Формирование у младших школьников умения строить алгоритмы на уроках математики

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого»

Кафедра педагогики, дисциплин и методик начального образования

Выпускная квалификационная работа

(БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА)

на тему

ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ АЛГОРИТМЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ АЛГОРИТМЫ

1.1.   Проблема формирования умений строить алгоритмы в контексте развития алгоритмического мышления у младших школьников

.2.     Виды алгоритмов как элемент содержания математического образования в начальной школе

.3.     Этапы и дидактические средства формирования алгоритмических умений у младших школьников

Выводы по главе

ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ АЛГОРИТМЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

.1.     Диагностика уровня сформированности умения строить алгоритмы у учащихся 3-го класса

.2.     Организация и проведение уроков математики в 3-м классе с использованием заданий, направленных на формирование умений строить алгоритмы

.3.     Анализ и интерпретация результатов исследования по формированию умений строить алгоритмы у учащихся 3-го класса

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Переход на новый образовательный стандарт начального образования влечёт за собой реализацию системно-деятельностного подхода, предполагающего использование в учебном процессе активных способов обучения, в том числе и алгоритмизации.

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) включает одно из требований к результатам освоения основной образовательной программы начального образования по математике:

овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы.

Одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. В результате этого применяется компетентностный подход, т.к. математическая компетенция учащегося способствует адекватному применению математики для решения возникающих в жизни проблем, разбираться в ключевых проблемах современной жизни и использовать алгоритмы в своей жизни.

Проблемой развития алгоритмического мышления в начальной школе занимались такие известные педагоги и психологи, как: С.П. Баранов, А.Е. Дмитриев, А.М. Матюшкин, Л.В. Воронина, С.Д. Язвинский, О.Н. Родионова и др., методисты в области математики: А.А. Столяр, М.И. Моро, Н.Б. Истомина, В.А. Козлова, В.А. Гусев, Б.А. Кардемский, В.Ф. Шаталов и др.

Применение алгоритмов способствуют умственному развитию и формированию логического мышления младших школьников, т.к. обучение элементам алгоритмизации в начальных классах очень важно. Описание какого-либо процесса по шагам, этапам доступно младшим школьникам. Составление алгоритма позволяет детям не только научиться находить значения числовых выражений, но и контролировать свои действия. Дети, участвуя в составлении алгоритма, увлекаются процессом пошаговых действий, что при правильном его использовании ошибочных ответов почти не допускают.

Анализ научно- методической литературы по теме исследования позволили сделать вывод о том, что для практики обучения математике в начальной школе недостаточно практических разработок по формированию алгоритмического мышления учащихся при обучении математике, согласно ФГОС НОО.

Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена сложившимися к настоящему времени противоречиями между: необходимостью обучения младших школьников умению строить алгоритмы на уроках математики, с одной стороны, и недостаточным методическим обеспечением данного процесса в начальной школе согласно ФГОС НОО, с другой. Это определило тему данного исследования «Формирование у младших школьников умения строить алгоритмы на уроках математики».

Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы данного исследования: обоснование и разработка методики формирования алгоритмического мышления при обучении математике учащихся начальной школы, ориентированной на качественное усвоение ими знаний и умений согласно ФГОС НОО.

Цель исследования - теоретически обосновать, разработать и опытно-экспериментальным путем проверить совокупность заданий к урокам математики, направленных на формирование у младших школьников умения строить алгоритмы.

Объект исследования - формирование у младших школьников умений строить алгоритмы на уроках математики.

Предмет исследования - математические задания, направленные на формирование у младших школьников умения строить алгоритмы.

Задачи исследования:

.        Рассмотреть понятие алгоритмического мышления младших школьников в психолого-педагогической литературе;

.        Изучить виды алгоритмов в начальной школе;

.        Рассмотреть этапы формирования алгоритмических умений;

.        Определить виды заданий на уроках математики в начальной школе, способствующие формированию у младших школьников умения строить алгоритма;

.        Определить уровень сформированности у младших школьников умения строить алгоритмы на уроках математики.

.        Провести сравнительный анализ результатов исследования.

Гипотеза исследования: формирование у младших школьников умения строить алгоритмы будет идти эффективно, если в уроки математики будут включены следующие задания:

на самостоятельное определение учащимися смысла предстоящей алгоритмической деятельности;

на образец программы действий и его запоминание;

на самостоятельную разработку учащимся системы правил или действий.

Методы исследования:

1.      Теоретический анализ психолого - педагогической литературы по проблеме исследования;

2.      Педагогический эксперимент;

3.      Количественный и качественный анализ результатов исследования.

Экспериментальная база исследования: Центр Образования №16 г. Тула, 3 «А» класс в количестве 20 человек.

Структура выпускной квалификационной работы: введение, две главы, заключение, список литературы, приложения.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ АЛГОРИТМЫ

1.1 Понятие алгоритмического мышления младших школьников в психолого-педагогической литературе

Перед современной школой стоит задача - сформировать личность, которая готова жить в условиях стремительных изменений в мире и высокой неопределенности будущего. С усвоения строго определенной суммы фактов акценты смещаются на формирование не только умения, но и потребности самостоятельно пополнять знания, на ориентирование в постоянно растущем потоке информации, на развитие коммуникативных навыков и готовности сотрудничать с другими людьми.

Эти задачи конкретизированы в Федеральном государственном образовательном стандарте (далее - ФГОС) начального общего образования в виде требований к образовательным результатам учащихся[48]. Например, освоение предметной области «математика и информатика» в рамках ФГОС предполагает овладение основами логического и алгоритмического мышления, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов; умение действовать в соответствии с алгоритмом, самостоятельно строить простейшие алгоритмы.

Познавательные (когнитивные) психические процессы являются проводниками для общения человека с внешним миром. Поступающая информация к человеку о явлениях или предметах изменяется в сознании человека и превращается в образ.

Все знания человека, полученные об окружающем мире, являются результатом работы психических познавательных процессов, интегрировавших отдельные знания. Каждый познавательный психический процесс имеет собственную организацию и уникальные характеристики описывающие его.

Однако, эти процессы, протекая одновременно и слаженно, взаимодействуя друг с другом, создают для человека целостную, единую и объективную картину окружающего его мира. Согласно Немову Р. П. психические процессы - это процессы, происходящие в голове человека и отражающиеся в динамически изменяющихся психических явлениях.

Главными познавательными процессами являются: ощущения, восприятие, память, воображение, мышление которые тесно связаны друг с другом. Познавательный процесс - процесс, способствующий познанию, расширению знаний[35].

Рассматривая вопросы развития мышления в младшем школьном возрасте, необходимо знать на какие виды подразделяется мышление [21,13]:

. Наглядно - действенное (основывается на реальном преобразовании ситуации и выполнения конкретного действия);

. Наглядно - образное (основывается на образах представлений, преобразовании ситуации в план образов, воспроизводится разнообразие характеристик объекта);

. Словесно - логическое (основывается на понятие или суждение, не используя эмпирических (практических) данных);

. Теоретическое (основывается на познание законов и правил, отражает существенное в явлениях, объектах связях между ними на уровне закономерностей и тенденций);

. Практическое (основывается на физическом преобразовании действительности используя эмпирические методы или данные);

. Алгоритмическое (основывается на установленные правила последовательность действий при решении задач разного рода).

Савина Е.А. классифицирует виды мышления по степени осознанности и развернутости мыслительного процесса и выделяет интуитивное и дискурсивное мышление.

Дело в том, что процесс мышления скачкообразен, часть его осуществляется подсознательно, без адекватного отражения в слове. Сначала в слове находит отражение его результат («Ага, нашёл!»), а затем сам путь к нему. Этот вид мышления называется интуитивным. Под интуицией следует понимать факт непосредственного усмотрения связей и отношений между объектом.

Внезапное нахождение решения, как уже говорилось выше, называется ннсайтом или «ага-переживанием». Он часто возникает тогда, когда человек непосредственно не занят решением проблемы. В чем же здесь дело? Дело в том, что сам процесс поиска решения в значительной степени протекает интуитивно, под порогом сознания, не находя своего отражения в слове. Именно поэтому его результат, прорвавшийся в сферу сознания, осознается как инсайт. якобы не связанный с процессом решения.

К решению какой-то проблемы ученик может прийти путем логических рассуждений, выстраивая всю цепочку рассуждений. Это мышление называется дискурсивным.

Мышление ребенка  школьного возраста  на  этапе  В этот  совершается переход  наглядно-образного  словесно- логическому, понятийному  [16].  в  школе  важно уделять  становлению логического  тесно  с  алгоритмического мышления.  с тем  придает  деятельности  двойственный характер:  мышление, связанное  реальной  и  наблюдением, уже  логическим принципам,  отвлеченные, рассуждения детям еще  доступны [4

Ребенок  школьного  преимущественно мыслит  категориями, опираясь  этом  наглядные  и качества  предметов и  [12].  этом  наиболее показательно  первоклассников. Поэтому  младшем  возрасте  развиваться наглядно-действенное  наглядно-образное мышление,  предполагает  включение  обучение моделей  типа (предметные  схемы,  графики  т.п.) [

Ту или  мыслительную  учащиеся  легче, если  на конкретные  представления  действия.  запоминают младшие  первоначально не  что  наиболее  с точки  учебных задач,  то,  произвело  них наибольшее  то, что  эмоционально  неожиданно  ново [12].

обучение строится  образом,  словесно-логическое  получает преимущественное  Если в  два  обучения  много работают  наглядными образцами,  в  классах  такого рода  сокращается. Образное  все  и  оказывается необходимым в учебной  [2

По  овладения учебной  и усвоения  научных  школьник  приобщается к  научных понятий,  умственные  становятся  связанными с  практической деятельностью  наглядной  Дети  приемами мыслительной  приобретают способность  в  и  процесс собственных  С развитием  связано  таких  новообразований, как  внутренний  действий,  [2].

школьный возраст  большое значение  развития  мыслительных  и приемов:  выделения существенных  несущественных  обобщения, понятия, выведения  и пр.  полноценной  деятельности  к тому,  усваиваемые ребенком  оказываются  а  и просто  Это серьезно  процесс обучения,  его эффективность 4].

Так,  при  выделять  и существенное  учащихся возникают  с  учебного подведением математической  под уже  класс,  корня  родственных словах,  (выделение главного)  текста,  его  части, выбором  для отрывка  т.  Важное  для формирования  мышления -  научных  Теоретическое  позволяет ученику  задачи, ориентируясь  на  наглядные  и связи  а на  суще свойства  отношения [

К 8-9-летнему  у  происходит  к стадии  операций, которая  с  уровнем  способности к  (умение выделять  признаки  и  от второстепенных знаков предметов)  обобщению 5].  овладения тем  иным понятием  умение  оперировать.

должны также  устанавливать иерархию  вычленять  широкие  более узкие  находить связи  родовыми  видовыми  К окончанию  класса учащийся  научиться  элементам  как выявление  связей: расположенность,  следования,  наличие  или иных  отношений, часть  целое.

теоретического  т.е. мышления  понятиях, способствует  к  младшего  возраста рефлексии  - процесс  своих  актов  состояний), которая,  новообразованием уже  возраста,  познавательную  и характер  отношений к  себе  другим  [5].

Таким  в младшем  возрасте  активное  мышления, у  формируются различные  его.  именно  этот период  постановка и  педагогической  -  определенного стиля  учащихся. Педагоги  если  работы  конкретной техникой  приобрести непосредственно  рабочем  то  не развитое  определенные природой  таковым  останется.  с развитием  - это  навсегда».

формирование  структур протекает  большими трудностями  часто  незавершенным 2]. Поэтому  подготовки детей  жизни  современном  обществе в  очередь необходимо  логическое  основывающееся  нем алгоритмическое  способности к  (вычленению  объекта,  взаимосвязей, осознанию  организации) и  (созданию  схем,  и моделей).

образом, алгоритмический  мышления  это  новообразование в  ребенка, которое  специальными  при  их использовании

А.В. Копаев считает, что алгоритмический стиль мышления или алгоритмическое мышление - это система мыслительных способов действий, приемов, методов и мыслительных стратегий направленных на решение как теоретических, так и практических задач, результатом которых являются алгоритмы как специфические продукты человеческой деятельности [17].

А.И. Газейкина использует понятие “алгоритмический стиль мышления” как специфический стиль мышления, предполагающий умение создать алгоритмы, при наличии мыслительных схем, которые способствуют видению проблемы в целом, ее решению крупными блоками и осознанным закрепление процесса в языковых формализованных формах [5,6].

Т.Н. Лебедев в понятие алгоритмическое мышление вкладывает познавательный процесс, характеризующийся наличием четкой, рациональной последовательности совершаемых мыслительных процессов, детализированных и оптимизированных крупных блоков с последующим осознанным закреплением процесса конечного результата в формализованном виде [21].

А.Г. Кушниренко на основании своих работ, дает определение алгоритмическому мышлению, как специфическому типу мышления, предполагающее создание алгоритма как продукта мыслительной деятельности. Одна из особенностей алгоритмического мышления это умение определять последовательность действий, необходимых для решения задачи [18,19].

Создание алгоритма (алгоритмическое мышление) требует таких навыков и умений как:

. Умение планировать структуру действий, необходимых для достижения цели, при помощи фиксированного набора средств;

. Умение строить информационные структуры для описания объектов и систем;

. Умение организовывать поиск информации, необходимый для решения поставленной задачи.

Алгоритмическое мышление дает возможность, алгоритмически мыслить, то есть уметь решать различные задачи, требующие плана действий для достижения желаемого результата. Умение планировать свои и чужие действия, предсказывать их последствия необходимо и особенно важно в повседневно практической деятельности человека [38].

Алгоритмическое мышление заключается не только в придумывании алгоритма, но и его обсуждении и корректировке. Алгоритмическое мышление составляет одну из важных частей интеллектуальной деятельности человека. Характеристика компонентов алгоритмического мышления, дает нам основание утверждать, что это особый стиль мышления [5]:

. Анализ требуемого или желаемого результата и на основании этого, выбор исходных данных для решения проблемы/задачи.

. Выделение операций, необходимых для решения проблемы/задачи.

. Выбор исполнителя операций.

. Построение модели процесса решения проблемы/задачи.

. Реализация процесса решения задачи и соотношение с тем, что следовало получить.

. Исправление исходных данных или операций в случае не совпадения полученного результата и предполагаемого.

Так же как и другие виды мышления, алгоритмическое мышление имеет свои специфические свойства, а именно:

. Дискретность (пошаговое исполнение алгоритма исполнителем, конкретизация действий, структурированный процесс выполнения операций).

. Абстрактность (возможность перехода решения задачи от конкретных данных к решению в общем, упрощенном виде).

. Закрепленность в языковых формах (умение представлять алгоритм решения задачи с помощью некоторого формализованного языка).

Так же, алгоритмическое мышление включает в себя и общие свойства мышления такие как, целостность и результативность, с помощью которых, можно увидеть поставленную проблему в целом виде и предполагающие создание предварительного образа результата решения поставленной проблемы.

Алгоритмическое мышление развивается в течении жизни человека под воздействием внешних факторов, а так же при наличии внутренней необходимости для дальнейшей самореализации личности.

Л.Г. Лучко и И.Н. Слинкина определили три основных уровня в механизме формирования и развития алгоритмического мышления [27,28,40]:

. Операционный уровень характеризуется владением некоторыми разрозненными операциями, но невозможностью сочетать их, по причине незнания структур и их вложенности.

. Системный уровень определяет знание некоторых способов сочетаний, умение решать стандартные задачи на применение алгоритмического мышления.

. Методологический уровень развития мышления - это умение использовать уже имеющиеся мыслительные схемы решения некоторых алгоритмических задач (проблем), преобразовывать их при изменяющихся условиях или трансформировать имеющиеся.

На основании характеристики каждого из уровней, были выделены умения характеризующие каждый этап развития алгоритмического мышления:

. Решать задачи алгоритмического характера.

. Производить анализ задачи;

. Составлять алгоритм;

. Записывать алгоритм;

. Производить синтаксический анализ составленного или предложенного алгоритма;

. Выполнять алгоритмы;

. Проводить оптимизацию алгоритма;

. Производить мыслительные операции.

Исходя из уровней, можно выделить требования к развитию алгоритмического мышления [6], а именно:

. На операционном уровне ученик имеет представление об алгоритме на “бытовом” уровне, т.е. алгоритм это последовательность действий, которая приводит к заданному результату.

. На системном уровне ученик имеет представление об алгоритме как о точном предписании исполнителю действий. Имеет представление о его свойствах, может составлять небольшие линейные алгоритмы, алгоритмы с простейшим ветвлением и циклом, знает способы решения некоторого класса алгоритмических задач, имеет представление об исполнителе и системе команд исполнителя;

. Методологический уровень характеризуется тем, что ученик имеет представления:

. Об алгоритме;

. О его свойствах;

. Умеет составлять и записывать формальные и неформальные алгоритмы линейной структуры, с простейшими ветвлениями и циклами;

. Легко справляется с задачами алгоритмического характера; имеет представление об исполнителе, системе команд исполнителя;

Таблица 1. Требования к уровням развития алгоритмического мышления

Проблема развития алгоритмического мышления в начальной школе рассматривается современными педагогами и психологами достаточно широко. Статьи, посвященные этому вопросу, публикуются на страницах педагогических журналов «Начальная школа», «Начальная школа плюс до и после», «Педагогическое обозрение», а также в специализированных, таких как «Информатика в школе» и др.

Уже учащимся 1-го класса доступны такие способы описания алгоритмов как развернутое словесное описание, таблицы, графические схемы, блок-схемы. Так, например, начинать работу по составлению словесного описания алгоритмов, автор советует, с простейших, доступных и понятных детям, при этом само действие не должно вызывать у них затруднений.

В качестве примера приводится алгоритм перехода улицы. Заполнение таблиц готовит учащихся к восприятию идеи описания циклических процессов. Граф-схемы (в 1-ом классе используются линейные) можно широко использовать для совершенствования вычислительных навыков и знакомства с различными способами задания алгоритмов. Узлы в них фиксируют состояние алгоритмического процесса, а стрелки - производимые преобразования.

Умение распределять предметы по каким-либо признакам в группы можно формировать в ходе выполнения заданий на:

а) группировку по указанному признаку,

б) на выделение признака, по которому произведена группировка.

Что касается умения четко исполнять алгоритм, то оно формируется на протяжении всего периода обучения в школе. Основной вывод Н.И. Гажук состоит в том, что алгоритмирование подчиняет мысли учащихся постоянному, строго логическому ходу, дисциплинирует и тренирует мышление, играющее важнейшую роль в формировании ключевых и предметных компетенций [7].

Систему развития логического и алгоритмического мышления на основе использования возможностей наглядно-образного мышления предлагает А.В. Белошистая [3].

При таком подходе, по ее мнению, начинать формирование простых логических и алгоритмических действий можно уже у 3−4 летнего ребенка, и тогда к 6−7 летнему возрасту они могут быть сформированы на достаточно высоком уровне.

Разработанные в ходе экспериментальной работы материалы предназначены для детей 6−7 лет, ориентированы на начало «с нуля», т.е. на детей, не имеющих специальной дошкольной подготовки. Предлагаемая система заданий базируется преимущественно на образном математическом материале.

Она построена на преобладании заданий, направленных на активизацию и развитие наглядно-образного (визуального) мышления через непосредственную предметную деятельность с вещественным материалом: конструктивную деятельность с моделями фигур, конструктивно-графическую - с использованием специальной рамки-трафарета с геометрическими прорезями, логико- графическую, сопровождающую решение всех предлагаемых заданий [3].

Рассматривая некоторые приемы работы по формированию и развитию логического и алгоритмического мышления, Козлова С. А. отмечает, что значительные возможности в этом направлении имеет работа над задачами, особенно занимательными и нестандартными. Также большим потенциалом обладает явное выделение в содержании обучения учебных алгоритмов.

Представленные в схематичной форме они являются интересной моделью для детей, опираясь на которую они могут эффективно строить цепочки логических рассуждений. В статье также приводятся примеры заданий по программе «Моя математика» для разных возрастных групп в пределах младшего школьного возраста, адаптированных по уровню сложности [26].

И.Ю. Оскирко [45] предлагает систему работы по развитию логического и алгоритмического мышления, идея которой заключается в обогащении содержания образования с целью совершенствования сферы когнитивного развития. Другими словами, она предполагает «обучение мышлению» в процессе эвристической, исследовательской деятельности. Выполнение учениками критериальных задач, т.е. нестандартных по внешнему представлению и способам выполнения, преодоление трудностей в процессе решения - все это способствует формированию у учащихся познавательных мотивов, повышению творческой активности, развитию алгоритмического и логического мышления [45].

Разработанная программа развития логического и алгоритмического мышления младшего школьника в процессе эвристической деятельности может быть включена в содержание учебного плана используемых программ Федерального государственного стандарта общего образования по математике. Разработки занятий могут быть использованы на различных этапах урока фрагментарно (15-20 минут), либо полностью (35-45 минут).

Предполагаемые формы работы: индивидуальные и групповые, практические и теоретические. Интерпретация строится на основе выделенной совместно с детьми критериальной задачи, предполагает ориентировку в содержании, планирование нового способа решения, составление алгоритма хода решения и соотнесение поставленной задачи с полученным результатом [45].

Т.В. Касьяновой [24] разработан проект развития логического и алгоритмического мышления наряду с творческими способностями учащихся. В нем подобрана система заданий, направленных на развитие творческого и логического мышления младших школьников, включающая в себя умение наблюдать, сравнивать, обобщать, находить закономерности, строя простейшие предположения, проверять их, делая выводы, иллюстрировать на примерах.

Задания отобраны из учебной, педагогической и справочной литературы и переработаны с учетом возрастных особенностей и возможностей детей. Большинство из них не требует вычислений, но на доступном детям материале с опорой на их жизненный опыт учит строить правильные суждения, приводить несложные доказательства, отыскивать несколько возможных решений, обосновывать существование каждого из них.

В ходе реализации проекта используются следующие типы заданий: «закрытые» задачи, т.е. имеющие точные решения; задачи с неполным условием; с избыточными условиями; открытые задачи, допускающие варианты условия, разные пути решения, набор вероятных ответов; творческие задания.

Автор отмечает, что реализованный проект позволил учащимся усовершенствовать свои алгоритмические навыки. На данный момент, учащиеся умеют: работать с различными источниками информации, сравнивать, анализировать полученную информацию; пользоваться изученной терминологией; ориентироваться в окружающем информационном пространстве; создавать устный текст на заданную тему; раскрывать общие закономерности, рассуждать, строить догадки, выражать свои мысли; решать открытые и закрытые задачи; составлять ребусы, кроссворды, магические квадраты; знают и умеют составлять алгоритмы решения задач, определяют последовательность осуществления логических операций [24].

Развитию алгоритмического мышления младших школьников на уроках математики посвящена и статья Е.Н. Зыковой [21]. В ней автор утверждает, что перед учителем начальных классов стоит глобальная задача - построить методику преподавания математики так, чтобы алгоритмическое мышление развивалось гармонично в совокупности с другими видами мышления, и по возможности чаще давать детям задания, целенаправленно и систематично развивающие алгоритмическое мышление.

В рамках данной статьи рассмотрены примеры заданий, способствующих развитию алгоритмического мышления. Примеры таких заданий:

) так называемые «Математические фокусы». Задумай число, прибавь к нему 5 и вычти 3. Скажи, какой результат у тебя получился, а я скажу, какое число ты задумал;

) задания, которые не только требуют умения выполнять алгоритм, но и выполняют еще дидактическую функцию - подготавливают учащихся к восприятию математических понятий, рассматриваемых в неполной средней школе, например: напишите 5 чисел, первое из которых 3, а каждое следующее на 2 больше предыдущего.

) задания-лабиринты с указанием направления движения в виде письма. С помощью таких заданий отрабатывается умение действовать по алгоритмам [21].

В статье Е.В. Ивановой [22] рассматривается использование числовых головоломок, арифметических ребусов, логических задач и т. п. для развития мышления младших школьников. С.Е. Царева отмечает, что в формировании представлений школьников об алгоритмах значимое место логично отводить алгоритмам арифметических действий, поскольку изначально источником понятия алгоритм были именно арифметические действия. В качестве подтверждения она объясняет происхождение слова «алгоритм» от имени среднеазиатского ученого IX в. аль-Хорезми, который «использовал индийскую позиционную систему счисления с нулем и сформулировал правила четырех арифметических действий над многозначными числами. Первоначально под алгоритмами понимали только эти правила...» [6].

На основании этого С.Е. Царева предлагает для развития алгоритмического мышления школьников активно использовать вычислительные алгоритмы. В качестве примеров она приводит следующие. Например, алгоритм вычитания для случаев вида 23 - 6 (6 > 3) или 254 - 78 (78 > 54); алгоритмы вычитания однозначного числа из круглого двузначного (для случаев вида 30 - 4); алгоритм нахождения значения числового выражения (правило порядка действий в выражении); алгоритм нахождения значения числового выражения конкретного вида и др.

Кроме того, учителя используют различные формы организации работы с учащимися. Например, в статье Н.Н. Еремеевой [17] описывается опыт формирования алгоритмического стиля мышления у учащихся начальной школы в условиях малой группы. Автор раскрывает динамику складывания группы учащихся в начальной школе, начиная с первого класса, приводит правила взаимодействия детей в группе для достижения цели - формирования алгоритмического мышления средствами решения проблемной ситуации.

Формирование групп, по предложению автора, можно производить различными способами, но на первых этапах она рекомендует «территориальный принцип», т.е. работу парами (соседи по парте) и группами по четыре человека (объединяются учащихся, сидящие друг за другом).

В первом классе Н.Н. Еремеева дифференцирует детей по гендерному принципу и успеваемости. К концу первого года обучения и в дальнейшем применяется группирование по интересам, когда разные ученики объединяются в группу по одной интересующей их теме. Групповая работа может быть однородной, что предполагает выполнение небольшими группами учащихся одинакового для всех задания, и дифференцированной (выполнение различных заданий разными группами).

При создании алгоритма решения учебной задачи на уроке математики чаще всего автором используется однородная форма работы. При этом она отмечает, что первоначально над созданием алгоритма лучше работать всей группой. Как правило, групповой алгоритм, по сравнению с индивидуальным, наиболее близок к наилучшему варианту.

Групповые и парные формы работы, по мнению Н.Н. Еремеевой, на уроке снижают эффект прямого воздействия взрослого (авторитет учителя в начальной школе очень велик, что мешает детям критично воспринимать информацию) и способствуют развитию у учащихся критического мышления и адекватной самооценки, снимают страх перед ошибкой и неуверенность в своих силах. При этом необходимым условием для эффективной групповой работы является готовность детей к групповым видам деятельности, чему способствует развитие самостоятельности и ответственности, способности к кооперации и сотрудничеству. Учащиеся учатся распределять обязанности, помогать, просить и принимать помощь.

Работа в группе развивает у ребят способность приспосабливаться к различным условиям деятельности и людям, осваивать новые знания, находить общие способы решения учебных задач. Таким образом, заключает автор статьи, выбранные формы и методы развития алгоритмического мышления развивают самостоятельность, приучают делать выводы, обосновывать свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания, а также активнее использовать эти знания в повседневной жизни [17].

Таким образом, можно констатировать, что наибольшим потенциалом в плане развития алгоритмического мышления обладает математика. Но эта задача может решаться и с помощью (средствами) других учебных дисциплин. Как справедливо заметила С.Е. Царева, это зависит от качества подготовки учителя, от степени понимания им сущности понятия алгоритма.

На основании этого, можно сказать, что развитие алгоритмического мышления - это процесс, проходящий несколько этапов, начинающийся в начальной школе и заканчивающийся по мере применения в той или иной профессиональной сфере.

Таким образом, чтобы успешно соблюдать требования ФГОС НОО в начальной школе, необходимо формировать алгоритмическое мышление.

Предполагается, что основная часть формирования алгоритмического мышления проводится на уроках математики. Но и на уроках по другим предметам используется составление и исполнение алгоритмов. Так, в рамках предметной области «Математика и информатика» учащийся должен уметь письменно выполнять арифметические действия с многозначными числами, используя определенные алгоритмы.

Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что мышление ребенка  школьного возраста  на  этапе  В этот  совершается переход  наглядно-образного  словесно- логическому, понятийному .  в  школе  важно уделять  становлению логического  тесно  с  алгоритмического мышления.

Алгоритмический стиль мышления или алгоритмическое мышление - это система мыслительных способов действий, приемов, методов и мыслительных стратегий, направленных на решение как теоретических, так и практических задач, результатом которых являются алгоритмы как специфические продукты человеческой деятельности. Алгоритмическое мышление развивается в течении жизни человека под воздействием внешних факторов, а так же при наличии внутренней необходимости для дальнейшей самореализации личности.

1.2    Виды алгоритмов в начальной школе

В настоящее время известно 3 основных вида алгоритмов как вычислительных процессов - это линейный, разветвляющийся и циклический.

В данном параграфе мы рассмотрим виды алгоритмов, способствующих формированию у младших школьников умения их построения. Для этого проведем сравнительный анализ учебников математики в УМК «Школа России» и «Школа 2000».

В начале рассмотрим учебник математики под авторством М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, включенный в УМК «Школа России».

Основным принципом УМК «Школа России» является сочетание лучших традиций российского образования, доказавших свою эффективность в обучении учащихся младшего школьного возраста, и проверенных практикой образовательного процесса инноваций. В соответствии с этим для данной программы характерны такие качества как фундаментальность, надежность, стабильность, открытость новому.

Наиболее существенной особенностью курса является направленность на формирование сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений. Важное место в УМК уделяется текстовым задачам, их структуре, этапам решения: анализу задачи, поиску способов и составлению плана решения, проверке решения, составлению и решению задач, обратных заданной, в том числе и формированию умений записать текстовую задачу сначала с помощью схем, схематических чертежей, таблиц и других моделей. Программа предусматривает развитие основ логического, знаково- символического и алгоритмического мышления.

Рассмотрим следующие виды заданий.

В 1-ом классе встречаются такие задания, как круговые примеры, примеры в виде цепочек, магические квадраты, все эти задания иллюстрируют линейный алгоритм. Л.П. Стойлова объясняет такой вид алгоритмов как алгоритм, в котором действия выполняются последовательно друг за другом[47].

Приведем пример таких заданий из учебника по математике 1-го класса под авторством М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, в которых формируются представления учащихся о линейном алгоритме.

)7 - 1 = - 2 = + 4 = - 5= + 4=7

Алгоритм решения кругового примера прост, главное помнить, что ответ на первый пример будет являться началом для следующего. Не решив предыдущий, нельзя построить логическую цепочку и решить полностью круговой пример.

) 10- 4 - 4 =

)

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу. Школьник, решая данное задание, руководствуется тем, что уже представлен столбик чисел, сумма которого равна 18, а значит, подбираем последующие значения так, чтобы в каждом столбце и строке сумма чисел была равна 18.

Во 2-ом классе мы находим ранее известные учащимся виды заданий, а также математические задания, переформулированные в виде словесных предписаний; задания типа «Вычислительная машина работает так…» на определение входящих или выходящих значений линейного алгоритма.

Проиллюстрируем такие задания примерами из данного учебника.

.        Запиши выражения и вычисли их значения. Из числа 86 вычесть сумму чисел 42 и 4.

2.     

В 3-м классе представлены задания, как в 1-ом и 2-ом классе, задания на составление выражений по схемам с определением порядка действий, характеризующие линейный и разветвляющийся алгоритм, т.е. алгоритм, при котором порядок действий зависит от некоторого условия; числовые лабиринты, относящиеся к линейным алгоритмам; задания типа «Вычислительная машина», описывающие разветвляющийся алгоритм; употребление слова «алгоритм» в связи с изучением правил письменного сложения и вычитания, умножения и деления.

1.     

2.     

В 4-м классе рассматриваются алгоритмы письменных вычислений с объяснением их выполнения по плану, задачи, решаемые с конца (линейный, разветвляющийся алгоритм), найти значение выражения, если подставлять вместо a разные числа, данное задание иллюстрирует циклический алгоритм. По мнению Л.П. Стойловой, циклическим называют алгоритм, в котором некоторые действия могут выполняться многократно. Если характеризовать количественное соотношение перечисленных заданий, то преобладающим видом являются примеры в виде цепочек (на протяжении всего курса) [47].

Приведем примеры заданий из учебника по математике за 4 класс данных авторов:

1.     

2.     

3.     

Однако, следует отметить, что в УМК «Школа России», не рассматривается понятие «алгоритм». Очень незначительно количество алгоритмов в виде словесных предписаний.

Далее рассмотрим представленность заданий на развитие умения строить алгоритмы в УМК «Школа 2000» в учебниках математики под авторством Л.Г. Петерсон.

Реализует содержание предметной области «математика и информатика». Формированию алгоритмической линии уделяется достаточно большое внимание, направленное на овладение учащимися основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов.

На протяжении всего курса встречается большое количество заданий, направленных на развитие алгоритмического мышления, в том числе задания на составление программ, на упорядочивание действий в заданных программах; математические задания, переформулированные в словесные предписания; задачи, решаемые с конца (на задумывание чисел); задачи алгоритмического характера (на переправы и др.); числовые цепочки, (с пропусками чисел или знаков), а также большое количество схем и многие другие.

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) - сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью её решение. Но определённую подготовку к её достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в полном объеме, но, представляя отчётливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности.

Система заданий УМК «Школа 2000» выстроена по нарастанию уровня сложности таким образом, чтобы первоклассник мог с ней работать с большой долей самостоятельности. Установленные в процессе исследования структурные связи между заданиями позволили расположить их так, чтобы каждое предыдущее задание помогало справиться со следующим (содержало в себе подготовку к нему).

Роль учителя в этой системе - помочь ученику понять смысл задания: прочитать ему текст задания и обсудить с ним, как он его понял, а в случае необходимости помочь провести анализ графического представления задания, т.е. обратить внимание ребенка на графическую подсказку и ее смысл, обсудить результат выполнения задания.

Также, как и в программе М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, в учебнике по математике Л.Г. Петерсон представлены такие задания как магические квадраты, круговые примеры, которых больше всего в 1 классе, математические задания, переформулированные в виде словесных предписаний, задания на составление выражений по схемам с определением порядка действий, характерные для 2-3 классов. Задания выражены в более явной форме, к примеру, «выполни деление с остатком, используя алгоритм деления с остатком».

Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (300 • 2) выполняется так:

1.      Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и разрядной единицы:

(3 • 100) • 2

.        Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

(3 • 100) • 2 = 3 • (100 • 2)

. Воспользуемся переместительным свойством умножения:

2 • (100 • 3) = 2 • (3 • 100)

4. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

2 • (3 • 100) = (2• 3) • 100

5. Заменим произведение в скобках его значением:

(2 • 3) • 100 = 6 • 100

6. При умножении числа на 10, 100, 1000 и т. д. нужно приписать к числу столько нулей, сколько их во втором множителе: 6 • 100=600

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчетливо все операции, учитель будет предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит им осознать способ деятельности.

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать математические задания в виде определенной программы.

Например, задание: «Найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» - можно представить в виде алгоритмического предписания так:

1) Запиши число 3.

2) Увеличь его на 2.

3) Полученный результат увеличь на 2.

4) Повторяй операцию 3) до тех пор, пока не запишешь 5 чисел.

Это позволит учащимся более четко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.

С первого класса УМК «2000» учит детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинается эта работа с простейших алгоритмов, доступных и понятных ученикам.

Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий и определять их последовательность.

Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, из которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий; правильно записывать алгоритм.

Все вышесказанное позволило сделать следующие выводы:

В начальной школе выделяют следующие виды алгоритмов: линейный - в котором все этапы решения задачи выполняются строго последовательно, разветвляющийся - в котором выбирается один из нескольких возможных путей вычислительного процесса и циклический - в котором получение результата обеспечивается многократным выполнением одних и тех же операций.

Проведенный анализ УМК по математике в начальной школе позволил выделить содержание и направленность работы по формированию алгоритмического мышления:

УМК «Школа России»: преобладающим видом заданий, направленных на формирование алгоритмического мышления являются примеры в виде цепочек (на протяжении всего курса). При этом, не рассматривается понятие «алгоритм». Очень незначительно количество алгоритмов в виде словесных предписаний. Таким образом, большинство заданий, направленных на развитие алгоритмического мышления, представлено в неявной форме.

«Школа 2000»: формированию алгоритмической линии уделяется достаточно большое внимание, чем в учебнике по программе УМК «Школа России», направленное на овладение учащимися основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов. Предложенная в учебнике система заданий позволяет проводить систематическую работу по формированию логических действий анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации, аналогии. Построение и использование алгоритмов предполагается практически на всех уроках. На протяжении всего курса встречается большое количество заданий, направленных на развитие алгоритмического мышления, в том числе задания на составление программ, на упорядочивание действий в заданных программах; математические задания, переформулированные в словесные предписания; задачи, решаемые с конца (на задумывание чисел); задачи алгоритмического характера (на переправы и др.); числовые цепочки, (с пропусками чисел или знаков), а также большое количество схем и многие другие.

Таким образом, проанализировав данные программы и учебники по математике можно сделать вывод, что все авторы предусматривают работу по развитию алгоритмического мышления младших школьников, но в большей степени этому уделяется внимание в УМК «Школа 2000». В них на порядок больше заданий, предполагающих работу с алгоритмами. Они более разнообразные по сравнению с другими программами, и более творческие, меньше заданий на развитие алгоритмического стиля мышления, представленных в явном виде, предлагает программа «Школа России». Отдельной темы «Алгоритмы» в ней вообще не предусмотрено.

1.3   

1.3 Этапы формирования алгоритмических умений у младших школьников

В педагогических исследованиях существует несколько классификаций умений, имеющих общее основание. Центральное место среди них занимает классификация, предложенная Ю.К. Бабанским, в которой умения рассматриваются как знания действий, являющихся первым этапом в формировании навыка, т.е. простейшие умения. Примером таких умений служат умения писать и считать. Подобные умения очень важны для всего дальнейшего образования.

Ю.К. Бабанский разделяет умения на три группы:

учебно-организационные общеучебные умения (обеспечивают планирование, организацию, контроль, регулирование и анализ собственной учебной деятельности учащимися),

учебно-информационные общеучебные умения (обеспечивают школьнику нахождение, переработку и использование информации для решения учебных задач),

учебно-интеллектуальные общеучебные умения (обеспечивают четкую структуру содержания процесса постановки и решения учебных задач).

Другие исследователи (И.Я. Лернер, Н.А. Лошкарева и др.) раскрывают термин «умение» как способ деятельности. В этом случае понятие «умение» включает в себя знания, простейшие умения и навыки. Такой подход нашел свое отражение и в российской педагогической энциклопедии: «Умения - освоенные человеком способы выполнения действия, обеспеченные совокупностью приобретенных знаний» [27, с. 120]. Примером таких умений является умение решать задачи, умение организовывать свое рабочее место и др.

Талызина Н.Ф. отмечает, что все умения, формируемые при изучении какого-либо учебного предмета, можно разделить на две категории:

специфические (узкопредметные), которые формируются у учащихся только лишь в процессе изучения данного учебного предмета и имеющие применение главным образом в этом предмете и отчасти в смежных предметах.

общие, которые формируются у учащихся при изучении не только этого предмета, но и в процессе обучения многих других предметов, и имеющих применение во многих учебных предметах и в повседневной жизненной практике, например, умения письма и чтения, работы с книгой и т. д.

Формирование алгоритмического умения - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Анализ различных работ А.А. Столяра, Л.В. Ворониной, С.Д. Язвинской, О.Н. Родионовой и др. по формированию алгоритмических умений позволил нам предложить следующее определение алгоритмических умений младших школьников: алгоритмические умения - это осознание школьниками необходимости планирования своих действий (учебно-организационные общеучебные умения); умение работать по образцу, понимать, выполнять и составлять алгоритмы, правила, предписания (учебно-интеллектуальные общеучебные умения); анализировать, корректировать, переносить усвоенные действия в новые ситуации в процессе осуществления алгоритмических действий, описывать их понятным другим людям языком и средствами (учебно-информационные общеучебные умения).

Таким образом, алгоритмические умения имеют аналогичную учебной деятельности структуру, поскольку выполнение и создание алгоритмов также включает в себя принятие учебной задачи, овладение способами решения любых учебных задач данного типа, содержит контроль и оценку достижения результата, то есть все то, что понимается под универсальными предпосылками учебной деятельности.

Далее рассмотрим этапы формирования алгоритмических умений на примере фрагментов урока математики по теме: «Деление на однозначное число».

1 этап - мотивационный. Ставя цель перед учащимися, педагог должен дать возможность каждому ученику понять, какой логический смысл будет заключен в выполняемой работе, зачем ему нужно это умение (овладев им, он может выполнять наиболее сложные задания, которые гораздо интереснее тех, что он выполнял ранее; сможет быстро и правильно решать задачи определенного типа; получать при этом высокие оценки и т.д.). Чтобы поставить перед учащимися определенную цель, педагог должен иметь соответствующую программу формирования умений.

Приведем пример задания, способствующего мотивации младшего школьника к формированию умения строить алгоритм своих действий, или самостоятельно определить учащемуся смысл предстоящей алгоритмической деятельности.

В порядке подготовки к рассмотрению нового материала можно выполнить задание с комментированием:

(30 + 6) : 3;

(80 + 4) : 4;

(40 + 8) : 2.

Примерное комментирование действий учащихся: Разделю каждое слагаемое на число, а потом полученные результаты сложу.

(30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 10 + 2 = 12.

Аналогично комментируются и другие примеры.

2 этап - выполнение учебной работы по построению алгоритмов по образцу. Данный этап реализуется в процессе совместной деятельности учителя и учащихся.

В этой деятельности ученик должен получить образец выполняемой им работы. Педагогу необходимо стремиться к тому чтобы, получая данный алгоритм, ученики (под руководством педагога) разрабатывали систему правил, по которой они будут в дальнейшем действовать. Цель данного этапа - сформировать умение выполнять работу по образцу.

Пример: учащихся подводят к объяснению следующих числовых выражений: 46 : 2 и 93 : 3.

При устном объяснении должны быть четко выделены следующие моменты: 1) заменяем делимое суммой разрядных слагаемых; 2) пользуясь правилом деления суммы на число, делим сначала десятки, а затем единицы, полученные результаты складываем.

Объяснение учителя.

Представлю число 46 в виде суммы разрядных слагаемых 40 и 6. Затем разделю каждое из этих слагаемых на 2 и полученные результаты сложу.

: 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23.

Важно обратить внимание детей на то, что этот прием деления двузначного числа на однозначное применим лишь в том случае, если на данное число делится и число десятков в делимом, и число единиц.

Затем рядом с решенными следует записать новые числовые выражения:

: 3     75 : 5         70 : 5         78 : 6

Предложить детям сравнить их с теми, которые только что решались, и объяснить, почему тот же прием не может быть использован.

3 этап - практический или этап самостоятельного построения учащимися алгоритмов. После осознания учащимися определенного алгоритма выполнения задания, необходимы упражнения для закрепления и совершенствования данного умения. Ученик должен развивать полученное умение на практике. Упражнения, развивающий навык, должны быть разнообразны.

Представим задания на самостоятельную разработку учащимся системы правил или действий.

В порядке первичного закрепления можно с комментированием решить примеры:

: 4 = (40 + 32) : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 8 = 18,

: 3 = (60 + 12) : 3 = 60 : 3 + 12 : 3 = 20 + 4 = 24,

: 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12, или

: 6 = (84 - 12) : 6 = 84 : 6 - 12 : 6 = 14 - 2 = 12.

Далее рассмотрим данные этапы на примере фрагментов урока по теме: «Деление на двузначное и трехзначное число».

1 этап - мотивационный. Рассмотрим пример задания по данной теме, способствующего мотивации младшего школьника к формированию умения строить алгоритм своих действий.

В порядке подготовки к рассмотрению нового материала можно выполнить задание с комментированием:

: 82;

: 28;

: 23.

Примерное комментирование действий учащихся: разделю 492 на 80, чтобы легче было найти цифру частного. Для этого разделю 49 на 8, получу 6. Это «пробная цифра», т.е. ее нельзя записать сразу в частное, нужно проверить подходит ли цифра 6. Умножу 82 на 6, получится 492, значит цифра 6 подходит.

Далее учитель предлагает решить остальные примеры другими способами, тем самым мотивирует учащихся на активизацию алгоритмических умений.

Учащиеся могут предложить следующий способ для примера 168 : 28: число 16 меньше 28, значит берем весь делитель и делим на 28. В числе 168 присутствует 6 раз по 28. Выполняем проверку 6 Х 28 = 168. Записываем ответ.

2 этап -выполнение учебной работы по построению алгоритмов по образцу.

Учащихся подводят к объяснению следующего числового выражения: 152 : 19

Перед тем, как начать решение, учитель дает образец на другом примере: 296 : 37

Комментирование учителя: сделаем прикидку, 296 - это примерно 280, а 37 ~ 40, значит, делим 280 на 40, получаем 7. 37 х 7 = 259 - не соответствует делителю, 37 х 8 = 296. Записываем ответ 8

Важно отметить, что с помощью прикидки не всегда удается найти верную цифру частного. А также обратить внимание детей, что деление на трехзначное, четырехзначное и т. д. число с однозначным частым выполняется аналогично.

Затем рядом с решенными следует записать новые числовые выражения:

: 26, 175 : 35, 427 : 61, 648 : 72

Предложить детям сравнить их с теми, которые только что решались, и объяснить, почему тот же прием не может быть использован.

3 этап - практический или этап самостоятельного построения учащимися алгоритмов.

На данном этапе ученик развивает полученное умение строить алгоритм деления на двузначное число самостоятельно на практике. Представим задания на самостоятельную разработку учащимся системы правил или действий.

В порядке первичного закрепления можно с комментированием решить числовые выражения, приведенные ниже:

: 28 ~ 80 : 20 = 4, проверяем 4 х 28 = 112 - не подходит, 3 х 28 = 84

Ответ: 3

: 36

: 63

Таким образом, формирование алгоритмического умения - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Проведенный анализ показал, что алгоритмические умения имеют аналогичную учебной деятельности структуру, поскольку выполнение и создание алгоритмов также включает в себя принятие учебной задачи, овладение способами решения любых учебных задач данного типа, содержит контроль и оценку достижения результата, то есть все то, что понимается под универсальными предпосылками учебной деятельности.

Выводы по главе

алгоритм математический умение школьник

Алгоритмическое мышление - это особый стиль мышления. В его основе лежит способность планировать свою деятельность. Оно выражается в том, что человек, представляя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или, другими словами, алгоритм, в результате выполнения которого эта цель будет достигнута.

Алгоритмическое мышление отличается формальностью, логичностью, ясностью, способностью облечь любую абстрактную идею в последовательную инструкцию. Важными составляющими алгоритмического мышления являются умение разбивать задачу на подзадачи, выстраивать их в рациональную последовательность. выполнение которой приводит к запланированному результату.

Алгоритмическое мышление - это искусственное новообразование, его необходимо развивать посредством целенаправленной работы. Наиболее подходящим периодом для развития алгоритмического стиля мышления является младший школьный возраст. Именно в это время у детей активно развивается мышление, происходит переход от наглядно-образного к абстрактно-логическому, понятийному мышлению. Поэтому в этот период важно проводить систематическую целенаправленную работу по развитию различных стилей мышления, в том числе алгоритмического.

Таким образом, чтобы успешно соблюдать требования ФГОС НОО в начальной школе, необходимо формировать алгоритмическое мышление.

В начальной школе выделяют следующие виды алгоритмов:

·        линейный;

·        разветвляющийся;

·        циклический.

Линейным называется алгоритм, в котором все этапы решения задачи выполняются строго последовательно [23].

Разветвляющийся алгоритм - это такой алгоритм, в котором выбирается один из нескольких возможных путей вычислительного процесса. Каждый подобный путь называется ветвью алгоритма. Признаком разветвляющегося алгоритма является наличие условий.

Циклическим называют такой алгоритм, в котором получение результата обеспечивается многократным выполнением одних и тех же операций.

Предполагается, что основная часть формирования алгоритмического мышления проводится на уроках математики. Но и на уроках по другим предметам используется составление и исполнение алгоритмов. Так, в рамках предметной области «Математика и информатика» учащийся должен уметь письменно выполнять арифметические действия с многозначными числами, используя определенные алгоритмы.

Известны 3 этапа формирования алгоритмических умений у младших школьников.

.        Мотивационный. Данный этап характеризуется тем, что ученик должен понять зачем ему нужно это умение, а учитель должен дать возможность уяснить это.

.        Выполнение учебной работы по построению алгоритмов по образцу. Данный этап реализуется в процессе совместной работы учителя и учащихся.

.        Этап самостоятельного построения алгоритмов учащимися, или практический этап. Ученик должен развивать алгоритмическое умение на практике.

К моменту выпуска он должен научиться как составлять, так и записывать, и выполнять инструкцию (простой алгоритм), план поиска информации. Таким образом, определить уровень информационных компетенций, необходимый для начальной школы, позволяют требования ФГОС НОО к результатам в определённых предметных областях. Несмотря на размытость формулировок, требования заключаются в необходимости приобретения младшими школьниками вполне конкретного набора знаний, умений и навыков. Для уточнения задач их формирования служит основная образовательная программа начального общего образования[7].

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) - сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью её решение. Но определённую подготовку к её достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Таким образом, формирование алгоритмического умения - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Проведенный анализ показал, что алгоритмические умения имеют аналогичную учебной деятельности структуру, поскольку выполнение и создание алгоритмов также включает в себя принятие учебной задачи, овладение способами решения любых учебных задач данного типа, содержит контроль и оценку достижения результата, то есть все то, что понимается под универсальными предпосылками учебной деятельности.

ГЛАВА 2. ОПЫТНО - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ АЛГОРИТМЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ (3 КЛАСС)

2. 1   Диагностика уровня сформированности умения строить алгоритмы у учащихся 3-го класса

Экспериментальная работа осуществлялась нами в 3 «А» классе ЦО №16 г.Тулы. В эксперименте принимали участие 20 учащихся.

Цель опытно-экспериментальной работы: апробировать комплекс заданий для этапа освоения младшими школьниками умения строить алгоритмы на уроках математики в 3 классе.

Экспериментальная работа состояла из трёх этапов: констатирующий, формирующий, контрольный.

Цель констатирующего этапа - выявить степень сформированности у младших школьников умения строить алгоритмы.

На данном этапе нами решались следующие задачи:

)определить критерии и показатели сформированности у младших школьников умения строить алгоритмы.

)подобрать диагностические методики для выявления уровня сформированности у младших школьников умения строить алгоритмы.

)провести диагностику уровня сформированности у младших школьников умения строить алгоритмы.

На основании анализа соответствующей литературы (И.П. Подласый, А.А. Бобров, А.В. Усова., М.Н. Скаткин, В.В. Краевкий ) оценить уровень сформированности алгоритмических умений учащихся 3 класса позволяют выявленные критерии. Рассмотрим их более подробно в интерпретации М.Н. Скаткина и В.В. Краевского.

1.Полнота. Показателем полноты является количество действий, освоенных учащимися. Опишем действия, входящие в состав умения строить алгоритмы младшими школьниками:

.1. деление учащимися задания на смысловые части (единицы);

.2. расстановка выделенных смысловых единиц в правильном порядке (определение последовательности действий);

.3. осуществление последовательности действий в соответствии с планом;

.4. сопоставление задания и модели его решения;

.5. удержание цели в осуществлении последовательности действий.

2.Качество выполняемых действий. Показателями являются самостоятельность, гибкость, оперативность.

Для определения уровня сформированности умения строить алгоритмы у младших школьников мы выявили уровни владения каждым умением в комплексе. За показатель принимается уровень сформированности совокупности умений с обозначенными критериями.

На констатирующем этапе была проведена диагностическая (проверочная) работа, целью которой было определение первоначального уровня развития алгоритмического мышления у младших школьников.

. Описание заданий представлено ниже.

. В алгоритме «Как развести костер» действия перепутались:. Зажечь спичку;. Сложить ветки в кострище;. Собрать ветки;. Поджечь ветки;. Раздуть огонь.

Расположите действия по порядку.

.Выберите выражение, для которого подходит данная схема:

• b + c - d• b + (c - d)• (b + c) - d

3.      Составьте план решения задачи:

Хозяйка засолила несколько банок помидоров, по 3кг в каждой банке. После того, как съели 12 кг помидоров, осталось 18 кг. Сколько банок помидоров засолила хозяйка?

. _______________________________________________________

. ______________________________________________________

. Выполните одно задание на выбор:

а) Нарисуйте фигуру, используя программу. Начало отмечено точкой. Направление движения показывают стрелки, количество клеточек указано цифрой: 5→, 1↓, 2←, 3↓, 1←, 3↑, 2←, 1↑

б) Составьте алгоритм для рисования фигуры. Начало рисования обозначьте точкой. Направление движения обозначьте стрелкой, количество клеток - цифрой (например, 3→, …)

___________________________________

________________________________

. Выполните вычисления по схеме.

Используйте числа из таблицы и ответы запишите в таблицу:

Правильно выполненное задание оценивалось 1 баллом. Максимальное количество баллов за все задания составило 6,0.

Результаты выполнения работы представлены в Таблице 2.1.

Таблица 2.1

Результативность выполнения проверочной работы на изучение умений строить алгоритмы

На основании полученных результатов был проведен анализ выполнения заданий и получены следующие выводы.

С заданием № 1, в котором требовалось упорядочить действия в предложенном алгоритме, успешно справились 80% учащихся - все действия поставлены в правильном порядке. Частично задание выполнили 20% - в их ответах имелись незначительные неточности.

Задание № 2, на сопоставление задачи и готового алгоритма (модели), соответствующего ей, не вызвало затруднений у 85% учащихся - сделали правильный выбор. Не смогли выполнить задание 15 % учащихся.

Задание № 3, предполагающее составление плана решения задачи, выполнили 45% учащихся. Частично справились 45%, 10% учащихся не смогли выполнить задание.

Задание № 4а, на рисование фигуры по предложенной программе, представленной в виде графических значков, успешно выполнили 70% учащихся. Полученные фигуры точно соответствовали заданной. 15% учащихся справились с заданием частично - в полученном изображении имелась неточность - сдвиг. 15% не справились с заданием - полученная фигура не соответствовала заданной.

Задание № 4б, в котором требовалось по заданной фигуре составить программу для ее рисования, выполнили успешно 50% учащихся - составленные ими программы точно описывали все шаги рисования фигур. 10% учащихся выполнили задание частично: ошибка заключалась в одной лишней операции. 40% учащихся не справились с заданием совсем - начало алгоритма не соответствует начальной точке рисования фигуры, действия не располагаются в необходимом порядке, имеются лишние действия.

С заданием № 5, на выполнение разветвляющегося алгоритма, представленного в виде блок-схемы, справились 45% учащихся - они точно выполнили все предписания алгоритма. 15% выполнили его частично, допустив незначительную неточность, 40% учащихся не справились с выполнением задания, показав непонимание требуемых предписаний алгоритма.

Результаты выполнения учащимися заданий представлены на рисунке 2.2.

Рис. 2.2 Результаты выполнения учащимися отдельных заданий

Условно высокий уровень в классе имеют Алена Д., Даниил П., Полина С. и Никита Т., таким образом у 4 учащихся из 20 условно высокий уровень сформированности алгоритмических умений, а это значит, что у них сформированы умения упорядочивать действия в алгоритме, сопоставлять задачу и готовый алгоритм, составлять план решения задачи, рисовать фигуры по предложенной программе в виде графический значков, или по заданной фигуре составить программу для ее рисования и выполнять разветвляющийся алгоритм, представленный в виде блок-схемы.

Условно средний уровень у Кирилла А., Коли Б., Сережи Г., Аня Д., Миши Ж., Вовы Н., Вики О., Карины Р. У данных учащихся не до конца сформированы алгоритмические умения, а именно предстоит работа по формированию умений по сопоставлению задачи и готового алгоритма (модели), рисованию фигур по программе или составлению программы для фигуры и по формированию умения составлять разветвляющийся алгоритм.

В результате проверки условно низкий уровень получили 8 человек из 20, а именно Катя В., Лиза Г., Вася К., Марина Н., Оксана П., Кира С., Ирина С., Артем Ф. У учащихся не сформированы умения составлять план действий, сопоставлять задачу и готовый алгоритм, составлять наиболее простой алгоритм - линейный.

Таким образом, лучше всего учащиеся справились с заданием № 3 (сопоставление задачи и готового алгоритма). Наибольшие затруднения вызвали задания № 2 (выполнение разветвленного алгоритма), № 4б (составление программы для рисования фигуры), № 5 (составление плана решения задачи),

По результатам выполнения заданий и полученных баллов были выделены следующие уровни:

условно высокий уровень (выполнены 5-6 заданий);

условно средний уровень (выполнено 4 задания);

условно низкий уровень (выполнено 3 задания и ниже)

Распределение учащихся по уровням сформированности алгоритмических умений представлено на рисунке 2.3.

Рис. 2.3 Распределение учащихся по уровням

Таким образом, на констатирующем этапе был выявлен первоначальный уровень сформированности алгоритмического мышления у учащихся 3 класса. Полученные данные говорят о недостаточном уровне сформированности алгоритмического мышления у младших школьников.

.2.    

2.2 Виды заданий, направленные на формирование умения строить алгоритмы у третьеклассников на уроках математики

Цель второго этапа экспериментальной работы - реализовать педагогические условия по развитию умения строить алгоритмы у младших школьников.

На формирующем этапе нами решались следующие задачи:

)        составить конспекты уроков математики с видами заданий, направленных на формирование умений строить алгоритмы у младших школьников;

)        разработать и провести уроки математики с видами заданий, направленные на развитие умений строить алгоритмы у младших школьников.

При разработке системы заданий были учтены методические рекомендации, изученные при теоретической подготовке работы, а также результаты констатирующего этапа. При работе с учащимися использовались методы, формирующие алгоритмическое мышление. Среди них выполнение заданий по алгоритму, построение последовательности действий с обоснованием, составление алгоритмов и др.

Особое внимание обращалось на представление сложного действия в виде упорядоченной последовательности простых. В качестве средства использовался преимущественно математический материал: текстовые задачи, числовые выражения. Некоторые из них были заимствованы из учебников Л.Г. Петерсон и М.И. Моро с разной степенью изменения.

Часть математических заданий были представлены в виде определенных программ. Кроме того, учащимся предлагались задачи алгоритмического характера, задачи, решаемые с конца, другие занимательные задания. Также, но в меньшей степени, использовались примеры алгоритмов из повседневной жизни. Они были направлены на осознание учащимися алгоритмического характера выполняемых ими действий.

В целом, рассматриваемые алгоритмы носили упрощенный характер. В них более или менее полно отражались операции, входящие в состав выполняемых действий. Последовательность действий не была строго определена.

Алгоритмы рассматривались преимущественно на конкретных, частных примерах, что более соответствует младшему школьному возрасту. Но в ряде случаев внимание учащихся обращалось на универсальный характер составленного алгоритма[17].

Предлагаемые задания выстраивались по нарастанию уровня сложности, чтобы учащиеся могли работать с большой долей самостоятельности. Также преследовалась цель построить задания таким образом, чтобы предыдущее включало в себя подготовку к работе со следующим.

Содержание заданий:

уточнение понятия «алгоритм»;

изучение и выполнение алгоритмов различных типов (линейного, разветвляющегося, цикличного) и представленных в различных формах (словесной, графической, в виде блок-схемы);

построение моделей процесса решения задачи;

составление алгоритмов (линейных);

решение задач, в том числе алгоритмического характера.

Работа по развитию алгоритмического мышления проводилась на уроках математики, в течение второй и, преимущественно, третьей четвертей. Было проведено 12 занятий. Занятие первое носило пропедевтический характер и было посвящено повторению правила выполнения действий в выражениях.

Фрагмент урока 1.

Учащиеся выполняют задания.

Этап 1 - мотивационный.

Даны числовые выражения:

+ 85 + 81 + 15

• 4 • 25 • 5

+ 75 + 42 + 25

• 15 • 6 • 10

Учащимся предлагается найти значения выражений (самостоятельная работа). После выполнения проверяются полученные ответы. Уточняется способ вычислений. Учащиеся замечают, что для удобства вычислений можно переставить числа в выражении местами (перегруппировать). Делается заключение, что в данном случае мы изменили порядок действий, но это не отразилось на результате. Повторяются правила: от перестановки слагаемых (множителей) сумма (произведение) не изменяется.

Этап 2 - выполнение учебной работы по построению алгоритмов по образцу.

Даны числовые выражения:

: 2 • (540 + 460) : 10

: 2 • 540 + 460 : 10

: 2 • (540 + 460 : 10)

Учащимся предлагается:

сравнить их: чем похожи выражения, чем они различаются;

сделать предположения о значениях выражений (фронтальная работа); - определить порядок действий и вычислить выражения ;

сравнить полученные результаты;

подтвердить (опровергнуть) предположение, о разных (различных) значениях (фронтальная работа).

Учащиеся сравнивают выражения, отмечают, что в них одинаковые числа и знаки действий. Выражения отличаются расстановкой скобок. Учитель подводит учащихся к выводу, что порядок действий в выражениях разный, и ответы будут различными. Учитель, как образец, помогает решить первый пример. Проставляется порядок действий и находятся значения выражений. Делается заключение.

Этап 3 - самостоятельное построение учащимися алгоритмов.

Даны числовые равенства:

: 5 + 10 • 2 = 50

: 5 + 10 • 2 = 3

: 5 + 10 • 2 = 10

Учащимся предлагается:

сравнить: чем похожи, чем различаются равенства;

ответить на вопрос: как могут быть получены разные значения (фронтальная работа);

определить порядок действий, чтобы равенства стали правильными, и в соответствии с этим порядком внести изменения в запись равенств (самостоятельная работа).

Задание 3 являлось более сложным по сравнению с предыдущими. Большинство учащихся выполнило задание правильно. У части учащихся возникли затруднения при его выполнении, и они не смогли справиться самостоятельно (ни один из трех примеров). После выполнения задания внимание учащихся еще раз было обращено на то, что разные значения выражений могут быть получены при выполнении действий в различном порядке.

Итоги занятия:

были сделаны следующие выводы:

) порядок действий может влиять на результат: изменение порядка выполнения действий может изменить результат (но не всегда);

) исходя из заданного (требуемого) результата, необходимо определять или изменять порядок действий. На втором занятии было рассмотрено само понятие «алгоритм», выполнялось задание на составление линейного алгоритма в словесной форме (выделение операций, их упорядочивание).

Фрагмент урока 2.

Этап 1 - мотивационный. Обсуждение понятия «алгоритм» как последовательности действий…

Учащимся предлагалось ответить на вопросы:

знакомо ли вам слово «алгоритм»?

как вы его понимаете? Что такое алгоритм? Назовите слова близкие по значению.

После ответов учащихся было дано определение «алгоритма» - это последовательность действий, которую необходимо выполнить для достижения определенного результата.

Этап 2 - выполнение учебной работы по образцу.Составление алгоритма. На примере решенной задачи рассматривался процесс решения задач: учащиеся выделили этапы работы с задачей, затем выстроили их в порядке выполнения:

) прочитать задачу;

) выделить условие (что известно);

) определить вопрос (что требуется найти);

) составить план решения задачи;

) выполнить действия;

) записать ответ.

При выполнении задания перед учащимися ставился вопрос о возможности или невозможности переставлять этапы местами. Внимание учащихся было обращено на то, что составленный алгоритм имеет общий характер и может быть использован для решения множества задач, а не одной какой-то конкретной задачи. Учащимся было сообщено, что запись алгоритма называется программой.

В конце занятия были выведены некоторые свойства алгоритмов в неявной форме:

. Алгоритм - это последовательность действий, которую необходимо выполнить для достижения определенного результата (решения определенной задачи).

. Алгоритм состоит из отдельных действий (операций, шагов и т.п.), выполняемых в определенном порядке (дискретность).

. Алгоритм должен приводить к правильному (ожидаемому) результату (результативность).

. Алгоритм разрабатывается в общем виде и может использоваться во многих случаях для решения однотипных заданий (масштабность).

Этап 3 - практический проходил на следующем занятии шло закрепление понятия алгоритма посредством упражнений по выполнению алгоритмов по заданным программам (на примере числовых выражений) и конструированию моделей решения числовых выражений.

Фрагмент урока 3.

Этап 1 - мотивационный.

Учащимся предлагаются задания.

. Выполни программу:

) число 67 умножить на число 20;

) из полученного результата вычесть число 132. Запиши эту программу действий в виде выражения, (для проверки обозначь порядок действий).

Составь схему выражения. На первом этапе задания учащимся нужно было выполнить предложенную программу, т.е. записать на математическом языке (с помощью математических символов) отдельные арифметические действия и найти их значения. Далее нужно было записать их в виде выражения. Для этого необходимо было ясно представлять отношения результатов действий между собой и способ оформления в выражении порядка их выполнения, заданного программой.

Этап 2 - выполнение учебной работы по образцу.

Целью следующего этапа задания было составить схему выражения, т.е. отойти от частного случая к общему, соблюдая порядок действий и отношения между членами выражения с помощью графических средств. Задание выполнялось совместно (фронтальная работа) и не вызвало затруднений.

Учащиеся составили выражение: 67 • 20 - 132

Правильность его была проверена простановкой порядка действий, был поставлен вопрос о необходимости скобок (в данном случае не нужно).

По выражению учащиеся составили схему:

Проверили ее соответствие данному выражению, также проставив порядок действий.

Этап 3 - самостоятельная работа. Далее учащимся предлагается самостоятельно выполнить аналогичные задания.

Программа 2.

) число 240 разделить на число 30;

) полученный результат вычесть из числа 56.

Программа 3.

) из числа 735 вычесть число 184;

) полученный результат умножить на число 8.

Решение задания 2:

выражение: 56 -240 : 30 и схема:

При выполнении задания 2 у некоторых учащихся возникли затруднения - не смогли правильно составить выражение: переставили местами компоненты второго действия (вычитания): уменьшаемое стало вычитаемым и наоборот. Получилось выражение: 240: 30 - 56.

Это нашло отражение и при составлении схемы.

После разбора и устранения ошибок и выполнялась проверка порядка выполнения действий и решался вопрос о необходимости скобок в выражении (не нужны).

При выполнении задания 3 ни у кого из учащихся не возникло затруднений с составлением выражения: (735 - 184) • 80.

Составить схему не смог никто (было поставлено условие - в схеме нельзя использовать скобки): вместо произведения разности двух чисел и третьего числа, получилась разность числа и частного двух чисел:

Простановка порядка действий по схеме выявила несоответствие ее выражению. После наводящих вопросов один учащийся смог предложить решение, близкое к правильному: -

 ×

Аналогично данной схеме, были изменены предыдущие:

1)            ×2)        -

           ×

Учащиеся сделали вывод: схемы такого вида нагляднее отражают этапы (шаги) вычислений. Они соответствуют программам, заданным в условии, т.е. представляют собой программы решения выражений, представленные в схематичном виде.

В дальнейшем работа со схемами была продолжена на занятиях № 6 и № 10. Задания заключались в составлении выражений по программам, представленным в виде схем. Предлагаемые схемы от занятия к занятию усложнялись - они содержали большее количество действий и имели более сложную структуру.

Учащимся предлагалось выполнять задания самостоятельно, после чего производилась проверка. Большинство учащихся с заданиями справлялись. На четвертом занятии учащиеся познакомились с записью программы в виде последовательности графических символов (цифры - для обозначения количества клеток, т.е. длины линий, и стрелки - для указания направления линий), выполняли рисование фигур по заданному алгоритму, составляли программы для рисования заданных фигур.

Фрагмент урока 4.

Тема: Рисование фигур по заданной программе (выполнение линейного алгоритма)

Цель занятия: научиться выполнять линейный алгоритм (на примере рисования фигур) по программе, представленной в виде последовательности графических символов.

Задание: выполните программу (для того, чтобы начать действие по программе, надо поставить точку, для обозначения начала):

. Начертите линию вверх на 4 клетки.

. Начертите линию вправо на 4 клетки.

. Начертите линию вниз на 2 клетки.

. Начертите линию влево на 4 клетки.

Запишите программу для рисования этой фигуры, используя для обозначения количества клеток - цифры, а для обозначения направления - знаки ←, →, ↑, ↓.

Учащиеся без затруднений выполнили программу (нарисовали фигуру), затем записали ее в виде: 4 ↑, 4 →, 2 ↓, 4 ←

На этапе 2 - работа по образцу, учитель, в качестве примера, выполнил такое задание с учащимися (фронтальная работа), но с другими данными.

Этап 3 - самостоятельная работа.

Далее было предложено здание на рисование фигуры по программе для самостоятельного выполнения. Программа была посложнее (содержала большее количество команд).

При выполнении задания часть учащихся получила искаженное изображение заданной фигуры.

Задание 1. Составьте программу для рисования фигуры:

Перед выполнением задания внимание учащихся было обращено на необходимость задания начальной точки для записи программы. При этом учащиеся самостоятельно заметили, что при разных начальных точках будут составлены разные программы. У большинства учащихся выполнение задания не вызвало затруднений.

На занятии № 5 была продолжена работа с графическими алгоритмами. Его целью было научить учащихся оценивать алгоритм с точки зрения рациональности и при необходимости производить оптимизацию (редактирование) программы. Это осуществлялось на примере программы рисования фигуры. Учащимся был задан алгоритм, в котором содержались действия, которые можно было заменить одним без изменения конечного результата.

Фрагмент урока 6 .

На занятии № 6 шло повторение изученного материала (работа со схемами). Учащимся были предложены более сложные задания для самостоятельного выполнения. После этого рассматривалась задача, решаемая с конца.

Задача: Максим задумал число. Вычел его из 74. Полученную разность умножил на 7. В результате у него получилось 623. Какое число задумал Максим?

Учащиеся решали задачу самостоятельно. После выполнения задания им было предложено произвести проверку полученного ответа: учащиеся записали ход действий Максима.

Обсуждался способ решения задачи - сравнив записи, учащиеся сделали вывод, что действия производятся в обратном порядке, т.е. задача решается с конца. Задачи подобного типа рассматривались и на других занятиях (например, занятие № 11).

На занятии № 7 учащиеся познакомились с записью программы в виде блок-схемы на примере линейного алгоритма.

Фрагмент урока 7

Учащимся были предложены задания (заимствованы из учебника Л.Г. Петерсон):

. В нашей стране водится много бобров. Бобр крупный грызун, ведет полуводный образ жизни, обитает по лесным рекам, сооружает из ветвей и ила домики, поперек реки делает плотины. Узнайте длину тела бобра (в сантиметрах), выполнив действия по программе:

Выполнение первого задания не вызвало особых затруднений (были ошибки при вычислении).

Внимание учащихся было обращено на форму записи программы:

отдельные команды записаны в прямоугольники;

последовательность команд определена стрелками.

Данное задание было сложным и интересным, поэтому было пройдено сразу 2 этапа: мотивационный (побуждение учащихся на выполнение нового для них задания) и работа по образцу (решение выполнялось совместно с учителем)

Этап 3 - самостоятельное построение учащимися алгоритма.

После этого было предложено выполнить задание 2, с которым справились все учащиеся.

. Бобр отличный пловец и ныряльщик. Узнайте, какое максимальное время он может находиться под водой, если а = 36:

ответ:______________

На следующем занятии шло повторение изученного материала, затем учащимся был предложен новый вид алгоритма - разветвляющийся, представленный в форме блок-схемы. Введение разветвленного алгоритма было произведено через создание проблемной ситуации.

Фрагмент урока 8

Учащимся были предложены задания:

. Найдите значения Х, выполнив заданный алгоритм: При подстановке первого значения а учащиеся получили ответ х = 629. При подстановке второго значения а на последнем шаге создается проблема (на 0 делить нельзя). Значение х в этом случае найти нельзя. (Некоторые учащиеся допустили ошибку, разделили число на ноль, получив в ответе 0). После повторения случаев деления с нулем (на ноль делить нельзя, но ноль можно делить на число), перед учащимися поставлена проблемная ситуация: как исключить случаи деления на ноль?

Необходимо изменить алгоритм - внести в него операцию проверки делителя.

Учащимся было предложено изменить алгоритм. Договорились в случае получения ненулевого значения продолжить вычисления по данной схеме, а в случае нулевого значения - изменить последний шаг алгоритма - поменять местами делимое и делитель (ноль можно делить на число). - Как это отразить в схеме алгоритма?

Знакомство учащихся с блоком «условие» в виде ромба. Обращается внимание учащихся на формулировку вопроса условия, требующего однозначного ответа: либо «да», либо «нет». В зависимости от выполнения или невыполнения условия выбирается дальнейшее решение алгоритма. После этого учащимся предлагается выполнить задание 2.

. Найдите значения х, выполнив заданный алгоритм. После выполнения задания учащиеся сравнивают алгоритмы. Еще раз повторяется функция условия - дальнейшее выполнение алгоритма зависит от ответа на вопрос условия и идет по соответствующей ветви. На следующем занятии продолжалась работа с разветвленным алгоритмом. Учащимся был предложен более сложный алгоритм для самостоятельного выполнения.

Занятие 9 было посвящено повторению изученного материала (работа со схемами, составление плана решения задачи).

На следующем занятии была продолжена работа по изучению алгоритмов. Учащиеся познакомились с еще одним видом алгоритма - циклическим. Решали задачу алгоритмического характера.

Фрагмент урока 11

Этап 1 - мотивационный.

Учащимся было предложено задание:

. Выполнение алгоритма по блок-схеме.

Учащимся было предложено выполнить задание самостоятельно, после чего была произведена проверка, обсуждался ход выполнения алгоритма: как получили результаты. Большинство учеников справилось с алгоритмом. Учащимся было предложено сравнить данный алгоритм с разветвленным, рассматриваемым на предыдущих занятиях, и ответить на вопросы:

В чем сходство данного алгоритма с разветвленным, с которым работали раньше? (наличие блока условия)

В чем его отличие? (при невыполнении условия нужно вернуться назад и выполнить то же самое действие).

Этап 2 - выполнение учебной работы по построению алгоритма по образцу или с помощью учителя. На примере первого задания учитель подчеркивает, в алгоритме этого вида действие не изменяется в зависимости от условия, а повторяется несколько раз. Внимание учащихся обращается на то, что в данном примере действие повторяется два раза, после чего в соответствии с условием алгоритм выполняется дальше. Но могут быть случаи с многократным повторением действия до выполнения условия. На основе данных комментариев, учащиеся выполняют следующее задание.

Задача. Злая мачеха поручила Золушке набрать из колодца точно 4 л воды. Проблема заключалась в том, что было лишь два сосуда емкостью 3 и 5 литров. Помоги Золушке справиться с задачей мачехи. (Решение задачи устно, фронтальная работа. Один ученик работает у доски)

Делается рисунок. Выполняется пошаговое выполнение алгоритма - записываются операции по переливанию воды:

. Налить воду в 5-литровый сосуд.

. Отлить 3 литра в 3-литровый сосуд и вылить эту воду.

. Оставшиеся 2 литра воды перелить в 3-литровый сосуд.

. Снова набрать 5-литровый сосуд.

. Долить 1 литр воды в 3-литровый сосуд.

После этого в 5-литровом сосуде останется 4 литра. Задачи алгоритмического характера рассматривались и на других занятиях (№ 5, № 7, № 9). Кроме того, значительное внимание было уделено составлению плана решения текстовых задач. Они рассматривались на занятиях № 5, № 8, № 10.

На последнем занятии рассматривались примеры действий из повседневной жизни, имеющих алгоритмический характер. Преследовалась цель достичь более широкого понимания учащимися сущности алгоритма, развития умения «видеть» алгоритм и применять его в подходящих случаях. Занятие носило обобщающий характер - были повторены основные свойства алгоритмов в доступной для учащихся форме.

Фрагмент урока 12

Этап 1 - мотивационный.

1. Составить алгоритм перехода через дорогу (фронтальная работа).

Учащимся предлагается ситуация - переход через дорогу.

Выделяются действия:

остановиться у края дороги;

посмотреть направо;

посмотреть налево;

если машин нет, можно переходить;

если машины едут, нужно пропустить их, затем переходить.

На основании этих действий учащимся предлагается составить блок-схему алгоритма и определить его тип. Учащиеся определили тип алгоритма - разветвленный - содержит условие, в зависимости от выполняемости которого выбирается следующее действие.

Обращается внимание учащихся на правильный выбор ответа на условие (вопрос поставлен в отрицательной форме).

Этап 2 - работа с помощью учителя.

Учитель дает задание: алгоритм приготовления чая «Беру чайник, ставлю его на огонь. Когда вода закипит, снимаю с огня и ополаскиваю заварной чайник, чтобы он был теплым, засыпаю нужное количество сухого чая и даю настояться несколько минут.» Это алгоритм или нет?

Учащиеся делают свои предположения, но учитель замечает, что в чайнике возможно нет воды, этого в условии нет, значит это не алгоритм.

Учитель продолжает объяснения: да, это не алгоритм. Сделаем из него алгоритм: «Беру чайник и проверяю - есть ли в нём вода, если нет - наливаю воду и ставлю на огонь, а если да (вода есть)- сразу ставлю его на огонь. Когда вода закипит, снимаю с огня и ополаскиваю заварной чайник, чтобы он был теплым, засыпаю нужное количество сухого чая и даю настояться несколько минут.»

Следующее задание: Переходи дорогу только на зелёный свет! Алгоритм ли это?

Учащиеся, на примере предыдущего задания, замечают, что возможно светофора нет, а если он есть, но не работает, а если он есть и работает, но на нём горит только жёлтый мигающий? Задаем проблемный вопрос: как же переделать его в алгоритм? решение выглядит так: светофор горит зеленым светом, переходи дорогу.

Этап 3 - практический.

В заключение на данных примерах повторяются основные свойства алгоритмов:

. Алгоритм - это последовательность действий, которую необходимо выполнить для достижения определенного результата .

. Алгоритм состоит из отдельных действий, выполняемых в определенном порядке.

. Алгоритм должен приводить к правильному (ожидаемому) результату.

. Алгоритм разрабатывается в общем виде и может использоваться во многих случаях для решения однотипных заданий.

В ходе проведения занятий было реализовано содержание материала и использованы методы, формирующие алгоритмическое мышление. Учащиеся работали над понятием «алгоритм», выполняли и конструировали алгоритмы различных типов, составляли последовательности действий (в том числе планы решения задач), решали задачи алгоритмического характера и др. На основании этого можно говорить, что проведенные занятия способствовали формированию алгоритмического мышления учащихся.

2.3 Анализ и интерпретация результатов исследования по формированию умений строить алгоритмы у младших школьников

Основная цель контрольного этапа эксперимента: выявить динамику уровня развития умений строить алгоритмы у младших школьников на уроках математики и определить эффективность формирующего эксперимента.

На данном этапе эксперимента нами решались следующие задачи:

)        провести повторную диагностику уровня развития умений строить алгоритмы у младших школьников;

)        сравнить полученные результаты с результатами констатирующего этапа экспериментальной работы.

На контрольном этапе эксперимента мы провели повторное обследование учащихся.

Работа состояла из 5 заданий.

Содержание работы:

. Составьте алгоритм деления уголком, поставив действия по порядку:

 - найти остаток (если он есть)

 - найти первое неполное делимое

 - записать делимое и делитель уголком

 - назвать ответ

 - найти цифры в каждом разряде частного

 - определить число цифр в частном

.        Используя заданный алгоритм, найдите значения х:

Выберите выражение, для которого подходит данная схема.

Найдите его значение:

 299 + 124 : 31 - 132 : 6

 (299 + 124) : 31 - 132 : 6

 299 + 124 : (31 - 132 : 6)

 (299 + 124) : (31 - 132 : 6)

. Составьте план решения задачи:

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Скорость одного пешехода 5 км/ч, скорость другого 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 ч?

. ___________________________________________________

. ___________________________________________________

. Выполните одно задание на выбор:

а) Нарисуйте фигуру, выполнив программу:

б) Составьте алгоритм для рисования фигуры.

Начало рисования обозначьте точкой.

В качестве критериев для оценки выполнения заданий были приняты следующие умения, характеризующие уровень сформированности алгоритмического мышления:

умение упорядочивать действия в алгоритме (задание № 1);

умение выполнять алгоритм: разветвленный (задание № 2), линейный (задание № 5 а);

умение составлять план действий (разбивать задачу на отдельные действия и упорядочивать их) (задание № 4);

умение сопоставить задачу и готовый алгоритм - модель ее решения (задание № 3);

умение составлять наиболее простой алгоритм - линейный (задание № 5 б).

Правильно выполненное задание оценивалось 1 баллом.

Максимальное количество баллов за все задания составило 6,0. Результаты диагностирующей работы (контрольный этап) представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Результативность выполнения проверочной работы на изучение умений строить алгоритмы

На основании этих результатов был проведен анализ выполнения заданий и получены следующие выводы.

С заданием № 1 (на упорядочение действия в предложенном алгоритме) успешно справились 95% учащихся. 5% выполнили задание частично, допустив незначительные неточности. Таким образом, результаты выполнения этого задания значительно выше аналогичных, полученных на констатирующем этапе.

Задание № 2 (на выполнение разветвленного алгоритма) выполнили все учащиеся (100%). Этот результат выше полученного при выполнении подобного задания на констатирующем этапе.

С заданием № 3 (на сопоставление задачи и готового алгоритма) успешно выполнили 85% учащихся, 15% справились с ним частично. Полученный результат совпадает с результатом выполнения аналогичного задания на констатирующем этапе.

Задание № 4 (на составление плана решения задачи) выполнили все учащиеся (100%). Данный результат значительно выше предыдущего, полученного на констатирующем этапе.

С заданием № 5а (рисование фигуры по программе) также справились все учащиеся (100%).

Задание № 5б (составление программы для рисования заданной фигуры) точно выполнили 85% учащихся, 15% допустили незначительные неточности.

Не справившихся с заданиями на данном этапе не было. Результаты выполнения учащимися отдельных заданий представлены на рисунке 3.

Рис. 2.3 Результаты выполнения учащимися отдельных заданий

По диаграмме видно, что лучше всего учащиеся справились с заданием № 2 (выполнение алгоритма разветвленного вида), № 4 (сопоставление плана решения задачи) и 5а (рисование фигуры по заданной программе). Наибольшие затруднения вызвало задание №1 (упорядочивание действий в алгоритме).

Распределение учащихся по уровням сформированности алгоритмического мышления представлено на рисунке 2.4.

Рис. 2.4 Распределение учащихся по уровням на контрольном этапе

При сравнении результатов констатирующего и контрольного этапов были получены данные, представленные на рисунке 5.

Рис. 5. Сравнение распределения учащихся по уровням сформированности алгоритмического мышления на констатирующем и контрольном этапах

Представленные данные позволяют констатировать повышение показателей выполнения учащимися большинства заданий на контрольном этапе.

На основании этого можно говорить и о повышении уровня сформированности алгоритмического мышления у школьников.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что занятия, построенные на специально подобранных упражнениях, способствовали повышению уровня развития алгоритмического мышления у младших школьников. Следовательно, целенаправленная работа с алгоритмами способствует развитию алгоритмического мышления.

Выводы по главе

К началу проведения формирующего эксперимента у большинства учащихся уровень развития умения строить алгоритмы определялся как средний или ниже среднего. В качестве критериев для определения уровня алгоритмического мышления были приняты умения школьников работать с алгоритмами - выполнение заданий по алгоритму, построение последовательности действий, составление алгоритмов и др.

В качестве критерия было принято выполнение либо невыполнение школьниками заданий, включающих определенные действия с алгоритмами. На основании этого был разработан цикл занятий, направленных на развитие алгоритмического мышления. В его основе лежала такая последовательность видов заданий и способы их выполнения, которые составляли систему связанных между собой и взаимообусловленных частей единого целого.

Значительная часть заданий была связана с выполнением алгоритмов различных видов (линейный, разветвленный, циклический), представленных в разных формах - словесной, графической, блок-схемы. Также учащимся предлагались задания на составление несложных алгоритмов.

Особое внимание обращалось на выделение в составе сложного действия ряда простых и выстраивание из них упорядоченной последовательности.

Работа с алгоритмами строилась преимущественно на математическом материале: числовые выражения, текстовые задачи. Широко использовались задачи алгоритмического характера, и задачи, решаемые с конца. Для решения именно такого типа задач первостепенное значение имеет определение последовательности действий, составляющей сущность алгоритма.

Предлагаемые задания предполагали разностороннюю деятельность учащихся: вычислительные операции, выполнение графических построений, решение задач и др. Это повышало интерес учащихся и обеспечивало их мотивацию. В процессе работы шло также повторение изученного материала (например, порядок действий при вычислениях, частные случаи деления/умножения на ноль и др.).

Особое внимание уделялось составлению плана решения задач (данное задание на констатирующем этапе вызвало затруднения), что в целом способствовало более осознанному подходу к их решению. В процессе работы задания постоянно усложнялись, повышалась самостоятельность учащихся при выполнении заданий. Для более широкого понимания учащимися сущности алгоритма, развития умения «видеть» алгоритм и применять его в подходящих случаях рассматривались примеры действий из повседневной жизни, имеющих алгоритмический характер.

Результаты диагностической работы на контрольном этапе показали более высокий уровень выполнения заданий, аналогичных тем, которые были предложены на констатирующем этапе и предполагающих определенный уровень сформированности алгоритмического мышления у учащихся.

Следовательно, целенаправленная работа с алгоритмами способствовала и развитию данного стиля мышления у младших школьников. Необходимо отметить, что повышение качественных показателей произошло у всех учащихся и было характерно практически для всех видов заданий. Имеется лишь одно исключение.

Таким образом, можно сделать вывод, что для повышения уровня алгоритмического мышления необходима продуманная, систематическая работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема формирования и развития алгоритмического мышления учащихся в настоящее время достаточно актуальна. Необходимость ее решения ее диктуется условиями современного этапа развития науки и общества, что в свою очередь находит отражение в требованиях Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.

В ходе теоретической разработки данной проблемы были сделаны следующие выводы:

Изучение этой проблемы

. Одним из основных вопросов, связанных с решением проблемы развития алгоритмического мышления, является определение сущности и качественных свойств этого вида мышления. В работах педагогов, психологов и методистов приводятся различные трактовки этого понятия, отличающиеся отдельными деталями, но, по сути, дополняющие друг друга. На их основе был сделан общий вывод, что алгоритмическое мышление связано с умением решать задачи различного происхождения, требующие составления плана действий для достижения желаемого результата.

. Младший школьный возраст - наиболее благоприятный период для развития алгоритмического мышления. На основании анализа психолого-педагогической и учебно- методической литературы был определен уровень развития алгоритмического мышления, доступный для учащихся этой возрастной группы.

Он характеризуется следующими критериями:

умение составлять план своих действий (т.е. умение разбивать более сложное действие на ряд простых и упорядочивать их);

умение действовать по заданному алгоритму;

умение строить описание способа решения задачи в форме алгоритма;

умение осуществлять выбор и применение алгоритмов в своей деятельности.

. Для эффективного развития алгоритмического мышления имеет значение выбор методов, приемов и средств. Знакомство с опытом учителей и учебно-методической литературой показал, что основную роль в этом процессе играет математика. Само содержание предмета, а также методы обучения школьников математике потенциально включают в себя алгоритмы. Целесообразно построенная система упражнений способствует более эффективному развитию алгоритмического мышления при обучении математики.

Практическая ценность исследования работы в том, что нами предложена совокупность заданий, направленных на развитие алгоритмического мышления школьников, которую можно использовать на уроках математики в начальной школе Мы выбрали определенные виды заданий, определили такую их последовательность и способы их выполнения, которые составляли совокупность связанных между собой и взаимообусловленных частей.

Выполняемые учащимися в определенной системе и последовательности задания постоянно усложнялись, и направлялись на развитие перечисленных выше умений, составляющих критерии сформированности алгоритмического мышления.

Проанализировав результаты диагностической работы на контрольном этапе, мы выявили, что у учащихся повысились показатели уровня сформированности алгоритмического мышления по сравнению с результатами, полученными на констатирующем этапе.

Таким образом, гипотеза исследования доказана,цель работы достигнута.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Баранов С.П. Принципы обучения. - М.: Педагогическое общество России, 2015. - С. 293.

.        Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: Учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. - М.: Гуманитар. Изд. центр ВЛАДОС, 2015. - 455 с.

.        Белошистая А.В. Развитие логического и алгоритмического мышления младших школьников / А.В. Белошистая, В.В. Левитес. // Начальная школа плюс до и после. - 2016. - № 9. - С. 15-22.

.        Богоявленский Д.Н. К характеристике процессов обобщения и абстрагирования // Вопросы психологии. - М. 2012. - № 4. С. 23-29.

.        Вершинин О.Е. За страницами учебника информатики. / О.Е. Вершинин. - М., 2012. - 352 с.

.        Гажук Н.И. Формирование элементов логической и алгоритмической грамотности // Начальная школа плюс до и после. - 2014. - № 7. - С. 30-32.

.        Газейкипа А.И. Стили мышления и обучение // Информационные технологии в общеобразовательной школе. - 2013. - С. 12-19.

.        Гальперин П.Я. Психология мышления и поэтапного формирования умственных действий // Исследования мышления в советской психологии. - М.: Просвещение, 2012. - 179 с.

.        Гамезо М.В. Общая психология: Учебно-методическое пособие / Под общ. ред. М.В. Гамезо. - М.: Ось-89, 2012. - 352 с.

.        Гейдман Б.П. Подготовка к математической олимпиаде. Начальная школа. 2-4 классы. / Б.П. Гейдман, И.Э. Мишарина. - М.: Айрис-пресс, 2014. - 128 с.

.        Григорьева Г.И. Логика в начальной школе. Факультативный курс в 2-ом классе.- Волгоград, 2012. - 112 с.

.        Демидова Т.Е Математика. 2 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений: в 3 ч. Ч. 1-3. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. - Изд. 3-е, испр. - М.: Баласс, 2012. - 80 с.

.        Демидова Т.Е Математика. 3 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений: в 3 ч. Ч. 1-3. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. - Изд. 3-е, испр. - М.: Баласс, 2012. - 96 с.;

.        Демидова Т.Е Математика. 4 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений: в 3 ч. Ч. 1-3. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. - Изд. 2-е, испр. - М.: Баласс, 2013. - 96 с.

.        Дубровина И.В. Младший школьник: развитие познавательных способностей. / Под ред. И.В. Дубровиной. - М.: Просвещение, 2013. - 148 с.

.        Еремеева Н.Н. Формирование алгоритмического мышления у школьников в ходе групповой работы. / Еремеева Н.Н. // Пермский педагогический журнал - 2013. - № 4. - С. 25-29.

.        Загашев И.О. Учим детей мыслить критически. / И.О. Загашев, С.И. Заир-Бек, И.В. Муштавинская. - СПб.: Альянс «Дельта», 2013. - 192 с.

.        Зыкова Е.Н. Традиции развития мышления // Начальная школа. - 2014. - № 11. - С. 45-50.

.        Иванова Е.В. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа плюс до и после. - 2016. - № 6. - С. 59-60.

.        Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение / Н. Б. Истомина. - 2-е изд., испр. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2012. - 288 с.

.        Козлова Е.Г. О возможностях формирования у младших школьников способности к работе с алгоритмизированными обучающими средствами / Е.Г. Козлова. // Начальная школа. - 2014. - № 2. - С. 99-112.

.        Козлова А.С. Развитие логического и алгоритмического мышления у дошкольников и младших школьников / А.С. Козлова. // Начальная школа плюс до и после. - 2016. - № 9. - С. 23-28.

.        Копаев А.В. О практическом значении алгоритмического стиля мышления. / А.В. Копаев. // Информационные технологии в общеобразовательной школе. - 2013. - № 4. - С. 6-11.

.        Коротенко Т.А. Соблюдение принципов преемственности при формировании логического мышления // Начальная школа плюс до и после. - 2016.- № 9. - С. 29-32.

.        Кузнецова Т.А. Развитие алгоритмического мышления младших школьников. / Т.А. Кузнецова. // Начальная школа. - 2013. - № 5. - С. 64-75

.        Лебедева Т. Н. Формирование алгоритмического мышления школьников в процессе обучения рекурсивным алгоритмам в профильных классах средней общеобразовательной школы: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. - Екатеринбург, 2015. - 219 с.

.        Маклаков А.Г. Общая психология: учеб. пособие для студентов вузов и слушателей курсов психол. дисциплин / А.Г. Маклаков. - М. [и др.]: Питер, 2012. - 582 с.

.        Мальцева Г.Г. Использование алгоритмов на уроках математики в начальной школе: методическое пособие для студентов педагогических колледжей и учителей начальных классов / Г.Г.Мальцева. - Челябинск: ЧПК №2, 2012. - 32 с.

.        Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1-2./ М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.

.        Математика. 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1-2./ М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.

.        Нежинская О.И. Логика. 1 класс. Занимательные упражнения для развития логического мышления. / О.И. Нежинская. - Волгоград: Учитель- ACT, 2015. - 96 с.

.        Образовательная система «Школа 2100» - качественное образование для всех: сборник материалов / под ред. Д.И. Фельдштейна. - М.: Баласс, 2012. - 320 с.

.        Общая психология: учебно-методич. пособие / [Гамезо М.В. [и др.]; под общ. ред. М.В. Гамезо. - М.: Ось-89, 2012. - 352 с.

.        Овчинникова Т. Н. Личность и мышление ребенка: диагностика и коррекция / Т. Н. Овчинникова. - М.: Академический Проект, 2012. - 192 с.

.        Оскирко И.Ю. Исследовательская деятельность младших школьников как основа обогащения их речи. / И.Ю. Оскирко // «Педагогическое обозрение». - 2012 г. - № 2-3. - С. 57 - 63.

.        Первин Ю.А. Компетентность и операционный стиль мышления // Информатика. - 2014. - № 11. - С. 28-31.

.        Первин Ю.А. Курс «Основы информатики для начальной школы» / Ю.А. Первин // Информатика и образование. - 2012. - № 12. - С. 7.

.        Петерсон Л.Г. Математика «Учусь учиться». 2 класс. Часть 1-3. / Учебник комплекта «Учебник + рабочие тетради». - Изд. 5-е, перераб./ Л.Г Петерсон - М.: Ювента, 2013. - 80 с., 112 с.

.        Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1-3. / Л.Г Петерсон. - М.: Ювента, 2012. - 112 с.; 96 с.; 80 с.

.        Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1-3. / Л.Г Петерсон. - М.: Ювента, 2013. - 96 с.; 128 с.; 96 с.

.        Путляева, Л. О развитии мышления / Л. Путляева // Дошкольное воспитание. - 2016. - № 5. - С. 35-38.

.        Реан А.А. Психология и педагогика. / А.А. Реан, Н.В. Бордовская, С.И. Розум. - СПб.: Питер, 2012. - 432 с.

.        Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. - М: Издательский центр «Академия», 2002 - 424 с.

.        Хухра И.В. Развитие алгоритмического мышления у младших школьников на уроках информатики / И. В. Хухра. // Педагогическое образование на Алтае. - 2012. - № 1. - С. 449-451.

.        Царева С. Е. Формирование основ алгоритмического мышления в процессе начального обучения математике / С.Е. Царева. // Начальная школа. - 2012. - № 4. - С. 5-13.

.        Васина Т.П. Развитие логико-алгоритмического мышления у младших школьников на уроках математики. [Электронный ресурс] / режим доступа: http://edureforma.ru/blog/razvitie_logiko_algoritmicheskogo_myshlenija_u_mladshikh_shkolnikov_n a_urokakh_matematiki/2009-12-21-54

.        Касьянова Т.В. Развитие логического, алгоритмического мышления и творческих способностей. [Электронный ресурс] / режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/obshchepedagogicheskie-tekhnologii/library/2013/10/07/uchitelskiyproekt-razvitie

.        Стась А.Н. Развитие алгоритмического мышления в процессе обучения будущих учителей информатики / А.Н. Стась, Н.Ф. Долганова // Вестник ТГПУ. - 2012. - № 7 59 (122). - С. 241-244. [Электронный ресурс] / режим доступа: http://vestnik.tspu.edu.ru/files/vestnik/PDF/articles/stas-_a._n._241_244_7_122_2012.pdf

.        Федеральный государственный стандарт начального общего образования. [Электронный ресурс] / режим доступа: http://www.edu.ru/db/mo/Data/d_09/m373.html.

.        Чиранова О.И. К вопросу о формировании основ алгоритмического мышления учащихся начальных классов / О.И. Чиранова. // II Всероссийская заочная научно- практическая конференция с международным участием «Современный учебно- воспитательный процесс: теория и практика». [Электронный ресурс] / режим доступа: http://econf.rae.ru/article/6847.