Методика построения асимптотической ЛАЧХ системы автоматического управления
Содержание
Частотные характеристики апериодического звена
Методика построения асимптотической ЛАЧХ системы автоматического управления
Список использованной литературы
Частотные характеристики апериодического звена
Апериодическое (инерционное) звено
Динамические свойства апериодического звена определяются дифференциальным уравнением первой степени:
∙ y′(t) + y(t) = K∙ x(t). (13)
Из данного выражения следует, что динамические свойства звена зависят от аргумента Т, называющегося постоянной времени и определяющего длительность переходного процесса от начального значения выходной функции y(t) к установившемуся постоянному ее значению при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t).
Уравнение (13) может быть также представлено в операторной форме:
∙p∙y + y = y(T∙p + 1) = K∙ x. (14)
Из уравнения (14) легко получаем аналитическое выражение для передаточной функции апериодического звена:
(p) = y/x = K/(T∙p + 1). (15)
Учитывая, что передаточная функция есть ничто иное, как изображение по Лапласу L[g(t)] весовой функции, найдем оригинал весовой функции, представив передаточную функцию в виде произведения изображений простейших функций, оригиналы которых можно найти из справочных таблиц изображений функций.
[g(t)] = W(p) = K/(T∙p + 1) = (K/T)∙1/(p + 1/T). (16)
В нашем случае изображение некоторой неизвестной функции f(t) равно L[f(t)] = 1/(p + 1/T), которому соответствует оригинал f(t) = ept, где p - есть ничто иное, как решение (корень) характеристического уравнения, получаемого приравниванием выражения в знаменателе изображения L[f(t)] к нулю: p + 1/T = 0, откуда р = - 1/T. Следовательно, выражение для весовой функции будет иметь вид:
(t) = (K/T)∙f(t) = (K/T)∙e-t/T (17)
Переходную функцию h(t) можно найти интегрированием правой части выражения (17), которое производим в операторной форме путем умножения изображения весовой функции L[g(t)] на отношение (1/р), представляющее собой передаточную функцию интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1:
[h(t)] = L[g(t)]∙ 1/р = (1/р)∙ (K/T)∙1/(p + 1/T). (18)
Для отыскания оригинала функции h(t) разложим правую часть выражения (18) на элементарные дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
(K/T)/[p∙(p + 1/T)] = A/p + B/(p + 1/T) = [A∙(p + 1/T) + B∙p]/[p∙(p + 1/T)],
откуда/T = A/T + A∙p + B∙p = A/T + p∙(A + B).
Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях полученного выражения при одинаковых степенях оператора р, получим:
/T = A/T, или А = К;
А + В = 0, откуда В = -А = -К;
следовательно:
(K/T)/[p∙(p + 1/T)] = K/p - K/(p + 1/T) = K∙[1/p - 1/(p + 1/T)]. (19)
Переходя от изображений (19) к оригиналам простейших функций, получим выражение для переходной функции апериодического звена:
(t) = K∙(1 - e-t/T). (20)
Корень характеристического уравнения в изображении (1/р) элементарной функции f(t) равен нулю (р = 0), поэтому ее оригинал равен:
(t) = ept = e0t = e0 = 1.
Колебательное звено. Динамические свойства колебательного звена определяются дифференциальным уравнением второй степени и зависят не только от постоянной времени Т, но и от коэффициента кси ξ, называемого коэффициентом демпфирования, характеризующего степень затухания колебаний:
∙y′′(t) + 2ξ∙T∙y′(t) + y(t) = K∙ x(t). (21)
Представим уравнение (21) в операторной форме и найдем из него выражение для передаточной функции:
∙p2∙y + 2ξ∙T∙p∙y + y = (T2∙p2 + 2ξ∙T∙p + 1)∙y = K∙ x;(p) = y/x = K/( T2∙p2 + 2ξ∙T∙p + 1). (22)
С целью экономии времени в виду громоздкости вывода формулы для переходной характеристики приводим ее без вывода:(t) = K∙[1 - (e-ξt/T/r)∙sin(rt/T + α)] (23)
Здесь: r = > 0 - условие наличия колебаний в звене;
α = arctg(r/ξ) - фазовый начальный угол;
r/(2πT) = f - частота затухающих колебаний звена.
Весовую функцию g(t) колебательного звена можно найти, взяв производную от переходной функции h(t):
(t) = h′(t) = (K/T)∙e-ξt/T∙[(ξ/r)∙sin(rt/T + α) - cos(rt/T + α)] (24)
Методика построения асимптотической ЛАЧХ системы автоматического управления
Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию систем на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.
К частотным характеристикам относятся:
АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;
АЧХ - амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ - фазовая частотная характеристика;
ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ;
ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ.
АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W(jω), которая получается путем замены в передаточной функции W(p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ представляет собой вектор на комплексной плоскости в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:
W(jω) = Н(ω)∙еjφ(ω) = N(ω) + jM(ω). (1)
частотный звено апериодический интегрирующий
Здесь: Н(ω) - АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора АФЧХ от круговой частоты;
φ(ω) - ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора АФЧХ от круговой частоты;
N(ω) = Н(ω)∙cosφ(ω) - проекция вектора АФЧХ на действительную ось комплексной плоскости;
M(ω) = Н(ω)∙sinφ(ω) - проекция вектора АФЧХ на мнимую ось комплексной плоскости;
При изменении частоты ω от нуля до бесконечности АФЧХ представляет собой кривую в комплексной плоскости, называемую годографом.
Рассмотрим частотные характеристики отдельных типовых звеньев.
Апериодическое звено
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/(1 + jωT) = = .
Н(ω) = ; φ(ω) = - arctg(ωT);
N(ω) = K/[1 + (ω∙T)2]; M(ω) = - K∙ ω∙T/[1 + (ω∙T)2]. (2)
φ(0) = 0o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;
φ(ω = 1/T) = - 45o; Н(T) = K/√2; N(T) = K/2; M(T) = - K/2;
φ(ω → ∞) = - 90o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Интегрирующее звено
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/jω = K∙e /ω;
Н(ω) = K/ω; φ(ω) = - 90o;(ω) = 0; M(ω) = - K/ω; (3)
φ(ω → ∞) = - 90o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Колебательное звено
Основные формулы и соотношения
W(jω) = K/[- (ω∙T)2 + j2ξ∙T∙ω + 1] = =
= = ;
Н(ω) = ; φ(ω) = - arctg{2ξ∙T∙ω/[1- (ω∙T)2]};
N(ω) = K∙[1 - (ω∙T)2]/{[1- (ω∙T)2]2 + 4(ξ∙T∙ω)2};(ω) = - 2K∙ξ∙T∙ω/{[1- (ω∙T)2]2 + 4(ξ∙T∙ω)2}; (4)
φ(0) = 0o; Н(0) = K; N(0) = K; M(0) = 0;
φ(ω = 1/T) = - 90o; Н(T) = K/(2ξ); N(T) = 0; M(T) = - K/(2ξ);
φ(ω → ∞) = - 180o; Н(∞) = N(∞) = M(∞) = 0.
Идеальное дифференцирующее звено.
Основные формулы и соотношения
W(jω) = jK∙ω = K∙ω∙e ;
Н(ω) = K∙ω; φ(ω) = 90o;(ω) = 0; M(ω) = K∙ω; (5)
φ(0) = 90o; Н(0) = 0; N(0) = 0; M(0) = 0;
φ(ω → ∞) = 90o; Н(∞) = M(∞) = ∞; N(∞) = 0.
Кроме перечисленных ранее частотных характеристик при анализе свойств САУ широко используются логарифмические частотные характеристики, к которым относятся:
ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
ЛФЧХ - логарифмическая фазовая частотная характеристика.
ЛАЧХ представляет собой график зависимости L(ω) = 20lg[H(ω)] от десятичного логарифма частоты lg(ω). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат L(ω). Единицей L(ω) является децибел (дБ), равный одной десятой Бела. L(ω) = 20 означает, что на данной частоте при прохождении сигнала через звено его амплитуда увеличивается в 10 раз.
ЛФЧХ - это график зависимости частотной функции φ(ω) от десятичного логарифма частоты lg(ω). При его построении по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, по оси ординат откладывают φ(ω) в градусах или радианах.
В обоих случаях за единицу масштаба по оси абсцисс принимается декада - это частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. Ось ординат при построении этих характеристик проводят часто через точку (ω = 1) которая соответствует началу координат lg(1) = 0.
На практике часто кривую линию ЛАЧХ заменяют приближенным графиком, состоящим из нескольких пересекающихся прямых отрезков (асимптот), к которым стремится логарифмическая функция при определенных значениях частот, называемых сопрягающими частотами.
Рассмотрим аналитические выражения для ЛАЧХ и правила построения асимптотических ЛАЧХ для ряда характерных типовых звеньев.
Апериодическое звено. Формула ЛАЧХ согласно (2) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgК - 20lg . (6)
В области низких частот ω < ωc = 1/T, меньших по значению, чем сопрягающая частота ωc, L(ω) = 20lgК. В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, параллельной оси абсцисс и проходящей на уровне 20lgК.
В области высоких частот ω > ωc L(ω) = 20lgК - 20lg(ω∙Т). В этой области частот кривая ЛАЧХ заменяется прямой линией, имеющей наклон минус 20 дБ на декаду.
Обе прямые или иначе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей сопрягающей частоте ωc = 1/T.
Интегрирующее звено. Формула ЛАЧХ согласно (3) принимает следующий вид:
L(ω) = 20lg[H(ω)] = 20lgК - 20lgω. (7)
Так как при частоте ω = 1 согласно выражению (7) функция L(ω) = 20lgК, то естественно асимптота в виде прямой линии с отрицательным наклоном в 20 дБ должна проходить через эту точку при ω = ωc = 1.
Список использованной литературы
1.Методические указания по предмету «Управление техническими системами»
.Шишмариев В.Ю. Основы автоматического управления: учеб. Пособие для студентов высших учебныз заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 2008 г.-352 с.
.Пучин Е.А., Дидманидзе О.Н. ,Лезли .П., Лисунов Е.А.Надежность технических систем - М.:УМЦ «Триада», 2005 - 353 с.
.Управление техническими системами: учеб. пособие / Е.Б. Бунько, К.И. Меша, Е.Г. Мурачев и др.; Под ред. В.И. Харитонова. - М.: Форум, 2010. - 384 с.: ил.; 60x90 1/16. - (Профессиональное образование). (переплет) ISBN 978-5-91134-278-4, ЭБС