Финансовая математика
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ
. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ
. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
. АННУИТЕТЫ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
ЗАДАЧА.
Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб. выдан на 120 дней с погашением
в сумме 12 тыс. руб. За временную базу принять 360 дней. Определить: а) учетную
ставку; б) процентную ставку.
Дано: t = 120 дней; k = 360 дней; Р = 10 тыс. руб.; S = 12 тыс. руб.;
Найти: i - ?; d - ?;
Решение:
а) формула наращения по простой учетной ставки:
, где
- первоначальная сумма;
- сумма погашения;
- срок выдачи сертификата;
- временная база;
- учетная ставка.
Из формулы выразим учетную ставку
б) формула наращения по простой процентной ставки:
, где
- процентная ставка;
Из формулы выразим процентную ставку
Ответ: простая учетная ставка составит 50 %, простая процентная ставка -
60 %.
ЗАДАЧА. Вклад
размещен в банке на период с 20 июня по 15 сентября. Определить количество дней
для начисления процентов при: а) германской; б) французской; в) английской
практиках.
- дата размещения вклада;
- дата получения вклада;
- количество дней для начисления процентов;
Дано: tП = 20 июня; tВ = 15 сентября.
Найти: t - ?
Решение:
а) «германская практика» - обыкновенные проценты с приближенным
числом дней. В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и
временная база K = 360 дням.
20.06. - 15.09.
.06 - 30.06 - 11 дней
.07. - 30.07. - 30 день
.08. - 30.08. - 30 день
.09. - 15.09. - 15 дней
дней
Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.
t = 85
дней.
б) «французская практика» - обыкновенные (коммерческие) проценты с точным
числом дней. Продолжительность года k (временная база) равна 360 дням. Точное число дней t определяется путем подсчета числа
дней между датой размещения и датой получения.
.06. - 15.09.
.06 - 30.06 - 11 дней
.07. - 31.07. - 31 день
.08. - 31.08. - 31 день
.09. - 15.09. - 15 дней
дней
Дата размещения и дата получения вклада считаются за один день.
t = 87
дней.
в) «английская практика» - точные проценты с точным числом дней. Величина
t рассчитывается как в предыдущем
случае, а временная база принимается равной k=365 (366) дням.
t = 87
дней.
Ответ. Количество дней для начисления процентов исходя из английской
практики определения процентов составит 87 дней; исходя из французской практики
- 87 дней; из германской - 85 дней.
2. СЛОЖНЫЕ
ПРОЦЕНТЫ
ЗАДАЧА.
Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма
удвоится?
Решение:
Формула наращения сложных процентов имеет вид:
, где
- первоначальная сумма;
- наращенная сумма;
- сложная процентная ставка;
- период начисления (в годах);
Выразим из формулы период начисления n:
По условию сказано, что начальная сумма удвоится, т.е. S = 2P. Тогда
Ответ. Через 9 лет начальная сумма удвоиться при ставке сложных процентов
равной 8%.
ЗАДАЧА.
Вексель стоимостью 100 тыс. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной
ставке 30 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель при использовании в
расчетах сложной учетной ставки?
Дано: S = 100 тыс. руб.; dсл = 0,30; n = 2 года.
Найти: Р - ?
Банковский учет по сложной учетной ставки производится по формуле:
, где
- сумма, выплаченная по векселю;
- сумма векселя;
- сложная годовая учетная ставка;
- срок от момента учета векселя до даты погашения.
Ответ. Векселедержатель получит 49 тыс. руб.
3.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
ЗАДАЧА.
Определить, какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через 3 года владелец
депозита получил 4 млн. руб. Применяемые процентные ставки: а) 8 % годовых; б)
12 % годовых.
Дано: n = 3 года; S = 4 млн. руб.; iсл(а) = 0,08; iсл(б) = 0,12;
Найти: Р - ?
Решение:
Формула математического дисконтирования по сложной процентной ставки
имеет вид:
, где
- первоначальная сумма вклада;
- наращенная сумма;
- сложная годовая процентная ставка;
- срок действия депозита в годах;
А)
Б)
Ответ. При 8% процентной ставки поместить на депозит необходимо 3,175
млн. руб., при 12% - 2,847 млн. руб.
ЗАДАЧА.
Вексель в сумме 4 тыс. руб. должен быть погашен через 80 дней с процентами 9 %
годовых. Владелец учел его в банке за 10 дней до наступления срока по учетной
ставке 12 %. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.
Дано: Р2 = 4 тыс. руб.; i =
0,09; t1 = 80 дней.; t2 = 10 дней.; d = 0,12;
Найти: Р1 - ? D - ?
Решение:
Определим сумму полученную векселедержателем по формуле:
, где
- сумма, получаемая при учете векселя;
- первоначальная сумма ссуды;
- простая годовая учетная ставка;
- простая годовая процентная ставка;
- общий срок платежного обязательства в днях;
- срок от момента учета векселя до даты погашения долга в
днях;
- временная база.
Сумма, полученную векселедержателем:
Сумма дисконта D
определяется по формуле:
, где
S -
наращенная сумма.
Ответ. Сумма, полученная после учета векселя составит 4,058 тыс. руб., а
величина дисконта 0,014 тыс. руб.
4.
ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТОВ
ЗАДАЧА.
Облигация достоинством 5 тыс. руб. выпушена на 2 года при номинальной ставке 5
%. Рассчитать эффективную процентную ставку и определить наращенную стоимость
по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в
квартал.
Дано: Р = 5 тыс. руб.; n = 2
года; j = 0,05; m = 4 раза.
Найти: iэф - ?; S - ?
Решение:
Номинальная ставка - годовая ставка процента, которая является базой для
расчета ставки, начисляемой за каждый период года.
Формула наращения по номинальной ставке:
, где
S -
наращенная сумма;
P -
первоначальная сумма;
j -
номинальная годовая ставка сложных процентов;
m -
число периодов начислений в год;
n -
срок ссуды в годах.
Эффективная ставка - годовая ставка сложных процентов, которая дает тот
же результат, что и начисление по номинальной ставке m раз в год.
Наращенные суммы и капиталы равны, тогда равны и коэффициенты наращения:
Ответ. Эффективная процентная ставка будет равна 5,1 %, а наращенная
сумму составит - 5,522 тыс. руб.
ЗАДАЧА. В
банк положена сумма 40 тыс. руб. сроком на 1 год по годовой ставке 15 %
годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную
ставку для ежеквартального начисления процентов.
Дано: Р = 40 тыс. руб.; n = 1
год; f = 0,15; m = 4 раза;
Найти: S - ?; I - ?; iэф -
?;
Решение:
Наращение по годовой номинальной ставки сложных процентов осуществляется
по формуле:
, где
- первоначальная сумма;
- наращенная сумма;
-годовая номинальная ставка сложных процентов;
- число начисления процентов;
Определим величину полученного процента I:
Формула наращения по годовой эффективной ставки сложных процентов имеет
вид:
Наращенные суммы S и
капиталы P равны, тогда равны будут и
коэффициенты наращения
, отсюда
Ответ: наращенная сумма по годовой номинальной ставке сложных процентов
составит 46,346 тыс. руб., величина полученного процента - 6,346 тыс. руб., а
размер эффективной ставки будет равен 15,9 %.
5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ
ЗАДАЧА.
Простая ставка - 50 %. Найти эквивалентную сложную ставку для двухлетнего
периода.
Дано: i = 50%, n = 2 года.
Найти: iсл - ?
Решение:
Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке:
;
Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2. Тогда равны будут и коэффициенты наращения:
Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной
суммы равен 41,5 %.
ЗАДАЧА.
Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20,
22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов:
два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению
исходной суммы?
Дано: i1 = 0,2; i2 = 0,22; i3 =
0,25; t1 = 2 мес.; t2 = 3 мес.; t3 = 5
мес.;
Найти: iср - ?
Решение:
Размер средней ставки простых процентов находится по формуле
арифметической средней взвешенной:
Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной
суммы равен 23,1 %.
6. РАСЧЕТ
НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
ЗАДАЧА. Какую
ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка
оказалась 6 %.
Дано: α = 0,12; i = 0,06; Найти: iα
- ?
Решение:
- безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность
операции;
- процентная ставка, учитывающая инфляцию
Тогда наращенная сумма S на
первоначальный капитал P за
год составит
S = P(1+ ia) или S =
P(1+i)(1+a),
(1+ ia) = (1+i)(1+a)a = i+a+ia - формула Фишера.
Ответ: банк должен назначить ставку в размере 18,7%.
ЗАДАЧА.
Капитал вкладывается на два года при уровне инфляции 30 % в год под номинальную
ставку 15 %, начисление процентов ежегодное. Какова реальная доходность этой
операции.
Дано:=0,15; α = 0,3; m = 1 раз; n = 2
года.
Найти: j - ?
Решение:Определим индекс инфляции Iи за рассматриваемый период n:
Нам нужно найти безинфляционную номинальную ставку сложных процентов,
чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения
Ответ: реальная доходность операции -0,115. Финансовая операция убыточна.
7.
КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
ЗАДАЧА.
Предстоящие платежи и сроки уплаты, исчисленные от одной даты, равны: S1=1,2 млн. руб., n1=35 дн., S2=1,5 млн. руб., n2=55 дн, и S3=2,3 млн. руб., n3=75 дн, Достигнуто соглашение об
объединении трех платежей в один, равный 5,5 млн. руб., используя для этого
учетную ставку 7 %. Определить срок уплаты консолидированного платежа.
- сумма платежа j;
- сумма консолидированного платежа;
- срок уплаты платежа j в днях;
- срок уплаты консолидированного платежа;
- сложная годовая учетная ставка;
Дано: S1 = 1,2 млн. руб.; S2 = 1,5 млн. руб.; S3 = 2,3 млн. руб. n1 = 35 дней; n2 = 55 дней; n3 =
55 дней; So = 5,5 млн. руб; d = 0,07;
Найти: no - ?
Решение:
Запишем уравнение эквивалентности консолидированного платежа:
Решая уравнение относительно n0, получаем:
n0 =
535 дней.
Ответ: Срок уплаты консолидированного платежа будет равен 535 дней
ЗАДАЧА. По
условиям договора г-н Смоленский должен выплатить г-ну Гусинскому 5 тыс. руб.
сегодня и 3 тыс. руб. через 2 года. Г-н Смоленский предлагает изменить условия
платежа следующим образом: вернуть 30 % совокупной выплаты через один год, а
оставшуюся сумму - через следующие два года. Какими должны быть новые платежи,
чтобы финансовые взаимоотношения сторон не изменились при использовании в
расчетах сложной ставки 30 % годовых?
Решение: По условию даны изменения сроков платежей в сторону увеличения.
Для решения данной задачи необходимо использовать уравнение эквивалентности, в
котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени,
приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате.
За базовую дату принимаем сегодня.
S0 - совокупная
выплата.
Тогда сумма первого платежа будет 0,3×18,33 = 5,50 тыс. руб., сумма второго
платежа составит 0,7×18,33 = 12,83 тыс. руб.
Ответ: величина первой выплаты составит 5,5 тыс. руб., второй выплаты
12,83 тыс. руб.
8. АННУИТЕТЫ
ЗАДАЧА. Заем
был взят под 16 % годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в
течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась
до 6 % годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных
выплат. Каков должен быть размер выплаты?
- наращенная сумма;
- размер отдельного платежа;
- число выплат в течение года;
- сложная годовая ставка процентов;
- срок ренты;
Решение:
Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются один раз в год имеет
вид:
Рассчитаем наращенную сумму по ставке 16% в год:
По формуле математического дисконтирования определим текущую сумму долга:
Т.е. все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в
размере 3397,14 руб.
Из формулы определения современной величины ренты выразим размер
отдельного платежа и рассчитаем его при начислении 6% годовых:
Ответ: размер выплаты составит 453,16 д.е.
ЗАДАЧА. В
ходе судебного заседания выяснилось, что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая
инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с
процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму заплатит г.N?
- наращенная сумма;
- размер отдельного платежа;
- число выплат в течение года;
- сложная номинальная годовая ставка процентов;
- срок ренты;
- число начислений процентов в год.
Дано: R/p = 100 руб.; n = 2
года; j = 0,03; р = 12; m = 12 раз.
Найти: S - ?
Решение:
Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются m раз в году имеет вид:
Ответ: сумма выплаты составит 2470,28 руб.
ставка процент аннуитет
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
. Башарин
Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 2007
2. Мелкумов
Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.:
ИНФРА-М, 2004. -335с.
. Петрик
Н.И., Жидкова Н.Ю. Финансовая математика. Методические указания к выполнению контрольной
работы. - Архангельск: Изд-во РИО АГТУ, 2004. - 63 с.