Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОУ ВПО “ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра геометрии и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

“Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики”

Выполнил: студент 1 группы V курса

физико-математического

факультета Аксёнов Н.А.

Руководитель: канд. педагогических наук

доцент Кожухов С.К.

Орёл, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ

ВНИТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

.1 Психолого-педагогические основы отбора содержания и усвоения новых знаний

.2 Понятие и виды внутрипредметных связей в обучении математике

ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ

СВЯЗЕЙВ ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

.1 Методическая значимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

.2 Методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах обучения

Внутрипредметные связи на этапе изучения нового материла

Внутрипредметные связи на этапе обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

.3 Реализация внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике

Заключение

Литература

внутрипредметный математика школьный

ВВЕДЕНИЕ

В условиях более ранней специализации обучения нужны такие программы и учебники по математике, которые позволили бы эффективно дифференцировать усвоение материала учащимися на обязательном и углублённом уровнях. Это возможно за счёт реализации в учебных курсах различной степени полноты внутрипредметных связей. Усиление внутрипредметных связей следует рассматривать как одно из важнейших направлений дидактического совершенствования школьного курса математики.

Понятия и их свойства, методы доказательства теорем, методы решения задач должны быть организованы в определённую систему, только в этом случае возможно успешное оперирование ими.

Роль внутрипредметных связей в учебном процессе велика, они непосредственно влияют на достижение обучающей, развивающей и воспитывающей целей обучения. При этом внутрипредметные связи формируют у учащихся научное мировоззрение, помогают видеть мир в движении и развитии, способствуют установлению логических связей между понятиями, тем самым развивают логическое мышление учащихся, выступают средством предупреждения и ликвидации формализма в знаниях школьников, позволяют сформировать такую систему знаний, которая предстаёт перед учащимися не как застывшая, а как динамичная, качественно изменяющаяся, сокращают затраты учебного времени, способствуют устранению перегрузки школьников.

Задача учителя - вооружить учащихся учебно-познавательным аппаратом, способами деятельности по овладению этими связями. Это в свою очередь требует формирования у школьников определённой системы умений и навыков. Все учебные умения и навыки можно разделить на две группы: специальные, формируемые на базе одного учебного предмета, и общие, формируемые на базе системы многих предметов. К ним относят общелогические, учебные, поисково-информационные, организационно-познавательные. Формирование специальных умений и навыков происходит во внутрипредметном плане, но при этом возможен перенос их в область смежных дисциплин.

Реализация внутрипредметных связей в обучающей деятельности учителя заключается прежде всего в отборе материала, который представляет эти связи, в выборе организационных форм, методов и приёмов обучения, направленных на наиболее успешное усвоение этого материала. Реализация внутрипредметных связей с позиции учебной деятельности ученика состоит в его самостоятельной работе по усвоению связей между изученными частями материала, по обобщению и систематизации знаний.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ВНИТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

.1 Психолого-педагогические основы отбора содержания и усвоения новых знаний

Одним из наиболее актуальных и сложных вопросов, сопряжённых с процессом отбора содержания и усвоения новых знаний, является не только вопрос “Как решать?”, но и вопрос “Что решать?”.

В настоящее время в психолого-педагогических исследованиях практически отсутствуют разработки, посвящённые именно особенностям реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. В связи с этим в данном параграфе необходимо провести анализ психолого-педагогической литературы, посвящённой вопросам обучения математике в средней школе.

Как показал Ю.М. Колягин в своих работах [7, 8, 9, 10 , 11], задача - это основное средство обучения математике. Поэтому, прежде всего, дадим психолого-дидактическую трактовку понятия “задача”.

По вопросу смысла понятия “задача” значительное исследование провёл В.И. Крупич в труде [12], в параграфе с таким же названием. Для решения проблемы, которой посвящена данная курсовая работа, этот вопрос очень важен, поэтому мы здесь кратко остановимся на основных результатах, полученных В.И. Крупичем, реферативно изложим их.

В психологии понятие “задача” рассматривается как объект мышления. Несмотря на важную роль задач в развитии мышления, в психологии нет единой трактовки этого понятия, поэтому рассмотрим имеющиеся подходы, созданные психологами в решении этой проблемы.

Школьный предмет математика оказывает сильное влияние на развитие мышления главным образом на такие его приёмы как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование. С.Л. Рубинштейн в своей работе [17] отмечает, что мышление - это прежде всего анализирование, синтезирование и обобщение. Однако, несмотря на тесную связь, мышление и решение задач не могут быть отождествлены путём сведения мышления к решению задач, так как мышление имеет место и при формулировке задач. Но, несомненно, развивать мышление лучше всего именно в процессе решения задач. Это определяется самим тезисом о процессе мышления, который состоит в том, что ход решения задачи определяется самой задачей, то есть задача создаёт исходную детерминацию для мышления, определяя общее направление поисков неизвестного [3].

Известный психолог К.А. Славская в работе “Детерминация процесса мышления” отмечает: “принцип детерминизма, исходящий из того, что внешние причины действуют через внутренние условия, устанавливает определённое отношение внешних и внутренних условий любого тела, явления, процесса: он выступает как общий методологический принцип в любой области знания, в любой науке” [18, С.175].

Принцип детерминизма лежит в основе построения теории задач, так как задача, будучи объектом мыслительной деятельности, посредством условия и требования направляет мыслительный процесс на глубокое изучение объекта, раскрытие внутренних условий его существования. Внутренние условия, оказывая влияние на внешние условия (формулировку задачи), позволяют глубже вникнуть в текст задачи с целью её решения, используя различные приёмы.

Таким образом, сущность психологического подхода к понятию “задача” состоит в том, что задача есть объективная исходная проблемная ситуация, соотношение условий и требований. Это прежде всего задача, встающая для человека. Её можно рассматривать как особую форму познания действительности, причём задача выступает как объект, детерминирующий процесс мышления человека, понимаемый как деятельность [18, С.211].

В формулировке любой задачи обычно четко фиксированы условия (данные) и требования (вопрос или искомое). Как показал А.В. Брушлинский, нередко в методических исследованиях требования задачи и искомое отождествляются. С точки зрения психологии мышления это неправомерно, так как требование к любой задаче является известным (например, решить уравнение), а искомое (корни уравнения) неизвестно.

Кардинальной проблемой в психологии мышления является соотношение понятий “проблемная ситуация” и “задача”. С.Л. Рубинштейн утверждает, что начало мышления в проблемной ситуации [17]. Известный психолог А. М. Матюшкин в работе “Проблемные ситуации в мышлении и обучении” изложил свой подход к решению этой проблемы [13].

На основе анализа психолого-педагогических исследований (Д.Н. Богоявленского, Н.А. Менчинской, В.В. Давыдова и их сотрудников) А.М. Матюшкин показал, что процесс усвоения нового знания представляет собой по основным закономерностям процесс решения задач, названных проблемными. А.М. Матюшкин является сторонником того, что понятия “проблемная ситуация” и “задача” принципиально различны и обозначают разные психологические реальности. По его мнению, субъект (человек) не нужен для определения понятия задачи, так как задача - это объективно заданное и сформулированное словесно или в знаковой форме отношение между условиями (условием) и искомым. Проблемная ситуация рассматривается А.М. Матюшкиным как особый вид мыслительного взаимодействия субъекта (человека) и объекта, при котором субъект открывает новые знания и способы действия. Если задача характеризуется степенью сложности, то проблемная ситуация степенью трудности подлежащего усвоению неизвестного.

А.М. Матюшкин выделил три основных типа проблемных ситуаций (в зависимости от структурного места неизвестного в них): неизвестное совпадает с целью (предметом) действия; неизвестное совпадает со способом действия; неизвестное совпадает с условием выполнения действия.

Итак, А.М. Матюшкиным разведены понятия проблемной ситуации и задачи.

Напротив, Л.Л. Гурова в труде “Психологический анализ решения задачи” не проводит жёсткой границы между этими понятиями. Однако автор имеет в виду, что и то и другое понятие имеет два значения: “задача (а также и проблемная ситуация) может рассматриваться объективно, в своей логической характеристике, безотносительно к тому, занялся кто-либо её решением и может существовать в мышлении субъекта” [5, С.10].

Л.Л. Гурова дает следующее определение понятию задача: задача - это объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными её элементами. Далее автор рассматривает некоторые логические характеристики задачи с точки зрения содержащейся в ней информации. Автором установлено, что любая задача (как объект) содержит информацию, принимающую два значения: субъективное и объективное. Субъективная информация рассматривается как познавательный результат каждого действия по отношению к задаче, имеющего сознательную цель, а объективная информация выявляется в ходе логического решения задачи и определяется логической структурой её решения.

Таким образом, разрабатывая теорию задач, необходимо исследовать объективную логическую структуру решения задачи в сопоставлении с субъективной психологической структурой её решения, так как между ними существует определённая взаимосвязь.

Итак, психологические исследования не выявили единой трактовки понятия “задача”, однако ввиду того, что задача содержит в себе субъективную и объективную информацию, просматриваются два подхода в освещении этого вопроса.

Первый подход состоит в том, что задача есть объективное отражение внешней ситуации, в которой развёртывается целенаправленная деятельность субъекта. Психологи, представители этого направления (Г.А. Балл [2], Я.А. Пономарёв [15], К.А. Славская [18] и др.) рассматривают задачу как проблемную ситуацию, в которой действует субъект. Поэтому в данном случае объективное изучение задач (то есть независимое от деятельности субъекта) невозможно.

Второй подход заключается в разведении понятий “проблемная ситуация” и “задача”. Задача здесь - “ситуация внешней деятельности”, которая может быть проанализирована и описана в отрыве от субъекта. Представители этого направления - А.В. Брушлинский [3], А.М. Матюшкин [13], Л.М. Фридман [21] и др. Данный подход позволяет рассматривать задачу как сложный объект (систему), не требующую для своей характеристики субъекта действия. Таким образом, появляется возможность объективного изучения самих задач, независимо от деятельности субъекта. Однако, эта трактовка понятия “задача” не отрицает её существования в мышлении субъекта. Поэтому при решении проблемы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач используется именно этот подход, то есть за основу принята психологическая концепция А.М. Матюшкина о трактовке понятия “задача” и о соотношении задачи и проблемной ситуации.

Итак, при разработке теории задач следует исходить из объективной информации, содержащейся в задаче, однако следует учитывать, что наиболее полную теорию задач удастся построить при сопоставлении объективной и субъективной информации, содержащейся в задаче. В частности, при решении проблемы создания теоретических основ методики реализации внутрипредметных связей посредством решения задач необходимо придерживаться именно этой точки зрения. Это необходимо потому, что, во-первых, факт реализации той или иной задачей внутрипредметных связей полностью определяется логикой взаимодействия всех её компонентов, следовательно, не зависит от деятельности субъекта, решающего задачу, и даже не зависит от того, взялся ли кто-либо решать эту задачу или нет. Во-вторых, чтобы реальный субъект (человек) или абстрактный субъект смог определить, реализует ли данная задача внутрипредметные связи или нет, он должен извлечь из неё именно субъективную информацию. Таким образом, только сочетание объективной и субъективной информации позволит объективно строить теорию реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. Заметим, что при построении этой теории во главу угла поставлены не сами задачи, а те внутрипредметные связи, которые “порождаются” в процессе решения задач. Следовательно, здесь задачу необходимо рассматривать не как сложный объект (систему), а как субъект, принадлежащий объекту, под которым следует понимать совокупность (систему) задач. Это не означает, что задача перестает быть сложным объектом, просто в данном исследовании интерес представляет не одна задача, а некоторое достаточно большое их количество. Ранее было установлено, что связи, возникающие при решении задач, являются их объективными свойствами, поэтому психологическая концепция А.М. Матюшкина о трактовке понятия “задача” может быть использована и в разрабатываемой в курсовой работе проблеме, то есть в случае, когда задача рассматривается как субъект, принадлежащий объекту. Непосредственно при построении теории следует исходить из того, что задача, прежде всего, содержит объективную информацию и извлекать её будет не реальный человек, а абстрактный субъект. Иными словами, создаваемая теория должна быть дистанцирована от деятельности ученика и освещать внутрипредметные связи, реализуемые посредством решения задач, безотносительно к тому, решает ли эти задачи кто-либо или нет.

Таким образом, в результате анализа различных психологических трактовок понятия “задача”, за основу при решении поставленной в курсовой работе проблемы нами взята психологическая концепция А.М. Матюшкина. Правомерность этого выбора пояснена выше.

Отметим также, что в решение проблемы выявления психолого-педагогических основ обучения математике в средней школе большой вклад внёс своими трудами Л.М. Фридман. В работе “Логико-психологический анализ школьных учебных задач” автор, разделяя понятия “задача” и “проблемная ситуация”, создал предпосылки объективного изучения самой задачи как сложного объекта. Кроме того, Л.М. Фридман написал несколько книг, посвящённых проблемам изучения математики для учеников средних школ. В работе “Учитесь учиться математике” автор в доступной ученикам форме освещает такие вопросы как зачем, что и как следует изучать в математике, а также даёт ряд практических советов по умственному развитию и развитию умений. В книге “Как научиться решать задачи”, написанной в соавторстве с Е.Н. Турецким, излагаются общие представления о математическом моделировании, его сущности и применении при решении задач (в том числе прикладного характера).

Но наиболее значительным вкладом Л.М. Фридмана в решение обозначенной проблемы является работа “Психолого-педагогические основы обучения математике в школе”. Она по сути дела представляет собой целевое научное исследование по указанному вопросу и является на сегодняшний день наиболее полным рассмотрением целого комплекса конкретных проблем.

В монографии [20] Л.М. Фридман рассмотрел психолого-педагогический анализ курса математики, развитие мышления в процессе обучения математике, роль и деятельность ученика и учителя в этом процессе. Последнюю главу автор посвятил формированию умений и навыков при решении математических задач. В свете тематики данного исследования проанализируем подробно те выводы, которые сделал Л.М. Фридман в этой главе. Под навыками автор понимает автоматизированное выполнение простейших основных действий. Что касается умения, то автор придерживается определения, сформулированного в труде [16]: “владение сложной системой психических и практических действий, необходимых для целесообразной регуляции деятельности имеющимися у субъекта знаниями и навыками”. Анализируя общие условия формирования навыков и умений, автор выделяет следующие: полнота ориентировочной основы умственных действий; развёрнутость действия при первоначальном его показе и освоении; поэлементное освоение сложного действия; растянутость процесса

формирования навыков и умений; поэтапная обработка каждого навыка и умения (в соответствии с теорией П.Я. Гальперина [4]).

В заключительной, третьей части главы Л.М. Фридман раскрывает проблему развития общих умений решения математических задач. При этом акцент сделан на то, что необходимо развивать общие умения решать любые задачи. Общее умение отличается от частных умений тем, что в основе последних лежат частные методы решения задач (алгоритмы, эвристические схемы). Общее же умение не требует никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Автор обращает внимание на то, что общие умения должны вырабатываться не стихийно при решении большого количества задач, а целенаправленно и систематически. Для целенаправленного развития таких умений необходимо больше внимания уделять заключительному анализу уже решённой задачи, на первый план следует выдвинуть учебно-познавательную цель её решения. Кроме того, сами ученики должны иметь общие и специфические знания о задачах. Общие знания - это представления о самом процессе решения задач, а также знание основных видов задач (задачи на доказательство, вычисление, исследование, построение). Специфические знания - это общие представления о моделях и моделировании, в частности, о математическом моделировании. Помимо этого, система задач должна быть построена с учётом того факта, что в начале ученики должны решать задачи на освоение нового материала. Цель таких задач - способствовать более глубокому пониманию и прочному запоминанию теории. Только после этого ученикам следует предложить задачи на применение изученного материала, назначение которых и состоит в более полном и осмысленном изучении математики. Такая организация обучения решению задач позволяет на протяжении длительного промежутка времени решать задачи, связанные с данной темой, а также осуществлять параллельное решение задач по разным, ранее изученным темам, предлагать ученикам задачи, требующие использования материала разных тем.

Резюмируя содержание последнего абзаца, можно сделать однозначный вывод о том, что такая организация обучения математике по сути дела является психолого-педагогической основой реализации внутрипредметных связей посредством решения задач и создаёт предпосылки к разработке теоретических основ методической реализации этих связей.

Построение системы задач, при котором ученики сначала решают задачи на освоение нового материала, а затем на его применение, позволяет решить ещё ряд проблем. Одна из них - дифференциация обучения. Она возникает и вследствие психологических особенностей каждого ученика, например, быстроты мышления. Если на этапе решения задач на применение теоретического материала ученикам представить сразу всю систему задач, то каждый ученик сможет выбрать для себя те из них, которые ему более доступны, а также определить, в какой последовательности их решать. Вышеизложенные рассуждения в своей совокупности неизбежно приводят к выводу о том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одной из важнейших психолого-педагогических особенностей обучения их решению, поскольку она позволяет решать целый ряд смежных проблем обучения, таких, как дифференциация обучения, оптимизация учебной нагрузки и т. д.

1.2 Понятие и виды внутрипредметных связей в обучении математике

В процессе рассмотрения обозначенного вопроса будем опираться на диссертационное исследование А. А. Аксёнова [1].

При определении внутрипредметных связей своей работе [1] автор классифицирует их по двум уровням: “внутрипредметные связи” на уровне математических субъектов и “внутрипредметные связи” на уровне математических объектов. Здесь мы не будем приводить подробное изложение всей теоретической модели, построенной А.А. Аксёновым, а ограничимся кратким освещением основных результатов, полученных в указанной работе.

Прежде всего, под математическим субъектом (субъектом математики) автор понимает “отдельное минимальное утверждение, обладающее строгой внутренней логикой, полностью определяющей его целостность и тождественность самому себе”. При этом всегда можно выяснить, истинно данное утверждение или ложно. Заметим также, что между математическими субъектами может быть установлено только два типа внутрипредметных связей - логический и аналитический [1, с. 37].

Под математическим объектом (объектом математики) следует понимать “любую совокупность субъектов математики”.

Далее А. А. Аксёнов проводит последующее деление на каждом из двух введённых им уровней. При этом имеют место следующие определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются безусловными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта невозможно без использования другого субъекта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются условными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта всегда возможно без использования другого субъекта, при помощи замены последнего каким-либо другим субъектом (несколькими субъектами).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть А и В - непустые математические объекты, между которыми установлены внутрипредметные связи. Внутрипредметные связи между А и В называются безусловными, если существует, по крайней мере, одна пара субъектов (), где первый компонент принадлежит объекту А, второй - объекту В, между которыми установлены безусловные внутрипредметные связи. В противном случае внутрипредметные связи между объектами А и В называются условными.

Приведённые выше определения позволяют сделать вывод о том, что внутрипредметные связи, реализуемые между математическими субъектами и математическими объектами, могут быть безусловными и условными.

Перейдём теперь к рассмотрению и установлению видов внутрипредметных связей.

Как показано в диссертационном исследовании [1], существует всего два вида внутрипредметных связей логического типа. Первый вид позволяет определять субъекты на основе общей логики, второй вид - устанавливать истинность (ложность) одного субъекта по аналогии с установлением истинности (ложности) другого субъекта.. Первый вид внутрипредметных связей логического типа назовём логической структурой задачи. Термин “логическая структура задачи” встречается в методической литературе [14, С.113]. Авторы шестой главы этого учебного пособия определили логическую структуру задачи как способ связи элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции и дизъюнкции. Предикаты в данном случае - это отдельные уравнения или неравенства, которые можно выделить в каждом задании. Недостаток такого истолкования термина в том, что его можно применить только к уравнениям, неравенствам и их системам. Помимо этого, данная интерпретация термина не позволяет широко использовать его в качестве одного из видов внутрипредметных связей. В.И. Крупич в своей работе [12] использует термин логическая структура решения задачи. Это совершенно другой термин, означающий некоторый план решения задачи, выполняемого абстрактным субъектом. Этот план заканчивается либо переходом к алгоритмически разрешимой задаче, либо даёт окончательный ответ на вопрос о нахождении всех неизвестных.

Очевидно, что термин “логическая структура задачи” нуждается в уточнении. В советском энциклопедическом словаре термин структура (от латинского слова structura - строение, расположение, порядок) определяется как “совокупность устойчивых связей объекта (имеется в виду любой реальный объект), обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, то есть сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях” [19, С.1294].

Если в качестве объекта, о котором говорится в данном определении, рассмотреть конкретную задачу, то, очевидно, под совокупностью устойчивых связей следует понимать логическую взаимосвязь между её компонентами, а также явные и неявные связи между элементами задачи. Очевидно, что логическая взаимосвязь между компонентами задачи, представленными в её информационной структуре, обуславливает выбор идеи, способа и метода её решения. Значит, логическая структура задачи может быть выявлена из её информационной структуры и должна полностью определять идею решения задачи. Поскольку структура - это совокупность свойств, которые сохраняются при всех внешних и внутренних изменениях, совершаемых над объектом (задачей), то логическая структура задачи не может зависеть от сознания реального субъекта, решающего её. Это означает, что реальный субъект, решающий задачу, может найти лишь ту идею решения, которая обусловлена логическими связями между компонентами задачи. С другой стороны, логическая структура выявляется на основе информационной структуры задачи, следовательно, она не может быть её объективной характеристикой. Логическая структура задачи олицетворяет собой взаимодействие психологического (выполняемого реальным субъектом) и логического (выполняемого абстрактным субъектом) процессов решения задачи, причём такое взаимодействие порождает единство выделенных противоположностей, тем более, что в идеальном случае психологический и логический процессы решения совпадают [12, С.47]. Всё это позволяет более чётко определить понятие логической структуры задачи с учётом того, что оно должно определять математические субъекты на основе их общей внутренней логики.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Локальной логической структурой задачи называется её характеристика, которая может быть выявлена в процессе анализа информационной структуры задачи, полностью обуславливается логикой взаимодействия компонентов задачи, чем однозначно детерминирует первую определяющую идею её решения и не зависит от субъекта, решающего задачу.

Иными словами, локальная логическая структура задачи является совокупностью тех свойств компонентов задачи, которые указывают на реализацию той или иной идеи её решения. Поскольку различные свойства компонентов могут обусловить реализацию нескольких идей решения задачи, некоторые задачи могут иметь несколько локальных логических структур, но каждая из них однозначно определяет соответствующую идею.

Например, уравнение  имеет несколько локальных логических структур. В самом деле, если заметить, что левая часть уравнения - строго возрастающая функция, то можно найти подбором единственный корень. Если заметить, что  то это уравнение можно решить методом разложения на множители. Можно найти корень подбором и воспользоваться схемой Горнера или поделить многочлен  на двучлен  “углом”. Можно решить его по формулам Кардано (степень уравнения - это тоже свойство его компонентов) на множестве действительных чисел. Напротив, уравнение  допускает только одну идею аналитического решения - оценить левую и правую части уравнения, так как не существует формул, позволяющих решать уравнения, в которых присутствуют трансцендентные и алгебраические выражения, следовательно, оно имеет только одну локальную логическую структуру.

Замечание 1. Задача может быть рассмотрена как последовательность n подзадач, каждая из которых сама является отдельной математической задачей. Разумеется, для каждой из них существует своя локальная логическая структура (может быть, несколько таких структур), поэтому реальный процесс решения задачи - это переход от первой локальной логической структуры ко всем последующим. Естественно, по аналогии с глобальной идеей решения задачи можно сформулировать определение глобальной логической структуры задачи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Глобальной логической структурой задачи называется последовательность локальных логических структур подзадач, на которые мысленно расчленяется исходная задача в процессе решения.

Очевидно, что каждая задача может иметь несколько глобальных логических структур, так как каждая её подзадача может иметь несколько локальных логических структур.

Особого внимания заслуживают задачи, которые имеют только одну первую локальную логическую структуру, а также стандартные задачи, то есть те, которые имеют информационную структуру вида ACRB и ACRX [57, С.51], где А - условие задачи, С - теоретический и (или) практический базис решения задачи, R - способ преобразования условия задачи для нахождения искомого (собственно процесс решения задачи), В - искомое в задаче (требование или цель), Х - означает, что B в задаче не сформулировано.

Что касается стандартных задач (тем более, алгоритмически разрешимых), то они отличаются тем, что для них заранее известен алгоритм, а следовательно, идея, способ и метод решения. Это, например, такие задачи как решение линейных и квадратных уравнений, нахождение гипотенузы по двум известным катетам и т.д.

Пример. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Заметим, что можно понизить степень слагаемых в левой части уравнения (первая локальная логическая структура):

 Уравнение приняло вид  поэтому далее необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: ,

Это вторая локальная логическая структура. Последнее уравнение алгоритмически разрешимо, для него логическая структура - известный алгоритм решения. Получаем:  или . Тогда  или  где

Второй вариант решения. Заметим, что

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим такое равенство:

 (Первая локальная логическая структура).

Уравнение примет вид:  В полученном уравнении присутствует произведение синуса и косинуса для одинаковых аргументов, поэтому можно применить формулу синуса двойного угла:

Последнее уравнение также алгоритмически разрешимо. Имеем:  или . Легко видеть, что при решении этих уравнений получатся те же самые корни.

Анализируя оба варианта решения, приходим к выводу, что и в первом и во втором случаях глобальная логическая структура задачи состоит из трёх локальных, причём первая локальная логическая структура различна для первого и второго вариантов решения задачи. Именно она выявила первую определяющую идею решения для обоих случаев. Из этого следует, что уравнение было решено двумя различными методами, а это означает, что оно решено и двумя различными способами. Возможно, что существует ещё несколько глобальных логических структур для этой задачи, но мы не будем задаваться целью найти их, тем более, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач предполагает иную их роль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Две задачи имеют одну и ту же локальную логическую структуру, если для каждой из них существует, по крайней мере, одна локальная логическая структура, детерминирующая одинаковую для обеих задач первую определяющую идею решения.

Например, уравнения  и  имеют одну и ту же локальную логическую структуру, которая определяется свойством строгой монотонности, входящих в оба уравнения, функций. Причём если для первого уравнения возможен ещё целый ряд локальных логических структур, то для второго уравнения (если его решать аналитически) никакие другие локальные логические структуры невозможны.

Рассмотрим ещё две задачи.

ЗАДАЧА 1. Во втором ящике было в два раза больше килограммов конфет, чем в первом, в третьем в три раза больше чем в первом, в четвёртом в четыре раза больше, чем в первом. В третьем и четвёртом ящиках вместе было на 20 килограммов больше, чем в первом и втором вместе. Сколько килограммов конфет было в каждом ящике?

ЗАДАЧА 2. В треугольнике АВС угол В в четыре раза больше угла А, угол С в семь раз больше угла А. Найти градусные меры углов треугольника.

Выявим локальную логическую структуру обеих задач. В обеих задачах имелось несколько неизвестных компонентов (в первой задаче - количество килограммов конфет в каждом ящике, во второй - градусные меры каждого из углов), причём неизвестны были все без исключения компоненты. Известно было только то, как они друг к другу относятся, то есть во сколько раз один компонент больше другого, сколько они составляют вместе и т.д. Локальная логическая структура этих задач одинакова. Именно поэтому обе они решаются с помощью уравнения, причём в данном случае никакие другие идеи, принципиально отличные от применения уравнения, здесь невозможны.

Последние две задачи наглядно демонстрируют, что локальная логическая структура задачи позволяет определять практические субъекты на основе общей логики, что неизбежно приводит к тому, что они имеют одну и ту же первую определяющую идею решения. Это делает возможным строить процесс обучения решению задач так, что ученики будут обучаться не решению задач как таковому, а идеям (а также методам и способам) решения задач. Это позволит ученикам научиться мыслить идеями, “видеть” математические задачи их локальными логическими структурами.

Рассмотрим ещё один пример. Всякое уравнение вида:

, где  и  - некоторые функции действительной переменной, является однородным. Рассматривать решения таких уравнений можно, начиная с восьмого класса. Сначала рассматриваются рациональные однородные уравнения, затем тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения. Также можно рассматривать однородные уравнения, в которых  и  - функции разных видов, например, показательная и иррациональная функции. Обучаясь таким образом, ученики с восьмого класса учатся применять при решении уравнений разных видов одну и ту же идею, один и тот же метод. Разумеется, при таком подходе к обучению решению задач его эффективность возрастает. Очевидно, локальная логическая структура может успешно применяться как вид реализации внутрипредметных связей посредством решения задач не только при изучении уравнений, но и при решении других видов задач (текстовых, геометрических и т.д.). Умение “видеть” задачи их локальными логическими структурами, мыслить при их решении идеями развивает логическое и математическое мышление учеников, способствует формированию теоретического мышления как такового.

Что касается глобальной логической структуры, то она способствует более глубокому пониманию того факта, что задача - это сложный объект. Действительно, любая задача, которая может быть мысленно расчленена на последовательность подзадач, предстаёт перед решающим её субъектом как некая система взаимообуславливающих друг друга компонентов (то есть имеющих смысловую нагрузку не только в отдельности, но и в совокупности).. Второй вид внутрипредметных связей логического типа - применение аналогии и сравнения при решении математических задач. Как уже отмечалось, этот вид внутрипредметных связей позволяет определять истинность (ложность) одного практического субъекта по аналогии с тем, как это было сделано для какого-либо другого практического субъекта. Если для первого вида внутрипредметных связей обязательным является наличие общих логических закономерностей при определении субъектов (из этого неизбежно вытекают некоторые аналогии при определении их истинности или ложности), то для второго вида требование наличия общей логики в определении субъектов отсутствует, сохраняется лишь аналогия при решении задач. Это единственное отличие первого и второго видов внутрипредметных связей. В качестве примера рассмотрим две задачи.

ЗАДАЧА 3. Выразить радиус вписанной в треугольник окружности через площадь и периметр последнего.

ЗАДАЧА 4. Выразить радиус вписанного в треугольную пирамиду шара через её объем и площадь полной поверхности.

Решение задачи 3. Пусть известны площадь  треугольника и его периметр . Кроме того, пусть  - искомый радиус и  - длины сторон треугольника. Тогда  Известно, что в любой треугольник можно вписать окружность и её центром будет точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы углов треугольника, проведённые до точки их пересечения, разбивают его на три треугольника, для каждого из которых одной из высот будет искомый радиус, а основанием для этих высот будут стороны исходного треугольника. Пусть  - площади этих треугольников, тогда очевидно, что

Отсюда следует, что .

Решение задачи 4. Пусть дан объём  пирамиды и площадь  её полной поверхности. Помимо этого, пусть  - искомый радиус,  - площади граней пирамиды. Известно, что в любую треугольную пирамиду можно вписать шар, центр которого будет находиться в точке пересечения её биссекторных плоскостей. Если соединить центр шара с вершинами пирамиды, то исходная пирамида будет разделена на четыре пирамиды, одна из высот каждой из

которых - искомый радиус . Основания, перпендикулярные ему, - это грани исходной пирамиды. Пусть объёмы этих пирамид - . Ясно, что .

Тогда:

.

Окончательно получаем: .

Бесспорно, решение четвёртой задачи аналогично решению третьей. Однако третья задача была решена на плоскости, а четвёртая в пространстве. Именно в этом заключаются принципиальные различия в определениях треугольника и пирамиды, окружности и шара. Поэтому здесь имеет место не первый, а второй вид внутрипредметных связей.

Теперь рассмотрим внутрипредметные связи аналитического типа.

Определим третий вид внутрипредметных связей. . Использование базисных задач при решении некоторой совокупности задач. Для рассмотрения данного вопроса под совокупностью задач следует понимать множество задач с некоторым (необязательно общим) теоретическим базисом, необходимым для их формулировки и решения.

В методической литературе часто встречаются различные названия задач, результат или идея решения которых используются для решения других задач. Одни авторы называют их ключевыми, другие авторы - опорными. В.И. Крупич в своей работе [12, С.150] называет эти задачи базисными. В данной курсовой работе примем концепцию, согласно которой и ключевые и опорные задачи будем считать базисными по отношению к некоторой совокупности задач, в которой они используются. При этом под ключевой задачей будем понимать такую, которая открывает идею решения целого класса задач, а под опорной будем понимать задачу, результат которой аналитически используется для решения последующих задач.

ЗАДАЧА 5. (Опорная). Пусть  и  - корни квадратного уравнения . Выразить сумму  через коэффициенты  и .

Решение.  По теореме Виета . Тогда:

ЗАДАЧА 6. Пусть  и  - корни уравнения . Выразить суммы: а) ; б)  через коэффициенты  и .

Решение.  Так как  (задача 5), то

.

Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может применяться и в других областях школьной математики.. Использование дополнительных задач при решении основной задачи. Под дополнительной задачей в данном случае будем понимать самостоятельную математическую задачу, без решения которой невозможно решить основную задачу. Дополнительная задача может быть сформулирована в явном или неявном виде, но в любом случае, прежде чем приступать к решению основной задачи, необходимо решить дополнительную задачу. Рассмотрим примеры.

ЗАДАЧА 7. Решить уравнение  где .

ЗАДАЧА 8. Решить уравнение

В первом примере дополнительная задача сформулирована в явном виде, во втором примере - в неявном виде. Так как сначала необходимо решить дополнительную задачу, то в случае, когда она сформулирована неявно, дополнительная задача выступает как первая подзадача основной задачи.. Реализация внутрипредметных связей на основе переформулировки исходной задачи. Этот вид внутрипредметных связей также относится к аналитическому типу. Внутрипредметные связи здесь имеют место благодаря необходимости более глубоко понимать определение каждого математического субъекта и более качественно знать теоретический и практический базис решения математических задач.

ЗАДАЧА 9. Найти область определения функции .

Решение. В соответствии с определением понятия “область определения функции”, необходимо решить систему:

Получаем ответ:

В рассмотренном примере невозможно обойтись без знания того, что такое область определения функции и без умения решать системы неравенств. Пятый вид внутрипредметных связей в данном случае хорошо реализуется, если эту задачу рассматривать в теме “Решение систем неравенств”. В этом случае ученики будут вынуждены переформулировать исходную задачу. Разумеется, этот вид внутрипредметных связей может быть использован в любой другой области школьной математики. . Непосредственный аналитический переход от одного теоретического и практического базиса к другому базису в процессе решения задач.

Ранее было отмечено, что задачу можно рассматривать как последовательность подзадач, каждая из которых имеет свою локальную логическую структуру, теоретический и практический базис. Если они имеют разный теоретический и практический базис, то реализуются внутрипредметные связи.

ЗАДАЧА 10. Решить уравнение .

Решение. Поскольку основания логарифмов равны, потенцируя, получим:

 Пусть . Уравнение

примет вид:  откуда , то есть  или .

Проверкой легко убедиться, что при этих значениях синуса оба выражения, стоящих под знаком логарифма, положительны. Решая последние уравнения, найдем корни:  где

В качестве первой подзадачи здесь выступает сама исходная задача. Второй подзадачей является переход к тригонометрическому уравнению и его преобразование. Третья подзадача - переход к алгебраическому уравнению и его решение, а четвёртой подзадачей было решение совокупности простейших тригонометрических уравнений. Шестой вид внутрипредметных связей здесь был реализован три раза при переходе от одной подзадачи к следующей.. Решение задач, сформулированных на основе одного теоретического и практического базиса средствами другого (других) теоретического и практического базиса (базисов). Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 11. Решить уравнение

Решение. Поскольку левая и правая части уравнения - функции разных видов, необходимо оценить значение каждой из этих частей.  Для оценки правой части воспользуемся аппаратом производной.

Пусть  Тогда  Приравняем производную к нулю, решим полученное уравнение.   - единственная критическая точка. Очевидно, что  при  и  при . Принимая во внимание, что данная функция определена для всех действительных чисел, делаем вывод, что  - точка минимума. Тогда  при всех действительных . Следовательно, уравнение равносильно системе:  Эта система имеет единственное решение  в силу вышеизложенных рассуждений.

В рассмотренном примере задача была сформулирована средствами алгебры, а решение было найдено при помощи дифференциального исчисления. Очевидно, этот вид внутрипредметных связей может быть использован при рассмотрении других тем школьной математики.. Одновременное использование сразу нескольких теоретических и практических базисов при решении одной и той же задачи. От предыдущего вида внутрипредметных связей этот вид принципиально отличается тем, что здесь основным является сочетание свойств компонентов задачи, имеющих различный теоретический и практический базис. В этом и заключён смысл одновременности. Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 12. При каких значениях параметра  имеет единственный корень уравнение ?

Решение. Пусть . Уравнение примет вид:  Если , то  причём  строго возрастает на . Требование задачи будет выполнено, если уравнение  будет иметь единственный положительный корень. В соответствии с теоремой Виета получаем: 1)  2) , 3)  где  и  - корни квадратного уравнения с параметром. Итак: 1)  2)  3)  Тогда 1)  2)  3) . Окончательно получаем:  

Ясно, что эту задачу невозможно было бы решить без сочетания свойств квадратного трёхчлена и показательной функции.. Решение одной и то же задачи средствами различных теоретических и практических базисов (сначала полностью средствами одного базиса, а затем полностью средствами другого базиса).

ЗАДАЧА 13. Доказать, что функция  строго возрастает на множестве всех действительных чисел.

Первый вариант решения. Очевидно, данная функция определена для всех действительных чисел. Предположим, что . Докажем, что . Имеем:

, так как второй множитель, очевидно, отрицателен, а первый и третий положительны. Итак,  тогда . В силу произвольности чисел  и  утверждение доказано.

Второй вариант решения. Докажем, что  при всех действительных .   тогда, очевидно,  при всех . Это означает, что данная функция строго возрастает на всей области определения.

Очевидно, что в этом виде внутрипредметных связей важна сама интерпретация утверждения задачи, факт того, что истинность (ложность) не зависит от способа её установления.. Различные варианты решения одной и той же задачи средствами одного и того же теоретического и практического базиса.

Принципиально десятый вид внутрипредметных связей отличается от девятого лишь тем, что здесь используется только один теоретический и практический базис. В характеристике было использовано слово “варианты”, так как в общем случае различная реализация решения задачи не приводит к тому, что задача решена различными способами. Под вариантом решения следует понимать любую его реализацию, отличную от всех других.

ЗАДАЧА 14. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Воспользуемся формулой суммы синусов:

  Тогда  или , или , так как уравнение распадается на три уравнения и два последних из них являются однородными уравнениями первой степени относительно синуса и косинуса. Находим значения :  или  где .

Второй вариант решения. Воспользуемся формулой синуса тройного угла:

. Тогда  или . Из последнего уравнения получаем:  или . Легко видеть, что корни будут записаны точно также, как и в первом варианте решения.

Очевидно, что теоретический и практический базис обоих вариантов решения одинаков.

Разумеется, существуют математические задачи, реализующие несколько видов внутрипредметных связей.

Рассмотрим пример.

ЗАДАЧА 15. Решить уравнение  при

Решение. Сначала решим дополнительную задачу:  Если , то . Получаем уравнение .

Тогда:

 или . Поскольку синус должен быть здесь только положительным, решим второе уравнение:  . Проверкой легко убедиться, что подходят только чётные значения параметра .

Итак, .

В рассмотренной задаче сначала мы реализуем четвёртый вид внутрипредметных связей (вычисление значения производной), затем дважды шестой вид. Первый раз мы перешли от логарифмического уравнения к иррациональному, второй раз - от иррационального к тригонометрическому. В данной задаче задействовано два вида внутрипредметных связей. Также пример показывает, что один и тот же вид может быть использован в задаче несколько раз.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

.1 Методическая значимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Говоря о методической значимости реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики, естественно подразумевать те функции, которые выполняют внутрипредметные связи в процессе обучения.

В диссертационном исследовании [1] автором приводится восемь функций внутрипредметных связей. Определим и охарактеризуем каждую из них.

. Философская функция. Математика как наука и как учебный предмет несёт в себе немало возможностей для формирования диалектического (диалектико-материалистического) мировоззрения. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач выступает при этом одним из самых мощных средств. Действительно, именно благодаря реализации внутрипредметных связей возможно понимание единства различных субъектов математики, которые констатируют зачастую противоречащие друг другу факты. Возможность определить один субъект при помощи другого, а также создать внутрисвязанный объект, является реальным воплощением закона перехода количественных изменений в качественные и обратно. Очевидно, что основную роль в формировании диалектического мировоззрения школьников играют безусловные внутрипредметные связи.

. Языковая функция. Как известно, математика - это язык, на котором говорит природа. Именно математика является тем инструментом, благодаря которому строятся абстрактные модели реальных природных объектов и процессов. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач играет огромную роль в формировании понимания математики как языка. Это происходит потому, что для описания реальных природных объектов и процессов недостаточно пользоваться каким-либо одним математическим субъектом. Для этих целей используются несколько субъектов, то есть неизбежна реализация внутрипредметных связей при использовании математики как языка.

. Развивающая функция. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является мощным фактором, развивающим логическое, математическое и теоретическое мышление учеников, так как благодаря внутрипредметным связям логического типа, ученики учатся находить общие логические закономерности при изучении различных тем школьной математики, а благодаря внутрипредметным связям аналитического типа, ученики учатся применять математический аппарат одной области математики в других её областях. Внутрипредметные связи логического типа главным образом развивают логическое мышление учеников, связи аналитического типа делают курс математики более целостным, показывают взаимосвязь различных областей математики, тем самым способствуют формированию математического и теоретического мышления, закладывают основы математического сознания.

. Функция уменьшения “сброса знаний”. “Сброс знаний” - это распространённое в практической работе абсолютно всех педагогов явление. Суть его в том, что человеческий мозг имеет свойство забывать информацию, которой не пользовался определённое время. Физиологами установлено, что полностью решить проблему сброса знаний невозможно. Однако сброс знаний можно значительно уменьшить. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одним из основных способов решения этой проблемы, так как необходимость применять одинаковые логические закономерности при изучении разных тем, использовать внутрипредметные связи аналитического типа позволяет ученикам более часто повторять изученный ранее материал и известные логические приёмы в текущей деятельности.

. Пропедевтическая функция. Данная функция является одной из самых основных, так как именно удачно осуществлённая пропедевтика того или иного материала способствует более качественному его усвоению. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач осуществляет пропедевтику материала на основе того, что они (связи) делятся на два типа. Логический тип внутрипредметных связей облегчает (обуславливает) логику решения задач на основе нового материала, аналитический тип способствует тому, что при исполнении решения задач по новой теме ученики пользуются уже известными приёмами. Кроме того, это способствует преемственности в обучении математике.

. Интенсифицирующая функция. Реализация внутрипредметных связей способствует интенсификации учебного процесса, что играет важную роль в современном информационном обществе. Это происходит из-за того, что внутрипредметные связи обоих типов способствуют экономии времени, так как они делают возможным уплотнение учебного материала без ущерба для его качества. Объясняется это тем, что частое использование общих логических закономерностей и частое применение знакомых аналитических приёмов доводит умение пользоваться ими до автоматизма, что и обеспечивает более быстрое изучение нового материала.

. Воспитывающая функция. Среди всего множества воспитательных моментов, которые привносит в жизнь школьника математика, обратим внимание на один, который обусловлен именно реализацией внутрипредметных связей посредством решения задач. Поскольку реализация внутрипредметных связей делает возможными “обратные” связи между субъектами и объектами, то для более успешного изучения нового материала ученик вынужден более добросовестно изучать предшествующий материал. Благодаря этому воспитывается трудолюбие, аккуратность, настойчивость в достижении цели.

. Системообразующая функция. Смысл её в том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач делает учебный материал системным, а не разрозненным. Системность материала значительно повышает качество знаний учеников. Эта функция внутрипредметных связей как бы суммирует в себе все предыдущие функции.

Заметим, что седьмую и восьмую функции все виды внутрипредметных связей выполняют в равной степени, причём последнюю скорее совместно, а не индивидуально.

.2 Методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах обучения

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определённых отношений к другим.

При рассмотрении данного пункта будем опираться на работу В. А. Далингера “Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике” [6].

Реализация внутрипонятийных связей [6] преследует цель научить учащихся выделять существенные признаки понятия, сформировать у них умение переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков. Учащиеся должны из набора существенных признаков объекта уметь устанавливать его принадлежность понятию и наоборот. Основная функция внутрипонятийных связей - образование понятия (по времени это 1-2 урока, на которых понятие вводится).

Любое понятие можно расчленить на составляющие его компоненты, между которыми устанавливаются определённые связи. Например, понятие геометрическая прогрессия определяется как числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, не равное нулю. Исходя из этого определения, можно выделить следующие составляющие: последовательность, первый член последовательности, знаменатель прогрессии. Они подчинены определённым зависимостям. Так, члены последовательности должны быть отличны от нуля, знаменатель прогрессии есть любое число, не равное нулю, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Для усвоения понятия геометрической прогрессии, на уровне требований программы девятилетней школы, необходимо, чтобы были усвоены перечисленные элементы и связи между ними.

Разумеется, для любого понятия можно выделить минимальный список наиболее важных отношений, играющих доминирующую роль не только в усвоении этого понятия, но и необходимый в дальнейшем для изучения других вопросов.

Рассмотрим пример.

При введении в 5 классе понятия биссектриса угла учащиеся должны уметь выделять существенные признаки этого понятия, входящие в его определение. Эти признаки таковы:

. биссектриса угла - это луч;

. биссектриса угла выходит из его вершины;

. биссектриса угла делит его пополам.

Важным моментом при изучении этого понятия должна явиться работа учащихся по комбинированию выделенных признаков. При таком подходе они сознательно усвоят необходимость каждого признака и их достаточность для определения понятия биссектрисы угла. Здесь на первый план выступают внутрипонятийные связи, анализ которых поможет подвести объект под понятие.

Важное значение для успешной реализации внутрипонятийных связей имеет работа школьников по осознанию тех связей, которые существуют между свойствами понятия. При этом учебный материал должен быть организован на основе варьирования несущественных признаков понятий при сохранении постоянными существенных признаков, которые будут положены в основу обобщения.

Пример.

Для ознакомления учащихся с фактом влияния коэффициента  на свойства функции  достаточной является группа упражнений, состоящая из следующих задач: “Постройте графики функций

 Как влияет на их расположение значение ?”

В данной группе задач исключено беспорядочное варьирование коэффициента, при котором ученик может упустить необходимые для обобщения связи между коэффициентом  и свойствами функции . Все задачи направлены на осознанное понимание учащимися двух различных факторов, определяющих свойства функции: абсолютная величина , знак коэффициента .

Организуя работу над внутрипонятийными связями, учителю следует иметь в виду, что при этом важно варьировать несущественные признаки понятия. Особое значение эта работа имеет при формировании геометрических понятий. Если учитель ограничивается, например, стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро связывают формируемое понятие с фигурами определённого вида и расположения. Использование стандартного чертежа вызывает у учащегося неверные ассоциации, в результате чего он в содержание понятия вносит и частные признаки демонстрируемой фигуры. В такой ситуации наблюдается разобщённость между словесным объяснением учителя и наглядной интерпретацией. Это приводит к тому, что знания, формируемые на базе одного и другого, не соответствуют друг другу. Например, многие ученики к прямоугольным треугольникам относят лишь те, у которых прямой угол находится “внизу”. Причиной ошибочного представления о понятии явилось то, что учащиеся при его введении пользовались лишь одним признаком, а не совокупностью существенных признаков, при этом доминирующим стал наиболее ярко выраженный несущественный признак.

Замечание. Следует иметь в виду, что формирование понятия в сознании учащихся в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с этим понятием (в психологии этот факт получил название “силы первого впечатления”).

Не менее важным в работе над внутрипонятийными связями является формирование у школьников умения переосмысливать фигуру в плане другого понятия, вычленять и комбинировать из элементов изображения новые фигуры, не указанные в условии задачи.

На уровне внутрипонятийных связей важна работа по формированию у школьников представления о свойствах, являющихся следствием других свойств, о понятии противоречивости свойств.

С этой целью учащимся 5 класса предлагать задачи такого содержания: ”Могут ли одновременно  и  удовлетворять условиям:

.  больше ;  меньше ;

.  больше ; произведение чисел  и  равно нулю;

.  делитель ;  меньше ;

.  расположено на числовом луче правее ;  равно ;

.  расположено на числовом луче левее ; меньше ; ;

. прямая параллельна прямой ; прямая  перпендикулярна прямой ?”

Приведённые примеры показывают, что для усвоения понятия необходимо отыскать такой вид деятельности, который позволял бы усваивать основные элементы понятия и отношения между ними. При этом вид деятельности будет зависеть от характера понятия.

В курсе школьной математики все понятия можно условно подразделить на группы, положив в основу классификации тот или иной признак, а именно:

. понятия, аналогами которых являются житейские представления учащихся (например, число, прямая, точка);

. понятия, вводимые в курс без определений (например, величина, множество);

. понятия, вводимые в курс через определения (например, функция, уравнение, неравенство, логарифм числа);

. понятия, введённые ранее в “расплывчатом” виде, в дальнейшем получающие своё чёткое определение (например, график, равенство фигур).

При формировании понятий первой группы следует связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретёнными учащимися вне целенаправленного обучения. Житейские прототипы, или, как их ещё называют, аналоги, могут либо верно, либо неверно отражать основную суть научного понятия. Например, учащиеся до 7 класса довольно часто пользуются термином функция. Но смысл, который вкладывается ими в данный термин, не соответствует его научной трактовке. Этот термин учащиеся до изучения понятия функции на уроках алгебры используют в смысле назначения: роль одного объекта по отношению к другому (функция органов дыхания, функция воды по отношению к растениям и т. д.) Ясно, что при формировании математического понятия функция в смысле зависимости опора на житейский прототип невозможна. В данном случае привычка учащихся к обыденном оборотам речи лишь тормозит понимание математического понятия.

Далее приведём пример, в котором формирование научного понятия возможно на основе его житейского аналога.

При формировании понятия натуральное число как количественной характеристики множества возможна опора на житейский прототип, так как фактически школьники ещё до целенаправленного обучения имеют такое же представление об этих числах. Знакомясь с натуральными числами в начальной школе, учащиеся получают их путём отсчитывания или присчитывания палочек, косточек и т. д. Мы в процессе обучения учащихся приходим к научной характеристике понятия, известного ещё ранее из жизненного опыта. При этом совершается переход от предметных действий к выделению формального содержания и его изображению на уровне абстракции и обобщения.

Особое значение соотношение житейских прообразов и их научных образов приобретает в случае изучения основных неопределяемых понятий курса. Формирование этих невозможно без опоры на жизненный опыт учащихся. Первостепенное значение при этом имеет мотивация введения этих понятий.

Например, в курсе геометрии при введении различных геометрических фигур учащимся полезно предлагать задания по составлению “родословной”

каждого понятия (в виде схемы).

Сравнивая эти схемы “родословной”, учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение даётся сразу в завершённой, свёрнутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключение составляют те случаи, когда для распознания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнён. Например, в такой форме даётся определение линейной функции: “Функция, которую можно задать формулой вида  где  и  - некоторые числа, называется линейной”.

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность учеников.

Рассмотрим пример.

В 9 классе учащиеся знакомятся с понятием чётной и нечётной функции. Даётся следующее определение чётной функции: “Функции называется чётной, если для каждого  из области определения этой функции выполняется равенство

Такое положение приводит к тому, что школьники на вопрос: “Является ли функция  заданная на отрезке чётной?” - дают утвердительный ответ, так как приоритет отдаётся второму признаку, хотя оба признака в этом определении необходимы и лишь вместе достаточны.

Аналогичную картину наблюдаем и в случае выполнения задания на определение чётности функции  Учащиеся поступают следующим образом:

Из этого следует вывод: так как функция  нечётная, то нечётна и заданная функция. Но, как легко заметить, область определения заданной функции несимметрична относительно нуля , и значит, можно сразу утверждать, что эта функция ни чётна, ни нечётна.

Обнаруженная типичная ошибка учащихся показывает, что приведённое выше определение педагогически нецелесообразно ( Алгебра и начала анализа: Пробный учебник для 10-11 кл. ср. шк. / Под ред. А. Н. Тихонова. - М.: Просвещение, 1989).

Конечно, авторы правы, утверждая далее, что “из этого определения следует, что вместе с каждым  значение  также входит в область определения функции ”. Учитывая типичную ошибку школьников, следовало бы дать это определение с избытком, включив в него ещё один существенный признак - симметричность области определения функции относительно нуля.

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Например, средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон (указано понятие, которое для определяемого не является родовым).

. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Например, угол, образованный двумя хордами, называется вписанным (не указан ещё один существенный признак - вершина угла должна лежать на окружности).

. Ошибки, связанные с тавтологией.

Например, равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Например, простое число - это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу (пропущено слово “только”).

Задача учителя - вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

В педагогической литературе правомерно ставятся вопросы: ”Нужно ли предупреждать ошибки в действиях учащихся?”; “ Нужно ли допущенную ошибку обсуждать фронтально или же целесообразнее это сделать индивидуально?”; “Есть ли ошибки такого рода, обсуждение которых вообще не целесообразно?”.

Практика преподавания математики в школе показывает, что продуманная работа над систематическими ошибками может оказаться эффективным средством формирования сознательных и прочных знаний учащихся. В каждом конкретном учитель должен сам определить, какая форма работы будет целесообразнее: фронтальная или индивидуальная.

Большое значение в работе с внутрипонятийными связями играют контрпримеры, которые вначале приводятся учителем, а затем к их конструированию подключаются и учащиеся.

Так, для примера, приведённого в четвёртом пункте типичных ошибок, можно привести такой контрпример: число 12 делится на себя и на единицу, но оно не является простым.

Подобного рода работа повысит математическую культуру учащихся, научит их сознательно относиться к каждому слову в определении.

Контрпримеры чаще всего применяются тогда, когда надо убедить ученика в том, что он ошибается. Полезно уже на уровне 5-6 классов предлагать задания следующего содержания: “Приведите контрпримеры, доказывающие ложность следующих высказываний:

. любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

. сумма любого чётного и любого нечётного числа есть число простое;

. любая фигура, имеющая три угла, является треугольником;

. любое число, оканчивающееся единицей, делится на 3;

. чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были бы противоположными лучами”.

Успешному усвоению внутрипонятийных связей будет способствовать организация активной познавательной деятельности школьников на всех этапах формирования понятия. Приведём пример.

Для формирования понятия медианы треугольника учащимся предлагается:

. построить произвольный треугольник;

. соединить отрезком его вершину с серединой противоположной стороны.

После этой работы учитель говорит: “Такой отрезок называется медианой треугольника” - и предлагает учащимся самим сформулировать определение медианы треугольника.

Учителю при работе над внутрипонятийными связями следует иметь в виду, что не всегда структура текста учебника математически соответствует оптимальной последовательности этапов формирования понятий, которая может быть такой:

. Рассмотрение примеров объектов, входящих в объём понятия.

. Ведение термина, обозначающего понятие.

. Рассмотрение примеров объектов, не входящих в объём понятия.

. Формулирование определения понятия.

. Сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия.

. Систематизация знаний.

Часто в учебниках математики авторы по ряду причин освещают не все этапы образования понятий. Так, например, в учебнике геометрии А. В. Погорелова почти все параграфы, посвящённые понятиям, начинаются с определений. В учебнике алгебры для 7 класса под редакцией А. Н. Тихонова текст, в котором вводится понятие функции, содержит лишь этапы 1, 4, 5.

Задача учителя состоит в том, чтобы на уроках, посвящённых формированию понятий, восполнять недостающие этапы. В таком случае формируемое понятие будет усвоено учащимися сознательно и полно.

Большую роль в работе с внутрипонятийными связями играют упражнения по практическому применению понятий и теорем. На уроках мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда учащиеся верно формулируют определение понятия, теорему, но оказываются бессильными в случае решения конкретной задачи. Например, учащиеся 7 класса верно формулировали определения соответствующих понятий и теорем, но не могли ответить на вопросы:

. хватит ли 20 см проволоки, чтобы согнуть из неё треугольник, одна сторона которого была бы равна: 12 см; 8 см; 10 см;

. почему углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые;

. как при помощи рулетки убедиться в том, что оконная рама имеет форму прямоугольника;

. почему каждый острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен ?

Чтобы учитель мог отличить формальные знания учащихся от сознательных, он должен помнить о следующих внешних проявлениях формализма: отрыв формы от содержания; неумение применять теорию на практике; преобладание памяти над пониманием.

Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Например, в 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца). При этом вопросы “С какого числа начинается натуральный ряд чисел?”, “На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?”, “Конечен ли натуральный ряд чисел?” - педагогически нецелесообразны.

Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: “Каково наименьшее натуральное число?”, “Какое натуральное число предшествует 1?”, “Назовите наибольшее натуральное число?”, “Почему  обозначает следующее за натуральным числом  число?”.

Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приёмы мышления, такие, как подведение род понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.

К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приёмами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: “будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют ?”, “Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?”.

В заключении рассмотрим ещё один вопрос, связанный с определением понятий.

Радикальное изменение содержания школьной математики привело в своё время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось

усиление внимания к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.

Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.

Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся.

Рассмотрим пример.

Школьникам 9 классов в своё время предлагалось задание: “Покажите на рисунке, как может идти график функции вблизи точки , если

. ;

. ;

. предел в точке отсутствует, а ”.

Подавляющее большинство учащихся с заданием подобного рода не справились, хотя определение непрерывной функции в точке ими формулировалось верно.

Внутрипредметные связи на этапе обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

В педагогической литературе существуют различные классификации видов повторения.

. По временному признаку: в начале учебного года; в течение всего учебного года; в различное время года, после изучения отдельных тем, разделов учебного материала; в конце учебного года всего курса.

. По основной дидактической цели: опорное; первично-закрепляющее; подкрепляющее (предупреждающее); корректирующее; углубляющее; обобщающе-систематизирующее.

. По частоте использования: эпизодическое; периодическое; регулярное.

. По месту в процессе усвоения:

а) повторение, предшествующее изучению нового материала, при котором вспоминаются те факты из ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения нового;

б) повторение, сопутствующее изучению нового материала; этот вид повторения своей целью восстановить в памяти ученика те знания, которые входят в содержание вновь изучаемого, а также провести сравнение, сопоставление и установление логических связей ранее пройденного и нового материала;

в) повторение, следующее за изучением нового материала и обеспечивающее закрепление полученных знаний, выработку твёрдых умений и навыков; этот вид повторения особо направлен на систематизацию и обобщение полученных знаний с целью их дальнейшего, более эффективного использования.

Обобщения в сознании учащихся при существующей структуре курса и используемой технологии обучения сами по себе, произвольно не возникают. Школьники не всегда осознают, что любому теоретическому материалу изучаемого курса присуща определённая система. Отсутствие у учащихся умения обобщать есть одна из основных причин слабого овладения ими системой знаний. Поэтому на определённом этапе обучения необходимы перекомпоновки, соподчинения, систематизации материала, выявление новых связей и отношений между элементами изученной суммы знаний.

Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания. Если в какой либо теме учебного курса слабо будут реализованы внутрипредметные связи, то обобщающее повторение призвано устранить этот недостаток; с его помощью можно установить те связи и отношения между элементами знаний, которые ранее не были раскрыты.

Не смотря на большую результативность, обобщающее повторение проводится в школе крайне редко или же проводится лишь в плане закрепления полученных знаний. Это можно объяснить многими причинами: недостатком времени; отсутствием эффективной методики его проведения; трудностями организации и проведения; отсутствием в учебниках достаточного числа обобщающих упражнений; недостаточной полнотой внутрипредметных связей в темах курса; мелкой рубрикацией глав и параграфов в учебниках и т.д.

Дадим классификацию обобщающих повторений исходя из их содержания, максимально ориентированного на учёт возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Обобщающее повторение рассматриваем на уровне: понятий, системы понятий и теорий (обобщающее повторение на уровне теорий даёт определённую трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе, поэтому материал, направленный на обобщающее повторение этого вида целесообразно рассматривать на кружковых и факультативных занятиях (что мы и сделаем в следующем параграфе настоящей главы)). Наиболее сложным является организация обобщающего повторения на уровне теорий, в связи с чем первые два уровня в большей степени приемлемы в обучении учащихся младших и средних школьных возрастов, последний же даёт больший эффект в основном лишь в старших классах.

Из выше сказанного следует, что методика организации обобщающего повторения должна меняться от класса к классу. Так, если в средних учитель сам в форме беседы или рассказа обращает внимание учащихся на необходимость всестороннего изучения каждого понятия, явления, на взаимосвязь изучаемых понятий, то в старших классах следует организовать самостоятельное открытие школьниками новых связей между изученными понятиями, проведение обобщения полученных знаний.

Обобщающее повторение на уровне понятий

Обобщающее повторение на уровне понятий позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. На данном уровне обобщающего повторения отрабатываются опорные знания темы в аспекте тех связей и отношений, которые были использованы при первоначальном изучении материала. Большую роль в организации этого вида повторения играют внутрипонятийные связи.

Задания, используемые на повторительно-обобщающих уроках такого типа, по своим функциональным назначениям можно разделить на следующие группы:

. способствующие воспроизведению факта, закона, алгоритма, формулировок определений и теорем;

. требующие анализа какого-либо факта, закона, ситуации;

. формирующие умения самостоятельно иллюстрировать теоретические положения примерами, в том числе и из практики;

. приводящие к синтезу знаний и их обобщению;

. развивающие мышление учащихся.

Приведём примеры заданий, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне понятий в различных темах школьного курса математики.

. Организуя повторение на уровне понятий по теме “Многоугольники” в курсе геометрии 8 класса, учащимся могут быть предложены такие задания.

а) Известно, что во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, верно ли обратное: четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом? (Это задание требует от учащихся анализа ситуации.) Ответ на данный вопрос отрицательный.

б) Дан четырёхугольник, у которого два противоположных угла прямые, можно ли утверждать, что такой четырёхугольник всегда будет прямоугольником? (Это задание развивает мышление школьника, требует от него анализа ситуации.) Ответ на поставленный вопрос отрицательный.

. Для проведения обобщающего повторения по теме “Производная” можно повторить определение производной, алгоритм нахождения производной функции по определению, основные правила и формулы, связанные с производной.

. Для повторения темы ”Прогрессии” целесообразно провести с учащимися математический диктант такого содержания (в скобках указаны задания для второго варианта):

а) Первый член последовательности равен 8. Запишите рекуррентную формулу для числовой последовательности, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 4 (умноженному на число 4).

б) Как называется такая последовательность?

в) Запишите для неё формулу -го члена.

г) Найдите пятый член этой последовательности.

д) Является ли число 88 членом этой последовательности?

е) Найдите шесть первых членов этой последовательности.

ж) Дана последовательность:  Напишите формулу для нахождения суммы  первых членов, если эта последовательность является геометрической прогрессией (арифметической прогрессией).

з) Какая последовательность обладает свойством: квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов? (Каждый член, начиная со второго, равен полусумме двух соседних с ним членов?)

и) Определить  и  в геометрической прогрессии:  если известно, что её первый член положителен. (Определить  и  в геометрической прогрессии:  если известно, что её четвёртый член отрицателен.)

к) Известно, что  Найдите  где  - члены арифметической прогрессии. (Известно, что  Найдите  где  - члены арифметической прогрессии.)

. Для того чтобы обучить учащихся различать свойства и признаки понятий, полезной при организации обобщающего повторения на уровне понятий (хотя это можно сделать и значительно раньше) окажется работа по переформулированию теорем в условной форме: “Если…, то …”.

Действительно, как узнать, о свойстве или о признаке идёт речь в теореме? На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие окажется в заключении теоремы, то она выражает признак.

Приведём примеры.

. Теорема Пифагора: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Переформулируем теорему из категорической формы в условную. Будем иметь: “Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Так как понятие прямоугольный треугольник оказалось в условии теоремы, то теорема выражает собой свойство этого понятия.

. Теорема: “Треугольник, у которого углы при основании равны, - равнобедренный”. Сформулируем теорему в терминах “если…, то…”. Будем иметь: “Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный”. Так как понятие равнобедренный треугольник оказалось в заключении теоремы, то эта теорема выражает собой признак.

Заметим, что некоторые теоремы одновременно выражают как свойство, так и признак одного и того же понятия. Так обстоит дело в последнем случае; сформулировав теорему в виде: “Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны”, мы имели бы свойства равнобедренного треугольника.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий

Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умения сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, т.е. устанавливать подчинённость вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит либо обогащение и расширение ранее изученных понятий, либо образование новых. На данном уровне обобщающего повторения определяется место и значение понятий в системе, происходит функциональное соотнесение понятий.

Если на уровне понятий обобщающее повторение организовывалось с помощью методов наблюдения и сравнения, то на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это даёт возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что ещё более существенно, по отношениям между ними.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предполагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определённые записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определённую структуру.

Принцип систематичности и последовательности, используемый при написании учебников математики, закладывает в учебный материал линейные связи, а обобщающее повторение на уровне системы понятий призвано преобразовать эти связи в структурно-объёмные, которые фиксируются в виде классификационных схем и таблиц.

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

. Для обобщения темы “Четырёхугольники” курса геометрии 8 класса на уровне системы понятий полезной окажется работа по конструированию определений различных видов четырёхугольников посредством перечисления необходимого и достаточного набора существенных признаков. Например, учащимся можно предложить такое задание.

) Диагонали взаимно перпендикулярны.

) Многоугольник.

) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

) Противоположные стороны попарно равны.

) Имеет четыре и только четыре угла.

) Имеет хотя бы один прямой угол.

) Диагонали равны между собой.

) Четырёхугольник.

) Две смежные стороны равны между собой.

) Параллелограмм.

) Четыре стороны и четыре угла равны между собой.

) Прямоугольник.

) Ромб.

Школьники могут выбрать различные совокупности существенных признаков, однозначно определяющих одно и то же понятие. Запишем некоторые из них условно в таком виде:

Четырёхугольник = 2+5; Ромб = 8+3+1;

Параллелограмм = 8+4; Ромб = 10+1;

Параллелограмм = 8+3; Квадрат = 13+6;

Параллелограмм = 2+5+4; Квадрат = 10+11;

Ромб = 10+9; Квадрат = 10+9+7;

Квадрат = 2+5+4+9+6; Прямоугольник = 10+6;

Квадрат = 12+9; Прямоугольник = 8+3+6.

Сумма номеров означает такую совокупность существенных признаков, которая необходима и достаточна для однозначного определения понятия.

Для обобщающего повторения темы “Четырёхугольники” на уроне системы понятий полезным будет и такое задание.

Какие из нижеперечисленных определений являются правильными? К каждому неправильному определению приведите пример, иллюстрирующий его ошибочность.

) Прямоугольником называется параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого равны.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, имеющий хотя бы два прямых угла.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого равны между собой.

) Параллелограммом называется многоугольник, все противоположные стороны которого попарно равны и параллельны.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, а диагонали равны между собой.

) Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой.

) Квадратом называется ромб, у которого диагонали равны.

) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

) Квадратом называется такой многоугольник, у которого четыре стороны и четыре угла равны между собой.

Это задание помогает развить у ученика умения анализировать новые ситуации, иллюстрировать теоретические положения примерами, способствует формированию высшего типа мышления - творческого.

. Для обобщения материала, связанного с понятием треугольник. эффективным будет такое задание.

Выберите из списка то понятие, которое является

) отрезком биссектрисы угла треугольника, соединяющим вершину треугольника с точкой противоположной стороны;

) отрезком, соединяющим середины двух сторон треугольника;

) фигурой, состоящей из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх попарно соединяющих их отрезков;

) точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника;

) точкой пересечения биссектрис треугольника;

) отрезком перпендикуляра к стороне треугольника, проведённым через противоположную вершину;

) точкой, равноудалённой от вершин треугольника;

) точкой, равноудалённой от сторон треугольника;

) отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Список понятий

А - центр вписанной окружности; Б - средняя линия треугольника;

В - высота треугольника; Г - биссектриса треугольника;

Д - треугольник; Е - медиана треугольника;

Ж - центр описанной окружности; З - угол.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но не достаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей (эти связи представлены материалом учебника), то системность знаний - реализацию объёмных связей, получаемых путём структурирования линейных. Объёмные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

.3 Реализация внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике

Рассмотрим на примерах, как реализуются внутрипредметные связи между различными темами школьного курса математики на факультативных занятиях.

Покажем, во-первых, как можно применить производную к таким содержательно-методическим линиям школьного курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований. Заметим, что при этом приложения производной расширяются не за счёт увеличения программного материала, а за счёт нераскрытых сторон известных учащимся фактов.

Пример 1. Доказать тождество

Для доказательства рассмотрим функцию

Доказать данное тождество - это значит показать, что при любом  значения функции  равны , т.е. следует установить, что эта функция постоянна и её значение есть число . Найдём производную функции :

Так как  для любого , то это означает, что на множестве R функция  есть постоянная. Чтобы найти эту постоянную, вычислим значение функции в любой точке, например в точке  

Итак, можно сделать вывод, что на множестве R данное равенство есть тождество.

Пример 2. Докажите, что для всех неотрицательных  справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию  на промежутке  Найдём производную этой функции:

При любом значении  справедливо неравенство  Это значит, что на промежутке  функция  возрастает. В то же время замечаем, что функция  на промежутке  есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что на левом конце этого промежутка при  принимает своё наименьшее значение.

А так как  то для любого   т.е.

 откуда

Пример 3. При каких действительных  уравнение

имеет решение?

Найдём область определения данного уравнения, для чего решим систему:

Рассмотрим на отрезке  функцию  и найдём её производную:

Найдём точки, в которых эта производная на отрезке  равна нулю,

 Далее

 и  а значит,  - единственная критическая точка.

Найдём значение функции  в точке  и на концах отрезка :

Учитывая, что функция  непрерывна на отрезке , её наибольшее значение будет число , а наименьшее - число  Так как функция  непрерывна, то область её значений целиком лежит между наименьшим и наибольшим значениями и представляет отрезок  Следовательно, , стоящее в правой части исходного уравнения, должно принимать значения из этого промежутка. Итак, исходное уравнение имеет решение при

В курсе алгебры и начал анализа учащиеся 10 класса начинают изучение тригонометрии. В связи с этим, на факультативных занятиях, целесообразно расширить круг рассматриваемых задач по некоторым темам курса (мы ограничимся рассмотрением уравнений и систем уравнений), поскольку достаточно часто на вступительных экзаменах по математике во многие российские вузы предлагаются задачи по курсу “Тригонометрия”, предполагающие при их решении использование нескольких теорий. Безусловно, их решение базируется на том теоретическом материале, который изучается в школе. Однако, необходимость применять эти знания в новых условиях зачастую ставит учащихся в тупик. Поэтому применение внутрипредметных связей при решении подобных задач является весьма эффективным средством преодоления обозначенных проблем.

Рассмотрим примеры.

Пример 4. Решить уравнение

Трудность решения этой задачи заключается в том, что школьники достаточно хорошо знакомы с методом решения однородных (сводящихся к однородным) уравнений второй степени. Но не смотря на это далеко не все учащиеся способны применить этот же метод к решению поставленной задачи, поскольку это уравнение четвёртой, а не второй степени (в этом заключается новизна той ситуации, в которую учитель ставит их этой задачей). На самом же деле решение этой задачи проводится по той же схеме, что и для уравнений второй степени.

Прежде всего (поскольку уравнение неоднородное), выясним, не являются ли значения, при которых  решениями данного уравнения. Очевидно, что при  уравнение обращается в верное равенство: 1=1. Следовательно, эти значения - решения уравнения.

Пусть далее  Перепишем исходное уравнение в виде

а затем разделим обе части уравнения на  Получим:

или

Используя далее тождество приходим к уравнению

Откуда

или,

Из первого уравнения совокупности находим  Второе уравнение совокупности, очевидно, не имеет решений.

Пример 5. Решить уравнение

На первый взгляд это уравнение может показаться вполне безобидным. Однако, как будет видно из приведённого решения, это далеко не так (придётся вспомнить ранее изученный материал по теме “Функция  и её свойства”, а также методы решения уравнений в целых числах).

Из уравнения следует, что  (это непосредственно следует из самого уравнения и области определения функции , которую многие школьники просто забывают). Тогда уравнение можно переписать в виде

Произведя подстановку  приходим к уравнению

Полученное уравнение является стандартной задачей школьного курса математики и его решение не составит труда. Получим

На следующем этапе решения задачи многие учащиеся могут допустить следующую ошибку: забыв о введённом условии они просто приравнивают найденное значение к выражению, заменённому нами на  Здесь учителю следует обратить особое внимание учащихся на исследование полученных решений.

Так как  а  то из полученной серии решений следует выбрать только те решения, где  Тогда

или

Произведём оценку выражения, стоящего под знаком радикала. Этот метод также может быть незнаком учащимся.

Имеем:

Откуда

поэтому из последнего уравнения следует, что  может принимать только значения, равные 0 и 1.

Если  то

откуда

Если  то

или

Увлекшись решением, школьники могут совершенно забыть о введённом в самом начале решения условии  которое, очевидно, устраняет два посторонних решения. Поэтому в ответ следует записать только

и

Рассмотрим примеры задач, реализующие внутрипредметные связи между материалом курса алгебры и геометрии 9 класса и материалом курса алгебры и начал анализа 10 класса.

Пример 6. Решить систему уравнений

Преобразуем систему:

В полученной системе сделаем замену переменных по формулам

В новых обозначениях система примет вид:

Подобные системы учащиеся решают в курсе алгебры 9 класса. Безусловно, полученная система уравнений не является слишком сложной и, пожалуй, её уровень низок для рассмотрения на факультативном занятии. Однако мы приводим эту задачу чисто из методических соображений: рассматривать эту задачу на факультативе следует до изучения систем тригонометрических уравнений на обычных уроках. Делается это с той целью, чтобы сломать у учащихся стереотип в решении систем тригонометрических уравнений, поскольку многие школьники при решении таких задач стараются решать их исключительно средствами тригонометрии, не догадываясь о рациональности (а порой, необходимости) перехода к алгебраической задаче.

Приведём краткое решение этой системы. Вполне очевидно, что задачу можно решить с помощью арифметических действий. Вычитая из первого уравнения второе, придём к системе

которая, в свою очередь, распадается на две системы

и

Решением первой системы, в силу условия  является пара чисел  Вторая же система вовсе не имеет решений.

Возвращаясь к старым переменным, получаем систему простейших тригонометрических уравнений

Нетрудно установить, что последняя система имеет решения вида

Заметим при этом, что учителю необходимо обратить внимание учащихся на следующий факт: если при решении тригонометрических уравнений в записи ответов можно использовать одни и те же буквы для обозначения целых параметров, фигурирующих в решении, то в системах тригонометрических уравнений это не допустимо (за исключением систем, содержащих линейную зависимость между переменными): это приводит к потере решений.

Пример 7. Решить уравнение

Решение этой задачи предполагает повторение материала, связанного с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, при условии, что  приведём уравнение к виду

или

откуда

Из первого уравнения совокупности находим  - противоречие с условием

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку уравнение  равносильно уравнению , то в виду обозначенного условия равенство  не возможно, и рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

из которого следует, что

Пример 8. Решить уравнение

Применим к решению этого уравнения аппарат геометрии.

Пусть вектор  вектор  Очевидно, что

 Уравнение принимает вид:  Отсюда, в силу определения скалярного произведения, следует, что векторы коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны:  Данное уравнение равносильно однородному уравнению  которое в свою очередь равносильно уравнению  откуда  Рассмотрим для параметра  два случая:

.  Тогда

.  Тогда

Легко видеть, что для первой серии значений неизвестной  функции  и  положительны, а для второй серии - отрицательны, следовательно, уравнению могут удовлетворять только значения из первой найденной серии.

Рассмотренный пример призван не только освежить в памяти учащихся некоторые сведения из курса геометрии, но и продемонстрировать новый метод решения уравнений, который, во многих случаях, оказывается более удобным и рациональным при решении задач.

Пример 9. Найдите все значения параметра  при которых не имеет решений уравнение

Легко убедиться, что исходное уравнение можно переписать в виде:

откуда

Проведём исследование полученного уравнения.

Если  то имеем ложное равенство 0=6. Следовательно, данное значение параметра удовлетворяет условию задачи.

Пусть Тогда уравнение можно переписать в виде

Поскольку, в силу ограниченности функции ,  то уравнение не будет иметь решений в двух следующих случаях:

.

.

Рассмотрение двух последних случаев сводится к решению дробно-рациональных неравенств. Для учащихся 10-11 классов это является лишней (но нужной) возможностью повторить метод решения таких неравенств. Нетрудно убедиться, что первому случаю соответствуют значения  а второму -  

Объединяя все рассмотренные случаи, приходим к выводу, что требованию задачи удовлетворяют значения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим в заключении основные результаты, полученные в предлагаемой курсовой работе.

. Проведён анализ психолого-педагогической и методической литературы. При этом установлена решающая роль задачи как основного средства обучения математике, рассмотрены различные подходы к определению понятия “задача”.

. С опорой на научные исследования введено понятие внутрипредметных связей, рассмотрены основные виды внутрипредметных связей, проведён подробный разбор примеров, иллюстрирующих каждый из видов этих связей. Рассмотрена и отмечена методическая значимость применения внутрипредметных связей в школьном курсе математики.

. Подробно проанализирована методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах процесса обучения. При этом на каждом этапе обучения показана возможность применения внутрипредметных связей в различных классах при изучении многих разделов школьной математики. Разбор каждого из освещаемых вопросов сопровождается рассмотрением примеров, наглядно иллюстрирующих эффективность реализации внутрипредметных связей при обучении математике.

. На конкретных примерах показана целесообразность применения внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике. Отмечены основные моменты, вызывающие наибольшие затруднения в процессе решения таких задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аксёнов А.А. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики: Дис…канд. пед. наук. - Орёл, 2000. - 160 с.

. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. - М.: Мысль, 1970. - 202 с.

. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. - М., 1966. - С.236 - 277.

. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1976. - 314 с.

. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Автореф. дис. … д-ра пед. наук. - М., 1977. - 55 с.

. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.I. - М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.II. - М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

. Колягин Ю.М. Методические проблемы применения задач в обучении математике//Роль и место задач в обучении математике/Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: Изд-во НИИ школ, 1978. - С.5 - 12.

. Колягин Ю.М. Обучение математике в процессе решения задач и обучение решению задач в средней школе. // Вопросы обоснования содержания школьного математического образования. / Под ред. О.А. Боковнева. - М.: Изд-во НИИ школ, 1981. - С.4 - 11.

. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995. - 166 с.

. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. - М.: Педагогика, 1972. - 196 с.

. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. - мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

. Пономарёв Я.А. Психология творческого мышления. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. - 352 с.

. Психология. Словарь. / Под ред. А.В. Петровского, Г.М. Ярошевского. - М.: Политиздат, 1990. - С.396.

. Рубинштейн С.Л. О мышлении и о путях его исследования. - М.: Изд-во АПН СССР, 1958. - 146 с.

. Славская К.А. Детерминация процесса мышления. // Исследование мышления в советской психологии. - М.: Наука, 1966. - С.175 - 224.

. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. - 4-е изд. - М.: Сов. энциклопедия, 1989. - 1632 с.

. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977. - 208 с.