Граничные условия общего вида
План.
1.
Сопряженный оператор.
2.
Сопряженная однородная
задача.
3.
Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через дифференциальный
оператор второго порядка, т.е.
(1)
где представляют
собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
(2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям
дает:
(3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное
выражение в правой части (3) через , т.е. (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)
Оператор называется
сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный
результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же ,
то оператор и
дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения
(1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда,
когда .
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в
самосопряженную форму, умножив на функцию .
(8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
(9)
где
(10)
Отметим, что:
и
следовательно, матрица -невырожденная.
Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор :
(12),
где
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным
множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом
векторе две
последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения
компонентам. Это
замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных
условий. Поскольку ,
мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:
или
(13),
где (14)
Билинейная форма в
соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в
правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)
и и получим:
(15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:
(16)
(17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
(18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть
выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В
частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11)
следует, что .
Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы
выполнялись равенства .
При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)
имеет вид:
(20)
где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача
(19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т.е. пропорциональна .
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность
сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе,
предположим. что .
Далее, выберем такие и
, чтобы строки
матрицы А были линейно независимы.
Например, положим и .
При этом матрица А примет вид:
(21).
Из формулы (19) следует, что .
Тогда
(22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем
(14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной
задачи имеют вид:
(22)
(23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из
компонент и являлась линейной
комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда,
когда . При этом
условия (21) и (20) принимают вид:
(24)
Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем:
(25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают
тогда и только тогда, когда:
(26)
Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда
выполнены соотношения (24) и равенство .
Условие
разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к
решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу
Грина в виде:
(27)
,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие
разрешимости имеет вид:
(27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием
разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:
(28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида
можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.