Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными
Разрешимость
диофантовых уравнений с двумя переменными
Требуется знание работы «Алгоритм решения
Диофантовых уравнений (АРДУ)».
Знание прогрессий многочленов и их матриц
обязательно.
Простые числа - ПЧ.
Составные числа - СЧ.
Координатная сетка - КС.
И никаких лемм - теорем до финиша доползём на
конкретных примерах.
Возьмём предельно простое уравнение, -
х+2у-41=0.(1)
Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и
нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать
наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у
изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.
Таблица 1.
Пять нолей нащупали в матрице, а
значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем
местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем
сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что
получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.
Таблица 2
Опишем данную матрицу формулой.
Составим формулы вертикальных рядов.
Для первого вертикального ряда
будет, -
+2(х-1)=2х-38.
Для второго вертикального ряда будет, -
+2(х-1)=2х-35.
Для третьего вертикального ряда будет, -
+2(х-1)=2х-32.
Полученные формулы обличаются свободными
членами.
Опишем свободные члены полученных выражений, -
+3(у-1)=3у-41.
И окончательно, -
Щn=
2х+3у-41.
Первая маленькая победа.
В таблице 1 выделена линия чисел. Она
подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».
Так вот, функция Щn
отображает
зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.
Индекс «n»
при Щ обозначает слово «прямая».
Прямая, т.к. Щn
вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и
у местами. А есть Щв, где «в» - означает «вычесленная».
У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и
таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.
Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и
тогда придётся перебирать варианты:
) х-нечётное число, у-нечётное число,
х>у;
) х-нечётное число, у-нечётное число,
х<у;
) х-нечётное число, у-чётное число,
х>у;
) х-нечётное число, у-чётное число,
х<у;
) х-чётное число, у-нечётное число,
х>у;
) х-чётное число, у-нечётное число,
х<у;
) х-чётное число, у-чётное число, х>у;
) х-чётное число, у-чётное число, х<у.
Читатель, мы с тобой заглянули в ответ, поэтому
чтобы зря не мучиться изобразим счастливое угадывание.
Возьмём условие №1.
Таблицу 1 преобразуем в соответствии с этим
условием, - КС будет состоять из нечётных х и у.
Таблица 3
Для дальнейшей работы КС нужно
преобразовывать так, чтобы вертикальные и горизонтальные ряды были
пронумерованы числами натурального ряда 1, 2, 3 ….
Сначала пронумеруем вертикальные
ряды, -
,
,
.
Для у аналогично.
Таблица 4.
И уже к таблице 4, где КС состоит из
функциональных выражений , , добавим
новую КС с другим функциональным выражением.
В уравнение (1) введём новые
переменные, -
Уравнение (1) примет вид,-
Сократим на наименьшую переменную 2β, -
где -(2)
Тогда
Уравнение (2) примет вид, -
При
При
Это подбор, но нам нужно убедиться,
что правильно движемся.
Теперь у нас есть выражения для КС
Выражения и равноценны,
они делают одну и туже работу, - нумеруют горизонтальные ряды, поэтому из
рассмотрения уберём, а оставим , т.е. составим новую КС. Отличие же
от в следующем,
- нумерует все
горизонтальные ряды, тогда как нумерует горизонтальные ряды, в
которых есть решения для уравнения (1) при условиях х-нечётные, у-нечётные
числа, при х>У. Смотри таблицу 4.
Таблицу 4 изобразим с новой КС.
Таблица 5
Будем описывать вертикальные ряды, -
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение,
описывающее числа в таблице 5.
Оно должно быть тождественным
уравнению (1).
Составим уравнение, -
Убедились в тождественности КС и КС
Ещё раз зафиксируем следующее, -
в таблице 5
Нумерация сохранилась от предыдущей
КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением .
Когда имеем дело с КС, в которой
имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни
горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем
нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.
В параграфах §§А будем
рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи
перевёрнутых КС будем находить Щв и из соотношений Щв=Щn, совместно
с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему
требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.
Изменим таблицу 5. Поменяем местами
и
Таблица 6
Будем описывать вертикальные ряды, -
Составим выражение для свободных
членов, -
Составим общее выражение, -
Проверка показывает, что при
подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены
значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щв, см.
таблицу 1. Составим уравнение Щв=Щn.
Получили уравнение (1).
В общем случае должно получиться
уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна
получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный
пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример,
помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном
точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через
2 - 3.
Для уравнения (1) используем условие
из АРДУ №3, где -
х-нечётное число, у-чётное число,
х>У (х=11, у=4 в таблице 1).
В уравнение (1) введём новые
переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
где -(3)
Имеем
Уравнение (3) примет вид, -
Из таблицы 1 составим новую, с
учётом что х в уравнении (1) - нечётные числа, у - чётные числа.
Таблица 7
КС (х, у) для таблицы 7 заменим на
нормированную КС
Таблица 8
Опишем вертикальные ряды.
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, -
Составим уравнение, -
Всё как в §А1.
Для таблицы 8 поменяем в КС местами и
А вот тут начались изюминки, - у нас
в уравнении для Щв, х и у не только поменялись местами, но
поменялись и чётности этих переменных. Давайте в таблице 8 поменяем местами и Тупо
поменяем, без учёта смены чётности.
Таблица 9
Опишем вертикальные ряды, -
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, -
По аналогии с §Б1 составим уравнение
Щв=Щn.
Не получено уравнение (1), поэтому
менять местами и надо с
учётом смены чётности х и у.
Правильная матрица изображена в
таблице 10 и она списана с таблицы 1, при х-чётных, у-нечётных числах в
уравнении (1).
Таблица 10
Объяснение будет таким. Изначально пронумеровало
в таблице 8 чётные горизонтальные ряды. Перенесли мы это выражение для
нумерации вертикальных рядов. И там оно должно нумеровать чётные ряды, но уже
вертикальные. Напоминаю, - речь идёт об условии №3 из АРДУ. Тоже самое касается
и выражения , которое в
начале нумеровало нечётные вертикальные ряды в таблице 8, ну мы его и оставим
нумеровать нечётные же, но уже горизонтальные ряды в таблице 10.
Давайте будем работать с таблицей
10.
Опишем вертикальные ряды, -
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, -
Это мы получили Щв.
Составим уравнение Щв=Щn, -
Всё как в §Б1.
Читатель, у нас остались не
разобранными некоторые из условий от АРДУ.
Например, -
) х-нечётное число, у-нечётное
число, х<у;
В таблице 1 это х =5, у =13.
) х-нечётное число, у-чётное число,
х<у.
В таблице 1 это х =7, у =10.
Разбор этих вариантов ничего нового
не даст, поэтому и возиться с ними не будем. Тренировки ради распишем формулы
этих вариантов для
).
Подставим новые переменные в формулу
(1), -
Сократим на меньшее переменное , -
(4)
Имеем, -
алгебраический диофантовый уравнение
матрица
Тогда, -
Уравнение (4) примет вид, -
).
Подставим новые переменные в формулу
(1), -
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
Уравнение (5) примет вид, -
Давайте подробно рассмотрим условие
из АРДУ, -
). х-чётное число, у-чётное число,
х>у.
При данных условиях уравнение (1) не
имеет решений в целых, положительных числах. Но напоминаю, мы этого как бы не
знаем и формально будем действовать по плану §§А1, Б1 и §§А2, Б2.
Выведем формулу для .
Подставим новые переменные в формулу
(1), -
Сократим на меньшее переменное , -
(6)
Имеем, -
Уравнение (6) примет вид, -
При х-у =7, =2. Но у нас
по условию х и у величины чётные, тогда х-у =7 для нас именно в этом случае не
существует. Из таблицы 1 составим новую таблицу при х и у чётных.
Таблица 11
Для таблицы 11 возьмём новую КС, -
Таблица 12
Опишем вертикальные ряды, -
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, -
Составим уравнение, -
Всё как в §§А1, А2.
В таблице 12 поменяем местами и
Просто поменяем, ибо смены чётности
у составляющих КС в этом примере нет.
Таблица 13
Опишем вертикальные ряды, -
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, -
Получили выражение Щв.
Составим уравнение Щв=Щn, -
Сравним полученный результат с
результатами §§ Б1,Б2.
Не совсем удачный получился
последний пример. АРДУ залез в другую область изначальных данных. Мы брали х и
у чётные, а АРДУ выдал ответ для х-у =7.
На этот момент зафиксируем
следующее, - условия АРДУ страхуют друг друга. А вот всегда ли, - вопрос
временно остаётся открытым.
Сделаем предварительный вывод.
Идея заложенная в эту статью, по
моему разумению, хороша. Всего лишь одна загвоздка, - работает как-то не совсем
стабильно. Но это пока. Продолжим поиски.
Будем работать с уравнениями второго
порядка. В рассмотренных примерах первого порядка тоже есть свои плюсы.
Научились грамотно крутить - вертеть КС.
Сама идея состоит вот в чём. Каждое
число в рассматриваемых матрицах имеет своим отображением другое число
симметрично диагонали матрицы. У несуществующего числа нет и отображения. Если
есть у уравнения решение, значит у числа «0» матрицы есть отображение в целых
числах, ибо наши матрицы расписываются в целых числах. Вроде бы всё просто.
Приступим к уравнениям второго порядка.
Организуем следующее уравнение, -
(7)
В ответ заглянем сразу, используя
элементарный перебор переменных х и у в интервале 1÷8.
Пусть будут х - нечётные числа, у -
чётные числа и х>у.
Таблица 14
В уравнение (7) введём новые
переменные, -
Сократим на наименьшее переменное -
Имеем, -
Тогда, -
Перед радикалом взяли знак «минус»,
хотя если вести себя правильно, надо рассматривать знак «плюс» тоже. В данном
случае подгонка, взято из
рассмотрения таблицы 14.
Из таблицы 14 составим новую, при
х-чётные числа, у-нечётные числа, с целью получения Щв, с учётом
смены чётности.
Таблица 15
Далее следуем по плану §§Б1, Б2, Б3.
Таблица 16
Используя таблицу 16 составим
выражение Щв.
Щn у нас есть,
это -
Опишем вертикальные ряды, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-48
|
|
-72
|
|
|
|
-33
|
|
-57
|
|
-105
|
|
-177,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-48
|
|
-72
|
|
|
|
-9
|
|
-33
|
|
-81
|
|
-153,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-48
|
|
-72
|
|
|
|
31
|
|
7
|
|
-41
|
|
-113,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-48
|
|
-72
|
|
|
|
87
|
|
63
|
|
15
|
|
-57,
|
|
Опишем свободные члены, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
-30
|
|
-6
|
|
34
|
|
90,
|
|
Введём обозначение, -
Составим полное выражение, и это
будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn,
После сокращений, полученное
уравнение подготовим к избавлению от радикала.
Члены уравнения сократим на общий
множитель «2».
Возведём в квадрат, -
Двухчлен х-у возводим в
степень и производим упрощения, в результате получим, -
(8)
Получено уравнение (8), вместо
ожидаемого уравнения (7).
Сделаем следующее, - из уравнений
(7) и (8) образуем систему уравнений.
Из уравнения (7) имеем, -
В уравнении (8) избавимся от
переменного х.
Сделаем заготовки, -
Введём обозначение, -
Полученные заготовки подставим в
уравнение (8), получим, -
ибо всё сократилось.
Рассмотрим уравнение (7) при
следующих условиях, - х-чётное число, у-нечётное число, х>у. Гарантированное
отсутствие решений.
В уравнение (7) введём новые
переменные.
Сократим на наименьшее переменное
Из таблицы 14 создадим матрицу с КС
х-нечётные, у-чётные числа. Нормируем х=2, 4, 6, 8,... к натуральному ряду и
сразу разместим новую КС с целью нахождения Щв.
Таблица 17
Опишем вертикальные ряды, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-36
|
|
-60
|
|
-84
|
|
|
|
-48
|
|
-84
|
|
-144
|
|
-228,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-36
|
|
-60
|
|
-84
|
|
|
|
-32
|
|
-68
|
|
-128
|
|
-212,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-36
|
|
-60
|
|
-84
|
|
|
|
0
|
|
-36
|
|
-96
|
|
-180,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24
|
|
-24
|
|
|
|
|
|
-36
|
|
-60
|
|
-84
|
|
|
|
48
|
|
12
|
|
-48
|
|
-132,
|
|
Опишем свободные члены, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
16
|
|
32
|
|
48
|
|
|
|
-36
|
|
-20
|
|
12
|
|
60,
|
|
Введём обозначение, -
Составим полное выражение, и это
будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn,
После сокращения коэффициентов на
«2» получим, -
Подготовим уравнение к избавлению от
радикала, -
Возведём обе части уравнения в
квадрат, -
После упрощений, -
(9)
Сравним уравнения (9) с уравнением
(8). Конечным результатом будет 0=0.
Условия АРДУ страхуют друг друга.
Сделаем предварительный вывод.
Для Диофантовых уравнений с двумя
переменными научились составлять в пару другое уравнение. Решая в системе эти
два уравнения до сих пор получали соотношение 0=0, и это независимо от условий
АРДУ. Соотношение 0=0 и должно получиться и вот по какой причине, для примеров
рассмотренных выше.
И вообще для уравнений, когда число
решений больше степени неизвестных, входящих в это уравнение. При решении
системы уравнений должно получиться однородное уравнение. Имеем, это однородное
уравнение степени «n» не может иметь число решений m>n, - т.е.
запрет на существование однородного уравнения при условии m>n. Поэтому
метод и скидывает нам 0=0.
Возникает предположение, что при
условии m≤n можно
находить решения Диофантовых уравнений с двумя переменными. Хотя это
утверждение требует проверки. Если решений у этих уравнений нет вообще, тогда
должно получиться однородное уравнение не имеющее решений. С последующей
проблемой, - не умением на настоящий день работать с однородными уравнениями
больших степеней. Подтвердим возникшие предположения примерами.
Рассмотрим уравнение, -
(10)
Рассмотрим вариант при х и у чётные
числа и х>у.
Введём в уравнение (10) новые
переменные.
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для уравнения (10) распишем матрицу
при х и у чётных числах, -
Таблица 18
Для получения Щв на
матрицу таблицы 18 натянем соответствующую КС, уже нормированную.
Таблица 19
Опишем вертикальные ряды, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
9
|
|
33
|
|
73
|
|
129,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
21
|
|
45
|
|
85
|
|
141,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
41
|
|
65
|
|
105
|
|
161,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
69
|
|
93
|
|
133
|
|
189,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, и это
будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После упрощений, -
Возведём в квадрат, -
После упрощений, -
(11)
В полученном уравнении избавимся от
х.
Из уравнения (10) имеем, -
Для уравнения (11) припасём
заготовки, -
Уравнение (11) примет вид, -
После сокращений, - 0=0.
Уравнение (10) имеет решение х=±1,
у=±1, других нет, - тем не менее 0=0, для условий АРДУ х и у чётные числа и
х>у.
Решим уравнение (10) при условии из
АРДУ х,у - числа нечётные и х>у. У нас х=у, по АРДУ на такие мелочи внимание
не обращают.
Введём в уравнение (10) новые
переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для нечётных х, у в уравнении (10)
составим матрицу, -
Таблица 20
Для матрицы таблицы (20) составим
новую нормированную КС.
Таблица 21
Опишем вертикальные ряды, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
16
|
|
32
|
|
48
|
|
|
|
0
|
|
16
|
|
48
|
|
96,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
16
|
|
32
|
|
48
|
|
|
|
8
|
|
24
|
|
56
|
|
104,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
16
|
|
32
|
|
48
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
72
|
|
120,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
16
|
|
32
|
|
48
|
|
|
|
48
|
|
64
|
|
96
|
|
144,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опишем свободные члены, -
Составим полное выражение, и это
будет Щв, -
У нас, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После сокращений, -
Полученное уравнение у нас уже было,
- это уравнение (11).
В итоге получим после ухищерений 0 =
0. Лишний раз убедились, что АРДУ страхует друг друга.
Рассмотрим уравнение, -
(13)
Рассмотрим вариант при х,у - числа
чётные и х>у.
Введём в уравнение (13) новые
переменные, -
Сократим на меньшее переменное , -
Имеем, -
тогда, -
Для уравнения (13) распишем матрицу
при х и у чётных числах, -
Таблица 22
Для получения Щв на
матрицу таблицы 22 натянем соответствующую КС.
Таблица 23
Опишем вертикальные ряды, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
-85
|
|
-61
|
|
-21
|
|
35,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
-61
|
|
-37
|
|
3
|
|
59,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
-21
|
|
3
|
|
43
|
|
99,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
35
|
|
59
|
|
99
|
|
155,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опишем свободные члены, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
16
|
|
|
|
|
|
24
|
|
40
|
|
56
|
|
|
|
-93
|
|
-69
|
|
-29
|
|
27,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим полное выражение, и это
будет Щв, -
Составим уравнение Щв=Щn, -
После упрощений, -
Возведём в квадрат с целью
избавления от радикала, -
После упрощений, -
(14)
В уравнении (14) избавимся от х.
Из уравнения (13) имеем, -
Для уравнения (14) припасём
заготовки, -
Уравнение (14) примет вид, -
После сокращений, -
Поскольку у≠0, имеем -
Нет решений в целых числах, и из
этого следует, что нет решений в целых числах у уравнения (13).
Заключение
Данная тема находится в начале
изучения и более того, внедриться в неё глубоко навряд ли смогу. Читатель, если
появятся вопросы, отвечай на них сам.
Разрабатывалась эта тема для
следующей задачи, - пусть есть последовательность чисел степенного ряда и член этой
последовательности. Есть возможность с использованием построения алгебраической
трапеции из ограниченного количества чисел ряда этой последовательности
составить формулу для любого числа этой последовательности, - И далее
появляется возможность нащупать наличие в этой последовательности
закономерностей, ну, скажем, есть ли среди чисел этой последовательности числа
«n2», т.е.
требуется составить формулу и вперёд. А можно составить и такую
формулу или такую,
И если определяемая закономерность
присутствует в последовательности чисел, то её наличие будет определено при
помощи ограниченного количества членов заданного ряда чисел.
У данной темы остались открытыми
следующие вопросы, -
а - всегда ли условия АРДУ страхуют
друг друга?
б - есть ли возможность находить
решения Диофантовых уравнений?,
в - всегда ли Щn находятся
сменой коэффициентов при неизвестных?