Обучение методу математической индукции на адаптационном курсе математики в техническом вузе
Обучение методу математической
индукции на адаптационном курсе математики в техническом вузе
Н.В.
Прокофьева
Доказательство теорем занимает в математическом образовании
огромное место. Школьная практика показывает, что при обучении доказательству
теорем учебно-познавательная деятельность учащихся направляется учителем
главным образом на понимание и запоминание, в ущерб ознакомлению школьников с
методами и способами рассуждений, лежащих в основе поиска доказательств. В этом
и кроется основная причина несформированности у первокурсников общих умений по
доказательству теорем. В результате этого студенты зачастую автоматически
записывают за лектором математические доказательства, не принимая активного
участия в их поиске.
Самыми распространёнными методами
дедуктивных рассуждений в высшей математике являются синтетический,
аналитический, аналитико-синтетический методы, метод от противного и метод
математической индукции.
Методом доказательства называют способ
связи аргументов от условия к заключению суждения. То есть, метод
доказательства - это некая общая схема логических связей, пользуясь которой
можно найти способ доказательства математического утверждения.
Метод доказательства можно рассматривать с
разных позиций. Нами были выделены четыре основных аспекта рассмотрения метода
доказательства: идейный, процессуальный, формально-логический и
функционально-оценочный [2].
Идейный аспект рассмотрения метода
доказательства мы связываем, прежде всего, с определением характеристики общего
замысла метода; процессуальный аспект - с наличием в методе
доказательства определённой последовательности логических действий или
алгоритмических предписаний, которые, в конечном счёте, определяют его
структуру; формально-логический аспект - с определением правил и
законов логики, лежащих в основе данного метода; функционально-оценочный
аспект связан с определением условий и области применения метода, его
достоинств и недостатков.
Рассмотрим содержание каждого из названных аспектов на
примере метода математической индукции.
Метод математической индукции является одним из
высокоэффективных методов доказательства истинности выдвинутых предположений и
доказательств теорем высшей математики. Хотя этот метод в математике не нов (он
был предложен Б. Паскалем в 1654 году для доказательства простого способа
вычисления числа сочетаний), интерес исследователей к нему возрос в связи с
развитием дискретной математики.
В педагогических вузах методу
математической индукции и его обоснованию посвящена целая лекция по алгебре и
теории чисел (первый курс, тема "Числовые системы"). В технических
вузах программа по высшей математике иная. Она предусматривает изучение метода
математической индукции на первых лекциях математического анализа для
доказательства тождеств, неравенств и бинома Ньютона, используемых в основном
для вычисления пределов. Так, лекционный материал, посвящённый данному методу,
играет зачастую подчинённую роль и преподносится студентам в тезисной форме. В
связи с этим метод математической индукции воспринимается первокурсниками как
искусственная схема рассуждения, не понятная ими по сути, но доступная в рамках
каждого отдельного шага. Особенно это проявляется в тех случаях, когда студенты
встречаются с ним впервые.
Пропедевтическое изучение метода
математической индукции целесообразно осуществлять в соответствии с выделенными
выше аспектами на занятиях адаптационного или вводного курсов математики.
Основные характеристики аспектов метода математической
индукции представлены в ниже следующей таблице.
№
|
Аспекты рассмотрения метода
|
Характеристика аспекта метода
|
1
|
Идейный аспект
|
Идея математической индукции была, фактически,
известна уже в древности. Действительно, налицо связь этого метода с античным
парадоксом "кучи": одно зерно не образует кучи; если n зёрен не
могут образовать кучи, то n+1 зерно не может образовать кучи, а потому куч не
существует, что противоречит опыту. Современное название метода было введено
де Морганом в 1838 году. В настоящее время в теории и практике обучения
используется в качестве иллюстрирующей идеи этого метода идея "бегущей
волны доказательств", модельным примером которой является волна падений
бесконечного ряда костяшек домино. Пусть какое угодно число костяшек домино
выставлено в ряд таким образом, что каждая костяшка, падая, обязательно
опрокидывает следующую за ней костяшку (в этом заключается индукционный
переход). Тогда, если мы толкнём первую костяшку (это база индукции), то все
костяшки в ряду упадут.
|
2
|
Процессуальный аспект
|
3
|
Формально-логический аспект
|
ММИ базируется на принципе математической
индукции, справедливость которого доказывается на основании аксиомы индукции
(аксиомы Пеано, которая определяет натуральные числа). То есть, метод
является дедуктивным по сути и индуктивным по форме. Известны различные
формулировки принципа математической индукции. Одна из них следующая: пусть
дано некоторое утверждение A (n), зависящее от натурального числа n, и
выполняются следующие условия: 1) A (n) истинно при n=1; 2)
если A (n) истинно при всех n=k (где k - любое
натуральное число), то оно истинно и для следующего значения n=k+1.
Тогда А (п) истинно для всех натуральных значений п.
|
4
|
Функционально-оценочный аспект
|
Понятие "математическая индукция"
прошло стадии развития от идеи, аксиомы индукции, принципа индукции и,
наконец, до понятия метода математической индукции. ММИ используется при
доказательстве предложений, зависящих от переменного натурального числа n или
при доказательстве утверждения для бесконечного количества математических
объектов. Для ММИ безразлична природа этих объектов. Они могут быть
геометрическими, теоретико-числовыми и т.д. ММИ широко применяется при
доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость,
при решении некоторых геометрических задач; является основным инструментом
доказательства правильности рекурсивных алгоритмов; используется для
доказательства истинности выдвинутых предположений.
|
Исходя из теории поэтапного формирования умственных действий
и психологических исследований, изучение метода математической индукции можно
проводить по следующей схеме:
. Актуализация знаний студентов. Ознакомление
студентов с понятием метода математической индукции полезно начинать с введения
сопутствующих понятий, таких как индукция и дедукция, полная и неполная
индукция, гипотеза исследования. При этом необходимо привести яркие примеры из
истории математики "обманчивых" гипотез, прошедших лишь
"конечную" проверку [4]. В результате чего можно сделать вывод, что
неполная индукция часто приводит к ошибочным результатам, поэтому не считается
в математике законным методом строгого доказательства. Однако неоспорима
эвристическая роль неполной индукции, как мощного метода открытия новых истин.
Тогда возникает вопрос. Имеется утверждение, справедливое в
нескольких частных случаев. Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как же
узнать справедливо ли это утверждение вообще? Во многих случаях этот вопрос
удаётся решить посредством применения особого метода рассуждений - метода
математической индукции.
Рассмотрим особый пример на применение метода математической
индукции, который имеет свою замечательную историю. Выдающийся математик А.Н.
Колмогоров вспоминал: "Радость математического "открытия" я
познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность
=12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = З2,1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.
В нашем доме под Ярославлем мои тётушки устроили маленькую
школу, в которой занимались с десятком детей разного возраста по новейшим
рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал "Весенние
ласточки". В нем мое открытие было опубликовано." [1].
Какое именно доказательство было приведено в этом журнале, не
известно… Сама гипотеза, которая, наверняка, возникла после обнаружения этих
частных случаев, состоит в том, что формула 1+3+5+…+ (2n - 1) = n2
верна при любом натуральном числе п. Теперь мы обязаны либо строго
доказать справедливость этой формулы, либо её опровергнуть. Для доказательства
следует воспользоваться методом математической индукции.
. Ознакомление с идеей метода (см. табл. п. №1).
Заметим, что идею (смысловую суть) метода математической индукции можно
рассматривать, используя также (кроме аналогии с волной падений костяшек домино)
аналогией с ходьбой по лестнице, застёжкой-молнией и т.п.
3. Запись алгоритмического предписания
для решения задач и доказательства математических утверждений методом
математической индукции (см. табл. п. №2).
4. Проведение логического обоснования
метода. Метод математической индукции
основан на принципе математической индукции, который доказывается с помощью
аксиомы Пеано (аксиомы арифметики натуральных чисел). Метод математической
индукции - дедуктивный метод доказательства. Название "математическая индукция"
обусловлено тем, что этот метод просто ассоциируется в нашем сознании с
традиционными "индуктивными" умозаключениями (ведь базис
действительно доказывается для частного случая); индуктивный шаг доказывается
по строгим канонам дедуктивных рассуждений [3].
Академик А.Н. Колмогоров считал, что "понимание и умение
правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием
логической зрелости, которая совершенно необходима математику" [5].
Разделяя мнение известного методиста И.С. Рубанова, отметим,
что знакомить обучаемых со строгой формулировкой принципа математической
индукции в самом начале изучения данного метода нецелесообразно.
"Формализация интуитивно ясного утверждения может вызвать у
добросовестного ученика чувство непонимания и породить неуверенность. Напротив,
надо всеми средствами делать схему метода математической индукции живее и
нагляднее" [2]. Поэтому принцип математической индукции образно можно
сформулировать так: если в очереди первой стоит женщина, и за каждой женщиной
стоит женщина, то все в очереди - женщины.
Определение сферы применения метода, его
достоинств и недостатков (функционально-оценочный аспект) (см. табл. п. №4).
5. Решение типовых задач на отработку
метода математической индукции.
Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n
невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы
доказать это утверждение, воспользуемся методом математической индукции.
БИ: Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение
верно при n=1, т.е. А (1) истинно.
ШИ: Докажем, что А (k) A (k+1).
Пусть k - любое натуральное число и пусть утверждение
справедливо для n=k, т.е.1+3+5+…+ (2k-1) =k2. Докажем, что
тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1,
т.е. что 1+3+5+…+ (2k+1) = (k+1) 2.
В самом деле, 1+3+5+…+ (2k-1) + (2k+1) =k2+2k+1=
(k+1) 2.
ИВ: Итак, А (k) А (k+1). На
основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А
(n) истинно для любого nN.
Представленная методика изучения метода математической индукции
базируется на четырёх аспектах рассмотрения метода доказательства. Эта идея
может быть успешно реализована на адаптационных занятиях по математике в
техническом вузе и при изучении синтетического, аналитического методов, а также
метода от противного.
метод математическая индукция теорема
Литература
1. Колмогоров
А.Н. Математика - наука и профессия / Сост. Г.А. Гальперин. - М.: Наука. Гл.
ред. физ. - мат. лит., 1988. - 288 с. - (Б-чка "Квант". Вып.64.)
2. Лушникова
Н.В., Зайкин М.И. К вопросу о структуре метода математического доказательства
// Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы:
Мат-лы всерос. науч.-практ. конф. - Пенза, 2006. - С.102 - 105.
. Рубанов
И.С. Как обучать методу математической индукции // Математика в школе. - 1996.
- №1. - С.14 - 20.
. Соминский
И.С. Метод математической индукции. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,
1965. - 56 с.
. Успенский
В.А. Простейшие примеры математических доказательств. - 2-е изд., стереотипное,
- М.: Изд-во МЦНМО, 2012, - 56 с.