Дискетный анализ рисковых активов
Контрольная работа
Дискетный анализ рисковых активов
Содержание
. Возврат и
логарифмический возврат
. Линейный
прогноз
. Гауссовы
модели
.
Стационарные в широком смысле модели
.
Спектральное представление стационарных в широком смысле последовательностей
. Линейный
фильтр
. Линейные
модели финансовых временных последовательностей
. Линейный
прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей
.
Статистическое оценивание параметров модели
Литература
. Возврат и логарифмический возврат
логарифмический
возврат статистический линейный
Предположим,
что мы определили единицу измерения времени (один день, один месяц или один
год). Последовательность 
- рыночная стоимость акции, обменный курс двух валют
или что-либо иное. В этом пособии мы будем придерживаться вероятностного
подхода, и следовать общепринятой аксиоматике теории вероятностей. То есть 
- стохастическая последовательность, которая
определена на некотором вероятностном пространстве 
, где 
-
пространство элементарных случайных событий (случаев) 
( в рассматриваемом контексте состояний рынка);
F - 
-алгебра подмножеств 
-
совокупность событий наблюдаемых на рынке;
- семейство
вероятностных мер, возможно, параметрическое, на 
.
Для
различных финансовых теорий время и динамика являются неотъемлемой частью
рассуждений, поэтому целесообразно рассмотреть поток 
- подалгебр 
. Смысл
введения потока, называемого в литературе также фильтрацией заключается в том,
чтобы в любой момент времени 
оперировать,
только теми случайными событиями, которые «доступны» наблюдателю до момента
времени включительно. Например, до момента времени включительно наблюдателю могут быть доступны стоимости
тех или иных активов, начиная с некоторого начального момента до момента
времени .
Таким
образом, базовой вероятностной моделью является
, (1.1)
называемая фильтрованным стохастическим экспериментом.
Если
рассматривать 
как информацию доступную к моменту времени , то естественно считать, что последовательность - адаптирована, то есть для любого момента времени 
измеримы. Интерпретация 
как цены в момент времени 
приводит к тому, что 
.
Существует
два наиболее распространенных способа представления временного ряда :
. (1.2)
Откуда
, (1.3)
где
, и
(1.4)
называют возвратом, отдачей, логарифмической прибылью (return).
Другой способ представления
. (1.5)
Откуда
(1.6)
и
. (1.7)
Рассмотрим
последовательность 
и обозначим через 
, 
.
Определяемая
этим выражением последовательность называется стохастической экспонентой,
порождаемой 
. Формула (1.6) трансформируется в формулу
(1.8)
Сопоставление
(1.3) с (1.8) приводит к соотношениям
(1.9)
При
малых значениях 
при этом ошибка 
.
Таким
образом, представление 1 и представление 2 в одинаковой степени могут быть
использованы для описания последовательности .
Далее
мы будем использовать первое представление, поскольку второе представление
накладывает ограничение на 
. Из
того, что 
непосредственно следует, что 
. В тоже время различного рода ограничения могут существенно
отразиться на сложности статистических задач.
.
Линейный прогноз
Гильбертовым
пространством вещественно - значных случайных величин с конечным вторым
моментом 
называется линейное пространство случайных величин с 
и скалярным произведением
. (2.1)
Рассмотрим
совокупность линейно-независимых случайных величин 
, обозначим через 
линейную
оболочку, натянутую на случайные величины .
Наилучшим
линейным прогнозом случайной величины 
по
совокупности случайных величин назовем
. (2.1)
Так
как 
, то 
,
следовательно, наилучший линейный прогноз
. (2.2)
Минимум
достигается тогда, когда разность 
ортогональна
подпространству 
. Таким образом, решение задачи (2.2) сводится к
решению системы линейных алгебраических уравнений 
.. В матричных обозначениях система уравнений
представляется в виде:
, (2.3)
где
.
Дисперсия
ошибки
.
Используем
предыдущие обозначения, в результате получим 
.
Откуда
. (2.4)
В
последних выражениях 
- скалярное произведение евклидового пространства.
Наилучшим
прогнозом случайной величины по
совокупности случайных величин назовем
, (2.5)
где
минимальная сигма-подалгебра , содержащая события 
;
; 
означает,
что 
- 
измерима.
Из телескопического свойства условного математического ожидания 
. Из
неравенства 
, следует неравенство 
.
Отсюда оптимальный прогноз
. (2.6)
Если
совместный закон распределения 
-
многомерный нормальный закон распределения, то по теореме о нормальной
корреляции [Ширяев, Вероятность] наилучший прогноз совпадает с наилучшим
линейным прогнозом.
.
Гауссовы модели
Остановимся
на проблеме описания распределения вероятностей последовательности , что сводится к описанию распределения вероятностей
последовательности 
или последовательности 
.
С
точки зрения классической теории вероятностей и далеко продвинутой статистики
нормального распределения было бы весьма привлекательным использование
нормального закона распределения для описания поведения последовательности . Поскольку для задания распределения в этом случае
достаточно задания последовательности математических ожиданий 
и ковариационной матрицы 
. Принятие такого предположения существенно упрощает
решение задачи прогнозирования 
по 
. Как отмечалось выше, наилучший прогноз
. (3.1)
Коэффициенты
удовлетворяют системе линейных алгебраических
уравнений (2.3).
. (3.2)
Формула для дисперсии ошибки непосредственно следует из (2.4).
Теперь
мы можем говорить о доверительном интервале для при
заданной доверительной вероятности 
.
Величина принадлежит доверительному интервалу
, (3.3)
где
находится из уравнения 
.
Зная
доверительный интервал для , можно
указать доверительный интервал для 
.
. (3.4)
Пусть
- диагональная матрица, тогда формулы (2.4) и (3.2)
существенно упрощаются. Коэффициенты 
и
дисперсия ошибки
.
Равенство
нулю ковариаций для нормального закона распределения равносильно независимости.
В этом случае матрица - диагональная матрица, а 
- нулевой вектор, и наилучший прогноз 
, дисперсия ошибки которого 
. Если добавить еще более сильное требование
одинаковой распределенности элементов последовательности , то при таких предположении цены анализируются достаточно просто. В этом случае
прогноз 
и дисперсия ошибки 
. То есть
теряется возможность какого-либо прогноза будущих значений.
В
реальности ситуация более благоприятна, поскольку многочисленные исследования
временных финансовых последовательностей показывают, что последовательность не является гауссовой последовательностью. Кроме
этого исследования показывают наличие зависимости между элементами
последовательности .
Более
емким распределением является смесь гауссовских распределений. В простейшем
случае плотность смеси
. (3.5)
Это распределение интерпретируется формулой:
, (3.6)
в
которой 
- последовательность независимых и одинаково
распределенных бинарных случайных величин, 
-
последовательность независимых стандартных гауссовых величин, независящих от . На рисунке 3.1 представлен график реализации
последовательности .
Рис.
3.. График компьютерной реализации последовательности при 
Из (3.6)
следует, что
, (3.7)
где
случайная величина 
- распределена по закону Бернулли. На рисунке 3.2
представлен график реализации последовательности .
Рис.
3.2 График компьютерной реализации последовательности при
Модель
(3.5)-(3.7) можно рассматривать как модель Кокса-Росса-Рубинштейна с белым
шумом.
Математическое
ожидание и дисперсия 
. (3.8)
Случайные величины в этой модели независимы и одинаково распределены,
поэтому наилучший линейный прогноз
, (3.9)
при этом
дисперсия ошибки
. (3.10)
Отметим, что в этом случае наилучший линейный прогноз не совпадает с
наилучшим прогнозом.
Модель
(3.5)-(3.7) допускает определенное развитие, в котором учитывается зависимость
в последовательности
, (3.11)
при
. Для
. (3.12)
В
этой модели 
.
Рис.
3.3. График компьютерной реализации последовательности (модель (3.11)-(3.12)) при .
Рис.
3.4 График компьютерной реализации последовательности (модель (3.11)-(3.12)) при
Математическое ожидание
. (3.13)
Ковариация
при 
. При 
. (3.14)
Дисперсия
. (3.15)
Введем
обозначения 
и 
. В этих
обозначениях матрица 
, 
.
Представим ковариационную матрицу в виде
произведения
, (3.16)
где
матрица 
. Элементы матрицы 
удовлетворяют
уравнениям:
. (3.17)
Рассмотрим
уравнение (2.3), которое запишем в виде 
. Введем
обозначение 
. Уравнение (2.3) распадается на два уравнения:
(3.18)
Решение
первого уравнения 
. Решение второго уравнения
. (3.19)
Таким
образом, наилучший линейный прогноз для модели (3.11),(3.12)
. (3.20)
При этом дисперсия ошибки
. (3.21)
В
модели (3.5)-(3.7) потребуем, чтобы последовательность была марковской цепью, с независящими от переходными вероятностями 
. Обозначим через 
матрицу
переходных вероятностей.
На
рисунках 3.6 и 3.7 представлены графики машинной реализации последовательности и последовательности соответственно.
Математическое
ожидание 
. Вероятность 
, где 
, 
.
Собственные числа матрицы 
:
.
Соответствующие собственные векторы 
. Таким
образом, для матрицы существует сингулярное разложение
, (3.22)
где
. Из (3.22) непосредственно следует, что 
. Матрица 
. Отсюда
. (3.23)
Поскольку
, то 
.
Следовательно,
, (3.24)
причем скорость сходимости показательная.
Вычислим
ковариацию 
. Не нарушая общности, будем считать, что 
. Прежде всего, определим математическое ожидание 
Вероятности
. Отсюда 
Таким
образом,
(3.25)
Рисунок
3.6. График машинной реализации последовательности при 
.
Далее
будем считать, что последовательность 
.
Обозначим через 
. В рассматриваемом варианте формула (3.25)
преобразуется в формулу 
Используем (3.23) 
. Так как
, то
. (3.26)
Из (3.26) следует
Рисунок
3.6. График машинной реализации последовательности при
(3.27)
Из (3.27) следует, что дисперсия
, (3.28)
Что
выглядит достаточно естественным, если учесть, что в рассматриваемой ситуации 
. Отметим также,
, (3.29)
что хорошо согласуется с (3.24).
Последовательности, обладающие свойством
(3.30)
называются стационарными в широком смысле.
Отметим, что формулы (3.27) и (3.30) соответствуют определению
стационарной в широком смысле последовательности.
Соединение
стационарности и гауссовости приводит к стационарности последовательности в узком смысле.
Последовательность
называется стационарной в узком смысле, если для любых и 
.
.
Стационарные в широком смысле модели
Далее
мы будем считать, что последовательность -
стационарна в широком смысле. Чтобы упростить выкладки будем считать, что 
. Элементы последовательности принадлежат гильбертову
пространству комплексно-значных случайных величин 
, со скалярным произведением 
, 
-
комплесно-сопряженное число к .
Обозначим через
,
. (4.1)
Естественно,
что мы предполагаем, что 
.
Функция
называется ковариационной функцией. Функция 
называется корреляционной функцией.
Из
определения следует, что ковариационная функция является неотрицательно
определенной, то есть для любых комплексных чисел 
и любых 
, 
,
. (4.2)
В
качестве упражнения доказать следующие свойства ковариационной функции: 
Пример
1. Последовательность 
, где 
, 
и 
,
является последовательностью стационарной в широком смысле. Действительно, 
.
Пример
2. Последовательность 
, где 
-
ортогональные случайные величины с 
и 
, 
,
является стационарной.
Действительно,
.
Пример
3. Рассмотрим последовательность.
, (4.3)
где
и , причем 
; 
.
Отметим, что ряд 
сходится в среднем квадратическом и 
. Следовательно, последовательность стационарна.
Рассмотрим
функцию 
. 
-
неубывающая кусочно-постоянная функция, большая либо равная нуля, имеющая
пределы слева и полунепрерывная справа. Следовательно, с точностью до нормировки является функцией
распределения. Носитель этой функции сосредоточен на множестве 
. С помощью этой функции ковариационная функция
рассматриваемой последовательности может быть записана в виде интеграла
Лебега-Стилтьеса:
. (4.4)
Пример
4. Пусть - последовательность ортонормированных случайных с
нулевыми математическими ожиданиями. Эту последовательность принято называть
белым шумом. Понятно, что белый шум стационарная последовательность с
ковариационной функцией 
. Эта функция также может быть представлена в виде
интеграла
. (4.5)
Отсюда
или 
, то есть
является функцией распределения равномерного закона на интервале .
5. Спектральное представление стационарных в широком смысле
последовательностей
Представление последовательности (4.3) и интегральное представление
ковариационной функции в примере 3 наводит на мысль о возможности получения
представления произвольной стационарной последовательности в виде интегрального
обобщения суммы (4.3). Формально это можно сделать следующим образом. Определим
функцию
. (5.1)
Использование
функции 
позволяет записать (4.3) в виде:
, (5.2)
где
.
Правая
часть (5.2) напоминает интегральную сумму для интеграла 
. Однако, функция является
случайной функцией. При фиксированном 
функция может иметь неограниченную вариацию. Поэтому
понимание интеграла для каждого как
интеграла Римана-Стилтьеса неприемлемо. Процессом с ортогональными приращениями
назовем случайную функцию 
, 
если
) для
каждого 
;
) для
каждого 
;
) для
любых 
.
Определим
случайную меру полуоткрытого интервала 
:
. (5.3)
Определим
случайную меру для суммы непересекающихся интервалов 
:
(5.4)
Рассмотрим
алгебру 
, порожденную полуоткрытыми интервалами . Соотношение (5.4) определяет элементарную
стохастическую меру на . Напомним, что элементарной стохастической мерой
называется комлекснозначная функция 
,
определенная для и 
, если
) 
, 
;
) для
любых непересекающихся 
;
) для
любых непересекающихся 
, что 
.
)
для любых непересекающихся 
и 
.
Задача.
Доказать выполнение 1)-4) .
Определим
функцию
. (5.5)
Как
легко показать, 
является конечной мерой, и, следовательно, по теореме
Каратеодори может быть продолжена на 
, где - минимальная - алгебра,
содержащая (борелевская -
алгебра). Эту меру мы будем обозначать и
называть структурной функцией элементарной стохастической меры .
Итак,
перейдем к построению интеграла. Пусть 
. (5.6)
Для каждой такой функции определим интеграл:
. (5.7)
Отметим,
если 
, то
. (5.8)
Пусть
- гильбертово пространство комплеснозначных функций
со скалярным произведением 
. Таким
образом, для любых функций вида (5.7) в силу (5.8) 
. Это соотношение является ключевым при определении
интеграла.
Пусть
, тогда существует последовательность функций вида
(5.6), что 
при 
. Тогда 
при 
. То есть
последовательность 
является фундаментальной. Из полноты гильбертова
пространства 
следует существование случайной величины 
, что 
. Ее
естественно назвать интегралом от функции по
стохастической мере 
. Естественно использовать для этой случайной величины
интегральную запись 
.
Отметим
основные свойства стохастического интеграла:
) ;
) 
, где 
и 
- константы;
) если
, то 
.
Задача. Доказать свойства 1)-3).
. (5.4)
Задача. Доказать
1) Если
, то 
.
) Если
, то 
.
) 
.
) Если
, то 
при .
) Если
, то 
.
Пусть
ковариационная функция стационарной в широком смысле
последовательности 
. Является справедливой теорема.
Теорема
(Герглотц). Существует конечная мера на 
(
- борелевская -
алгебра подмножеств интервала ) 
, 
, что для
любого 
. (5.5)
Обозначим
через 
. В этом обозначении
. (5.6)
Если
- абсолютно непрерывная функция: 
, то
(5.7)
Из
(5.6) следует, что если 
, то
. (5.8)
Функция
называется спектральной функцией, функция 
называется спектральной плотностью.
Если
последовательность - вещественнозначная, то
,
если
- абсолютно непрерывная функция, то
. (5.9)
Пусть
- стационарная в широком смысле последовательность, тогда
из теоремы Герглотца существует представление (5.6).
Пусть
- гильбертово пространство комплескснозначных функций
со скалярным произведением 
.
Обозначим
через 
- линейное многообразие, порожденное функциями 
. Отметим, что -
конечная мера на . Отсюда замыкание совпадает
с 
.
Рассмотрим
линейное многообразие 
, порожденное случайными величинами 
, и 
(замыкание
в среднеквадратичном смысле). Построим изоморфизм 
.
)
.
)
(предполагается, что только конечное число
коэффициентов не равно нулю).
Отметим,
что 
, аналогично
. (5.10)
В частности,
(5.11)
3)
Пусть 
, тогда существует последовательность 
отсюда и из (5.11) следует, что последовательность 
является фундаментальной последовательностью,
следовательно, существует 
. Справедливо и обратное. Положим 
, где 
и 
, рассмотренные выше элементы.
Задача.
Доказать,
что построенное отображение ,
является изоморфизмом, сохраняющим скалярное произведение.
Рассмотрим
. Определим процесс
. (5.12)
Задача. Доказать, что процесс, определенный формулой (5.12) является
процессом с ортогональными приращениями.
Пусть
. Покажем, что 
. Рассмотрим
последовательность 
простых функций, сходящуюся к , тогда последовательность сходится к 
. С
другой стороны 
. Кроме этого последовательность 
сходится к 
.
Следовательно, .
Возьмем
функцию 
, 
. С
другой стороны 
. Следовательно,
. (5.13)
Формула
(5.13) называется спектральным представлением стационарной в широком смысле
последовательности .
Задача.
Доказать,
что 
.
Пусть
- стационарная в широком смысле последовательность,
состоящая из действительных случайных величин. Тогда из (5.13) следует, что 
. Отсюда, 
.
Задача.
Представим в виде 
. Пусть 
. Доказать, что 
.
Задача.
Доказать
. (5.14)
Пусть
. Структура таких случайных величин определяется
следующей теоремой.
Теорема.
Если , то найдется такая функция 
, что
. (5.15)
Доказательство.
Поскольку , то найдется последовательность 
, вида 
, предел
которой равен . Рассмотрим последовательность функций 
. Поскольку последовательность 
-фундаментальна, то и последовательность 
- фундаментальна. Следовательно, существует предел 
. Переходя к пределу в равенстве 
, получим формулу (5.15). Причем
. (5.16)
Важным
приложением формулы (5.15) является линейное преобразование последовательности , называемое линейным фильтром.
.
Линейный фильтр
Предположим,
что на вход системы подается в момент времени 
случайный
сигнал 
, при этом на выходе системы в момент времени получается сигнал 
, где 
, 
-
некоторая комплекснозначная функция, называемая импульсной переходной функцией.
Таким образом, суммарный сигнал на выходе устройства (фильтра)
. (6.1)
Для
физически реализуемого устройства значение выходного сигнала зависит только от
прошлых значений входного сигнала, то есть от значениями при 
. Поэтому
импульсная переходная функция физически реализуемого фильтра 
при 
.
Следовательно, для физически реализуемого фильтра
. (6.2)
Подадим
на вход фильтра стационарную в широком смысле последовательность с ковариационной функцией и спектральным представлением (5.13). На выходе
получим случайную последовательность 
.
Вычислим 
. Сделаем замену переменных 
. В результате
(6.3)
В
частности, 
. Следовательно, для того чтобы 
, необходимо и достаточно, чтобы
(6.4)
При
выполнении (6.4) ряд 
будет сходиться в среднеквадратичном смысле и,
следовательно, последовательность
, (6.5)
стационарная в широком смысле последовательность.
Из
того, что , следует, что для последовательности справедливо спектральное представление (5.15) со
спектральной функцией
. (6.6)
Функцию
(6.7)
называют спектральной характеристикой фильтра.
Задача.
Доказать, что условие (6.4) эквивалентно 
, то есть
. (6.7)
Для
ковариационной функции 
справедливо представление
, (6.8)
которое непосредственно вытекает из спектрального представления (5.15).
В
частности если на вход фильтра подается белый шум 
, то есть,
, (6.9)
то на выходе будет получаться стационарная последовательность со
спектральной плотностью
. (6.10)
По
заданной неотрицательной функции 
можно
найти такую функцию 
, чтобы выполнялось (6.10). Так как спектральная плотность, то 
. Следовательно, 
. Поэтому
функцию можно представить в виде ряда Фурье (6.7), с
коэффициентами 
. В частности, если 
,
то являются справедливыми равенства:
. (6.11)
Задача. Доказать (6.11).
Из этих рассуждений вытекает следующая теорема.
Теорема.
Если у стационарной в широком смысле последовательности существует плотность , то последовательность можно представить в виде:
. (6.12)
Доказательство.
Пусть 
. Рассмотрим процесс 
,
независящий от с 
.
Определим меру 
, где 
, и
процесс
(6.13)
Очевидно, что
. (6.14)
Из
(6.14) следует, что 
является белым шумом. С другой стороны
. (6.15)
Из (6.15) вытекает
(6.16)
Равенство (6.16) доказывает теорему.
Задача. Доказать равенства (6.14) и (6.16).
Замечание.
Введение процесса обусловлено возможностью равенства нулю спектральной
плотности . Если 
(почти
всюду по мере Лебега), то необходимость в процессе отпадает.
Пусть
, 
, тогда
последовательность 
.
7. Линейные модели финансовых временных последовательностей
Определение.
Последовательность , называется последовательностью скользящего среднего,
если она представима в виде
. (7.1)
Если
при 
, то
(7.2)
и
последовательность называется односторонней последовательностью скользящего
среднего. Если к тому же при 
, то
(7.3)
и
последовательность называется последовательностью скользящего среднего порядка 
. На рисунке 7.1 представлена машинная реализация
последовательности .
Рисунок
7.1. Машинная реализация последовательности скользящего среднего порядка 
, с коэффициентами 
Из результатов предыдущего параграфа следует, что спектральная плотность
последовательности (7.3)
(7.4)
с
.
Задача. Обосновать формулу (7.4).
Определение. Последовательность
(7.5)
называется
последовательностью авторегрессии порядка 
.
На
рисунке 7.2 представлена машинная реализация авторегрессионной
последовательности
Рисунок
7.2. Машинная реализация авторегрессионной последовательности: 
.
Найдем
решение уравнения (7.5). Для этого определим оператор сдвига 
. (7.6)
Из
(7.6) следует, что 
. С использованием оператора уравнение (7.5) примет вид:
, (7.7)
где
единица понимается как тождественный оператор. Рассмотрим многочлен 
. Тогда 
, где 
- корни многочлена 
. Отсюда
уравнение (7.7) приобретает вид:
, (7.8)
которое превращается в систему рекуррентных уравнений
(7.9)
где
. Рассмотрим -е
уравнение системы (7.9) 
, которое имеет вид:
. (7.10)
Введем
обозначение 
. Решение уравнения (7.10)
(7.11)
Пусть
и для любых и 
, тогда 
при 
. Тогда решение уравнения представляется в виде :
. (7.12)
Является справедливой теорема.
Теорема.
Если корни многочлена лежат вне единичной окружности, то решение уравнения
(7.10) является односторонним скользящим средним.
Доказательство.
Для утверждение теоремы очевидно: 
, причем 
. Пусть
оно справедливо для 
, то есть 
, причем
. Из (7.12) следует, что 
. Следовательно, 
, где
причем Доказательство. Для утверждение
теоремы очевидно. Пусть оно справедливо для , то есть
, причем 
. Из
(7.12) следует, что 
. Следовательно, , где 
, причем 
.
Последнее справедливо потому, что последовательность 
- свертка последовательностей 
и 
, каждая
из которых принадлежит 
. Отсюда
. (7.13)
Причем ряд, стоящий в правой части сходится в среднеквадратическом смысле.
Спектральная плотность последовательности
. (7.14)
Задача. Доказать формулу (7.14).
Пример.
Рассмотрим последовательность . Нули
многочлена 
: 
, лежат
вне единичной окружности. Следовательно, последовательность представима в виде одностороннего скользящего
среднего. Рассмотрим 
, где 
. Тогда 
. Отсюда 
.
. (7.15)
Называется смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.
Теорема.
Если нули полинома лежат
вне единичной окружности, то последовательность представима
в виде скользящего среднего и спектральная плотность последовательности имеет вид:
, (7.16)
где
.
Задача.
Доказать теорему.
.
Линейный прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей
Пусть
- стационарная в широком смысле последовательность с
ковариационной функцией и нулевым математическим ожиданием. Обозначим через 
и через 
, где 
. Пусть 
. Для
любого элемента 
обозначим через 
проекцию
на подпространство 
.
Соответственно 
- проекция на 
. Каждый элемент 
, причем 
. Таким образом,
, (8.1)
Где
состоит из элементов 
, из элементов 
, .
Определение.
Стационарная последовательность называется регулярной, если
. (8.2)
Стационарная последовательность называется сингулярной, если
. (8.3)
Разложение (8.1) позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема. Всякая стационарная в широком смысле последовательность
представима в виде суммы
, (8.4)
где
- регулярная ,-
сингулярная последовательности. При этом и ортогональны (
ортогональна 
, для любых и ).
Действительно,
поскольку для любого 
, то
можно использовать (7.17). Причем 
,
следовательно 
, 
,
следовательно 
. Ортогональность и вытекает из ортогональности и .
Задача.
Доказать, что разложение (8.4) единственное.
Следующая
теорема устанавливает связь между регулярной последовательностью и
односторонним скользящим средним.
Теорема.
Для того, чтобы невырожденная последовательность была
регулярной необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде последовательности
одностороннего скользящего среднего.
Доказательство.
Необходимость. Представим 
. Поскольку порождается
элементами из 
и элементами 
, и стационарная и регулярная, то размерность 
равна единице. Пусть 
ненулевой
элемент из . Положим 
. Теперь
для любых фиксированных и представим
. Отсюда
. (8.5)
Так
как 
образуют ортонормированный базис в 
.
Рассмотрим
предел 
. В силу неравенства 
Ряд
сходится в среднеквадратическом смысле. Покажем, что
в том же самом смысле существует предел 
. В силу
стационарности достаточно рассмотреть случай 
.
Обозначим через 
. Поскольку 
.
Слагаемые ортогональны, поэтому 
. Поэтому
предел существует. Для каждого 
. Следовательно предел 
принадлежит
. Так как -
тривиально по предположению, то 
.
Необходимость.
Для любого 
, 
, 
ортогонально 
,
следовательно, ортогонально 
. В тоже
время образуют базис в 
. Отсюда тривиально, а значит -
регулярна.
Из
предыдущих теорем вытекает разложение Вольда.
Теорема.
Если - невырожденная последовательность, то
. (8.6)
Откуда
можно получить наилучший линейный прогноз для . Как
было показано ранее наилучшим линейным прогнозом для по прошлым значением 
является
проекция 
. Из разложения Вольда следует, что 
. Отсюда
. (8.7)
Дисперсия ошибки равна
. (8.8)
Из
(8.8) следует, что если последовательность 
-
сингулярная, то 
и дисперсия ошибки равна нулю (возможно точное
предсказание), если регулярная, то 
и 
. Причем в случае регулярной последовательности 
, то есть 
.
Интерес
представляет прогноз для регулярной последовательности. Формула
(8.9)
Дает
решение задачи оптимального линейного прогноза, однако, для того, чтобы ей
можно было бы воспользоваться необходимо решить следующую задачу. Задана
ковариационная функция или спектральная плотность . Требуется вычислить коэффициенты 
и выразить 
через 
.
Рассмотрим
решение этой задачи. Как было показано выше, если последовательность
представима в виде скользящего среднего, то для такой последовательности
существует спектральная плотность 
.
Обратно, если 
, то существует представление последовательности в
виде скользящего среднего. Ограничимся рассмотрением важного для приложений
случая
, (8.10)
где
, радиус сходимости степенного ряда 
и нули 
лежат
вне единичной окружности.
Рассмотрим
спектральное представление и 
, 
. (8.11)
Дисперсия ошибки
. (8.12)
Таким
образом, требуется найти минимум правой части (8.12) по 
. Покажем, что функция
(8.13)
доставляет
минимум правой части (8.12). Во первых, 
. Во
вторых, для любого 
скалярное произведение 
.
Действительно, 
, так как
, для любого .
Разлагая
функцию 
в ряд Фурье
получим
оптимальный линейный прогноз,
. (8.14)
Подчеркнем,
что из разложения Вольда регулярной последовательности 
следует, что спектральная плотность допускает
представление 
, где 
.
Обратно, если спектральная плотность допускает представление , где , то
разложение Вольда регулярной последовательности .
Таким образом, задача представления спектральной плотности и задача разложения
регулярной последовательности эквивалентны.
Задача.
Доказать, что 
.
Пример.
Рассмотрим последовательность
(8.15)
График
представлен на рисунке 8.1.
Рис.
8.1 График машинной реализации последовательности 
Спектральная
плотность последовательности
, (8.16)
где
. Функция 
. Отсюда 
, следовательно, прогноз на один шаг
. (8.17)
На
рисунке 8.2 представлены графики последовательности и 
.
Рис.
8.1. График машинной реализации последовательности (сплошная линия) и последовательности (пунктирная линия)
.
Статистическое оценивание параметров модели
Чтобы
решать задачи анализа временных последовательностей, возникающих при описании
эволюции стоимости финансовых активов, необходимо уметь оценивать по наблюдаемым
значениям параметры модели.
Пусть
- стационарная в широком смысле последовательность с
математическим ожиданием 
и ковариационной функцией 
. Возникает задача: как по наблюдениям 
значений 
получить
«хорошие» оценки для и .
Рассмотрим
в качестве оценки
Математическое
ожидание 
. Следовательно, оценка является несмещенной.
Дисперсия оценки 
. Отсюда 
.
Используем спектральное представление ковариационной функции 
. Так как 
, то 
. Если 
, то 
, и оценка 
-
состоятельна в среднем квадратическом смысле. Будем считать, что объем выборки
наблюдений достаточно большой, чтобы оценка хорошо
приближала . Поэтому дальше мы будем считать, что 
.
В
качестве оценки ковариационной функции рассмотрим
. (9.2)
Математическое
ожидание 
. Следовательно, оценка (2.9) - несмещенная оценка . Предположим, что для каждого последовательность 
, с 
является стационарной последовательностью. Рассмотрим
дисперсию 
. Аналогично предыдущему для состоятельности оценки в
среднеквадратическом смысле необходимым и достаточным условием является
стремление к нулю 
, где 
ковариационная
функция последовательности .
Отметим, что 
. Если последовательность является гауссовой последовательностью, то [] из 
следует 
.
Для
демонстрации одного из самых эффективных методов метода максимального
правдоподобия [] остановимся на оценке параметров модели авторегрессии - го порядка 
.
Неизвестными параметрами модели являются 
и . Предположим, что независимые
стандартные нормальные случайные величины. Обозначим через 
, 
.
Логарифм функции правдоподобия
(9.3)
В
соответствии с методом максимального правдоподобия для получения оценок
неизвестных параметров необходимо найти максимум 
или
минимум
. Таким образом оценки максимального правдоподобия
являются решением системы линейных алгебраических уравнений:
(9.4)
Литература
1. Г.И.
Белявский, И.В. Павлов. Теория вероятностей. Учебное пособие, Ростов-на-Дону,
РГСУ, 2007. [1-3]
. А.Н.
Ширяев. Вероятность. М.: Наука, 1980. [1-3]
. А.Н.
Ширяев. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004[1-3]
. А.Н.
Ширяев. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004[1-3]
. А.Н.
Ширяев. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2006[1-3]
. А.Н.
Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. М.: ФАЗИС,
1998. [1-3]
. А.Н.
Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Теория. М.: ФАЗИС, 1998.
[1-3]
.
А.В. Мельников. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет ценных бумаг.
ТВП: Москва, 1997. [1]
. Энциклопедия
«Вероятность и математическая статистика» под. Ред.
Ю.В.
Прохорова, М.: ТВП, 1999. [1-3]
. Леман
Э. Теория точечного оценивания, М, Наука,1991
11. Ruey
S. Tsay. Analysis of time series. Jon Wiley and Sons. 2002.
12. Wolberg
J . Data analysis using the method of least squares. Springer. 2006.