Математические методы обработки результатов экспериментов
Министерство
образования и науки РФ
филиал
федерального Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального
образования
Уфимского
государственного нефтяного
технического
университета в г. Октябрьском
Кафедра
ИТМЕН
ПРАКТИЧЕСКАЯ
РАБОТА
по
дисциплине “Математические методы обработки результатов экспериментов”
Выполнил: студент группы БГРз 12-10
Кирюков Е.М.
Проверил: Усман Ф.К.
ОКТЯБРЬСКИЙ
2014
Метод наименьших квадратов
Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки
модели должна быть минимальной.
Условие задачи:
Изучается зависимость средней ожидаемой
продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1955 г. С этой
целью по 14-ти странам были получены данные по нескольким факторам, влияющим на
продолжительность жизни, (таблица 1).
Таблица 1
Название
страны
|
y
|
x1
|
x2
|
Мозамбик
|
47
|
3
|
2,6
|
Бурунди
|
49
|
2,3
|
2,6
|
Чад
|
48
|
2,6
|
2,5
|
Непал
|
55
|
4,3
|
2,5
|
Буркина
-Фасо
|
49
|
2,9
|
2,8
|
Мадагаскар
|
52
|
2,4
|
3,1
|
Бангладеш
|
58
|
5,1
|
1,6
|
Гаити
|
57
|
3,4
|
2
|
Мали
|
50
|
2
|
2,9
|
Нигерия
|
53
|
4,5
|
2,9
|
Кения
|
58
|
5,1
|
2,7
|
Того
|
56
|
4,2
|
3
|
Индия
|
5,2
|
1,8
|
Решение:
) Изучим влияние фактора х1 на среднюю
ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.
Для определения формы функциональной зависимости
между переменными у и х1 построим диаграмму рассеяния.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать
вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от фактора х1 (т.е. у
будет расти с ростом х1). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости
- линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b,
наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
наименьший
квадрат эконометрический линейный
Построим таблицу 2 с данными для решения системы
уравнений.
Таблица 2
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
∑
|
xi
|
3
|
2,3
|
2,6
|
4,3
|
2,9
|
2,4
|
5,1
|
3,4
|
2
|
4,5
|
5,1
|
4,2
|
5,2
|
6,5
|
53,5
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
xi2
|
9
|
5,29
|
6,76
|
18,49
|
8,41
|
5,76
|
26,01
|
11,56
|
20,25
|
26,01
|
17,64
|
27,04
|
42,25
|
228,47
|
xiyi
|
141
|
112,7
|
124,8
|
236,5
|
142,1
|
124,8
|
295,8
|
193,8
|
100
|
238,5
|
295,8
|
235,2
|
322,4
|
325
|
2888,4
|
Получим и решим систему уравнений:
228,47a + 53.5 b = 2888,4
.5a + 14b=744
,47a + 53.5 b = 2888,4
.287b= 288.828=1,883864062=45,94381
Итак, а=1,883864062
b=45,94381
Таким образом y
= 1,8838x+45,94381
Следовательно, при увеличении показателя фактора
х1 на единицу при прочих равных условиях средняя ожидаемая продолжительность
жизни в среднем увеличивается на 1,8838 единиц.
Графически такая зависимость имеет вид:
2)
Изучим влияние фактора х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по
методу наименьших квадратов.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать
вывод о зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств (т.е. у
будет уменьшаться с ростом х2). Наиболее подходящая форма функциональной
зависимости - линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b,
наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
Построим таблицу с данными для решения системы
уравнений.
Таблица 3
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
∑
|
xi
|
2,6
|
2,6
|
2,5
|
2,5
|
2,8
|
3,1
|
1,6
|
2
|
2,9
|
2,9
|
2,7
|
3
|
1,8
|
35,9
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
xi2
|
6,76
|
6,76
|
6,25
|
6,25
|
7,84
|
9,61
|
2,56
|
4
|
8,41
|
8,41
|
7,29
|
9
|
3,24
|
8,41
|
94,79
|
xiyi
|
122,2
|
127,4
|
120
|
137,5
|
137,2
|
161,2
|
92,8
|
114
|
145
|
153,7
|
156,6
|
168
|
111,6
|
145
|
1892,2
|
Получим и решим систему уравнений:
94,79 a + 35.9b = 1892.2
.9 a + 14 b = 744
,79 a + 35.9b = 1892.2
.79a +35.9 b = 1892.2
,79 a + 35.9b = 1892.2
-1.06545b
= -722501
a= - 5.7202
b= 67.811
Итак, а= - 5.7202 b=
67.811
Таким образом y=
- 5.7202x + 67.811
Следовательно, при увеличении фактора х2 на
единицу при прочих равных условиях ожидаемая продолжительность жизни в среднем
уменьшается на 5,7202 единиц.
Графически зависимость имеет вид:
) Рассмотрим влияние факторов х1 и х2 на
среднюю ожидаемую продолжительность жизни.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать
вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от стоимости фактора х1
и о негативной зависимости продолжительности жизни от фактора х 2(т.е. у будет
расти с ростом х1 и у будет убывать с ростом х2 ). Форма функциональной зависимости
- линейная.
В целом необходимо определить параметры
двухфакторной эконометрической модели- y=ах1+bx2+c
,наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Оценим параметры линейной двухфакторной
эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Для этого
составим и решим систему уравнений:
Собранные данные представлены в таблице 4:
Таблица 4
n
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
∑
|
xi1
|
3
|
2,3
|
2,6
|
4,3
|
2,9
|
2,4
|
5,1
|
3,4
|
2
|
4,5
|
5,1
|
4,2
|
5,2
|
6,5
|
53,5
|
xi2
|
2,6
|
2,6
|
2,5
|
2,5
|
2,8
|
3,1
|
1,6
|
2
|
2,9
|
2,9
|
2,7
|
3
|
1,8
|
2,9
|
35,9
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
xi1
xi2
|
7,8
|
5,98
|
6,5
|
10,75
|
8,12
|
7,44
|
8,16
|
5,8
|
13,05
|
13,77
|
12,6
|
9,36
|
18,85
|
134,98
|
xi12
|
9
|
5,29
|
6,76
|
18,49
|
8,41
|
5,76
|
26,01
|
11,56
|
4
|
20,25
|
26,01
|
17,64
|
27,04
|
42,25
|
228,47
|
xi22
|
6,76
|
6,76
|
6,25
|
6,25
|
7,84
|
9,61
|
2,56
|
4
|
8,41
|
8,41
|
7,29
|
9
|
3,24
|
8,41
|
94,79
|
yi
xi1
|
141
|
112,7
|
124,8
|
236,5
|
142,1
|
124,8
|
295,8
|
193,8
|
100
|
238,5
|
295,8
|
235,2
|
322,4
|
325
|
2888,4
|
yi
xi2
|
122,2
|
127,4
|
120
|
137,5
|
137,2
|
161,2
|
92,8
|
114
|
145
|
153,7
|
156,6
|
168
|
111,6
|
145
|
Получим систему уравнений:
228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.98a + 94.79b + 35.9c = 1892.2
.5a + 35.9b + 14c = 744
.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.464b -7.2651c = - 314,377700
.33b -6.2865c = -288,827664
.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.464b -7.2651c = - 314,377700
,46811c = 86,859049
.47a + 134.98b + 53.5*59,16393 =
2888.4
.464b -7.2651*59,16393 = -
314,377700= 59,16393
.47a + 134.98*(-4,53409) +
53.5*59,16393 = 2888.4= -4,53409= 59,16393= 1,4668944= -4,53409= 59,16393
Итак, а = 1,4668944 b
= -4,53409 c= -59,16393
Таким образом y=
1,4668944x1 - 4,53409 x2 -
59,16393
Вывод: Данная функциональная зависимость
позволяет примерно прогнозировать зависимость средней продолжительности жизни
от нескольких факторов (х1 и х2)
Коэффициент a=
1,4668944 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния
фактора х1 на единицу средняя продолжительность жизни увеличится в среднем на
1,4668944 единиц.
Коэффициент b=
-4,53409 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния
фактора х2 на единицу средняя продолжительность жизни уменьшится в на 4,53409
единиц.
Пример:
МНК может применяться и в повседневной жизни. в
медицине он служит показателем зависимости артериального давления человека от
окружающих параметров, то есть от тех же самых факторов. В зависимости от
температуры, влажности воздуха, атмосферного давления и времени суток состояние
человека может изменяться. Все данные заносятся в таблицы, подобные тем, что
представлены выше в соответствии с изменяющимися факторами. Проанализировав
данные наблюдатель может проследить за тенденцией изменения здоровья и понять,
что именно влияет на человека.