Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний

Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний

Реферат

Математическая модель линейной системы в форме пространства состояний

Достаточно распространенным способом описания линейных устройств является построение модели устройства в пространстве состояний (state space). Эту математическую модель применяют, когда необходимо знать не только, как связаны между собой входной и выходной сигналы линейной системы, но и как изменяются во времени сигналы внутри линейной системы. Кроме того, представление линейной системы в пространстве состояний оказывается полезным в задачах синтеза проектируемого устройства.

Если выбран некоторый вектор состояния , то реакция линейной системы y(t) на входной сигнал x(t) определяется системой уравнений

                                    (1)

В данном случае для описания модели устройства необходимо задать матрицы и .

Если  - вектор-столбец размера N×1, а входной x(t) и выходной y(t) сигналы являются скалярными, то размерность параметров в этих формулах будет следующей:  - матрица N×N,   - вектор-столбец N×1,   - вектор-строка 1×N, D - матрица 1×1 (скаляр). Если входной и (или) выходной сигналы являются векторными, размерность параметров соответствующим образом изменяется.

В качестве координат вектора состояния  можно рассматривать сигналы внутри линейного устройства и (или) их производные. Например, для линейной цепи с сосредоточенными параметрами в качестве координат вектора  можно выбрать некоторые из напряжений в узлах схемы и токов в ее ветвях. Распространенной практикой при представлении линейных устройств в пространстве состояний является использование в качестве координат вектора  взвешенных значений выходного сигнала и его производных для некоторых условий (например, для входного сигнала определенного вида).

Из модели устройства в форме пространства состояний легко перейти к его модели в форме передаточной функции. Если применить преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1), а затем выразить из них операторный коэффициент передачи, можно прийти к следующему выражению:

                                      (2)

где  - единичная матрица N×N.

Обратное преобразование H(s) в параметры пространства состояний не является однозначным - оно зависит от выбора вектора состояния. Действительно, пусть задано описание некоторой устройства в пространстве состояний в форме (1). Рассмотрим новый вектор состояния , получаемый из исходного вектора линейным преобразованием, то есть путем умножения его на квадратную невырожденную матрицу : , а . Тогда из выражения (1) получим

                              (3)

Если первое из выражений (3) умножить слева на , то получим уравнения линейного устройства с параметрами для переменных состояния, определенных вектором :

       (4)

.                                           (5)

Сопоставив формулы (1) и (5), нетрудно найти выражения, связывающие параметры устройства для векторов состояний  и :

  (6)

Таким образом, при смене вектора состояния параметры и  соответствующим образом модифицируются.

Пример 1. Пусть линейное устройство описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка

где y(t) - реакция устройства (например, выходное напряжение или ток) на входное воздействие x(t). Начальные условия - положим нулевыми: y(0) = y'(0) = y» (0) = y'"(0) = 0.

Построим математическую модель устройства в форме переменных состояния.

Дифференциальное уравнение имеет четвертый порядок, следовательно, необходимо определить четыре переменных состояния, которые будут использованы четырьмя уравнениями состояния первого порядка.

Выберем в качестве переменных η₁(t), η₂(t), η₃(t) и η₄(t) реакцию устройства y(t) и ее производные:

и выразим через них дифференциальное уравнение в виде устройства уравнений 4-го порядка:

Запишем эту систему в матричной форме

или более компактно

Выходной сигнал в соответствии с формулами (1) определяется выражением

Для верификации модели используем какой-либо из известных результатов. Пусть, например устройство описывается линейным дифференциальным уравнением

Если сигнал на входе устройства гармонический: , а начальные условия нулевые: , то решением рассматриваемого дифференциального уравнения является функция

В соответствии с изложенным выше положим  и , следовательно, параметры рассматриваемого устройства в пространстве состояний будут следующими:

линейный аналоговый сигнал

К нелинейным устройствам обработки аналоговых сигналов относят такие устройства, которые выполняют над сигналами разного рода нелинейные операции, например ограничение сигнала по амплитуде, логарифмирование, выпрямление, нахождение абсолютного значения, возведение в степень и т.д. Общим признаком нелинейных устройств является невыполнение для них принципа суперпозиции сигналов. Следует отличать нелинейные устройства обработки сигналов от нелинейных режимов работы линейных устройств с активными элементами. Если для первых нелинейный режим является штатным, то есть они проектируются для работы именно в таком режиме, то для вторых нелинейный режим является нештатным: они проектируются для работы в линейном режиме, а могут переходить в нелинейный режим при разного рода неисправностях или перегрузках.

Нелинейные устройства можно разделить на две группы, существенно отличающиеся по методам анализа их работы: нелинейные безинерционные и нелинейные инерционные.

У нелинейных безинерционных устройств величина выходного сигнала y(t) зависит только от величины входного сигнала x(t) в текущий момент времени t и вида проходной характеристики , связывающей y и x. В нелинейных инерционных устройствах выходной сигнал y(t) зависит не только от величины входного сигнала в текущий момент времени и вида проходной характеристики , но и от того, какие значения принимал сигнал ранее.

Типичными нелинейными безинерционными устройствами при обработке радиосигналов, являются ограничители сигналов по амплитуде, выпрямители, устройства с квадратичной, логарифмической или экспоненциальной амплитудной характеристикой. Нелинейными инерционными устройствами являются разного рода устройства преобразования спектра сигнала: преобразователи частоты, детекторы.

Наиболее важной характеристикой нелинейных безинерционных устройств является проходная характеристика . Помимо этого они могут характеризоваться динамическим диапазоном входных сигналов и точностью работы.

Нелинейные инерционные устройства наиболее корректно описываются нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим y(t) и x(t). В ряде случаев (в частности при описании устройств частного преобразования) задачу их описания удается упростить, выделяя в таких устройствах нелинейные безинерционные элементы и линейные инерционные и рассматривая их по отдельности.

Выводы и результаты

1. Математическую модель в форме пространства состояний применяют, когда необходимо знать, как связаны между собой не только входной и выходной сигналы линейной системы, но и как изменяются во времени сигналы внутри линейной системы. Представление линейной системы в пространстве состояний находит применение в задачах синтеза проектируемых устройств.

. Из модели устройства в форме пространства состояний можно перейти к его модели в форме передаточной функции. Однако обратный переход не однозначен, поскольку зависит от выбора вида вектора состояний системы. Выбор вектора состояний зависит от целей решаемой задачи проектирования.

3. Нелинейные устройства можно разделить на две группы: нелинейные безинерционные и нелинейные инерционные. Наиболее важной характеристикой нелинейных безинерционных устройств является проходная характеристика . Нелинейные инерционные устройства наиболее корректно описываются нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим y(t) и x(t).

Список литературы

линейный аналоговый сигнал

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 751 с.: ил.

2. Акимов П.С. и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. Учеб. Пособие для вузов/ П.С. Акимов, А.И. Сенин, В.И. Соленов. - М.: Радио и связь, 1994. - 256 с.: ил.

. Введение в математическое моделирование.: учеб. пособие для студ. вузов / В.Н. Ашихмин [и др.]. - М.: Логос, 2005. - 439 с.: ил.

Моделирование динамических систем: аспекты мониторига и обработки сигналов / Нац. АН Украины; под ред. В.В. Васильева. - Киев: Изд-во НАН Украины, 2002. - 343 с.