№
варианта
|
Концентрированные
корма, не менее
|
№
варианта
|
Грубые
корма, не более
|
0
|
26%
|
0
|
21%
|
Составить рацион
кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу
вручную симплексным методом.
Решение:
Выразим все условия
задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого
обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 –
сена (кг) и через х3 – силоса (кг).
Составим систему
ограничений:
1)
условие по содержанию кормовых единиц в рационе:
1*х1+0,5*х2+0,2*х3³10,3
2)
условие по содержанию переваримого протеина в
рационе:
160*х1+60*х2+30*х3³1136
3)
условие по содержанию концентратов в рационе (не
менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):
1*х1³2,678
4)
условие по содержанию грубых кормов в рационе (не
менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):
0,5*х2£2,163
Целевая
функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3®min
Перейдем
в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем
дополнительные переменные:
1)
1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3
2)
160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136
3)
1*х1-х6=2,678
4)
0,5*х2+х7=2,163
Целевая
функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7®min
Дополнительные
переменные имеют следующий экономический смысл:
х4
– количество кормовых единиц сверх минимума, кг
х5
– количество переваримого протеина сверх минимума, г
х6
– количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.
х7
– разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим
содержанием в рационе, кг корм. ед.
В
ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1»,
введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем
их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.
1)
1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3
2)
160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136
3)
1*х1-х6+у3=2,678
4)
0,5*х2+х7=2,163
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6)
®0
Разрешим
уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с
коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для
удобства двумя строками:
1)
у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)
2)
у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)
3)
у3=2,678-(1*х1-1*х6)
4)
х7=2,163-(0,5*х2)
Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) ®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6)
®0
Заполним
симплексную таблицу 1:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
bi/aij
|
1
|
y1
|
10,300
|
1,000
|
0,500
|
0,200
|
-1,000
|
0,000
|
0,000
|
10,300
|
2
|
y2
|
1136,000
|
160,000
|
60,000
|
30,000
|
0,000
|
-1,000
|
0,000
|
7,100
|
3
|
y3
|
2,678
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-1,000
|
2,678
|
4
|
x7
|
2,163
|
0,000
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-
|
m+1
|
Z
|
0,000
|
-4,200
|
-0,900
|
-0,600
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
X
|
m+2
|
F
|
1151,141M
|
157,8M
|
60,1M
|
29,6M
|
-M
|
-M
|
-M
|
x
|
- Разрешающий
столбец – х1.
- Разрешающая
строка – у3.
- Заполняется
симплексная таблица 2.
3.1.
Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1
вводится в базис.
3.2.
Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:
1/1=1
3.3.
Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте
разрешающей:
2,678/1=2,678;
0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1
157,8М/(-1)=157,8М
3.4.
Расчет остальных элементов таблицы:
Столбца
bi:
10,300-1*2,678=7,622;
1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;
0-(-4,200)*2,678=11,248;
1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;
Столбца
х2:
0,500-1,000*0,000=0,5000;
60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при
расчете требуется постоянно умножать на 0,000
без
изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в
начальной строке стоят нулевые элементы.
Расчет
элементов столбца х6:
0,000-1,000*(-1,000)=1,000;
0,000-160,000*(-1,000)=160,000;
0,000-0,000*(-1,000)=0,000;
0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;
-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.
Аналогично
составляем симплексную таблицу 2:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
bi/aij
|
1
|
y1
|
7,622
|
-1,000
|
0,500
|
0,200
|
-1,000
|
0,000
|
1,000
|
7,622
|
2
|
y2
|
707,520
|
-160,000
|
60,000
|
30,000
|
0,000
|
-1,000
|
160,000
|
4,422
|
3
|
x1
|
2,678
|
-1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-1,000
|
-2,678
|
4
|
x7
|
2,163
|
0,000
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-
|
m+1
|
Z
|
11,248
|
-4,200
|
-0,900
|
-0,600
|
0,000
|
0,000
|
-4,200
|
X
|
m+2
|
F
|
728,552М
|
-157,8M
|
60,1M
|
29,6M
|
-M
|
-M
|
156,8М
|
x
|
Симплексная
таблица 3:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
1
|
y1
|
-152,378
|
|
-159,500
|
-159,800
|
-161,000
|
-160,000
|
|
0,955
|
2
|
x6
|
4,422
|
|
0,375
|
0,188
|
0,000
|
-0,006
|
|
11,792
|
3
|
x1
|
162,678
|
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
|
1,017
|
4
|
x7
|
2,163
|
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
|
4,326
|
m+1
|
Z
|
683,248
|
|
671,100
|
671,400
|
672,000
|
672,000
|
|
X
|
m+2
|
F
|
-24359,448M
|
|
60,1M
|
-25058,4M
|
-25089M
|
-25089M
|
|
x
|
Симплексная
таблица 4:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
х7
|
x3
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
1
|
y1
|
-153,460
|
|
-319,000
|
-159,800
|
-161,000
|
-160,000
|
|
0,960
|
2
|
x6
|
3,341
|
|
0,750
|
0,188
|
0,000
|
-0,006
|
|
-0,021
|
3
|
x1
|
1,082
|
|
320,000
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
|
-0,007
|
х2
|
4,326
|
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
|
-0,006
|
m+1
|
Z
|
682,167
|
|
1342,200
|
671,400
|
672,000
|
672,000
|
|
-4,269
|
m+2
|
F
|
-243360,53М
|
|
120,2М
|
160,4M
|
-25089M
|
-25089M
|
|
x
|
Симплексная
таблица 5:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
х7
|
у1
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
1
|
х3
|
27,295
|
|
-319,000
|
1,000
|
-1,200
|
-25728,000
|
|
-
|
2
|
x6
|
-0,986
|
|
0,750
|
-0,001
|
0,000
|
-25568,006
|
|
-
|
3
|
x1
|
2,678
|
|
320,000
|
-1,001
|
-25567,800
|
-25408,000
|
|
-
|
4
|
х2
|
4,326
|
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
-25568,000
|
|
-
|
m+1
|
Z
|
677,841
|
|
1342,200
|
-4,202
|
-25055,800
|
-24896,000
|
|
х
|
m+2
|
F
|
0М
|
|
0М
|
0M
|
0M
|
0M
|
|
x
|
Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит
из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.
Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти
4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл.
6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.
Таблица 5.
Количество зеленой массы с полей, т
№ варианта
|
Поле
|
|
1-е
|
2-е
|
3-е
|
4-е
|
5-е
|
0
|
800
|
1000
|
1200
|
400
|
600
|
Таблица 6.
Потребность ферм в зеленой массе, т
№ варианта
|
Ферма
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
0
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
Таблица 7.
Расстояние от полей до ферм, км
Поля
|
Ферма
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
Составить такой
план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется
решить задачу методом потенциалов.
Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего»
элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим
расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно
заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой
массы, т
|
Ui
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
1-е
|
5
|
6
|
2-
|
2-
|
|
0
|
|
|
|
400
|
400
|
800
|
|
2-е
|
9-
|
7
|
4+
|
6+
|
|
5
|
|
1000
|
|
|
|
1000
|
|
3-е
|
7+
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
|
|
600
|
|
600
|
1200
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
0
|
|
|
|
400-
|
|
400
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4-
|
|
2
|
|
|
|
|
600
|
600
|
|
Потребность в
зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
Vj
|
4
|
-2
|
2
|
2
|
|
17400
|
Переходим к анализу
первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.
Проверим, является
ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.
1. Рассчитаем
значения потенциалов:
u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;
v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2
2. Рассчитаем
характеристики для свободных клеток:
d
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
5
|
8
|
0
|
0
|
2
|
0
|
4
|
-1
|
-1
|
3
|
0
|
0
|
0
|
0
|
4
|
1
|
4
|
0
|
2
|
5
|
0
|
4
|
-1
|
0
|
3.
Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3,
для которой строим цепь.
4.
Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках
со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит
знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой
массы, т
|
Ui
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
0
|
|
|
|
44
|
756
|
800
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
5
|
|
|
|
756
|
244
|
1000
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
|
400
|
600
|
|
200
|
1200
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
0
|
|
|
|
|
400
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
2
|
|
200
|
|
|
400
|
600
|
|
Потребность в
зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
Vj
|
6
|
-2
|
2
|
2
|
|
15288
|
Расчеты
ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2
Перераспределяем по
цепи поставку 400. Строим таблицу 3.
Поле
|
Ферма
|
Наличие
зеленой массы, т
|
Ui
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
0
|
|
0
|
0
|
44
|
756
|
800
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
3
|
|
0
|
0
|
756
|
244
|
1000
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
1
|
|
0
|
600
|
0
|
600
|
1200
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
1
|
|
400
|
0
|
0
|
0
|
400
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
2
|
|
600
|
0
|
0
|
0
|
600
|
|
Потребность
в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
Vj
|
6
|
0
|
1
|
2
|
|
15288
|
Анализ решения: По
оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной
таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288
тонна-километров
Решение методом
линейного прораммирования:
1. Проверим, прежде
всего условие равенства ресурсов:
С полей
поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы
Потребность ферм в
зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам
потребителей.
2. Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем
ограничения:
х11+х12+х13+х14=800
х21+х22+х23+х24=1000
х31+х32+х33+х34=1200
х41+х42+х43+х44=400
х51+х52+х53+х54=600
Из условия
потребностей ферм:
х11+х21+х31+х41+х51=1000
х12+х22+х32+х42+х52=600
х13+х23+х33+х43+х53=800
х14+х24+х34+х44+х54=1600
Целевая функция
задачи – количество тонна-километров:
Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+
9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+
7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+
5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+
6*х51+4*х52+3*х53+4*х54®min
Решим
систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск
решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате
выполнения программы, получаем решение:
Поле
|
Ферма
|
Наличие
зеленой массы, т
|
Сумма
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
|
|
0
|
0
|
44
|
756
|
800
|
800
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
|
|
0
|
0
|
756
|
244
|
1000
|
1000
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
|
|
0
|
600
|
0
|
600
|
1200
|
1200
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
|
|
400
|
0
|
0
|
0
|
400
|
400
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
|
|
600
|
0
|
0
|
0
|
600
|
600
|
Потребность
в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
|
Z
|
Сумма
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
|
15288
|
Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с
полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288
тонна-километров.