Тема: Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

  • Вид работы:
    Курсовая работа (т)
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
  • Формат файла:
    MS Word
  • Размер файла:
    159,48 Кб
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными
Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!












Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».

Знание прогрессий многочленов и их матриц обязательно.

Простые числа - ПЧ.

Составные числа - СЧ.

Координатная сетка - КС.

И никаких лемм - теорем до финиша доползём на конкретных примерах.

Возьмём предельно простое уравнение, -

х+2у-41=0.(1)

Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.

Таблица 1.


Пять нолей нащупали в матрице, а значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.

Таблица 2


Опишем данную матрицу формулой.

Составим формулы вертикальных рядов.

Для первого вертикального ряда будет, -

22-36-34-32,

+2(х-1)=2х-38.

Для второго вертикального ряда будет, -

22-33-31-29,

+2(х-1)=2х-35.

Для третьего вертикального ряда будет, -

22-30-28-26,

+2(х-1)=2х-32.

Полученные формулы обличаются свободными членами.

Опишем свободные члены полученных выражений, -

33-38-35-32,

+3(у-1)=3у-41.

И окончательно, -

Щn= 2х+3у-41.

Первая маленькая победа.

В таблице 1 выделена линия чисел. Она подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».

Так вот, функция Щn отображает зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.

Индекс «n» при Щ обозначает слово «прямая».

Прямая, т.к. Щn вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и у местами. А есть Щв, где «в» - означает «вычесленная».

У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.

Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и тогда придётся перебирать варианты:

)х-нечётное число, у-нечётное число, х>у;

)х-нечётное число, у-нечётное число, х<у;

)х-нечётное число, у-чётное число, х>у;

)х-нечётное число, у-чётное число, х<у;

)х-чётное число, у-нечётное число, х>у;

)х-чётное число, у-нечётное число, х<у;

)х-чётное число, у-чётное число, х>у;

)х-чётное число, у-чётное число, х<у.

Читатель, мы с тобой заглянули в ответ, поэтому чтобы зря не мучиться изобразим счастливое угадывание.

Возьмём условие №1.

Таблицу 1 преобразуем в соответствии с этим условием, - КС будет состоять из нечётных х и у.

Таблица 3


Для дальнейшей работы КС нужно преобразовывать так, чтобы вертикальные и горизонтальные ряды были пронумерованы числами натурального ряда 1, 2, 3 ….

Сначала пронумеруем вертикальные ряды, -

2221357…,

,

,

.

Для у аналогично.

Таблица 4.


И уже к таблице 4, где КС состоит из функциональных выражений , , добавим новую КС с другим функциональным выражением.

В уравнение (1) введём новые переменные, -


Уравнение (1) примет вид,-


Сократим на наименьшую переменную 2β, -

где -(2)


Тогда

Уравнение (2) примет вид, -


При

При

Это подбор, но нам нужно убедиться, что правильно движемся.

Теперь у нас есть выражения для КС

Выражения и равноценны, они делают одну и туже работу, - нумеруют горизонтальные ряды, поэтому из рассмотрения уберём, а оставим , т.е. составим новую КС. Отличие же от в следующем, - нумерует все горизонтальные ряды, тогда как нумерует горизонтальные ряды, в которых есть решения для уравнения (1) при условиях х-нечётные, у-нечётные числа, при х>У. Смотри таблицу 4.

Таблицу 4 изобразим с новой КС.

Таблица 5


Будем описывать вертикальные ряды, -

44-36-32-28,


44-30-26-22,


44-24-20-16,


Опишем свободные члены, -

3030-108-78-48,

Составим полное выражение, описывающее числа в таблице 5.

Оно должно быть тождественным уравнению (1).

Составим уравнение, -

Убедились в тождественности КС и КС

Ещё раз зафиксируем следующее, -

в таблице 5


Нумерация сохранилась от предыдущей КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением .

Когда имеем дело с КС, в которой имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.

В параграфах §§А будем рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи перевёрнутых КС будем находить Щв и из соотношений Щв=Щn, совместно с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.

Изменим таблицу 5. Поменяем местами

и

Таблица 6


Будем описывать вертикальные ряды, -

44-36-32-28,


44-30-26-22,


44-24-20-16,


Составим выражение для свободных членов, -

66-38-32-26,


Составим общее выражение, -


Проверка показывает, что при подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щв, см. таблицу 1. Составим уравнение Щв=Щn.


Получили уравнение (1).

В общем случае должно получиться уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример, помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через 2 - 3.

Для уравнения (1) используем условие из АРДУ №3, где -

х-нечётное число, у-чётное число, х>У (х=11, у=4 в таблице 1).

В уравнение (1) введём новые переменные, -


Сократим на меньшее переменное , -

где -(3)


Имеем

Уравнение (3) примет вид, -


Из таблицы 1 составим новую, с учётом что х в уравнении (1) - нечётные числа, у - чётные числа.

Таблица 7


КС (х, у) для таблицы 7 заменим на нормированную КС


Таблица 8


Опишем вертикальные ряды.

444-34-30-26-22,


444-28-24-20-16,


444-22-18-14-10,


Опишем свободные члены, -

3030-108-78-48,

Составим полное выражение, -


Составим уравнение, -


Всё как в §А1.

Для таблицы 8 поменяем в КС местами и

А вот тут начались изюминки, - у нас в уравнении для Щв, х и у не только поменялись местами, но поменялись и чётности этих переменных. Давайте в таблице 8 поменяем местами и Тупо поменяем, без учёта смены чётности.

Таблица 9


Опишем вертикальные ряды, -

44-34-30-26,


44-28-24-20,

44-22-18-14,


Опишем свободные члены, -

66-36-30-24,


Составим полное выражение, -


По аналогии с §Б1 составим уравнение Щв=Щn.


Не получено уравнение (1), поэтому менять местами и надо с учётом смены чётности х и у.

Правильная матрица изображена в таблице 10 и она списана с таблицы 1, при х-чётных, у-нечётных числах в уравнении (1).

Таблица 10


Объяснение будет таким. Изначально пронумеровало в таблице 8 чётные горизонтальные ряды. Перенесли мы это выражение для нумерации вертикальных рядов. И там оно должно нумеровать чётные ряды, но уже вертикальные. Напоминаю, - речь идёт об условии №3 из АРДУ. Тоже самое касается и выражения , которое в начале нумеровало нечётные вертикальные ряды в таблице 8, ну мы его и оставим нумеровать нечётные же, но уже горизонтальные ряды в таблице 10.

Давайте будем работать с таблицей 10.

Опишем вертикальные ряды, -

44-33-29-25,



44-27-23-19,


44-21-17-13,


Опишем свободные члены, -

66-35-29-23,


Составим полное выражение, -


Это мы получили Щв. Составим уравнение Щв=Щn, -


Всё как в §Б1.

Читатель, у нас остались не разобранными некоторые из условий от АРДУ.

Например, -

) х-нечётное число, у-нечётное число, х<у;

В таблице 1 это х =5, у =13.

) х-нечётное число, у-чётное число, х<у.

В таблице 1 это х =7, у =10.

Разбор этих вариантов ничего нового не даст, поэтому и возиться с ними не будем. Тренировки ради распишем формулы этих вариантов для

).


Подставим новые переменные в формулу (1), -


Сократим на меньшее переменное , -

(4)

Имеем, -

алгебраический диофантовый уравнение матрица


Тогда, -


Уравнение (4) примет вид, -

).


Подставим новые переменные в формулу (1), -


Сократим на меньшее переменное , -

(5)


Имеем, -


Уравнение (5) примет вид, -


Давайте подробно рассмотрим условие из АРДУ, -

). х-чётное число, у-чётное число, х>у.

При данных условиях уравнение (1) не имеет решений в целых, положительных числах. Но напоминаю, мы этого как бы не знаем и формально будем действовать по плану §§А1, Б1 и §§А2, Б2.

Выведем формулу для .


Подставим новые переменные в формулу (1), -


Сократим на меньшее переменное , -

(6)


Имеем, -


Уравнение (6) примет вид, -


При х-у =7, =2. Но у нас по условию х и у величины чётные, тогда х-у =7 для нас именно в этом случае не существует. Из таблицы 1 составим новую таблицу при х и у чётных.

Таблица 11


Для таблицы 11 возьмём новую КС, -

Таблица 12


Опишем вертикальные ряды, -

444-31-27-23-19,


444-25-21-17-13,


444-19-15-11-7,


Опишем свободные члены, -

3030-93-63-33,

Составим полное выражение, -

Составим уравнение, -

Всё как в §§А1, А2.

В таблице 12 поменяем местами и

Просто поменяем, ибо смены чётности у составляющих КС в этом примере нет.

Таблица 13


Опишем вертикальные ряды, -

444-31-27-23-19,


444-25-21-17-13,


444-19-15-11-7,


Опишем свободные члены, -

66-35-29-23,


Составим полное выражение, -


Получили выражение Щв.

Составим уравнение Щв=Щn, -


Сравним полученный результат с результатами §§ Б1,Б2.

Не совсем удачный получился последний пример. АРДУ залез в другую область изначальных данных. Мы брали х и у чётные, а АРДУ выдал ответ для х-у =7.

На этот момент зафиксируем следующее, - условия АРДУ страхуют друг друга. А вот всегда ли, - вопрос временно остаётся открытым.

Сделаем предварительный вывод.

Идея заложенная в эту статью, по моему разумению, хороша. Всего лишь одна загвоздка, - работает как-то не совсем стабильно. Но это пока. Продолжим поиски.

Будем работать с уравнениями второго порядка. В рассмотренных примерах первого порядка тоже есть свои плюсы. Научились грамотно крутить - вертеть КС.

Сама идея состоит вот в чём. Каждое число в рассматриваемых матрицах имеет своим отображением другое число симметрично диагонали матрицы. У несуществующего числа нет и отображения. Если есть у уравнения решение, значит у числа «0» матрицы есть отображение в целых числах, ибо наши матрицы расписываются в целых числах. Вроде бы всё просто. Приступим к уравнениям второго порядка.

Организуем следующее уравнение, -

(7)

В ответ заглянем сразу, используя элементарный перебор переменных х и у в интервале 1÷8.

Пусть будут х - нечётные числа, у - чётные числа и х>у.

Таблица 14


В уравнение (7) введём новые переменные, -


Сократим на наименьшее переменное -


Имеем, -


Тогда, -


Перед радикалом взяли знак «минус», хотя если вести себя правильно, надо рассматривать знак «плюс» тоже. В данном случае подгонка, взято из рассмотрения таблицы 14.

Из таблицы 14 составим новую, при х-чётные числа, у-нечётные числа, с целью получения Щв, с учётом смены чётности.


Далее следуем по плану §§Б1, Б2, Б3.


Таблица 16


Используя таблицу 16 составим выражение Щв.

Щn у нас есть, это -

Опишем вертикальные ряды, -

-24-24-24-48-72-33-57-105-177,


-24-24-24-48-72-9-33-81-153,


-24-24-24-48-72317-41-113,


-24-24-24-48-72876315-57,


Опишем свободные члены, -

1616244056-30-63490,

Введём обозначение, -


Составим полное выражение, и это будет Щв, -


Составим уравнение Щв=Щn,


После сокращений, полученное уравнение подготовим к избавлению от радикала.


Члены уравнения сократим на общий множитель «2».


Возведём в квадрат, -


Двухчлен х-у возводим в степень и производим упрощения, в результате получим, -

(8)

Получено уравнение (8), вместо ожидаемого уравнения (7).

Сделаем следующее, - из уравнений (7) и (8) образуем систему уравнений.

Из уравнения (7) имеем, -


В уравнении (8) избавимся от переменного х.

Сделаем заготовки, -


Введём обозначение, -


Полученные заготовки подставим в уравнение (8), получим, -


ибо всё сократилось.

Рассмотрим уравнение (7) при следующих условиях, - х-чётное число, у-нечётное число, х>у. Гарантированное отсутствие решений.

В уравнение (7) введём новые переменные.


Сократим на наименьшее переменное


Из таблицы 14 создадим матрицу с КС х-нечётные, у-чётные числа. Нормируем х=2, 4, 6, 8,... к натуральному ряду и сразу разместим новую КС с целью нахождения Щв.

Таблица 17


Опишем вертикальные ряды, -

-24-24-36-60-84-48-84-144-228,


-24-24-36-60-84-32-68-128-212,


-24-24-36-60-840-36-96-180,


-24-24-36-60-844812-48-132,


Опишем свободные члены, -

1616163248-36-201260,

Введём обозначение, -


Составим полное выражение, и это будет Щв, -


Составим уравнение Щв=Щn,


После сокращения коэффициентов на «2» получим, -


Подготовим уравнение к избавлению от радикала, -


Возведём обе части уравнения в квадрат, -


После упрощений, -

(9)

Сравним уравнения (9) с уравнением (8). Конечным результатом будет 0=0.

Условия АРДУ страхуют друг друга.

Сделаем предварительный вывод.

Для Диофантовых уравнений с двумя переменными научились составлять в пару другое уравнение. Решая в системе эти два уравнения до сих пор получали соотношение 0=0, и это независимо от условий АРДУ. Соотношение 0=0 и должно получиться и вот по какой причине, для примеров рассмотренных выше.

И вообще для уравнений, когда число решений больше степени неизвестных, входящих в это уравнение. При решении системы уравнений должно получиться однородное уравнение. Имеем, это однородное уравнение степени «n» не может иметь число решений m>n, - т.е. запрет на существование однородного уравнения при условии m>n. Поэтому метод и скидывает нам 0=0.

Возникает предположение, что при условии m≤n можно находить решения Диофантовых уравнений с двумя переменными. Хотя это утверждение требует проверки. Если решений у этих уравнений нет вообще, тогда должно получиться однородное уравнение не имеющее решений. С последующей проблемой, - не умением на настоящий день работать с однородными уравнениями больших степеней. Подтвердим возникшие предположения примерами.

Рассмотрим уравнение, -

(10)

Рассмотрим вариант при х и у чётные числа и х>у.

Введём в уравнение (10) новые переменные.

Сократим на меньшее переменное , -


Имеем, -

тогда, -


Для уравнения (10) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 18


Для получения Щв на матрицу таблицы 18 натянем соответствующую КС, уже нормированную.


Таблица 19


Опишем вертикальные ряды, -

161624405693373129,


1616244056214585141,


16162440564165105161,


16162440566993133189,


Опишем свободные члены, -

881220281133361,


Составим полное выражение, и это будет Щв, -

Составим уравнение Щв=Щn, -


После упрощений, -


Возведём в квадрат, -


После упрощений, -

(11)

В полученном уравнении избавимся от х.

Из уравнения (10) имеем, -


Для уравнения (11) припасём заготовки, -


Уравнение (11) примет вид, -


После сокращений, - 0=0.

Уравнение (10) имеет решение х=±1, у=±1, других нет, - тем не менее 0=0, для условий АРДУ х и у чётные числа и х>у.

Решим уравнение (10) при условии из АРДУ х,у - числа нечётные и х>у. У нас х=у, по АРДУ на такие мелочи внимание не обращают.

Введём в уравнение (10) новые переменные, -


Сократим на меньшее переменное , -


Имеем, -

тогда, -


Для нечётных х, у в уравнении (10) составим матрицу, -

Таблица 20


Для матрицы таблицы (20) составим новую нормированную КС.


Таблица 21


Опишем вертикальные ряды, -

16161632480164896,


161616324882456104,


1616163248244072120,


1616163248486496144,


Опишем свободные члены, -

8881624-262246,


Составим полное выражение, и это будет Щв, -


У нас, -


Составим уравнение Щв=Щn, -


После сокращений, -


Полученное уравнение у нас уже было, - это уравнение (11).

В итоге получим после ухищерений 0 = 0. Лишний раз убедились, что АРДУ страхует друг друга.

Рассмотрим уравнение, -

(13)

Рассмотрим вариант при х,у - числа чётные и х>у.

Введём в уравнение (13) новые переменные, -


Сократим на меньшее переменное , -


Имеем, -

тогда, -


Для уравнения (13) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 22


Для получения Щв на матрицу таблицы 22 натянем соответствующую КС.


Таблица 23


Опишем вертикальные ряды, -

1616244056-85-61-2135,


1616244056-61-37359,


1616244056-2134399,


1616244056355999155,


Опишем свободные члены, -

1616244056-93-69-2927,


Составим полное выражение, и это будет Щв, -


Составим уравнение Щв=Щn, -


После упрощений, -


Возведём в квадрат с целью избавления от радикала, -


После упрощений, -

(14)

В уравнении (14) избавимся от х.

Из уравнения (13) имеем, -


Для уравнения (14) припасём заготовки, -


Уравнение (14) примет вид, -


После сокращений, -


Поскольку у≠0, имеем -


Нет решений в целых числах, и из этого следует, что нет решений в целых числах у уравнения (13).

Заключение

Данная тема находится в начале изучения и более того, внедриться в неё глубоко навряд ли смогу. Читатель, если появятся вопросы, отвечай на них сам.

Разрабатывалась эта тема для следующей задачи, - пусть есть последовательность чисел степенного ряда и член этой последовательности. Есть возможность с использованием построения алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда этой последовательности составить формулу для любого числа этой последовательности, - И далее появляется возможность нащупать наличие в этой последовательности закономерностей, ну, скажем, есть ли среди чисел этой последовательности числа «n2», т.е. требуется составить формулу и вперёд. А можно составить и такую формулу или такую,

И если определяемая закономерность присутствует в последовательности чисел, то её наличие будет определено при помощи ограниченного количества членов заданного ряда чисел.

У данной темы остались открытыми следующие вопросы, -

а - всегда ли условия АРДУ страхуют друг друга?

б - есть ли возможность находить решения Диофантовых уравнений?,

в - всегда ли Щn находятся сменой коэффициентов при неизвестных?

Похожие работы

 

Не нашел материала для курсовой или диплома?
Пишем качественные работы
Без плагиата!