием
линейности прямых затрат.
Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении
баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим
матрицу
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n
A= ………………….
ai1 ai2 … aik … ain
an1 an2 … ank … ann
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено
в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи
между производством и потреблением, характеризуемые табл.1
Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную
балансовую модель :
x1 - ( a11x1
+ a12x2 + … + a1nxn ) = y1
x2 - ( a21x1 + a22x2 + …
+ a2nxn ) = y2 ( 6 )
……………………………………
характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в
табл.1
Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если
использовать матричную форму записи уравнений:
_ _ _
Е·х - А·х = У , или окончательно
_ _
( Е - А )·х = У , ( 6' )
где Е – единичная матрица n-го порядка и
1-a11
-a12 … -a1n
E - A= -a21 1-a22 … -a2n
…………………
-an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi
и yi ).
Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти
остальные n -
переменных.
Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn
) и определять необходимый для
его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной
системы, состоящей из двух производственных отраслей:
табл.2
№
отрас Потребление Итого Конечный Валовый
№
затрат продукт выпуск
отрас
1 2
0.2 0.4
1 100
160 260 240 500
0.55 0.1
2 275
40 315 85 400
Итого
затрат 575
в k-ю 375
200
отрасль …
575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется
данными, помещенными в табл.2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160
275 40
а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21
= –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1
500 400
500 400
Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих
клеток.
Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ),
соответствующая данным табл.2
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для
определения х1 и х2 при заданных значениях у1
и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений
в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85,
получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170,
получим х1=1000 и х2=800 и т.д.
РЕШЕНИЕ
БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос
о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0,
т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного
продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А
утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6'
)
А= , то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или
в развернутой форме
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 - 0.8х2 = у1 (
a )
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1
и х2, если только у1>0 и
у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0
).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) –
несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) –
неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ
на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0,
удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет
неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для
любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет
обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для
предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план
х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному
балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом,
уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0.
На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый
план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена
матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен
вектор-план х.
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
x1 = S11y1
+ S12y2 + … + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + … +
S2nyn ( 8 )
………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … +
Snnyn
ПОЛНЫЕ
ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли,
т.е.
1
_ 0
У1 = :
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0
S21 _
х = S : = : = S1
0 Sn1
0
_ 1
задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 ,
получим
:
0
0 S12
_ 1 S22
_
х = S : = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства
единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
0 S1k
_ : S2k
_
х = S 1 = : = Sk , ( 9 )
: Snk
0
т.е. k-й столбец матрицы S.
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.
Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го
продукта, то величины S1k, S2k,
…, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и
т.д., n-й отраслей
идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты
прямых затрат a1k, a2k,
…, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли,
которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый
производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо
потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать,
если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2,
… и т.д.). Проиллюстрируем
сказанное на примере табл.2
Пусть нас не интересует выпуск для внешнего
потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 )
и мы хотим определить затраты
продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на
каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается:
продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100.
Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать,
что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и
поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже
следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и
т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также
необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется
выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в
продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем
уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):
0.8х1 - 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5.
Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й
отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту
величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует
затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли,
используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые
затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й
отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты,
реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном
счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й
отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу
валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то
коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина Sik
характеризует полные
затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.
Очевидно, что всегда Sik
> aik.
Если необходимо выпустить уk
единиц k-го
конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит
на основании системы ( 8 ):
x1 = S1k·yk,
x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk
,
что можно записать короче в виде:
_ _
x = Sk·yk
( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный
ассортимент-
_ у1
ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk,
необходимый для его
уn
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное
произведение столбца Sk на вектор У, т.е.
_ _
xk = Sk1y1
+ Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y
, ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение
матрицы S на вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S,
можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный
валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1,
Dх2, …, Dхn )
вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1,
Dу2, …, Dуn ) по
формуле:
_ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для
балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0.2 0.4
А =
0.55 0.1
Следовательно,
Е - А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55
0.9
Определитель этой матрицы
0.8 -0.4
D [ E - A ] = = 0.5
-0.55 0.9
Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:
0.9 0.4
( Е - А )* = ,
0.55 0.8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных
затрат, будет следующей:
1 0.9 0.4
1.8 0.8
S = ( Е - А )-1 =
––– =
0.5 0.55 0.8
1.1 1.6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й
отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли,
составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2
и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят
1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство
единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и
1.6-0.1=1.5.
Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц
2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из
равенства ( 7 ):
х2
_ _ 1.8 0.8 480 1000
х = S·У
= · =
1.1 1.6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА
КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой
отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и
т.д. дополнительные строки.
Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2,
…, n ). Подобно тому как
вводились прямые затраты aik,
xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и
xk
xn+2,k
капиталовложений an+2,k
= ––––– , представляющих
собой расход соответствующего
xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в
структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим
прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11
a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n
основная часть матрицы
…………………………………
А' = ai1 ai2 … aik
… ain
…………………………………
an1 an2 … ank
… ann
an+1,1 an+1,2 … an+1,k
… an+1,n
an+2,1 an+2,2
… an+2,k … an+2,n дополнительные строки
При решение балансовых уравнений
по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А
). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений,
необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие
дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится
единица продукта 1-й отрасли, т.е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S11
_ _ S21
x = S1 = :
Sn1
Подсчитаем необходимые при этом
затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо
выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль
как an+1,1S11, во 2-ю –
an+1,2S21 и
т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с
производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,1 = an+1,1S11
+ an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1
,
т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки
расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й
столбец матрицы S.
Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного
продукта k-й
отрасли, составят:
_ _
Sn+1,k = an+1Sk ( 13
)
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда.
Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений,
придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
_ _
Sn+2,k = an+2Sk ( 14
)
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов
полных затрат:
S11
S12 … S1k … S1n
матрица коэффициентов
S21
S22 … S2k … S2n полных
внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S' = Si1 Si2 … Sik
… Sin
…………………………………
( 15 )
Sn1 Sn2 … Snk
… Snn
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n
дополнительные строки
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном
ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х
( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной
продукции У.
Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2
+ … + Sn+1,nyn , ( 16 )
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2
+ … + Sn+2,nyn ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для
обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны
скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор
У.
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к
следующей компактной форме:
x1
x2
_ :
_
x = xn
= S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по
итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Таблица 3
№ отраслей
потребление итого конечный валовый
№
затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
1 100
160 260 240 500
2 275 40
315 85 400
труд 250
80 330
капиталовложе- 750 800
1550
ния
Обратная матрица S = ( E -
A )-1 была уже
подсчитана в предыдущем пункте.
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда (
Sn+1,k=S3,k ):
_ _
S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;
_ _
S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72
и капиталовложений Sn+2,k
= S4,k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;
_ _
S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .
Таким образом, расширенная
матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным
вектором
У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и
85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2
= 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85
= 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что
совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты
группируются по отраслям
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной
продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2;
соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все
показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные
расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда
170
_ х1 1.8
0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6
480 = 800
х3 1.12 0.72
170 600
х4 4.9
4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У
может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000
и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс.
чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно,
далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований.
Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в
экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на
единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в
человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего
материала и оплата за 1 чел.-ч.
Таблица
Нормы расхода
I II III
Сырье I
1.4 2.4 0.8 a4
5
Сырье II –
0.6 1.6 a5 12
Сырье III 2.0
1.8 2.2 a6 2
Трудоемкость
10 20 20 а7
12
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение
производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу
конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю
производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю
строку второй таблицы на вектор х, т.е.
_ _ 235
а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и
т.д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1.4 2.4 0.8 235 1088
Сырье I
0 0.6 1.6 186 = 746
Сырье II
2.0 1.8 2.2 397 1678
Топливо
0.1 0.2 0.2 1409
Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1
) найдем из выражения 1.4S11 +
2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья,
топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения
матрицы:
I II III
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92
1.36 Сырье I
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 =
0.17 0.84 2.09 Сырье II
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26
2.53 2.60 5.23 Топливо
10 20
20 15.2 24.8
28.0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1
необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53
единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из
умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В
результате получим матрицу полных расходов:
I
II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения
слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111
635 I II
III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410;
8666; 20484 )
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции,
необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем
умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:
1.97 2.92 1.36
0.17 0.84 2.09 I II III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3;
59.6; 75.7 )
15.2 24.8 28.0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной
продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб.,
59.6 руб., 75.7 руб.