Разработка математической модели и автоматизация технологии построения карты изолиний (на примере 'Лесного' месторождения, объект зеленая свита)

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Контрольная работа

Разработка математической модели и автоматизация технологии построения карты изолиний (на примере «Лесного» месторождения, объект зеленая свита)

Прикладная математика

Ставрополь, 2013

Содержание

1. Выполнение задач по разработке математической модели карты изобар

. Теоретические аспекты моделирования в тематической картографии

.1 Точечная аппроксимация поверхности степенными полиномами

.2 Разложение функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра

.3 Сравнение и анализ методов

. Автоматизация технологии построения карты изобар

Литература

1. Выполнение задач по разработке математической модели карты изобар

Большинство практических геолого-геофизических задач решается с помощью карт. Это исследования геологического строения, анализ литолого-фациальных обстановок, гидрологических и геотермических условий формирования и сохранения залежей полезных ископаемых, размещения скважин и другие. Карты дают наглядное представление об объектах различной природы и различного уровня сложности.

Однако сбор, анализ и оценка картографических источников, редакционно-подготовительные работы, временное сопоставление результатов занимают много времени и отстают от реальной обстановки на месторождении. Сократить время обработки информации о фактическом состоянии месторождения возможно, применив геоинформационные технологии. Для мониторинга динамики забойного давления в скважинах и решения геолого-геофизических задач в интерактивном режиме необходимо построить модель карты изобар и автоматизировать процесс создания карты изобар и разработать методику, позволяющую прогнозировать давление газа в любой точке месторождения.

Цель работы: автоматизировать процесс создания карт изолиний.

Для создания и полноценного использования географических карт, необходимо знать их свойства и особенности. Поэтому изучение и разработка карт требует аналитического подхода, расчленения карты на отдельные составляющие их элементы, умения понимать их смысл, значение и функции каждого элемента. В карте различают её содержание, передаваемое картографическими знаками, математическую основу, легенду, вспомогательное оснащение и дополнительные данные.

.        Содержание - главная часть любой географической карты - заключает в себе некоторую совокупность сведений о показанных на карте природных и социально-экономических явлениях.

.        Математическая основа, определяющая математические законы построения карты и геометрические свойства картографического изображения, устанавливает координатную связь между объектами в натуре и их изображениями на карте. В математическую основу входят: картографическая проекция, координатная сетка, масштаб, опорная геодезическая сеть. В связи с координатной сеткой карты и её масштабом, определяющим общий размер картографического изображения, рассматриваются также ориентирование и размещение изображения относительно рамок, ограничивающих картографическое пространство, деление карт большого размера на листы, а также система обозначения этих листов.

Одним из способов изображений явлений на специальных картах является способ изолиний. Изолиниями (от греческого «изос» - равный, одинаковый) называют линии на карте, проходящие по точкам с одинаковыми значениями каких-либо количественных показателей. Характерный пример изолиний - горизонтали или изогипсы, т. е. линии, соединяющие на земной поверхности точки одинаковой высоты, - основной способ-изображения рельефа на топографических картах.

Такие системы изолиний отображают поверхности реальные (например, рельеф местности) или абстрактные (например, поверхность годового слоя осадков). Это обстоятельство важно для понимания процесса построения изолиний.

При использовании изолиний характеристика явлений достигается не отдельно взятыми изолиниями, а их совокупностью, системой. Это определяет важность целесообразного выбора интервала между изолиниями и требует их согласования и совместного обобщения.

Положение изолиний на карте определяется приближенно методом интерполяции, предполагая, что кол-во явления изменится от одной зафиксированной точки до следующей постепенно и равномерно. Но в действительности абсолютной равномерности в изменении величины явления при переходе от одного места к другому не наблюдается. Поэтому способ изолиний представляет близкое к действительности, но обобщенное изображение картографируемого явления.

Широкое распространение в картографии получили модели аппроксимации поверхностей пространственных географических распределений. Под аппроксимацией в математике понимают замену (приближение) сложных или неизвестных функции другими, более простыми функциями, свойства которых известных. Формальный аппарат аппроксимации разнообразен.

Теоретические основы его и практические приложения были рассмотрены Н.А.Урмаевым(1953) и затем в работах Г.А.Гинзбурга, Т.Д.Саламановой (1962).

Различие постановок задач аппроксимации обычно вытекает как из многообразия классов рассматриваемых функций (алгебраические и ортогональные полиномы), так из критериев качества восстановления (минимум суммы квадратов, средняя кривизна поверхности).

Для геологической интерпретации данных часто применяют тригонометрические и смешанные (тригонометрические и экспотенциальные) функции. Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности.

2. Теоретические аспекты моделирования в тематической картографии

.1 Точечная аппроксимация поверхности степенными полиномами

Один из распространенных приемов математического анализа состоит в составлении по картам уровнённых поверхностей, аппроксимирующих исследуемые явления - реальные (рельеф) или абстрактные (урожайность, плотность населения).

Пусть в некоторой области H известны значения функции в произвольно расположенных n точках Z_i=j(x_i,y_i) (i=1,2,3…). Требуется в каком-либо классе восстановить функцию j(x_i,y_i), проходящую через точки замеров. Наиболее удобной в обращении на практике функцией приближения является алгебраический многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно знать конечное число его коэффициентов.

Пусть А - матрица значений базисных функций в заданных точках, В - вектор искомых n коэффициентов, а c - известные значения функции, тогда произведение

 (1.1)

будет вектором n значений, через которые проходит кривая. Аппроксимировать в смысле метода наименьших квадратов данную функцию линейной комбинацией с постоянными коэффициентами A_i,j и фиксированным числом слагаемых n - значит подобрать коэффициенты так, чтобы минимизировать среднеквадратическое уклонение . То есть, чтобы вектор невязки h=Ac-y был как можно короче. Для поиска минимума необходимо продифференцировать выражение по всем переменным c_k и приравнять производные нулю.

Эту систему из n уравнений (k=1,2…n) можно записать как матричное уравнение (Ac-y)^TA=0, которое эквивалентно уравнению A^T(Ac-y)=A^Ty

Раскрыв скобки, приходим к уравнению A^TAc=A^Ty.

Матрица А^TA будет симметрической, и если ее определитель не равен нулю, то существует обратная матрица (А^TA)^-1 и решение системы единственно:

c=((A^Т*A)^-1*A^Т)*Z (1.2)

Важной характеристикой матрицы системы линейных уравнений является её обусловленность - мера чувствительности решения системы к возмущению правой части. Для формирования хорошо обусловленной матрицы, необходимо перейти к декартовой системе координат, с центром в середине исследуемого поля. Каждый столбец матрицы - произведение значений координат скважины по осям x, y, возведенных в соответствующую степень многочлена.

Применение данного метода позволяет создавать карты статистических поверхностей, дающих в соответствующей мере приближенное описание соответствующего явления. Задавая различную степень многочлена, можно получать аппроксимируемую поверхность различного порядка.

Очевидно, многочлены первой и второй степени дают самое грубое приближение поверхности, они сглаживают поверхности, срезая все локальные неоднородности. Аппроксимация уточняется с повышением степени многочлена. При повышении точности прохождения поверхности в точках наблюдения полиномы высоких степеней недопустимо резко изменяются между этими точками. Поэтому в данной работе были применены многочлены третьей и четвертой степеней.

Основными недостатками метода являются: значительное время, требуемое для определения коэффициентов в системе линейных уравнений, и неудовлетворительные результаты аппроксимации поверхности больших территорий. Поэтому карту разбили на региональные составляющие. Сначала строятся многочлены третьей степени для отдельно взятой территории. Если карта была разбита на четыре части, то необходимо составить четыре многочлена. Таким образом, поверхность можно описывать четырьмя полиномами третьей степени. Карта строится по каждому участку отдельно. С увеличением детальности изображения, интервал, через который проводят изолинии, уменьшается.

Пример 1. Построить поверхность по данным из таблицы 1.

Таблица 1

Аппроксимируем функцию, описывающую поверхность полиномом третьей степени. Согласно формуле 1.2 получим систему уравнений, которую представим как матричное уравнение:

А*Х=Z

Подставляя значения коэффициентов А_i,j, получим уравнение поверхности:

F(z)=0.1141*x+0.0702*y-0.00195*y*x+0.00461*x²+0.00464*y²-0.0000628*x²*y-0.0000126*y²*x-0.00000821*x³-001204*y³

Корни уравнения - график функции (рис. 1).

Рис.1 Схематическая карта газодинамического поля «Лесного» месторождения, построенная методом точечной аппроксимации поверхности степенными полиномами

Кроме приведенных в таблице 1 данных, на территории Лесного месторождения имеются еще несколько скважин. Чтобы получить более подробную ситуацию на месторождении, необходимо разделить территорию на четыре части и применить данный способ к каждому участку отдельно.

2.1 Разложение функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра

Рассмотрим плоскость, на которой двумерная величина (х - у) принимает определенные значения, причем область её значений разделена на ряд ячеек. В каждой ячейке обозначена центральная точка, значения которой соответствуют координатам по оси х и у. Если ввести третью ось - z, то функцию z=f(x,y) можно представить в трехмерном пространстве в виде поверхности.

Согласно теореме Вейерштрасса, любую функцию z=f(x,y) , непрерывную на отрезке , можно равномерно аппроксимировать на этом отрезке многочленами от (х, у).

, (2.0)

где F(x,y) - истинная функция поверхности

A_i,jP_i(x)P_j(y) -приближаемая функция

Из этой теоремы вытекает сходимость в среднем (или по норме) к z=f(x,y) ряда Фурье, построенного по z=f(x,y) и по соответствующей ортонормированной системе. Чтобы получить такую систему, необходимо найти последовательность ортогональных нормированных одночленов, однозначно определенных, если зафиксировать отрезок .

Условие ортогональности имеет вид:

Последовательно полагая, n=1,2,3… и выбирая нормировку

, получаем систему ортогональных многочленов

, (2.0)

рассмотренных более двухсот лет назад французским математиком Лежандром.

Соблюдая условие теоремы Вейерштрасса непрерывности функции на заданном отрезке, найдем масштабные коэффициенты, определяемые из условия (рис.3):

h=х/а, z=у/b (2.1)

Рис.3 Построение регулярной решетки

Поэтому условие ортогональности примет вид:

, m,n=0,1,2…

Коэффициенты многочлена вычисляются по формуле:

где  (2.2)

  (2.3)

Как и в первом способе, карту делим на региональные составляющие и для каждого участка строим поверхность.

Сравнивая схематическую карту, построенную вышеописанным способом и карту, построенную с помощью программы 3dField, приходим к выводу, что общие черты газодинамического поля определены однозначно.

Пример 2.Построить поверхность по данным регулярной решетки (рис.4).

Рис.4 Представление плоскости с координатами х и у с помощью прямоугольной сети

Найдем масштабные коэффициенты, определяемые из условия (2.1).

Координаты точек примут следующие значения (табл.2).

Таблица 2

Коэффициенты А_ij вычисляются по формуле (2.2).

Так, для нахождения коэффициента А₀₀, необходимо произвести следующие действия:

А₀₀=80*Р₀(h)*Р₀(z)+70*Р₀(h)*Р₀(z)+90*Р₀(h)*Р₀(z)+70*Р₀(h)*Р₀(z),

зная, что Р₀(x)=1/2 и с²=1 , имеем - А₀₀=155.

Подставляя значения вычисленных коэффициентов, получим уравнение

F(h,z)=155*Р₀(h)*Р₀(z)-2.16*Р₀(h)*Р₁(z)-140.8*Р₀(h)*Р₂(z)+4.44*Р₀(h)*Р₃(z)+2.16*Р₁(h)*Р₀(z)-2.81*Р₁(h)*Р₁(z) -1.966*Р₁(h)*Р₂(z)-140.80* Р₂(h)*Р₀(z)+1.966* Р₂(h)*Р₁(z)-4.44*Р₃(h)*Р₀(z)

Согласно формуле (2.0), найдем следующее уравнение

.37*x-16.37*y-72.63*x*x-72.63*y*y-16.25*x*y-3.51*y*y*x+3.51*x*x*y*-19.1*x*x*x+19.1*y*y*y= -36

Корни уравнения - график функции (рис 3).

Рис.3.Схематическая карта газодинамического поля «Лесного» месторождения, построенная методом разложения функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра

Сравнивая схематическую карту, построенную данным способом и карту, построенную вручную, отметим, что изолинии в первом случае не проходят через заданные точки поверхности. Ведь карту строили по точкам - центрам площадок постоянного размера и использовали в вычислениях среднее значение ячейки.

Однако величина расчетного давления по каждой скважине имеет одинаковую ошибку, что позволяет использовать карту изобар в качестве сравнительного показателя при проведении анализа технологии разработки газового месторождения.

2.3 Сравнение и анализ методов

Применение аппроксимации позволяет создавать карты статических поверхностей, дающих в соответствующей степени приближенное описание исследуемого явления. Задавая различную степень полинома, можно получать поверхность различного порядка - от первого для отображения общих черт в виде плоскости до поверхностей степени m, которые с повышением степени будут все больше приближаться к реальной статической поверхности явления. Расчет аппроксимируемых поверхностей производится при условии минимизации суммы квадратов отклонений от реальных поверхностей. Данный способ является механическим, степень полинома зависит от числа точек на поверхности. Количество выбранных на поверхности точек должно быть равно числу коэффициентов в системе линейных уравнений, сформированной для данной модели. Чтобы найти коэффициенты, необходимо решить систему линейных уравнений. При большом числе точек решение системы уравнений требует значительного количества времени и объема памяти ЭВМ.

Наиболее эффективным в этом отношении является второй способ - разложение функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра. Он основан на применении статистических данных, приуроченных к узлам равномерной сетки. Выбор величины территориальных ячеек в этом случае обуславливается детальностью исходных данных и требуемой точностью описания моделируемого явления. При отсутствии специально собранных данных по равномерной сетке, пересчет производится методом линейной интерполяции. Для нахождения коэффициентов не требуется значительного количества времени.

3. Автоматизация технологии построения карты изобар

К числу основных задач автоматизации относят следующие:

. Преобразование картографических проекций исходных карт в заданные проекции.

. Изыскание новых картографических проекций в автоматизированном режиме.

. Автоматическое построение элементов математической основы карты.

Для автоматизации технологии создания карты изобар существует ряд возможностей. Во-первых, разработка программного продукта при помощи прямого программирования аффинных преобразований на плоскости и в пространстве или использование библиотеки для моделирования графических объектов (например, библиотека OpenGL). Во-вторых, существуют программные продукты, посвященные картографическому моделированию и не требующие написания кода программы для работы с графикой (3dField, MapInfo, ArcVeiw).

математический картография полином аппроксимация

Рис.4.Схематическая карта газодинамического поля Лесного месторождения, выполненная с помощью программы 3DField.

Методика применения карт в оперативной работе и проектировании устанавливается специалистами, прибегающих к помощи этих карт. Современные ГИС-технологии (MapInfo, ArcVeiw) предоставляют пользователям возможность строить карты, не прибегая к помощи картографов.

Однако вышеперечисленные программные продукты являются лишь средством реализации исследований. Осваивая методы построения карт и приемы автоматизации, картограф получает возможность расширить теоретическую базу науки.

Освоить процесс автоматизированного создания карты можно с помощью объектно-ориентированного программирования.

В качестве программной среды выбран язык программирования Delphi. Это комбинация нескольких важнейших технологий:

·        Высокопроизводительный компилятор в машинный код

·        Объектно-ориентированная модель компонент

·        Визуальное (а, следовательно, и скоростное) построение приложений из программных прототипов

Основной упор этой модели в Delphi делается на максимально рациональном использовании кода. Это позволяет разработчикам строить приложения из заранее подготовленных объектов, а также дает им возможность создавать свои собственные объекты для среды Delphi.реда Delphi включает в себя полный набор визуальных инструментов для скоростной разработки приложений (RAD - rapid application development), поддерживающей разработку пользовательского интерфейса и подключение к корпоративным базам данных. VCL - библиотека визуальных компонент, включает в себя стандартные объекты построения пользовательского интерфейса, объекты управления данными, графические объекты, объекты мультимедиа, диалоги и объекты управления файлами.

Рис.5 Интерфейс программы для построения карт изолиний

Для решения системы линейных уравнений используется процедура «сount». В ней реализован метод наименьших квадратов. Входными данными являются: число скважин, расположенных на картографируемой территории и координаты скважин. Данная процедура формирует матрицу из указанных пользователем координат, производит перемножение матриц и выдает значения искомых коэффициентов.

Рис.6.Схематическая карта газодинамического поля Лесного месторождения, построенная методом точечной аппроксимации поверхности степенными полиномами

Функция «Uravnenie» составляет уравнение для построения поверхности, используя коэффициенты, вычисленные процедурой «count».

Для построения графиков полученной функции разработаны процедуры «Draw» и «Pict», в них использован метод решения линейных уравнений, то есть метод перебора всех координат плоскости, в процессе выполнения которого на плоскости отмечаются точки, удовлетворяющие данному уравнению.

Рис.7 Диалоговое окно для ввода значений координат скважин

Реализация трехмерной графики с помощью библиотеки OpenGL базируется на основе принципов аффинных преобразований в пространстве. Все то, что отображается в графическом окне приложения, мы видим посредством камеры - виртуального окна в трехмерном пространстве. Объекты в пространстве описывают матрицы - фактически трехмерной модели пространства. Алгоритм решения этой задачи строится следующим образом. Вначале двигаем камеру на заданное расстояние "к пользователю" по оси OZ для того, чтобы иметь возможность смотреть на полученную поверхность "со стороны" (изначально камера находится в начале координат. Затем сдвигаем начало координат на заданное расстояние относительно заданной оси - оси вращения - для того, чтобы ось вращения была от тела удалена. (2)

Рис.8 Разработка трехмерной модели поверхности с помощью стандартной библиотеки OpenGL.

В ходе выполнения работы были разработаны два способа создания карты изолиний: точечная аппроксимация поверхности степенными полиномами и разложение функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра. Разработав и реализовав алгоритмы для построения карт двумя способами, выяснили, что построение карты методом точечной аппроксимации поверхности степенными полиномами требует значительного количества времени и объема памяти ЭВМ. Считаем, что второй способ - разложение функции поверхности в ряд Фурье по ортонормированной системе полиномов Лежандра затрачивает меньшее время на построение изолиний. Однако этот способ имеет недостаток - погрешности в вычислениях.

Литература

1.      Аронов В.И. Автоматизация систематического поиска геологической информации на ЭВМ. - М.:Мир,1972.-256 с.

.        Берлянд А.М.Картография. М.:Аспект-Пресс,2001.-335 с.

3.      Берлянт А.М., Кошкарев А.В. Геоинформатика. Толковый словарь основных терминов. - М.: Гис-Ассоциация, 1999.- 204 с.

4.      Вахромеева Л.А., Бугаевский Л.М., Казакова З.Л. Математическая картография. - М.:Недра, 1986.-285 с.

.        Волков А.М. Решение практических задач геологии на ЭВМ. М.:1972.-155 с.

6.      Волков Е.А. Численные методы. - М.:Наука,1982.-253 с.

7.      Волович И.М., Шагин В.Л. Алгоритмы построения геолого-геофизических карт сплайн-методом при большом объеме исходной информации.-В кн.: IV научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов ЗавСибНИГНИ: Тез.докладов. Тюмень, 1979 с.

.        Зайдель А.Р. Математические методы при построении карт. - М.: 1967.-73 с.

.        Заруцкая И.П., Красильникова Н.В. Проектирование и составление карт. - М.: МГУ, 1989.- 204 с.

.        Корчмаж С. Теория ортогональных рядов. М.:ФизМатГиз, 1958. - 507с.

.        Салищев К.А Картоведение. - М.:МГУ,1990.-340 с.

.        Тикунов В.С.Моделирование в картографии. - М.:МГУ,1997.-405 с.