Электрон в слое

Электрон в слое

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема:  Электрон в слое.

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых  упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

ì -ћ²/(2m)׶²/¶x² + U₀  ,  x < -a

 Ù   ï

 H =       í -ћ²/(2m₀)׶²/¶x²      ,  -a < x < a

ï

î -ћ²/(2m)׶²/¶x² + U₀  ,  x > a

Где  m   -   эффективная масса электрона в областях I , III ;

         m₀ -   эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

  ì ¶²Y_I/¶x² + 2m/ћ²×(E - U₀)Y_I = 0    ,  x £ -a

  ï

  í ¶²Y_II/¶x² + 2m₀/ћ²×E×Y_I = 0         ,  -a £ x £ a

ï

  î ¶²Y_III/¶x² + 2m/ћ²×(E - U₀)×Y_I = 0       ,  x ³ a

Область I :   

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

Y_I(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

Y_I(x) = A×exp(n×x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

Y_II(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

Y_III(x) = F×exp(-n×x).

Где

               k = (2m₀×E/ћ²)^1/2

               n = (2m×(U₀-E)/ћ²)^1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

¨   Напишем систему из  4  уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

¨   В этой системе из  4  уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты  A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

¨   Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

   Y_I(x=-a) = Y_II(x=-a)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

     Y_I¢(x=-a)/m = Y_II¢(x=-a)/m₀

   Y_II¢(x=a)/m₀ = Y_III¢(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)

m^-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m₀×(C×exp(-i×k×a) - D×exp(i×k×a))

C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)

i×k×/m₀×(C×exp(i×k×a) - D×exp(-i×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).

Теперь составим определитель :

|exp(-n×a)     -exp(-i×k×a)                     -exp(i×k×a)                       0                         |

|m^-1×n×exp(-n×a)                                   -1/m₀×i×k×exp(-i×k×a)        1/m₀×i×k×exp(i×k×a)   0            |

|0                  exp(i×k×a)                         exp(-i×k×a)                       -exp(-n×a)         |

|0                  1/m₀×i×k×exp(i×k×a)            -1/m₀×i×k×exp(-i×k×a)        1/m×n×exp(-n×a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)² - (k/m₀)²)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m₀)×Cos(2×k×a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно,  методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a) ×( i×k/m₀ - n/m)/(n/m + i×k/m₀)}

D = C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m₀ - n/m)/(n/m + i×k/m₀)

A = exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_A×F

C = R_C×F

D = R_D×F.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D.  А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

Y_I(x) = F×R_A×exp(n×x)

Y_II(x) = F×( R_C×exp(i×k×x) + R_D×exp(-i×k×x)).

Y_III(x) = F×exp(-n×x).

I₁ + I₂ + I₃ = 1

Где

I₁ = |F|²×|R_A|²×ò_Qexp(2×n×x)×dx = |F|²×|R_A|₂×(2×n)^-1×exp(2×n×x) =

= |F|²×|R_A|²×(2×n)^-1×exp(-2×n×a)

I₂ = |F|²×{ ò_L|R_C|²×dx + ò_L|R_D|²×dx + R_C×R_D^*×ò_Lexp(2×i×k×x)×dx +

+ R_C^*×R_D×ò_Lexp(-2×i×k×x)×dx } = |F|²×{ 2×a×(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×R_C×R_D^*/(2×i×k) +

+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×R_C^*×R_D/(2×k) }

I₃ = |F|²×ò_Wexp(-2×n×x)×dx = |F|²×(2×n)^-1×exp(-2×n×a)

|F|² = { |R_A|²×(2×n)^-1×exp(-2×n×a) + 2×a×(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×R_C×R_D^*/(2×i×k) +

+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×R_C^*×R_D/(2×k) + (2×n)^-1×exp(-2×n×a) }^-1.

Теперь, когда мы знаем  F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a)   (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

¶²Y/¶x² + 2m/ћ²×(E - U₀)Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×r^m ,    где  m=0, ±1, ±2,...                 (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U₀) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_I/¶x² + 2m₂/ћ²×(E - U₀)Y_I = 0    ,  0 > x > -a

его решение выглядит просто:

Y_I(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Где n = (2m₂ (U₀-E) /ћ²)^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_II/¶x² + 2m₁/ћ²×E Y_II = 0    ,  a ³ x ³ 0

его решение выглядит просто:

Y_II(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).

Где  p = (2m₁E/ћ²)^1/2

Рассмотрим область III:

¶²Y_III/¶x² + 2m₂/ћ²×(E - U₀)Y_III = 0    ,  2a > x > a

его решение выглядит просто:

Y_III(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).

Запишем граничные условия:

Y_I(x=0) = Y_II(x=0)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

     Y_I¢(x=0)/m = Y_II¢(x=0)/m₀

   Y_II¢(x=a)/m₀ = Y_III¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1                           1                                    -1                            -1                       |

|exp(i×k×2a+n×a)     exp(i×k×2a-n×a)              -exp(i×p×a)               -exp(-i×p×a)        |

|n/m₂                      -n/m₂                             -i×p/m₁                     i×p/m₁                        |

|n/m₂exp(i×k×2a+n×a)                                    -n/m₂×exp(i×k×2a-n×a)                         - i×p/m₁×exp(i×p×a)                                        i×p/m₁×exp(-i×p×a)           |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10;      U=10;              m₁=4;               m₂=1

    0.6186359585387896

    0.2019199605676639

   0.3155348518478819

    0.05047267055441365

    1.263391478912778

   0.4544326758658974

    2.137353840637548

    0.808172718170137

   2.479933076698526

    0.4544326758658974

    6.168062551132728

   5.611693924351967

    1.820461802850339

    1.529165865668653

   1.023077302091622

a=10       U=10               m₁=2                m₂=1

a=10       U=10               m₁=1                m₂=1

a=10       U=10               m₁=0.5 m₂=1

a=10       U=10               m₁=.25 m₂=1