Кроме классического метода наименьших квадратов для
определения неизвестных параметров линейной модели множественной регрессии
используется метод оценки данных параметров в стандартных масштабах.
Построение модели множественной регрессии в
стандартизированном масштабе означает, что все переменные стандартизируются с
помощью специальных формул.
Посредством процесса стандартизации точкой отсчёта для каждой
нормированной переменной устанавливается её среднее значение по выборочной
совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной
переменной принимается её среднеквадратическое отклонение 
.
Если между исследуемыми переменными в исходном масштабе является
линейной, то процесс стандартизации не нарушает этой связи, поэтому
стандартизированные переменные будут связаны между собой линейно:
Неизвестные коэффициенты данной функции можно определить с помощью
классического метода наименьших квадратов для линейной модели множественной
регрессии. В этом случае минимизируется функционал 
вида:
В результате минимизации данного функционала получим систему
нормальных уравнений, переменными в которой будут являться парные коэффициенты
корреляции между факторными и результативной переменной. Такой подход
основывается на следующем равенстве:
Для стандартизированной модели множественной регрессии система
нормальных уравнений имеет вид:
В связи с тем, что полученная система нормальных уравнений
является квадратной (количество уравнений равняется количеству неизвестных
переменных), то оценки коэффициентов
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо
показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.
Показателя временного ряда называются уровнями ряда динамики. Каждый уровень
ряда динамики формируется под воздействием целого комплекса факторов.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда
можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной
компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма компонент,
называется аддитивной. Модель, в которой временной ряд представлен как
произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной.
Реальные данные временного ряда могут складываться при
одновременном влиянии трёх компонент. Итак, факторы уровней временного ряда по
характеру воздействия можно условно разбить на три группы:
Изучение взаимосвязи экономических переменных по данным временных
рядов осложнено тем, что в этих рядах может быть тенденция. Если в ряду
динамики переменной 
и в ряду динамики 
есть компонента "
", то в результате мы получим тесную
связь между и . Однако из этого факта ещё нельзя делать вывод о том, что
изменение есть причина изменения , то есть что между этими изменениями есть
причинно-следственная связь.
Чтобы выявить причинно-следственную зависимость между переменными,
необходимо устранить ложную корреляцию между ними, вызванную наличием
тенденции.
Наличие ложной корреляции связано с тенденцией каждого из рядов
динамики, с автокорреляцией их уровней. Если ряды динамики характеризуются
наличием тренда, то при построении модели регрессии надо исключить тренд. В
противном случае корреляция уровней рядов динамики будет преувеличена
(коэффициент корреляции будет близок 
при одинаковой тенденции в рядах и 
при противоположной тенденции). Предположим, что строится
регрессия личных сбережений граждан от доходов населения по данным за ряд лет.
Коэффициент детерминации при этом составил 0,95. Может показаться, что получен
хороший результат и уравнение регрессии пригодно для прогноза. Однако,
анализируя остатки 
, мы обнаружим наличие в них
автокорреляции. Следовательно, наше уравнение регрессии содержит
систематическую погрешность, так как не учитывает влияние тенденции. Высокое
значение коэффициента детерминации указывает лишь на то, что обоим рядам
свойственна тенденция к повышению уровней.
Существует несколько способов исключения тенденции в рядах
динамики. Первый способ называется метод отклонений от тренда. Пусть имеется 
и 
. Проводится аналитическое выравнивание каждого ряда: Ошибка! Ошибка внедренного объекта. и 
, где 
и 
это оценки трендовых компонент.
Способ второй преодоления тенденции в рядах динамики - это метод
последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную
линейную тенденцию, то для её устранения можно заменить исходные уровни
разностями первого порядка, то есть цепными абсолютными приростами 
и 
. Далее прирост рассматривается как функция прироста :
Если тренды признаков являются экспонентами (или показательными
функциями), то вместо корреляции абсолютных отклонений от трендов можно
применить метод корреляции цепных темпов роста уровней, поскольку именно темпы
роста - основной параметр экспоненциальных и показательных трендов.
Изучая параллельные временные ряды, можно столкнуться с таким
явлением, как временной лаг, то есть запаздывание уровней одного ряда
относительно другого. Например, спрос на товары длительного пользования может
зависеть от доходов предыдущих лет. Поэтому при изучении связи по рядам динамики
сначала рассчитывается взаимная корреляционная функция, представляющая собой
множество коэффициентов корреляции между уровнями рядов 
и 
, сдвинутыми относительно друг друга на 
моментов времени. Величина лага
определяется по наибольшему коэффициенту корреляции. Если временной лаг
существует, то он должен быть учтён в модели регрессии.
Определённые трудности при построении модели регрессии по
временным рядам возникают в связи с проблемой мультиколлинеарности факторов,
когда за счёт тенденции объясняющие переменные оказываются тесно связанными
между собой. Выходом из создавшегося положения может явиться построение модели
регрессии по отклонениям от тренда.
Однако можно строить регрессию и по уровням рядов динамики, если
удаётся при этом устранить автокорреляцию в остатках, применяя, например,
обобщённый метод наименьших квадратов.
|
Субъекты
федерации
|
Среднедушевые
доходы на душу населения, тыс. руб.
|
Оборот
розничной торговли на душу населения, тыс. руб.
|
|
1. Республика
Башкортостан
|
61,7
|
32,7
|
|
2. Республика
Марий Эл
|
30,7
|
15,0
|
|
3. Республика
Мордовия
|
39,1
|
17,5
|
|
4. Республика Татарстан
|
64,2
|
32,3
|
|
5. Удмуртская
республика
|
43,9
|
20,4
|
|
6. Чувашская
республика
|
38,0
|
18,2
|
|
7. Кировская
область
|
45,0
|
20,6
|
|
8.
Нижегородская область
|
56,7
|
35,4
|
|
9. Оренбургская
область
|
46,5
|
19,0
|
|
10. Пензенская
область
|
41,0
|
22,6
|
|
11. Пермский
край
|
75,3
|
36,4
|
|
12. Самарская
область
|
85,9
|
56,8
|
|
13. Саратовская
область
|
47,6
|
25,4
|
|
14. Ульяновская
область
|
43,5
|
25,2
|
1. Среднедушевые доходы на душу населения являются независимыми,
следовательно, среднедушевые доходы на душу населения - .
Оборот розничной торговли на душу населения является зависимым
фактором (в данной задаче от среднедушевых доходов на душу населения),
следовательно, оборот розничной торговли на душу населения - .
Изобразим на координатной плоскости поле корреляции:
. Уравнение степенной модели имеет вид:
.
Необходимо провести линеаризацию переменных с помощью
логарифмирования обеих частей этого уравнения:
,
где 
.
Построим расчётную вспомогательную таблицу:
|
№
|
           
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
61,7
|
32,7
|
4,122
|
3,487
|
14,376
|
16,993
|
12,162
|
33,050
|
106,827
|
0,350
|
0,122
|
32,898
|
37,032
|
0,011
|
|
2
|
30,7
|
15
|
3,424
|
2,708
|
9,273
|
11,726
|
7,334
|
14,173
|
427,013
|
0,827
|
0,684
|
143,144
|
163,619
|
0,055
|
|
3
|
39,1
|
17,5
|
3,666
|
2,862
|
10,493
|
13,440
|
8, 192
|
19,005
|
150,413
|
1,505
|
2,265
|
89,573
|
63,350
|
0,086
|
|
4
|
64,2
|
32,3
|
4,162
|
3,475
|
14,463
|
17,322
|
12,076
|
34,681
|
164,756
|
2,381
|
5,669
|
28,470
|
59,547
|
0,074
|
|
5
|
43,9
|
20,4
|
3,782
|
3,016
|
11,404
|
14,303
|
9,093
|
21,871
|
55,716
|
1,471
|
2,163
|
43,090
|
25,943
|
0,072
|
|
6
|
38
|
18,2
|
3,638
|
2,901
|
10,554
|
13,232
|
8,418
|
18,358
|
178,604
|
0,158
|
0,025
|
76,813
|
74,061
|
0,009
|
|
7
|
45
|
20,6
|
3,807
|
3,025
|
11,516
|
14,491
|
9,152
|
22,537
|
40,504
|
1,937
|
3,753
|
40,504
|
19,598
|
0,094
|
|
8
|
56,7
|
35,4
|
4,038
|
3,567
|
14,402
|
16,304
|
12,721
|
29,830
|
28,470
|
5,570
|
31,028
|
71,161
|
8,211
|
0,157
|
|
9
|
46,5
|
19
|
3,839
|
2,944
|
11,305
|
14,741
|
8,670
|
23,452
|
23,661
|
4,452
|
19,818
|
63,430
|
12,338
|
0,234
|
|
10
|
41
|
22,6
|
3,714
|
3,118
|
11,579
|
13,791
|
9,722
|
20,131
|
107,418
|
2,469
|
6,096
|
19,047
|
46,695
|
0,109
|
|
11
|
75,3
|
36,4
|
4,321
|
3,595
|
15,534
|
18,675
|
12,921
|
42,082
|
572,918
|
5,682
|
32,291
|
89,033
|
228,560
|
0,156
|
|
12
|
85,9
|
56,8
|
4,453
|
4,040
|
17,989
|
19,831
|
16,318
|
49,372
|
1192,716
|
7,428
|
55,175
|
890,170
|
502,107
|
0,131
|
|
13
|
47,6
|
25,4
|
3,863
|
3,235
|
12,495
|
14,921
|
10,464
|
24,126
|
14,170
|
1,274
|
1,622
|
2,447
|
8,054
|
0,050
|
|
14
|
43,5
|
25,2
|
3,773
|
3,227
|
12,174
|
14,234
|
10,413
|
21,629
|
61,847
|
3,571
|
12,749
|
3,113
|
28,461
|
0,142
|
|
Сумма
|
719,1
|
377,5
|
54,602
|
45, 200
|
177,558
|
214,004
|
147,655
|
374,298
|
3125,032
|
39,075
|
173,462
|
1592,892
|
1277,575
|
1,380
|
|
Среднее
|
51,364
|
26,964
|
3,900
|
3,229
|
12,683
|
15,286
|
10,547
|
26,736
|
223,217
|
2,791
|
12,390
|
113,778
|
91,255
|
Коэффициент "
" вычислим по нижеследующей формуле:
.
Коэффициент "
" вычислим по нижеследующей формуле:
.
.
Уравнение примет вид:
.
Потенцировав полученное уравнение, получим:
.
Тогда
, таким образом при увеличении доходов населения на 1% оборот
розничной торговли увеличивается на 1,213%.
. Тесноту связи для уравнения данной зависимости вычислим с
помощью индекса корреляции по нижеследующей формуле:
Ошибка!
Ошибка внедренного объекта.,
то есть 
, следовательно, зависимость оборота
розничной торговли от размера доходов сильная.
Коэффициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванный
факторным признаком, вычислим по нижеследующей формуле:
или
,
Таким образом 
или 89,1%, а это значит, что 89,1% оборота розничной торговли
зависит от доходов и 10,9% от других факторов.
. Среднюю ошибку аппроксимации вычисляется как среднее отклонение
расчётных значений от фактических по нижеследующей формуле:
,
следовательно, 
не превышает допустимых пределов 8% - 10%.
. Произведём сравнение фактического и критического значений -критерия Фишера. 
находим с помощью статистических таблиц
на уровне значимости 
вычислим по нижеследующей формуле:
.
Так как 
, следовательно, уравнение статистически
значимо и его можно использовать для описания зависимости между доходами и
оборотом розничной торговли.
. Прогнозное значение "
" вычисляется с помощью подстановки в уравнение регрессии
прогнозного значения "
".
В нашем случае:
.
Следовательно 
. Тогда
.
Стандартную ошибку прогноза вычислим по нижеследующей формуле:
, где 
.
Тогда
.
Доверительный интервал вычислим по нижеследующей формуле:
,
где 
.
Предельную ошибку прогноза вычислим по нижеследующей формуле:
,
где 
при 
и 
.
Тогда
, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что при
максимальных доходах населения оборот розничной торговли будет находиться в
интервале от 39,99 тыс. руб. до 58,754 тыс. руб.
. Вывод:
, следовательно, зависимость оборота розничной торговли от размера
доходов сильная.
Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии объяснённой
факторным признаком 
, а это значит, что оборот розничной
торговли зависит от среднедушевых доходов на 89,1% и 
приходится на другие факторы.
Величина средней ошибки аппроксимации 
показывает среднее отклонение расчётных
значений от фактических.
При проверке нулевой гипотезы 
о статистической значимости уравнения регрессии определили, что , таким образом уравнение статистически
значимо, следовательно, и оно может быть использовано для описания зависимости
между среднедушевыми доходами и оборотом розничной торговли.
Задание 2.
Моделирование тенденции курса валют
1. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции уровней
первого, второго, третьего и четвёртого порядков.
Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка:
|
      
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
|
|
|
|
|
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
40,7404
|
-2,3592
|
-1,8274
|
4,3112
|
5,5660
|
3,3393
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
40,4175
|
-2,3741
|
-2,1503
|
5,1050
|
5,6365
|
4,6236
|
|
31.05.2013
|
40,9650
|
40,4026
|
-1,8117
|
-2,1652
|
3,9227
|
3,2824
|
4,6879
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
40,9650
|
-0,6303
|
-1,6028
|
1,0103
|
0,3973
|
2,5688
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
42,1464
|
0,4676
|
-0,4214
|
-0, 1970
|
0,2186
|
0,1775
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
43,2443
|
0,5759
|
0,6765
|
0,3896
|
0,3316
|
0,4577
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
43,3526
|
0,0582
|
0,7848
|
0,0456
|
0,0034
|
0,6160
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
42,8349
|
0,3187
|
0,2671
|
0,0851
|
0,1015
|
0,0714
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
43,0954
|
-0,1533
|
0,5276
|
-0,0809
|
0,0235
|
0,2784
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
42,6234
|
-0,3330
|
0,0556
|
-0,0185
|
0,1109
|
0,0031
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
42,4437
|
0,2152
|
-0,1241
|
-0,0267
|
0,0463
|
0,0154
|
|
02.08.2013
|
43,7270
|
42,9919
|
0,9503
|
0,4241
|
0,4030
|
0,9030
|
0,1799
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
43,7270
|
1, 1950
|
1,1592
|
1,3852
|
1,4279
|
1,3438
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
43,9717
|
1,0742
|
1,4039
|
1,5081
|
1,1538
|
1,9710
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
43,8509
|
1,4998
|
1,2831
|
1,9244
|
2,2493
|
1,6464
|
|
30.08.2013
|
44,0840
|
44,2765
|
1,3073
|
1,7087
|
2,2338
|
1,7089
|
2,9198
|
|
Сумма
|
684,4278
|
681,0842
|
0,0000
|
0,0000
|
22,0009
|
23,1611
|
24,9001
|
|
Среднее
|
42,7767
|
42,5678
|
|
|
|
|
|
Величина коэффициента автокорреляции уровней ряда первого
порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда при лаге 1.
, где 
.
Рассчитываем коэффициент автокорреляции второго порядка.
Расчёт коэффициента автокорреляции второго порядка:
|
     
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
|
|
|
|
|
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
|
|
|
|
|
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
40,7404
|
-2,5314
|
-1,7134
|
4,3375
|
6,4081
|
2,9359
|
|
31.05.2013
|
40,9650
|
40,4175
|
-1,9690
|
-2,0363
|
4,0096
|
3,8770
|
4,1467
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
40,4026
|
-0,7876
|
-2,0512
|
1,6156
|
0,6203
|
4, 2076
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
40,9650
|
0,3103
|
-1,4888
|
-0,4620
|
0,0963
|
2,2167
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
42,1464
|
0,4186
|
-0,3074
|
-0,1287
|
0,1752
|
0,0945
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
43,2443
|
-0,0991
|
0,7905
|
-0,0783
|
0,0098
|
0,6248
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
43,3526
|
0,1614
|
0,8988
|
0,1450
|
0,0260
|
0,8078
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
42,8349
|
-0,3106
|
0,3811
|
-0,1184
|
0,0965
|
0,1452
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
43,0954
|
-0,4903
|
0,6416
|
-0,3146
|
0,2404
|
0,4116
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
42,6234
|
0,0579
|
0,1696
|
0,0098
|
0,0034
|
0,0287
|
|
02.08.2013
|
43,7270
|
42,4437
|
0,7930
|
-0,0101
|
-0,0080
|
0,6288
|
0,0001
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
42,9919
|
1,0377
|
0,5381
|
0,5583
|
1,0768
|
0,2895
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
43,7270
|
0,9169
|
1,2732
|
1,1673
|
0,8407
|
1,6209
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
43,9717
|
1,3425
|
1,5179
|
2,0377
|
1,8023
|
2,3039
|
|
30.08.2013
|
44,0840
|
43,8509
|
1,1500
|
1,3971
|
1,6066
|
1,3225
|
1,9518
|
|
Сумма
|
644,0103
|
636,8077
|
0,0000
|
0,0000
|
14,3775
|
17,2240
|
21,7857
|
|
Среднее
|
42,9340
|
42,4538
|
|
|
|
|
|
, где 
,
.
Расчёт коэффициента автокорреляции третьего порядка:
|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
|
|
|
|
|
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
|
|
|
|
|
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
|
|
|
|
|
|
|
31.05.2013
|
40,7404
|
-2,1498
|
-1,6137
|
3,4691
|
4,6218
|
2,6039
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
40,4175
|
-0,9684
|
-1,9366
|
1,8754
|
0,9379
|
3,7503
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
40,4026
|
0,1295
|
-1,9515
|
-0,2526
|
0,0168
|
3,8082
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
40,9650
|
0,2378
|
-1,3891
|
-0,3303
|
0,0565
|
1,9295
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
42,1464
|
-0,2799
|
-0, 2077
|
0,0581
|
0,0784
|
0,0431
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
43,2443
|
-0,0194
|
0,8902
|
-0,0173
|
0,0004
|
0,7925
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
43,3526
|
-0,4914
|
0,9985
|
-0,4907
|
0,2415
|
0,9971
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
42,8349
|
-0,6711
|
0,4808
|
-0,3227
|
0,4504
|
0,2312
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
43,0954
|
-0,1229
|
0,7413
|
-0,0911
|
0,0151
|
0,5496
|
|
02.08.2013
|
43,7270
|
42,6234
|
0,6122
|
0,2693
|
0,1649
|
0,3747
|
0,0725
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
42,4437
|
0,8569
|
0,0896
|
0,0768
|
0,7342
|
0,0080
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
42,9919
|
0,7361
|
0,6378
|
0,4695
|
0,5418
|
0,4068
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
43,7270
|
1,1617
|
1,3729
|
1,5949
|
1,3495
|
1,8850
|
|
30.08.2013
|
44,0840
|
43,9717
|
0,9692
|
1,6176
|
1,5678
|
0,9393
|
2,6168
|
|
Сумма
|
603,6077
|
592,9568
|
0,0000
|
0,0000
|
7,7717
|
10,3582
|
19,6945
|
|
Среднее
|
43,1148
|
42,3541
|
|
|
|
|
|
, где 
,
.
Расчёт коэффициента автокорреляции четвёртого порядка:
|
     
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
|
|
|
|
|
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
|
|
|
|
|
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
|
|
|
|
|
|
|
31.05.2013
|
40,9650
|
|
|
|
|
|
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
40,7404
|
-1,1338
|
-1,4892
|
1,6885
|
1,2855
|
2,2178
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
40,4175
|
-0,0359
|
-1,8121
|
0,0651
|
0,0013
|
3,2838
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
40,4026
|
0,0724
|
-1,8270
|
-0,1323
|
0,0052
|
3,3380
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
40,9650
|
-0,4453
|
-1,2646
|
0,5631
|
0, 1983
|
1,5993
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
42,1464
|
-0,1848
|
-0,0832
|
0,0154
|
0,0342
|
0,0069
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
43,2443
|
-0,6568
|
1,0147
|
-0,6664
|
0,4314
|
1,0296
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
43,3526
|
-0,8365
|
1,1230
|
-0,9394
|
0,6997
|
1,2611
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
42,8349
|
-0,2883
|
0,6053
|
-0,1745
|
0,0831
|
0,3664
|
|
02.08.2013
|
43,7270
|
43,0954
|
0,4468
|
0,8658
|
0,3868
|
0, 1996
|
0,7496
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
42,6234
|
0,6915
|
0,3938
|
0,2723
|
0,4782
|
0,1551
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
42,4437
|
0,5707
|
0,2141
|
0,1222
|
0,3257
|
0,0458
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
42,9919
|
0,9963
|
0,7623
|
0,7595
|
0,9926
|
0,5811
|
|
30.08.2013
|
44,0840
|
43,7270
|
0,8038
|
1,4974
|
1, 2036
|
0,6461
|
2,2421
|
|
Сумма
|
562,6427
|
548,9851
|
0,0000
|
0,0000
|
3,1638
|
5,3809
|
16,8765
|
|
Среднее
|
43,2802
|
42,2296
|
|
|
|
|
|
, где 
,
.
По рассчитанным коэффициентам автокорреляции построим
коррелограмму:
|
Лаг  Коэффициент автокорреляции 
|
|
|
1
|
0,9161
|
|
2
|
0,7422
|
|
3
|
0,5441
|
|
4
|
0,3320
|
Величина коэффициентов автокорреляции позволяет определить
структуру ряда. Наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, следовательно, ряд содержит тенденцию увеличения (курс евро растёт).
2. Построим
график, характеризующий динамику курса евро.
. Рассчитаем
цепные абсолютные приросты:
|
 
|
|
|
|
1
|
40,7404
|
|
|
2
|
40,4175
|
-0,3229
|
|
3
|
40,4026
|
-0,0149
|
|
4
|
40,965
|
0,5624
|
|
5
|
42,1464
|
1,1814
|
|
6
|
43,2443
|
1,0979
|
|
7
|
43,3526
|
0,1083
|
|
8
|
42,8349
|
-0,5177
|
|
9
|
43,0954
|
0,2605
|
|
10
|
42,6234
|
-0,472
|
|
11
|
42,4437
|
-0,1797
|
|
12
|
42,9919
|
0,5482
|
|
13
|
43,727
|
0,7351
|
|
14
|
43,9717
|
0,2447
|
|
15
|
43,8509
|
-0,1208
|
|
16
|
44,2765
|
0,4256
|
|
17
|
44,084
|
-0, 1925
|
Цепные абсолютные приросты, то увеличиваются, то уменьшаются
(динамики увеличения нет), следовательно, дальнейшее исследование проводим по
мультипликативной модели.
4. Проведём выравнивание ряда методом скользящей
средней.
Расчёт оценок сезонной компоненты:
Дата КурсИтого за
|
4
неделиСкользящая средняяЦентрированная сезонная компонентаОценка сезонной
вариации
|
|
|
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
|
|
|
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
|
|
|
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
162,5255
|
40,6314
|
0,9944
|
0,9970
|
|
31.05.2013
|
40,965
|
163,9315
|
40,9829
|
0,9996
|
1,0053
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
166,7583
|
41,6896
|
1,0110
|
1,0151
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
169,7083
|
42,4271
|
1,0193
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
171,5782
|
42,8946
|
1,0107
|
1,0019
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
172,5272
|
43,1318
|
0,9931
|
0,9979
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
171,9063
|
42,9766
|
1,0028
|
0,9999
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
170,9974
|
42,7494
|
0,9971
|
0,9945
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
171,1544
|
42,7886
|
0,9919
|
0,9965
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
171,7860
|
42,9465
|
1,0011
|
1,0057
|
|
02.08.2013
|
43,727
|
173,1343
|
43,2836
|
1,0102
|
1,0090
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
174,5415
|
43,6354
|
1,0077
|
1,0027
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
175,8261
|
43,9565
|
0,9976
|
1,0014
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
176,1831
|
44,0458
|
1,0052
|
|
|
30.08.2013
|
44,084
|
|
|
|
|
Оценки сезонной вариации для мультипликативной модели определяются
как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние.
5. Проведём
корректировку оценки компоненты.
Расчёт сезонной компоненты выполним в расчётной таблице, в которой
оценки сезонной вариации записываются под соответствующим номером недели.
В строке "среднее" рассчитаны средние сезонной вариации.
В мультипликативной модели предполагается, что сумма всех сезонных
компонент по всем кварталам должна быть равна четырём - числу сезонов в году.
В строке "скорректированное" рассчитаны значения
сезонных компонент 
как произведение соответствующей средней
сезонной вариации на корректирующий коэффициент 
.
Расчёт сезонной компоненты:
|
Месяц
|
Неделя
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
5
|
|
|
0,9970
|
1,0053
|
|
|
6
|
1,0151
|
1,0150
|
1,0019
|
0,9979
|
|
|
7
|
0,9999
|
0,9945
|
0,9965
|
1,0057
|
|
|
8
|
1,0090
|
1,0027
|
1,0014
|
|
|
|
Итого
|
3,0240
|
3,0121
|
3,9968
|
3,0089
|
Сумма
|
|
Среднее
|
1,0080
|
1,0040
|
0,9992
|
1,0030
|
4,0142
|
|
Скорректированное
|
1,0044
|
1,0005
|
0,9957
|
0,9994
|
4
|
|
Дата Ошибка!
Ошибка внедренного объекта.КурсСкорректированная компонента
|
|
|
|
10.05.2013
|
40,7404
|
1,0044
|
|
17.05.2013
|
40,4175
|
1,0005
|
|
24.05.2013
|
40,4026
|
0,9957
|
|
31.05.2013
|
40,9650
|
0,9994
|
|
07.06.2013
|
42,1464
|
1,0044
|
|
14.06.2013
|
43,2443
|
1,0005
|
|
21.06.2013
|
43,3526
|
0,9957
|
|
28.06.2013
|
42,8349
|
0,9994
|
|
05.07.2013
|
43,0954
|
1,0044
|
|
12.07.2013
|
42,6234
|
1,0005
|
|
19.07.2013
|
42,4437
|
0,9957
|
|
26.07.2013
|
42,9919
|
0,9994
|
|
02.08.2013
|
43,7270
|
1,0044
|
|
09.08.2013
|
43,9717
|
1,0005
|
|
16.08.2013
|
43,8509
|
0,9957
|
|
23.08.2013
|
44,2765
|
0,9994
|
|
30.08.2013
|
44,0840
|
1,0044
|
6. Устранение влияния периодической компоненты
производится путём деления каждого уровня исходного временного ряда на
соответствующее значение сезонной компоненты.
Рассчитываются 
в каждый момент времени.
|
|
|
|
|
|
1
|
40,7404
|
1,0044
|
40,5604
|
|
2
|
40,4175
|
1,0005
|
40,3976
|
|
3
|
40,4026
|
0,9957
|
40,5785
|
|
4
|
40,9650
|
0,9994
|
40,9893
|
|
5
|
42,1464
|
1,0044
|
41,9602
|
|
6
|
43,2443
|
1,0005
|
43,2230
|
|
7
|
43,3526
|
0,9957
|
43,5414
|
|
8
|
42,8349
|
0,9994
|
42,8603
|
|
9
|
43,0954
|
1,0044
|
42,9050
|
|
10
|
42,6234
|
1,0005
|
42,6024
|
|
11
|
42,4437
|
0,9957
|
42,6285
|
|
12
|
42,9919
|
0,9994
|
43,0174
|
|
13
|
43,7270
|
1,0044
|
43,5339
|
|
14
|
43,9717
|
1,0005
|
43,9501
|
|
15
|
43,8509
|
0,9957
|
44,0418
|
|
16
|
44,2765
|
0,9994
|
44,3028
|
|
17
|
44,0840
|
1,0044
|
43,8893
|
|
Сумма
|
725,1682
|
17,0000
|
724,9821
|
7. Проведём аналитическое выравнивание по прямой:
.
Параметры 
и рассчитаем решив систему нормальных уравнений:
.
Составим вспомогательную таблицу:
|
№
|
 
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
40,7404
|
40,7404
|
|
2
|
2
|
4
|
40,4175
|
80,835
|
|
3
|
3
|
9
|
40,4026
|
121, 2078
|
|
4
|
4
|
16
|
40,965
|
163,86
|
|
5
|
5
|
25
|
42,1464
|
210,732
|
|
6
|
6
|
36
|
43,2443
|
259,4658
|
|
7
|
7
|
49
|
43,3526
|
303,4682
|
|
8
|
8
|
64
|
42,8349
|
342,6792
|
|
9
|
9
|
81
|
43,0954
|
387,8586
|
|
10
|
10
|
100
|
42,6234
|
426,234
|
|
11
|
11
|
121
|
42,4437
|
466,8807
|
|
12
|
12
|
144
|
42,9919
|
515,9028
|
|
13
|
13
|
169
|
43,727
|
568,451
|
|
14
|
14
|
196
|
43,9717
|
615,6038
|
|
15
|
15
|
225
|
43,8509
|
657,7635
|
|
16
|
16
|
256
|
44,2765
|
708,424
|
|
17
|
17
|
289
|
44,084
|
749,428
|
|
Сумма
|
153
|
1785
|
725,1682
|
6619,535
|
Следовательно, система примет вид:
.
Решив систему, получим:
.
Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:
.
То есть еженедельно курс евро повышается на 0,228 руб.
8. Подставляя
в уравнение тренда значение моментов времени , определим теоретические уровни 
.
Занесём рассчитанные данные в таблицу:
|
|
|
|
|
1
|
40,7404
|
40,8330
|
|
2
|
40,4175
|
41,0610
|
40,4026
|
41,2890
|
|
4
|
40,9650
|
41,5170
|
|
5
|
42,1464
|
41,7450
|
|
6
|
43,2443
|
41,9730
|
|
7
|
43,3526
|
42, 2010
|
|
8
|
42,8349
|
42,4290
|
|
9
|
43,0954
|
42,6570
|
|
10
|
42,6234
|
42,8849
|
|
11
|
42,4437
|
43,1129
|
|
12
|
42,9919
|
43,3409
|
|
13
|
43,7270
|
43,5689
|
|
14
|
43,9717
|
43,7969
|
|
15
|
43,8509
|
44,0249
|
|
16
|
44,2765
|
44,2529
|
|
17
|
44,0840
|
44,4809
|
|
Сумма
|
725,1682
|
725,1682
|
9. Запишем
уровни ряда с учётом периодической составляющей 
:
|
|
|
|
|
|
|
1
|
40,7404
|
1,0044
|
40,8330
|
41,0142
|
|
2
|
40,4175
|
1,0005
|
41,0610
|
41,0812
|
|
3
|
40,4026
|
0,9957
|
41,2890
|
41,1100
|
|
4
|
40,9650
|
0,9994
|
41,5170
|
41,4924
|
|
5
|
42,1464
|
1,0044
|
41,7450
|
41,9302
|
|
6
|
43,2443
|
1,0005
|
41,9730
|
41,9936
|
|
7
|
43,3526
|
0,9957
|
42, 2010
|
42,0180
|
|
8
|
42,8349
|
0,9994
|
42,4290
|
42,4038
|
|
9
|
43,0954
|
1,0044
|
42,6570
|
42,8462
|
|
10
|
42,6234
|
1,0005
|
42,8849
|
42,9060
|
|
11
|
42,4437
|
0,9957
|
43,1129
|
42,9260
|
|
12
|
42,9919
|
0,9994
|
43,3409
|
43,3152
|
|
13
|
43,7270
|
1,0044
|
43,5689
|
43,7622
|
|
14
|
43,9717
|
1,0005
|
43,7969
|
43,8185
|
|
15
|
43,8509
|
0,9957
|
44,0249
|
43,8340
|
|
16
|
44,2765
|
0,9994
|
44,2529
|
44,2267
|
|
17
|
44,0840
|
1,0044
|
44,4809
|
44,6782
|
|
Сумма
|
725,1682
|
17,0000
|
725,1682
|
725,3565
|
Прогнозное значение по неделям следующего месяца для
мультипликативной модели можно получить как произведение трендовой и сезонной
компонент 
, используя уравнение тренда 
.
Получим трендовые компоненты:
.
Далее умножаем их на сезонные компоненты:
.
И в результате получаем прогнозные значения по неделям следующего
месяца:
курс евро на 06 сентября 2013 г.
курс евро на 13 сентября 2013 г.
курс евро на 20 сентября 2013 г.
курс евро на 27 сентября 2013 г.
Интерпретация полученного результата с экономической точки зрения
заключается в том, что прогноз уровня курса евро построен не только на линейном
уравнении тренда, в соответствии с которым курс евро должен стабильно
увеличиваться, но и с учётом сезонных компонент и случайной составляющей.
Список
литературы
1. Новиков
А.И. Эконометрика, - М.: Инфра - М, 2007.
2. Елисеева
И.И., Курышева С.В., Гордеенко Н.М. Практикум по эконометрике / под ред.И. И.
Елисеевой, - М.: Финансы и статистика, 2002.
. Кулинич
Е.И. Эконометрия. Москва, "Финансы и статистика", 1999.
. Катышев
П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу
эконометрики. Москва, "Дело", 2002.
. Магнус
Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Москва,
"Дело", 2000.
. Мардас
А.Н. Эконометрика. Краткий курс. Санкт - Петербург, "Питер", 2001.
. Сборник
задач по эконометрике. Под редакцией Тихомирова И.П. "Экзамен", - М -
2003.
. Бывшев
В.А. Эконометрика: учеб. пособие - М.: Финансы и статистика, 2008.