Макроскопические уравнения Максвелла

Контрольная работа

Макроскопические уравнения Максвелла

Содержание

1. Постановка задачи

. Сводка уравнений классической электродинамики

. Задача макроскопической электродинамики

. Основная идея макроскопического описания системы многих частиц. Эргодическая гипотеза. Теорема Лиувилля

. Средние значения физической величины

.1 Производные и их определение

.2 Выводы

. Цепочка ББГКИ уравнений для N-частичных функций распределения

Литература

1. Постановка задачи

Физическое содержание классической микроскопической электродинамики можно выразить следующим решением:

Однако практически решать эти решения можно только лишь тогда, когда источником поля являются небольшое число заряженных частиц (~10 - 100), находящихся в замкнутой области пространства.

Только тогда возможно заменить плотности зарядов и токи суммой зарядов с дельта функциями

 (1)

и вычислить вклады каждой из частиц в создаваемое ими поле. Макроскопические же тела содержат  частиц, и возможность применения к ним уравнений Максвелла становится физической проблемой.

Выделим три группы проблем, которые в той или иной степени будут затрачивать данный курс:

.Концептуальные проблемы, связанные с созданием новых концепций для описания новых явлений.

.Принципиальные проблемы, связанные с введением новых идей и принципов.

.Технологические проблемы, связанные с применением известных идей в новых областях техники и технологии.

Остановимся кратко на каждой из выделенных групп проблем.

Концептуальные проблемы. Физическая природа магнетизма. Можно ли её понять в рамках идей и представлений классической физики? Далее будет показано, что эффект магнетизма - существенно неклассический (квантовый эффект). Электромагнитное поле не может само по себе упорядочить электромагнитные заряды и токи. Действительно, кинетическая энергия частиц  в поле не связана с магнитной составляющей поля , так как поле  не совершает работы над частицами. Единственным возможным эффектом для классических заряженных частиц является Ларморова процессия частиц во внешнем поле. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, каким же образом совершается упорядочение элементарных токов или спинов частиц в газах, плазме и твёрдом теле.

Сверхпроводимость. При понижении температуры до , согласно классическим воззрениям, уменьшаются потери на тело энергии движущихся зарядов. Это явление до экспериментов Хамерлинг-Онесса и понимали как сверхпроводимость. Однако изложенные воззрения крайне примитивны с точки зрения физики сегодняшнего дня. Действительно, сверхпроводимость (ВТСП) уже обнаружена в окислах металлов типа  и верхняя оценка температуры явления на сегодняшний день есть . С точки зрения современной физики сверхпроводимость - это качественно новое состояние вещества. В материале возникает новая сверхпроводящая фаза, связанная с эффективным спариванием элементарных носителей электрических зарядов. Попыткам понимания физических явлений в этой фазе посвящена большая современная литература по высокотемпературной сверхпроводимости.

Принципиальные проблемы. К принципиальным проблемам, прежде всего, относятся проблемы построения электродинамики открытых систем в присутствии внешних полей. Описание взаимодействия термостата, в который помещена система, с внешним полем, крайне сложно. Выбор адекватного способа описания можно осуществить только сформулировав качественно новые физические принципы. Технологические проблемы. Эти проблемы сводятся к решению уравнений классической макроскопической электродинамики для различных распределений зарядов и токов. Для их решения достаточно корректного использования известных физических законов.

В нашем курсе будут далее фигурировать задачи всех трёх сформулированных выше типов.

Перейдём теперь собственно к построению уравнений макроскопической электродинамики. Речь пойдёт о принципиальной физической задаче - выводе уравнений Максвелла для среды. Обсудим возможные предположения, которые могут быть привлечены для этого, одновременно фиксируя наши представления об окружающем мире.

2. Сводка уравнений классической электродинамики

Уравнения классической электродинамики - это, разумеется, уравнения Максвелла. Утверждается, что на микроскопическом уровне известны точные законы взаимодействия электромагнитного поля и элементарных частиц. Эти уравнения известны как в классическом, так и в квантовом варианте. Квантовые уравнения формулируются в квантовой электродинамике (КЭД) для операторов поля. В экспериментах КЭД подтверждена с высокой степенью точности (её предсказания оправдываются с точностью до десяти значащих цифр после запятой).

Известные в микроскопической классической электродинамике уравнения Максвелла разумно выписать в определённой последовательности с источниками в правой части

(2)

При обсуждении классической модели электродинамики источники имеют вполне определенную структуру, а элементарные частицы являются классическими (см (1)). Источники ,  определены на классических траекториях частиц. Замыкает систему (1), (2) закон механического движения, в правой части которого стоит сила Лоренца

(3)

В классической электродинамике точечных заряженных частиц известно точное общее решение уравнений (1)-(3). Точное общее решение уравнений Максвелла, описывающее электромагнитное поле, созданное произвольной конфигурацией зарядов известно только в электродинамике, т.к. её уравнения подчиняются принципу суперпозиции.

Алгоритм построения точного решения состоит в следующем:

.Первая пара уравнений Максвелла, не содержащая источников, используется для введения потенциалов поля

,  (4)

.Используется внутренняя симметрия уравнений Максвелла, наличие которой позволяет наложить на потенциалы калибровочные условия.

Например, весьма удобна калибровка Лоренца

 (5)

.После наложения калибровки Лоренца уравнения электродинамики сводятся к уравнениям д'Аламбера

(6)

Уравнения (6) есть линейные дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), для которых известно точное решение, выписываемое в виде суммы слагаемых.

4.      Выпишем формальное общее решение (6) в виде суммы двух слагаемых

(7)

В (7) источники поля являются функциями запаздывающего времени

Появление времени  в решениях уравнений Максвелла есть проявление принципа причинности.

.Расчёт напряжённостей поля ,  по известным формулам для потенциалов.

Необходимо произвести самосогласование полей с источниками. Подставить найденные поля в уравнения движения и найти траектории заряженных частиц, которые они сами же и формируют, создавая электромагнитное поле. Всё это возможно сделать в рамках некоторой итерационной процедуры. Затем траектории подставляются в уравнения поля и уточняются поля как функции координат в пространстве и времени. Найденные поля подставляются в уравнения движения частиц и т.д.

Здесь изложен универсальный алгоритм решения любой задачи микроскопической электродинамики. Этот алгоритм имеет свою точность. Поэтому можно говорить лишь о задачах, решённых с некоторой точностью. Известны решения на компьютерах для коллектива  частиц (модели разреженной плазмы и разряженного гравитирующего газа).

Резюме.

.Вид общего решения, описанный в пункте 4 алгоритма, фиксирует интерпретацию электромагнитного поля. Прямо из вида решения следует вывод, что

.

.Эффект запаздывания приводит к тому, что, в так называемой, волновой зоне электромагнитное поле отрывается от создающих его источников и возникают электромагнитные волны. Вся теория излучения электромагнитных волн содержится в выражениях для запаздывающих потенциалов.

.Вид общего решения (7) позволяет сформулировать утверждение, имеющее принципиальное значение уже для макроскопической электродинамики.

Электромагнитное поле описывается бивекторной функцией  в каждой пространственно-временной точке  и является бивекторным функционалом механического состояния системы заряженных частиц, создающих это поле (источников поля).

Запишем явно в общем виде это решение

(8)

В качестве параметров решения в (8) обязательно фигурируют координаты  и скорости  частиц. Понятие функции и функционала качественно отличаются друг от друга. С помощью функции осуществляется локальное описание. Кода говорят, что электромагнитное поле является бивекторной функцией пространственно-временной точки, то имеют ввиду именно локальное описание. С помощью функционала, зависящего от траектории частиц, осуществляется нелокальное описание.

Пример неизбежности нелокального описания в электродинамике даёт система частиц, излучающая электромагнитные волны. Число волн и их свойства определяются всей историей процесса излучения. Это нелокальное описание осуществляется в итоге с помощью интеграла, зависимость которого от механического состояния системы нелокальна и содержит информацию о всей истории процесса. При макроскопическом описании ситуация меняется. В противном случае, вообще не удаётся построить какой-либо математический формализм макроскопической электродинамики.

микроскопический электродинамика магнетизм уравнение

3. Задача макроскопической электродинамики

Любое макроскопическое тело состоит из заряженных частиц - ядер, атомов, электронов. Эти заряженные частицы именно электромагнитным взаимодействием связываются в макротела. Макроскопическое тело лабораторных масштабов содержит  частиц. Можно ли столь сложную систему, хотя бы формально, описать уравнениями микроэлектродинамики с  слагаемыми в содержащей источники правой части?

Отметим трудности такого подхода.

)Технические вычислительные трудности.

Для реализации всего алгоритма необходимо задать начальное состояние  частиц и все эти координаты измерить. Как провести измерение, не разрушая сам объект исследования? Хватит ли для записи этой информации о нём памяти компьютера или бумаги? Создавая всё более точные приборы, можно постепенно приближаться к желаемому идеалу, но насколько будет точным это приближение и достаточно ли его?

)Оценка ситуации радикально меняется, если учесть, как конкретно реализуется вся вычислительная процедура. Легко подсчитать, что на первом итерационном шаге самосогласованной процедуры вычисления полей только в тех точках, где находятся частицы, потребует  ячеек компьютера. Итого удаётся описать ту часть пространства-времени, где находятся частицы. На самом деле, поля вычисляются и в промежутках между ними. А затем надо учесть движение частиц и опять пересчитать поля. Число операций при этом растёт как  ( - число частиц)

Электродинамическое нелокальное поле изменяется с учётом изменения запаздывающего времени . Тогда число ячеек изменяется (растёт) как . При  в самом начале процедуры расчёта N превысит число частиц в нашей Вселенной . То есть в нашей Вселенной эту процедуру реализовать невозможно. Необходима принципиально иная постановка задачи, чем это имело место в классической электродинамике. Заметим, что необходимость этого нового подхода доказано чисто логическим путём. Действительно, в наше Вселенной невозможно описать состояние такого большого количества частиц! Теперь вступает в силу логика теоретической физики. Необходимо найти логический путь, приводящий к решению поставленной задачи. Введём формальные микрополя  (это не , так как введённые поля являются формальными и отражают наше понимание описания сплошной электродинамической среды).

Для формальных микрополей постулируются уравнения

Зависимость формальных микрополей от их переменных есть

 (10)

Выясним принципиальную возможность введения этих микрополей. Часть информации о них нам, в принципе, доступна. Необходимо выяснить физический характер принципиально теряемой информации. Для этого привлечём представления о макроскопическом теле. Источники поля в макротеле находятся в непрерывном движении. При среднем расстоянии между частицами  электромагнитное поле сильно (по величине) и резко (на временной шкале) меняется. При средних скоростях движения частиц макротела

есть характерное (быстрое) время изменения поля в среде.

Быстрые изменения пространственно-временных величин, недоступные для контроля непрерывными методами, называются флуктуациями. Таким образом, недоступна та часть информации о микрополях, которая соответствует флуктуациям. Неизбежность потери информации очевидна и из эмпирических соображений. Природа изучается с помощью макроприборов, которые необходимы для научного способа описания природы. Разрешающие способности макроприборов принципиально ограничены неравенствами.

 - характерное расстояние между частицами.

 - характерное время флуктуаций.

Современная наука весьма близко подошла к пределу разрешения по .

Самый лучший прибор (датчик ускорителя) имеет сегодня параметры разрешения

(11)

Эти рекордные числа, в действительности, весьма условны.

Попытка изучить всё макротело наталкивается на технические трудности, смыкающиеся с принципиальными. С такой рекордной точностью можно провести отдельные измерения в отдельных участках тела. Возникает однако проблема записи информации о результатах измерений. Действительно, как правило, неравенства (11) выполняются с хорошим запасом и

, (12)

Что же будет измерять прибор, разрешающие способности которого много хуже предельной (12) и характерное время измерения превышает характерное время флуктуации? Ясно, что прибор будет накапливать неточности из объёма  за время , а затем усреднять их.

Таким образом, прибор измерит средние значение микрополей, а часть информации о них в процессе измерения необратимо теряется.

Предметом дальнейшего исследования будут именно средние значения микрополей. Выпишем эти средние значения формальных микрополей, сопоставив процессу измерения математическую операцию усреднения по пространству и времени. Введём операцию усреднения по характерному объёму, занимаемому прибором и характерному времени измерения

(13)

есть напряжённость электрического поля.

(14)

по историческим, называется магнитной индукцией.

В эксперименте  и  выступают как функции физической точки  пространства-времени.

(15)

Физическим объектом наблюдения в пространстве и времени оказывается условный центр той пространственно-временной области, которая допускается разрешением прибора.

4. Основная идея макроскопического описания системы многих частиц. Эргодическая гипотеза. Теорема Лиувилля

Новая постановка задачи об измерении микрополей требует новых теоретических идей. Как обычно, начнём их формулировку с понятных и достаточно тривиальных утверждений. Между экспериментальной и теоретической физикой должно быть взаимно-однозначное соответствие.

Это означает, что набору операций в экспериментальной физике должен соответствовать адекватный набор математических операций в теоретической физике. Третий этап, когда эти операции будут найдены и реализованы, может для понимания оказаться самым тяжёлым. Речь идёт, прежде всего, об операции усреднения (13), (14). Для явного проведения операции интегрирования в этих формулах недостаточно хорошо известна информация о микрополях , . Что же это за информация о микрополях, которую надо ввести в аппарат теоретической физики для адекватного отражения экспериментальной ситуации?

Все основные проблемы возникают из-за большой размерности N пространства состояний. Рассмотрим 6N-мерное фазовое пространство, каждая точка которого соответствует одному из механических состояний источников поля

(16)

Для простоты будем временно рассматривать нерелятивистские механические величины (в релятивистской физике надо пользоваться фазовым пространством ). Итого получим в нерелятивистской модели фазовую траекторию. Рассмотрим проекцию фазовой траектории на 2-мерное подпространство. Эта система плотно упакована, состоит из большого числа -  фазовых точек и совершает переход из одного механического в другое. Согласно теореме КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера) теоретической механики, в рассматриваемой многочастичной системе отсутствует принцип механического детерминизма. Если  - параметр малости возмущения в механической системе, то фазовая траектория уходит от условно-периодического механического движения по торам со средней скоростью , то есть эта скорость убывает при уменьшении возмущения быстрее любой его степени. Поэтому асимптотически при  разрушается правильное механическое движение по инвариантным торам и возникает стохастический слой. Под влиянием бифуркаций, неустойчивостей процессов диссипации, в том числе излучения этот слой разрастается и охватывает всё фазовое пространство. Итого траектории в системе приобретают стохастический характер. Их вид становится сильно запутанным.

Рис

Такую картину движения можно, например получить, моделируя численно задачу на компьютере для  частиц. Запутанный характер траекторий движения зримо подтверждает компьютерный эксперимент. Данные исследования можно провести, работая с разумным числом уравнений. Что же получается, если время  и число частиц  очень велики? Ответ на этот вопрос даётся так называемой эргодической гипотезой (Л. Больцман, Фон-Нейман). При достаточно длительной эволюции системы, состоящей из большого числа частиц, её фазовая траектория всюду плотно заполняет всё фазовое пространство (в конкретном математическом пределе ). Грубо говоря, расстояние между двумя ближайшими точками фазового пространства, которые проходит в процессе своей эволюции система  неразличимых частиц  при .

Более строгое утверждение дано Л. Больцманом.

Пусть частица движется по энергетической гиперповерхности  некоторой механической системы. Пусть  - вероятность обнаружить частицу в области  фазового пространства. При этом  - время, проводимое частицей в области . Тогда среднее относительное время  пребывания частицы в области  даётся пределом

(17)

где  - число систем ансамбля с различными начальными условиями в области ,  - число частиц на гиперповерхности .

Формула (17), в 1931 году была строго доказана Фон-Нейманом, при условии, что система совершает финитные движения, не разложимые на более простые метрические компоненты. Последнее означает, что в фазовом пространстве нельзя указать непересекающиеся области  и  такие, что  есть вся область финитного движения, а траектория целиком сосредоточена либо в , либо в .

Численные эксперименты подтвердили, что при  существует такое время , при котором расстояние  есть расстояние меду соседними точками, не лежащими на одной траектории фазового пространства.

Плотное заполнение -мерного пространства означает, что его точки образуют множество размерности  и в это множество вложены менее мощные множества целиком заполненные фазовыми траекториями.

Следствие 1. Точки фазового пространства, охватываемые единой фазовой траекторией асимптотически при  образуют множество мощности континуума.

Следствие 2. На множестве мощности  мерного континуума можно задать множество, соответствующее размерности  переменных на котором и осуществляется механическое движение.

Введём объект исследования в аппарат теоретической физики. Если осуществить прямое введение микрополей , , они не являются объектом исследования в теории многих частиц, так как содержат ненаблюдаемую экспериментально информацию. Поэтому, ненаблюдаемую информацию надо принципиально устранить. Пусть при , ,  для некоторой формально выбранной системы из  частиц.

Введём модельную реальную систему  такую, что при , , .

Пусть вместе с тем существует и некоторая другая модельная система. Введём модельную систему  такую, что при , , .

В теории и в эксперименте системы  и  неразличимы, так как измерения и расчёты всё равно не воспроизводят эффекты на расстояниях . Никаким научным методом нельзя различить при  системы  и !

Объектом теоретического исследования в статистической теории многих частиц является так называемая предельная модельная система  многих частиц , , .

С точки зрения методики получения информации, перечисленные системы неразличимы. Полагая , мы и отбрасываем информацию о поведении фазовой траектории в бесконечно малых областях фазового пространства, считая что фазовая траектория всюду плотно заполняет всё фазовое пространство механической системы.

Итого, объектом исследования статистической механики многих частиц (для которой будет формулироваться электродинамика многих тел) является предельная модельная система, для которой эргодическая гипотеза выполняется при конечных временах .

В сущности, здесь к одному эвристическому, но в некоторой степени, доказанному утверждению добавляется другое - недоказанное - ведение системы . Считаем, что  отражает наиболее существенные черты реальной системы многих частиц.

Отметим здесь существование двух открытых тем для обсуждения.

)Предельная модельная система  может не содержать ряд свойств, присущих реальной системе.

)Существуют неизвестные нам законы, действующие в системах многих частиц и обеспечивающие дополнительную «размазку» системы в фазовом пространстве при конечных временах. В этом случае предельная модельная система  получает статус реальной  системы.

Отметим, что предложения 1), 2) альтернативны друг другу.

Заметим, что при построении аппарата теоретической физики часть информации необратимо теряется. Эта потеря информации может проявиться, в частности, в биологических системах, где сказывается разрыв между физикой и биологией. Подведём промежуточные итоги обсуждения проблемы статистического описания механических систем.

.Необходимо исключена часть механической информации. Произведён переход , что означает предположение о выполнении эргодической гипотезы при конечных временах.

.Для описания  будут использованы методы статистической физики. Почему это возможно? Так как отброшена часть механической информации, невозможно сказать, в каком же механическом состоянии находится система. Применение статистических методов логически неизбежно после перехода к предельной модельной системе , что и следует из формулировки Больцмана эргодической гипотезы.

Постулат. Полная информация о свойствах системы, состоящёй из  частиц, содержится в дифференциале  функции из  переменных, заданном на -мерном фазовом пространстве и имеющем смысл вероятности нахождения системы в элементе фазового пространства .

(18)

В этом постулате функция  называется функцией распределения для  частиц в фазовом пространстве. Под термином «полная информация» имеется ввиду вся информация о системе, которую можно извлечь и вычислить. Следствие.

)Условие нормировки. Из определения дифференциала  следует, что

(19)

или

(20)

Итого введена функция, зависящая от времени, как от параметра и утверждается, что эта функция есть интеграл движения в фазовом пространстве. Из существования интеграла движения следует закон его сохранения. Закон сохранения для непрерывных величин может быть записан в дифференциальной форме как уравнение непрерывности в фазовом пространстве.

) (20)

 (21)

С помощью обычной интегральной теоремы Гаусса в -мерном пространстве (21) переписывается как интегральный закон с током

 (21)

Дифференциальная же форма закона сохранения вероятности сводится к теореме Лиувилля для -мерного распределения .

(22)

где , .

Проведём элементарное исследование уравнения Лиувилля (22). Выполним сначала, содержащееся в нём почленное дифференцирование.

 (23)

Здесь учтена независимость , , .

В теории конденсированных сред и плазме взаимодействия, начиная с атомного уровня, является чисто электромагнитным, то есть

(24)

Здесь исключено самодействие частиц и учтено, что в правой части уравнения (23) фигурируют напряженности полей, созданные всеми другими частицами, кроме самой «а»-й. Вычислим явно

Поэтому окончательная форма (23) есть:

(25)

В окончательной формуле (25) взаимодействия между частицами только электромагнитные, причём суммирование подразумевается как по повторяющимся индексам частиц («а»), так и по повторяющимся метрическим индексам. Краткая запись оператора (25) есть

(26)

5. Средние значения физической величины

Начнём привязку полученных уравнений для функции распределения к эксперименту. Пусть  - некоторая величина, которую возможно, в принципе, измерить (плотность заряда, вещества и т.д.). Прибор измеряет её значения в фиксированной физической точке пространства-времени с координатами . За время измерения  система должна была побывать в разных точках  физического пространства. Время, характеризующее разрешающую способность прибора  заведомо больше характерного времени мелкомасштабных флуктуаций. На самом деле, прибор измеряет среднее значение физической величины и по физическому пространству . Для предельной модельной системы   - некоторому промежутку реального прошедшего мирового физического времени. Можно вычислить пространственные средние значения с учётом формулы (19), используя плотность вероятности и стандартную формулу для математического ожидания. Равенство  позволяет исключить время из среднего и оперировать только категориями эргодичности и свойствами эргодической системы

(27)

где  - полная вероятность нахождения системы в участке пространства с номером «j».

Распишем (27) полностью с учётом определения физической величины  как в реальном физическом, так и в фазовом пространстве.

Таким образом, при замене реальной системы  предельной модельной  появилась возможность измерения и расчёта средних значений физических величин, зависящих от времени. То есть появился математический эквивалент реальной операции, выполняемой экспериментатором.

(28)

В (28) фигурирует некоторое время «t». В то же время, измерения образуют всегда дискретное множество точек в мировом времени.

Окончательной ясности в проблеме дискретного экспериментального и непрерывного мирового времени до сих пор нет. «A priori» считается, что множество физических точек наблюдения совпадает с совокупностью их мировых времён.

Если предположить, что принцип механического детерминизма не выполняется исходно, то это предположение естественно, так как за характерные экспериментальные времена система не выходит за рамки предельной модельной .

В то же время система , в принципе, стохастическая. Стохастическая система обязана быть необратимой, а необратимости соответствовать параметр  (в данном случае время). Если из подобной теории следует второй закон термодинамики (возрастание энтропии), то эта необратимость получает своё физическое отражение.

5.1 Производные и их определение

Производные ,  определены в некоторых точках пространственно-временного континуума.

 изменение величины в некоторой точке  в фиксированный момент мирового времени

 скорость изменения  в фиксированной точке пространства с координатами

Точки пространственно-временного континуума имеют размерность координаты  в любой момент времени . Некоторая тонкость возникает при определении производных функции распределения , которая определена на -мерном фазовом пространстве, а поле  определено на пространстве-времени, тогда как

Как же меняется функция  в фиксированный момент времени и как это изменение связано с изменением величины  в пространственно-временном континууме?

Рассмотрим полное изменение физической величины  в фиксированной точке пространства.

Рассмотрим полное изменение функции , определённое в фазовом пространстве за промежуток времени .

Учтём, что , , так как система всё время находится на фазовой траектории в фазовом пространстве. Тогда

Итого, полное приращение функции распределения . С учётом последнего равенства вычислим среднее значение физической величины .

Преобразуем последний член .

Итого

 (29)

Таким образом, доказана теорема.

Теорема. Среднее значение производной физической величины по времени есть производная её среднего значения.

5.2 Выводы

Попытаемся суммировать сделанные гипотезы и совместить их с полученными результатами.

В результате измерения среднего значения физической величины  экспериментатор получает результат

(30)

При этом принципиально теряется информация о коротковолновых (мелкомасштабных) флуктуациях, которая недоступна физическому контролю.

Теперь следует дать адекватный математический образ приращения  и включить его в теорию. Для этого придётся обратиться к образу -мерного фазового пространства и сделать ряд гипотез.

)Эргодическая гипотеза. Фазовая траектория при длительной эволюции системы заполняет всюду плотно всё фазовое пространство. Для большинства физических систем эргодичность сменяется полным перемещением. При перемешивании фазовая капля (капля фазовой жидкости) достаточно быстро расплывается по всему фазовому пространству.

Поэтому его следует ожидать, прежде всего, у неустойчивых систем. Локально неустойчивые системы легко представить себе с помощью двух расходящихся траекторий в фазовом пространстве. Пусть  - расстояние в фазовом пространстве между двумя точками, причём  - расстояние в начальный момент времени.

Система материальных точек будет локально неустойчивой, если

(31)

где инкремент неустойчивости  является функцией точки фазового пространства. Переходу к системе с перемешиванием, кроме того, способствует имеющее место в большинстве нелинейных механических систем явление бифуркации. Бифуркация связана с появлением новых ветвей решения, происходящей вследствие потери устойчивости стандартного состояния, вызванной нелинейностями внешними ограничениями в открытой системе

Механическая иллюстрация этого явления связана с движением шарика по впадине, которая в некоторой конкретной точке  делится возвышенностью на два разветвления. По какому разветвлению пойдёт шарик зависит от небольшой неточности в задании начальных условий для него. Для рассматриваемой механической модели материальных точек взаимодействующих электромагнитным путём друг с другом, понятие бифуркации и флуктуации оказываются тесно связанными друг с другом. Свойство перемешивания способствует превращению механической системы в -системы Колмогорова. Фазовое пространство -системы образует континуум точек размерности , что позволяет вводить и рассматривать на нём, непрерывные функции.

)Существует предельная модельная система , обладающая статистическими свойствами при конечных временах эволюции . Эта система должна возникать за малое конечное время  - времени, соответствующего разрешающей способности прибора.

)Постулируется математический объект, содержащий информацию о системе . Она содержится в функции распределения

Эта функция зависит от набора переменных, для которых формулируется гипотеза о существовании предельной модельной системы . Вероятность нахождения системы в некоторой области фазового пространства явно зависит от времени . То есть изучаемая система, в общем случае, обязана быть нестационарной.

)Физическое время  эквивалентно мировому.

Чётко определить понятие времени весьма сложно. Во всех рассуждениях и расчётах фигурируют два времени.

Мировое время , которое вместе с пространственным континуумом точек образует множество с определённой геометрией. Мировой континуум точек обладает и определёнными физическими свойствами. Например, в ОТО эти свойства проявляются в совместном искривлении всех четырёх измерений. В то же время прибор измеряет любую физическую величину  во времени, которое не является мировым. Это - условный центр того временного промежутка, по которому происходит измерение - дискретный и счётный.

 (32)

Множество траекторий в механике - множество размерности . Оно зафиксировано в эргодической гипотезе и понятии -системы. С точки зрения экспериментатора - время есть дискретный набор точек измерения. С точки зрения теории - непрерывный континуум. Чтобы выбраться из этого логического противоречия и приходится принять гипотезу

Эта проблема признана ведущими физиками современности и, возможно, будет дискутироваться ещё и в XXI веке.

Все 4 введённых постулата в совокупности позволяют дать математическое определение средних величин

и доказать важное соотношение

В итоге сделан первый шаг, позволяющий сопоставить объекту исследования физический эксперимент. Но пока не удалось добиться прогресса в решении задачи об уравнениях электродинамики, а удалось просто переформулировать её.

Действительно, в средние величины вошла функция  из -мерного фазового пространства. Решить это уравнение невозможно по тем же причинам, по которым невозможно решить исходную теоретическую задачу. Эта ситуация переформулировки уравнений плохо поддаётся контролю так называемым «здравым смыслом», который проявится далее после введения соответствующих гипотез. Заметим, что помимо формальной статистической модели, которая не решается (как и механическая модель) существуют регулярные приближения к точной модели. Ради этих регулярных приближений к формальным точным представлениям исходной модели и строится весь математический аппарат статистической теории.

Для механической системы, состоящей из большого числа частиц  невозможно даже сформулировать регулярные приближения. А для статистической теории это возможно. Итак, следующий шаг в формулировке теории - построение решаемой математической модели.

6. Цепочка ББГКИ уравнений для N-частичных функций распределения

Будем исходить из уравнений Лиувилля для статистической функции распределения .

(33)

Если бы это уравнение было сформулировано для механической функции , то оно было бы формально обратимо при замене . Однако, функция  уже статистическая, принадлежащая предельной модельной системе . Таким образом исходное уравнение необходимо считать необратимым (следствие того, что оно сформулировано для -системы).

Это уравнение для  переменных точно решить нельзя. Но оказывается, что уравнение, зависящее от большого числа переменных можно заменить большим числом уравнений, зависящих от малого числа переменных. И после такой замены возможно рассмотрение и решение уравнений зависящих от меньшего числа переменных.

Для простоты рассмотрим гомогенную систему, состоящую из частиц одного сорта.

Введём -частичную функцию распределения. Будем обозначать её как , где смысл индекса  выяснится ниже.

Определение. Одночастичной функцией распределения для частицы с номером 1 будем называть функцию

(34)

Совершенно аналогично вводятся одночастичные функции для любой -й частицы

Все эти функции можно формально ввести, если среди постулатов теории есть постулат о функции распределения . Следующее утверждение в классической (неквантовой теории), строго говоря, является постулатом. В квантовой теории поля есть следствие математического аппарата теории.

)Принцип тождественности микрочастиц. В системах многих частиц различные частицы неотличимы друг от друга, если принадлежат к частицам одного сорта.

Функции распределения тождественных микрочастиц.

Смысл утверждения 5) заключается в том, что невозможно на каждой частице поставить метку и утверждать, что в прибор при измерении попала именно та, а не другая частица.

Посмотрим, как это отразится на математических следствиях теории. В теории фигурируют номера частиц. Эти метки (номера) условны. Реально в процессе измерения экспериментатор их поставить не может. Итого, функция  зависит от своих переменных точно также, как  от своих. Это справедливо для гомогенных систем, состоящих из частиц одного сорта. При гетерогенности системы пришлось бы (см. ниже) вводить функции

где  - частицы 1-го сорта (допустим электроны),  - частицы 2-го сорта (допустим ионы).

Для получения одночастичной функции распределения электронов пришлось бы проинтегрировать  по фазовому пространству всех ионов и всех электронов кроме одного. Аналогично строятся одночастичные функции распределения для ионов.

Двухчастичные функции распределения. Уравнения БИ₁, БИ₂.

Введём двухчастичную функцию распределения.

(35)

Выборку 2-х частиц из  можно сделать большим числом способов . Получатся функции вида , зависящие от своих переменных. Повторяя эту процедуру многократно, можно ввести -частичную функцию распределения

(36)

После их формального введения приступим к выполнению математической части программы. Оформим саму идею замены функции, зависящей от большого числа переменных на функцию, зависящую от меньшего числа переменных при одновременном увеличении числа уравнений. Запишем систему уравнений для  и посмотрим, можно ли их редуцировать к меньшему количеству. Получим всю систему из одного уравнения Лиувилля. Учтём, что электромагнитные взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции и, кроме того, в классической теории отсутствует самодействие (частица не взаимодействует со своим собственным электромагнитным полем)

(37)

Итого получим цепочку уравнений Боголюбова. Для её построения проинтегрируем уравнение Лиувилля (33) по всем координатам, кроме координат и скоростей одной частицы.

(38)

Учтём, что в гомогенной системе . Выделим во втором члене левой части явно индекс «1» и введём суммирование по «а» явно.

 (39)

Учтём, что функция распределения островной системы частиц обращается в нуль на границах движения вследствие . Рассмотрим отдельно интеграл

(40)

Внесём меру интегрирования  под знак дифференциала . Это возможно вследствие принципа тождественности микрочастиц, так как интегрирование идёт по координатам всех частиц, начиная со второй. Поэтому достаточно оставить только индекс «2» и умножим на число интегралов в сумме (40). Таких совпадающих друг с другом интегралов будет . Итого получаем уравнение БИ₁ системы Боголюбова

(41)

Из уравнения Лиувилля для одночастичной функции распределения получим уравнение, которое содержит семь независимых переменных . Получим уравнение для двухчастичной функции распределения с помощью интегрирования уравнения Лиувилля по

Совершая преобразования, аналогичные выводу уравнения для одночастичной функции распределения получим

 (42)

Итого получим зацепляющуюся цепочку уравнений для функций распределения . Эта цепочка получила название цепочки Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона (ББГКИ).

Чтобы совершить регулярные приближения, надо эту цепочку каким-то образом оборвать, допустим, на функции . Например . Если удастся угадать вид , то можно получить достаточно простое кинематическое уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения. Достаточно нетривиальным является тот факт, что обрывая цепочку ББГКИ по весьма сложным параметрам с использованием сложных гипотез сейчас научились получать всю термодинамику и все законы сохранения. Отметим, что дальнейшее развитие теории сводится к замене бесконечной цепочки конечной системой уравнений, которая в статистической физике является приближённой. Но при этом можно сопоставлять её решения различным реальным системам. Однако, всегда приходится обсуждать вопрос об адекватности построенной приближённой системы реальной физической системе. Рассмотрим один из вариантов замыкания цепочки ББГКИ. Вместо последовательности функции распределения  удобно ввести и использовать последовательность корреляционных функций . Например, функция  может быть представлена в виде

(43)

Такое представление функции распределения возможно только для нестационарного распределения плотностей вероятности. Корреляционная функция  характеризует нестационарную статистическую связь частиц 1,2. При этом величины, имеющие смысл вероятности остаются нормированными на «1», корреляционная же функция  нормированная на «0». А именно

; ; (44)

Учтём, что количество частиц  и введём определение средней силы, действующей на частицы в единице объёма.

(45)

Тогда последний член в формуле (41) с учётом нормировки (44) примет вид

(46)

Подставляя (8.46) в уравнение (8.41) получим

(47)

В (47) все вклады в движение микрочастиц, определяемые одночастичной функцией распределения  отнесены в левую часть уравнения. Правая часть полностью определяется корреляционной функцией  и не обращается в нуль лишь при сближении частиц на расстояние , при котором становится существенным взаимодействие между ними. Если силовое взаимодействие между частицами достаточно слабо, это происходит, фактически, только при столкновениях. Поэтому  иначе называют столкновительным или, по определению Больцмана, st (stoss) членом. Существуют разные формы столкновительного члена, которые подробно изучаются в кинетической теории.

Отметим здесь самую простую форму st-члена, которая называется -приближением.

Предположим, что изучаемая система однородна и имеет малые градиенты скоростей. Тогда её эволюция будет целиком определяться столкновениями между частицами. Заметим, что st-член имеет физическую размерность

,

где  - характерное время столкновений между частицами системы,  - частота столкновений. Применяя кинетическое описание к слабонеоднородной и неравновесной системе, возможно изучать её поведение при приближении к состоянию термодинамического равновесия, описываемому равновесной функцией распределения . При отсутствии внешнего поля, ответственного за глобальную неоднородность системы, эта функция будет функцией Максвелла , которая явно не зависит от времени . Кинетическое уравнение, описывающее процесс релаксации системы к состоянию равновесия примет вид, вытекающий, с учётом сказанного, непосредственно из (47)

 (48)

Интегрируя (48), получим решение

(49)

этот вид решения для  и оправдывает знак «-» в формуле (48). Действительно, из (49) видно, что решение экспоненциально быстро затухает при приближении  к равновесной функции распределения . Как известно из термодинамики, равновесной функцией распределения в системах многих частиц (в присутствии внешнего поля) является функция Больцмана-Максвелла

(50)

где  - нормировочный коэффициент,  - температура системы в состоянии равновесия. После установления в системе распределения (50) релаксация прекращается, и физические процессы описываются равновесной термодинамикой. Таким образом, вид кинетического уравнения со столкновительным членом в -приближении (которое будет необходимо дальше для анализа физических процессов в металлах и плазме) есть

(51)

Особо отметим, что изложенный здесь подход к кинетической теории на основе ББГКИ уравнений не является единственным.

Литература

Ампер А.М. Электродинамика / Ред., ст. и прим. Я.Г.Дорфмана. - М.: Изд. АН СССР, 1954. - 492 с.: ил.; 1 л. портр. - Библиогр.: с.485-488. - (АН СССР. Классики науки).

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика: Учеб. пособие для подгот. специалистов по физ. и техн. спец.

Ч.1: Микроскопическая теория / В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. - М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. - 735 с.: ил. - Библиогр.: с.719-730. - Предм. указ.: с.731-735.

Ч.2: Теория электромагнитных явлений в веществе / И.Н.Топтыгин. - М.: Ин-т компьютер. исслед.; Ижевск: R&C Dinamics, 2005. - 847 с.: ил. - Библиогр.: с.826-839. - Предм. указ.: с.840-842.

Блох Ф. Молекулярная теория магнетизма / Феликс Блох; Пер. с нем. Б.И.Давыдова; Предисл. ред.: А.Я.Лисютин. - Л.; М.: ОНТИ. Гл. ред. общетехн. лит., 1936. - 127 с.: черт.

Felix Bloch. Molekulartheorie des magnetismus. Akademische verlagsgesellschaft. Leipzig, 1934.

Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика: Учеб. пособие для студ. физ. спец. втузов / Под ред. И.Н.Топтыгина. - М.: Наука, 1985. - 399 с.: ил. - Библиогр.: с.393-395.

Бредов Михаил Михайлович, Румянцев Вадим Васильевич, Топтыгин Игорь Николаевич.

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М.: Сов. радио, 1957. - 581 с.: ил. - Библиогр.: с.575-577.

Вайнштейн Лев Альбертович (1920-1989) - физик, радиофизик.

Вонсовский С.В. Современное учение о магнетизме. - М.; Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1952. - 440 с.: черт. - Библиогр.: с.423-440 (569 назв.). - (Соврем. проблемы физики).

То же: М.: Гостехиздат, 1953.

Вонсовский Сергей Васильевич (род. 1910) - физик, академик (с 1966 г.).

Гальвани Л. Избранные работы о животном электричестве / Пер., биогр. очерк и прим. Е.Э.Гольденберга; Вступ. ст. А.В.Лебединского; Худ. П.Кузанян. - М.; Л.: Биомедгиз, 1937. - 430 с.: ил.; 2 вкл. л. портр. - Библиогр.: с.63. - (Всес. ин-т эксперимент. медицины. Классики биологии и медицины).

Содерж.: Гальвани Л. Трактат о силах электричества при мышечном движении. Вольта А. Письма и статьи о животном электричестве..Galvani 1791, A.Volta 1792-1795. Луиджи Гальвани (1737-1798). Алессандро Вольта (1745-1827).

Гаусс К.Ф. Избранные труды по земному магнетизму / Пер. акад. А.Н.Крылова; Ред. проф. Б.М.Яновского; Статьи Т.Н.Розе; Коммент. Б.М.Яновского и Т.Н.Розе. - М.: Изд. АН СССР, 1952. - 342 с.: ил., карт.; 1 л. портр. - Библиогр.: с.334-336 и в подстроч. прим. - (АН СССР. Классики науки).

Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) - математик.

Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи / Изд. подгот. А.Т.Григорьян, Л.С.Полак; Общ. ред. И.И.Артоболевского; Пер. с нем. В.Ф.Котова и А.В.Сулимо-Самуйло. - М.: Изд. АН СССР, 1959. - 386 с.; 1 л. портр. - Библиогр.: с.374-382. - (АН СССР. Ин-т истории естествознания и техники. Классики науки).

В прил.: Г.Гельмгольц. Г.Герц. - А.Пуанкаре. Идеи Герца в механике. - А.Т.Григорьян и Л.С.Полак. Основные идеи механики Генриха Герца.

Герц Генрих Рудольф (1857-1894) - физик.

Гильберт В. О магните, магнитных телах и о большом магните - Земле. Новая физиология, доказанная множеством аргументов и опытов / Предисл. Э.Райта; Пер. с лат. А.И.Доватура; Ред., ст. (с.315-363) и коммент. А.Г.Калашникова. - М.: Изд. АН СССР, 1956. - 411 с.: ил.; 1 л. портр. - Библиогр.: с.360-364. - (АН СССР. Классики науки).

Гильберт Вильям.

Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. - М., Л.: Изд. АН СССР, 1948. - 728 с.: черт.; 1 л. табл.

Гринберг Георгий Абрамович (1900-1991) - чл.-кор. АН СССР.

Джексон Дж. Классическая электродинамика / Джон Джексон; Пер. с англ. Г.В.Воскресенского и Л.С.Соловьева; Под ред. Э.Л.Бурштейна. - М.: Мир, 1965. - 702 с.: черт. - Библиогр.: с.682-687 (134 назв.).

Classical Electrodynamics / By John David Jackson.

Избранные труды по электричеству / В.В.Петров, Т.Гроттгус, Ф.Ф.Рейс и др.; Под ред., с предисл. и примеч. Л.Д.Белькинда. - М.: Гостехиздат, 1956. - 299 с.: ил. - (Библиотека русской науки. Математика. Механика. Физика. Астрономия).

В прилож.: А.А.Елисеев. Жизнь и творчество В.В.Петрова. - Я.А.Шнейберг. Труды в области электричества В.В.Петрова, его учеников и современников в России.

Петров Василий Владимирович (1761-1834).

Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма: [Учеб. пособие для вузов]. - М.: Высш. школа. - Предм. указ.: с.276-279. 2-е изд., стер.: М.: Высш. школа, 2011. - 287, [1] с.: ил.