Кольцевой орбитальный резонанс
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов
В 1978 г. нами была опубликована работа
«Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной
системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что
периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со
знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми
рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...),
см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от
резонансного значения nT в %.
Таблица 1
Тело
|
Т, лет
|
n
|
nT, лет
|
δ%
|
Ме
|
0,24085
|
377
|
90,800
|
1,98
|
В
|
0,61521
|
144
|
88,590
|
0,50
|
З
|
1,00000
|
89
|
89,000
|
0,03
|
Ма
|
1,88089
|
47
|
88,401
|
0,71
|
С
|
29,4577
|
3
|
88,373
|
0,74
|
|
|
|
89,033
|
0,79
|
Ц
|
4,605
|
18
|
82,893
|
0,10
|
Ю
|
11,862
|
7
|
83,035
|
0,06
|
У
|
84,015
|
1
|
84,015
|
1,24
|
Н
|
164,78
|
1/2
|
82,394
|
0,71
|
П
|
247,69
|
1/3
|
82,565
|
0,50
|
|
|
|
82,980
|
0,52
|
Однако, кроме описанных в статье случаев
проявления «золотого сечения» в Солнечной системе, нам удалось выявить ещё ряд
новых интересных примеров такого же рода. В частности, мы обнаружили, что
величины, обратные эксцентриситетам планетных орбит также близки к числам Люка
и Фибоначчи (см. табл. 2, где e – эксцентриситет орбиты, а n – число Люка или
Фибоначчи).
Таблица 2
Тело
|
1/e
|
n
|
1/ne
|
δ%
|
П
|
4,021
|
4
|
1,0054
|
0,44
|
Ме
|
4,863
|
5
|
0,9726
|
2,91
|
Ма
|
10,711
|
11
|
0,9737
|
2,80
|
Ц
|
13,157
|
13
|
1,0121
|
1,10
|
С
|
17,946
|
18
|
0,9970
|
0,40
|
Ю
|
20,652
|
21
|
0,9834
|
1,79
|
У
|
21,195
|
21
|
1,0093
|
0,82
|
З
|
59,772
|
55
|
1,0867
|
8,56
|
Н
|
116,686
|
123
|
0,9486
|
5,52
|
В
|
147,058
|
144
|
1,0212
|
2,01
|
|
|
|
1,0010
|
2,63
|
Так как орбиты планет эллиптичны и
постепенно прецессируют, то каждая из них занимает кольцевую область между
двумя круговыми орбитами с радиусами:
rπ = (1 –
e)a
|
(1)
|
rα = (1 +
e)a
|
(2)
|
где rπ – радиус орбиты в
перигелии,
rα – радиус орбиты в
афелии,
a – большая полуось орбиты.
Этим круговым орбитам соответствуют свои
периоды, а интервал периодов может быть найден по следующей формуле:
|
(3)
|
где T – период обращения планеты, а
ΔT – будет шириной орбиты, выраженной в терминах периодов. Назовем эту
величину «периодом ширины орбиты». При этом оказалось, что «период ширины
орбиты» связан с перодом обращения планеты, расположенной через одну орбиту
ближе к Солнцу, следующим соотношением:
где k – целое число, чаще всего, близкое
к единице, т.е. имеет место своеобразный резонанс, названный нами «кольцевым
резонансом» (см. табл. 3).
Таблица 3а
Тело
|
ΔT, лет
|
k
|
kΔTn, лет
|
В
|
0,0125
|
5
|
0,0627
|
З
|
0,0501
|
5
|
0,2509
|
М
|
0,5266
|
1
|
0,5266
|
Ц
|
1,0497
|
1
|
1,0497
|
Ю
|
1,7228
|
1
|
1,7228
|
С
|
4,9235
|
1
|
4,9235
|
У
|
11,890
|
1
|
11,890
|
Н
|
4,237
|
7
|
29,659
|
П
|
184,28
|
0,5
|
92,140
|
Таблица 3b
Teло
|
T, лет
|
kΔTn / kΔTn–2
|
δ%
|
k
|
kΔTn / kΔTn–2
|
δ%
|
Сл
|
0,0694
|
0,903
|
10,0
|
11/2
|
0,993
|
0,61
|
Ме
|
0,2408
|
1,041
|
4,8
|
24/5
|
1,000
|
0,07
|
В
|
0,6152
|
0,855
|
16,0
|
7/6
|
0,998
|
0,08
|
З
|
1,0000
|
1,049
|
5,6
|
20/21
|
0,999
|
0,02
|
Ма
|
1,8808
|
0,915
|
8,4
|
12/11
|
0,999
|
0,02
|
Ц
|
4,6052
|
1,069
|
7,6
|
14/15
|
0,997
|
0,16
|
Ю
|
11,862
|
1,002
|
0,8
|
1/1
|
1,002
|
0,28
|
Ст
|
29,457
|
1,006
|
1,3
|
7/1
|
1,006
|
0,73
|
У
|
84,015
|
1,096
|
10,3
|
5/11
|
0,997
|
0,24
|
|
|
0,993
|
7,2
|
|
0,999
|
0,24
|
Как видно из таблицы, при грубой
подборке коэфициента k он чаще всего принимает значение 1 и даёт отклонение от
резонансности, равное 7,2%, а при более тонкой подборке коэфициента, когда он
не целочислен, но равен отношению небольших чисел, это отклонение имеет
величину только 0,24%. Учитывая, что на самом деле мгновенный период обращения
планеты меняется в широких пределах, можно считать, что резонанс всегда
соблюдается даже при грубой подборке k. Как оказалось, экваториальный период
вращения Солнца и все «периоды ширины орбит» планет земной группы имеют между
собою общий резонанс. Для планет, внешних по отношению к Земной орбите также
имеет место общий для них резонанс. Причём средние отклонения от резонансности
для обеих групп планет не превышают 0,55%. Период общего резонанса для внешних
планет превосходит аналогичный период для земной группы планет в 28 раз (см.
табл. 4).
Таблица 4
Тело
|
ΔT
|
n
|
ΔT / n
|
δ%
|
В
|
0,0125
|
2
|
0,00627
|
0,19
|
З
|
0,0501
|
8
|
0,00627
|
0.16
|
Сл
|
0,0694
|
11
|
0,00631
|
0,86
|
Ме
|
0,1483
|
24
|
0,00618
|
1,35
|
Ма
|
0,5266
|
84
|
0,00627
|
0,10
|
|
|
|
0,00626
|
0,53
|
Ма
|
0,5266
|
3
|
0,17553
|
0,30
|
Ц
|
1,0497
|
6
|
0,17495
|
0,02
|
Ю
|
1,7228
|
10
|
0,17228
|
1,58
|
Н
|
4,2370
|
24
|
0,17654
|
0,88
|
Ст
|
4,9235
|
28
|
0,17584
|
0,48
|
У
|
11,890
|
68
|
0,17485
|
0,08
|
|
|
|
0,17500
|
0,55
|
Если рассмотреть ширину орбиты в
терминах частот обращений планет, то мы получим «частоту ширины орбиты». Как
выяснилось, эти величины, нормированные на «частоту ширины орбиты» Нептуна,
образуют числовые ряды, близкие к числам Люка и Фибоначчи (см. табл. 5) со
средним отклонением от резонансности меньше 3%.
Таблица 5
Тело
|
Δν, год–1
|
Δν / ΔνН
|
n
|
Δν / nΔνН
|
δ%
|
Н
|
0,000156
|
1,0000
|
1
|
1,0000
|
У
|
0,001690
|
10,8346
|
11
|
0,98496
|
3,17
|
П
|
0,003305
|
21,1871
|
21
|
1,00890
|
0,72
|
С
|
0,057000
|
36,5384
|
34
|
1,07465
|
5,75
|
Ю
|
0,012286
|
78,7564
|
76
|
1,03626
|
1,97
|
В
|
0,033516
|
212,564
|
199
|
1,06816
|
5,11
|
З
|
0,050200
|
321,794
|
322
|
0,99936
|
1,68
|
Ц
|
0,049938
|
320,051
|
322
|
0,99394
|
2,23
|
Ма
|
0,150818
|
966,782
|
987
|
0,97951
|
3,69
|
|
|
|
|
1,01619
|
2,88
|
Мы рассматривали до сих пор интервалы
периодов и частот, определяемых через радиусы круговых орбит, ограничивающих
эллипсы орбит. Однако, интересно рассмотреть разности мгновенных периодов
обращения планет в афелиях и перигелиях орбит т.е. интервал, в пределах
которого меняется мгновенный период при движении планеты по орбите. Назовём
этот интервал «девиацией периода» Расчёт её будем вести по формуле:
|
(5)
|
При этом оказалось, что наблюдается
резонанс между «девиацией периода» планеты и периодом соседней планеты,
расположенной ближе к Солнцу:
См. табл. 6, где значки π, 0,
α – определяют значения мгновенных периодов в перигелии, на среднем
расстоянии и в афелии. Мы видим, что чаще всего наблюдается k = 2. Среднее
отклонение от резонанса равно 1,75%.
Таблица 6
Тело
|
ΔTn*
|
k
|
k ΔTn*
|
Тело
|
T*n–1
|
kΔT*n
/ ΔT*n–1
|
δ%
|
Ме
|
0,2024
|
1/3
|
0,0674
|
Сле
|
0,0694
|
0,97099
|
2,58
|
В
|
0,0167
|
9
|
0,1505
|
Меπ
|
0,1553
|
0,96968
|
2,72
|
З
|
0,0669
|
9
|
0,6023
|
Вπ
|
0,6068
|
0,99253
|
0,35
|
Ма
|
0,5442
|
2
|
1,0884
|
Зα
|
1,0338
|
1,05279
|
5,69
|
Ц
|
1,4040
|
4/3
|
1,8720
|
Ма0
|
1,8808
|
0,99528
|
0,08
|
Ю
|
2,3000
|
2
|
4,6000
|
Ц0
|
4,6052
|
0,99888
|
0,28
|
Ст
|
6,5757
|
2
|
13,1514
|
Юα
|
13,0539
|
1,00746
|
1,14
|
У
|
15,8730
|
2
|
31,7460
|
Сα
|
32,8829
|
0,96542
|
3,17
|
Н
|
5,6494
|
15
|
84,7412
|
У0
|
84,0152
|
1,00864
|
1,26
|
П
|
254,336
|
7/11
|
161,850
|
Нπ
|
161,981
|
0,99919
|
0,31
|
|
|
|
|
|
|
0,99608
|
1,75
|
На самом деле, учитывая, что изменение
мгновенного периода происходит в широких пределах, мы можем считать, что
резонанс всегда соблюдается гораздо точнее.
Наконец, рассмотрим соотношения
экстремальных значений мгновенных периодов на соседних орбитах в ближайших
апсидах. Например, отношение мгновенного периода в афелии орбиты к такому же
периоду, но уже в перигелии последующей орбиты, расположенной дальше от Солнца
(см. табл. 7, где T1* – мгновенный период в афелии
орбиты, а T2* – мгновенный период в перигелии
последующей). Исключение составляют только Меркурий,где вместо перигелийных и
афелийных периодов взяты средние периоды и Венера, где вместо афелийного
периода взят средний период. Резонансный коэфициент равен отношению небольших
чисел, на 85% состоящих из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Анализ таблицы показывает, что эти
соотношения близки к резонансным со средним отклонением от резонансности 0,53%.
Таблица 7
Тело
|
T2*
|
Тело
|
T1*
|
k
|
kT1*
|
T2*
/ kT1*
|
δ%
|
Ме0
|
0,2408
|
Сле
|
0,0694
|
7/2
|
0,2432
|
0,990304
|
1,03
|
Вπ
|
0,6068
|
Ме0
|
0,2408
|
5/2
|
0,6021
|
1,007897
|
0,73
|
Зπ
|
0,9669
|
В0
|
0,6152
|
11/7
|
0,9667
|
1,000202
|
0,03
|
Маπ
|
1,6162
|
Зα
|
1,0338
|
11/7
|
1,6246
|
0,994791
|
0,57
|
Цπ
|
3,9432
|
Маα
|
2,1604
|
11/6
|
3,9608
|
0,995554
|
0,50
|
Юπ
|
10,7539
|
Цα
|
5,3472
|
2/1
|
10,6944
|
1,005564
|
0,50
|
Стπ
|
26,3072
|
Юα
|
13,0539
|
2/1
|
26,1079
|
1,007633
|
0,70
|
Уπ
|
76,3596
|
Стα
|
32,8829
|
7/3
|
76,7268
|
0,995213
|
0,53
|
Нπ
|
161,981
|
Уα
|
92,2326
|
7/4
|
161,407
|
1,003557
|
0,30
|
Пπ
|
144,369
|
Нα
|
167,630
|
6/7
|
143,683
|
1,004770
|
0,42
|
|
|
|
|
|
|
1,000548
|
0,53
|
Выводы
Величины, обратные эксцентриситетам
орбит планет образуют числа, близкие к числам Люка и Фибоначчи.
Периоды ширины орбитальных колец
находятся в резонансе с периодами планет, расположенными через одну орбиту
ближе к Солнцу.
Частоты ширины орбитальных колец
находятся в резонансе с частотами обращения планет, расположенных дальше от
Солнца через одну орбиту.
Периоды ширины орбитальных колец как
земной группы планет, так и планет, внешних по отношению к земной орбите,
образуют две группы тел с общими резонансами внутри группы.
Частоты ширины орбитальных колец,
нормированные на частоту ширины орбиты Нептуна, образуют числовой ряд близкий к
числам Люка и Фибоначчи.
Девиации периодов обращений планет
находятся в резонансе с периодом обращения соседней планеты, расположенной
ближе к Солнцу.
Экстремальные периоды в ближайших
апсидах соседних планет находятся в резонансе, а числовые коэфициенты
резонансов на 85% состоят из чисел Люка (2, 3, 4, 7, 11).
Имеют место ещё и другие резонансные
соотношения для частот ширины орбит, девиаций частоты и экстремальных значений
частот планетных орбит, но ввиду ограниченности объёма работы мы этих результатов
вычислений не приводим.
Список литературы
К.П. Бутусов. «Золотое сечение в
Солнечной системе». Проблемы исследования Вселенной, вып. 7. М.-Л., 1978.