Пифагоровы тройки их количество
Пифагоровы
тройки их количество
Белотелов В.А.
г. Заволжье
г.
Требуется знание алгоритма решения диофантовых
уравнений (АРДУ) и знание прогрессий многочленов.
ПЧ - простое число.
СЧ - составное число.
Пусть есть число N
нечётное. Для любого нечётного числа, кроме единицы, можно составить уравнение.
р 2 + N
= q2,
где р + q
= N, q
- р = 1.
Например, для чисел 21 и 23 уравнениями будут,
+ 21 = 112, 112 + 23 = 122.
Если число N
простое, данное уравнение единственное. Если число N
составное,
тогда можно составить подобных уравнений по числу пар сомножителей
представляющих это число, включая 1 х N.
Возьмём число N
= 45, -
х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.
+ 45 = 232,
+ 45 = 92,
+ 45 = 72.
Мечталось, а нельзя ли уцепившись за это различие
между ПЧ и СЧ найти метод их идентификации.
Введём обозначения;
р 2 + N
= q2,
a2 + N
= в2.
Изменим нижнее уравнение, -
N = в2 - а2 = (в -
а)(в + а).
Сгруппируем величины N
по признаку в - а, т.е. составим таблицу.
Числа N
были сведены в матрицу, -
Таблица 1
а\в-а
|
3
|
5
|
7
|
9
|
11
|
13
|
1
|
15
|
35
|
63
|
99
|
143
|
195
|
2
|
21
|
45
|
77
|
117
|
165
|
221
|
3
|
27
|
55
|
91
|
135
|
187
|
247
|
4
|
35
|
65
|
105
|
153
|
209
|
273
|
5
|
39
|
75
|
119
|
171
|
231
|
299
|
6
|
45
|
85
|
133
|
189
|
253
|
325
|
7
|
51
|
95
|
147
|
207
|
275
|
351
|
|
|
|
|
|
|
|
Именно под эту задачу пришлось разбираться с
прогрессиями многочленов и их матрицами. Всё оказалось напрасно, - ПЧ оборону
держат мощно. Давайте в таблицу 1 введём столбец, где в - а = 1 (q
- р = 1).
Таблица 2
а\в-а
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
11
|
13
|
1
|
3
|
15
|
35
|
63
|
99
|
143
|
195
|
2
|
5
|
21
|
45
|
77
|
117
|
165
|
221
|
3
|
7
|
27
|
55
|
91
|
135
|
187
|
247
|
4
|
9
|
33
|
65
|
105
|
153
|
209
|
273
|
5
|
11
|
39
|
75
|
119
|
171
|
231
|
299
|
6
|
13
|
45
|
85
|
133
|
189
|
253
|
325
|
7
|
15
|
51
|
95
|
147
|
207
|
275
|
351
|
И ещё раз. Таблица 2 получилась в следствии
попытки решения задачи об идентификации ПЧ и СЧ. Из таблицы следует, что для
любого числа N, существует
столько уравнений вида а2 + N
= в2, на сколько пар сомножителей можно разбить число N,
включая сомножитель 1 х N.
Кроме чисел N = ℓ2, где
ℓ - ПЧ. Для N
= ℓ2,
где ℓ - ПЧ, существует единственное
уравнение р2 + N = q2. О
каком дополнительном доказательстве может идти речь, если в таблице перебраны
меньшие множители из пар сомножителей, образующих N,
от единицы до ∞. Таблицу 2 поместим в сундучок, а сундучок спрячем в
чуланчике.
Вернёмся к теме заявленной в названии статьи.
Эта статья является ответом одному профессору -
щипачу.
Обратился за помощью, - требовался ряд чисел,
который не мог найти в интернете. Напоролся на вопросы типа, - «а за чем?», «а
покажи метод». Был в частности задач вопрос, бесконечен ли ряд пифагоровых
троек, «а как доказать?». Не помог он мне. Смотри, профессор, как это у нас в
деревне делают. Возьмем формулу пифагоровых троек, -
х2 = у2 + z2.
(1)
Пропустим через АРДУ.
Возможны три ситуации:. х - нечётное число,
у - чётное число,
z - чётное число.
И есть условие
х > у > z
. х - нечётное число,
у -
чётное число,
z - нечётное
число.
х > z
> у
III.х - чётное
число,
у - нечётное число,
z - нечётное число.
х > у > z
Начнём по порядку с I.
Введём новые переменные
диофантовый
уравнение пифагоровы тройки
х = 2α + 2к
+ 1,
у = 2β
+ 2к,
z = 2γ + 2к
+ 1.
Подставим в уравнение (1).
(2α + 2к
+ 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к
+ 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2γ.
(2α - 2γ + 2к
+ 1)2 = (2β - 2γ + 2к)2 + (2к + 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2β
- 2γ с одновременным введением нового параметра ƒ,
-
(2α - 2β + 2ƒ
+ 2к + 1)2 = (2ƒ + 2к)2 +
(2к + 1)2 (2)
2α = х - 2к - 1,
2β = у - 2к.
Тогда, 2α - 2β = х
- у - 1.
Уравнение (2) примет вид, -
(х - у + 2ƒ
+ 2к)2 = (2ƒ + 2к)2 + (2к + 1)2
Возведём в квадрат, -
(х - у)2 + 2(2ƒ
+ 2к)(х - у) + (2ƒ + 2к)2 = (2ƒ
+ 2к)2 + (2к + 1)2,
(х - у)2 + 2(2ƒ
+ 2к)(х - у) - (2к + 1)2 = 0. (3)
АРДУ даёт через параметры соотношение между
старшими членами уравнения, поэтому мы получили уравнение (3).
.
Не солидно заниматься подбором
решений. Но, во - первых, деваться некуда, а во - вторых, этих решений нужно
несколько, а бесконечный ряд решений мы сможем восстановить.
При ƒ = 1, к = 1,
имеем х - у = 1.
При ƒ = 12, к =
16, имеем х - у = 9.
При ƒ = 4, к =
32, имеем х - у = 25.
Подбирать можно долго, но в конечном
итоге ряд примет вид, -
х - у = 1, 9, 25, 49, 81, … .
Рассмотрим вариант II.
Введём в уравнение (1) новые
переменные
х = 2α + 2к + 1,
у = 2β + 2к,
z = 2γ + 2к + 1.
(2α + 2к + 1)2 = (2β + 2к)2 + (2γ + 2к + 1)2.
Сократим на меньшее переменное 2 β, -
(2α - 2β + 2к + 1)2
= (2α - 2β + 2к+1)2 +
(2к)2.
Сократим на меньшее переменное 2α - 2β, -
(2α - 2γ + 2ƒ + 2к + 1)2
= (2ƒ + 2к + 1)2
+ (2к)2. (4)
2α = х - 2к - 1,
2γ = z - 2к - 1.
2α - 2γ = х - z и подставим
в уравнение (4).
(х - z + 2ƒ + 2к + 1)2
= (2ƒ + 2к + 1)2
+ (2к)2
(х - z)2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х
- z) + (2ƒ + 2к + 1)2
= (2ƒ + 2к + 1)2
+ (2к)2
(х - z)2 + 2(2ƒ + 2к
+ 1)(х
- z) - (2к)2 =
0
При ƒ = 3, к = 4,
имеем х - z = 2.
При ƒ = 8, к =
14, имеем х - z = 8.
При ƒ = 3, к =
24, имеем х - z = 18.
Если дальше будем подбирать, получим
ряд
х - z = 2, 8, 18,
32, 50, … .
Нарисуем трапецию, -
|
|
4
|
|
4
|
|
4
|
|
|
|
|
6
|
|
10
|
|
14
|
|
18
|
|
|
2
|
|
8
|
|
18
|
|
32
|
|
50
|
|
Напишем формулу.
,
где n=1, 2, . . .
∞.
Случай III расписывать
не будем, - нет там решений.
В соответствии с полученными
рекомендациями из I и II сгруппируем
имеющиеся в популярной литературе тройки. На практике пришлось самому рассчитывать
частично.
Для условия II набор троек
будет таким:
х - z = 2 х - z = 8 х - z = 18 х - z = 32
= 32 + 42 132 = 52 + 122 252 = 72 +
242 412 = 92 + 402
= 152 + 82 292 = 212 + 202 452 = 272
+ 362 652 = 332 + 562
= 352 + 122 532 = 452 + 282 732 =
552 + 482 972 = 652 + 722
= 632 + 162 852 = 772 + 362 1092 =
912 + 602 1372 = 1072 + 882
= 992 + 202 1252 = 1172 + 442 1532 =
1352 + 722 1852 = 1532 + 1042
Уравнение (1) представлено в виде х2
= z2 + у2 для
наглядности.
Для условия I набор троек
будет таким:
х - у = 1 х - у = 9 х - у = 25
= 42 + 32 452 = 362 + 272 972 = 722
+ 652
= 122 + 52 652 = 562 + 332 1252 =
1002 + 752
= 242 + 72 892 = 802 + 392 1572 =
1322 + 852
= 402 + 92 1172 = 1082 + 452 1932 =
1682 + 952
= 602 + 112 1492 = 1402 + 512 2332 =
2082+ 1052
х - у = 49 х - у = 81
= 1202 + 1192 3052 = 2242 + 2072
= 1562 + 1332 3532 = 2722 + 2252
= 1962 + 1472 4052 = 3242 + 2432
= 2402 + 1612 4612 = 3802 + 2612
= 2882 + 1752 5212 = 4402 + 2792
В общей сложности расписано 9
столбцов троек, по пять троек в каждом. И каждый из представленных столбцов
можно писать до ∞.
В качестве примера рассмотрим тройки
последнего столбца, где х - у = 81.
Для величин х распишем трапецию, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
4
|
|
4
|
|
|
|
|
48
|
|
52
|
|
56
|
|
60
|
|
|
305
|
|
353
|
|
405
|
|
461
|
|
521
|
Напишем формулу, -
.
Для величин у распишем трапецию, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
4
|
|
4
|
|
|
|
|
48
|
|
52
|
|
56
|
|
60
|
|
|
224
|
|
272
|
|
324
|
|
380
|
|
440
|
Напишем формулу, -
.
Для величин z распишем
трапецию, -
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
18
|
|
18
|
|
18
|
|
|
207
|
|
225
|
|
243
|
|
261
|
|
279
|
Напишем формулу, -
.
Итого:
хn = 2n2 + 42n + 261,
уn = 2n2 + 42n + 180,
zn = 18n + 189.
Где n = 1 ÷ ∞.
Как и обещано, ряд троек при х - у =
81 летит в ∞.
Была попытка для случаев I и II построить
матрицы для величин х, у, z.
Выпишем из последних пяти столбцов
величины х из верхних строк и построим трапецию.
|
|
|
|
8
|
|
44
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
20
|
|
64
|
|
|
|
|
40
|
|
52
|
|
72
|
|
136
|
|
|
5
|
|
45
|
|
97
|
|
169
|
|
305
|
Не получилось, а закономерность должна быть
квадратичной. Чтобы всё было в ажуре, оказалось, что надо объединить столбцы I
и II.
В случае II
величины у, z снова поменяем
местами.
Объединить удалось по одной причине, - карты
хорошо легли в этой задаче, - повезло.
Теперь можно расписать матрицы для х, у, z.
Возьмём из последних пяти столбцов величины х из
верхних строк и построим трапецию.
|
|
8
|
|
8
|
|
8
|
|
|
|
|
12
|
|
20
|
|
28
|
|
36
|
|
|
5
|
|
17
|
|
37
|
|
65
|
|
101
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всё нормально, можно строить матрицы, и начнём с
матрицы для z.
Таблица 3
х-у=1
|
25
|
49
|
81
|
3
|
15
|
35
|
63
|
99
|
5
|
21
|
45
|
77
|
117
|
7
|
27
|
55
|
91
|
135
|
9
|
33
|
65
|
105
|
153
|
11
|
39
|
75
|
119
|
171
|
13
|
45
|
85
|
133
|
189
|
15
|
51
|
95
|
147
|
207
|
Итого: Кроме единицы, каждое нечётное число
числовой оси участвует в образовании пифагоровых троек равным количеству пар
сомножителей образующих данное число N,
включая сомножитель 1 х N.
Число N
= ℓ2, где ℓ - ПЧ, образует одну пифагорову тройку, если ℓ -
СЧ, то на сомножителях ℓхℓ тройки не существует. Построим матрицы
для величин х, у.
Таблица 4
х-у=1
|
9
|
25
|
49
|
81
|
5
|
17
|
37
|
65
|
101
|
13
|
29
|
53
|
85
|
125
|
25
|
45
|
73
|
109
|
153
|
41
|
65
|
97
|
137
|
185
|
61
|
89
|
125
|
169
|
221
|
85
|
117
|
157
|
205
|
261
|
113
|
149
|
193
|
245
|
305
|
Таблица 5
х-у=1
|
9
|
25
|
49
|
81
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
12
|
20
|
28
|
36
|
44
|
24
|
36
|
48
|
60
|
72
|
40
|
56
|
72
|
88
|
104
|
60
|
80
|
100
|
120
|
140
|
84
|
108
|
132
|
156
|
180
|
112
|
140
|
168
|
196
|
224
|
Начнём работать с матрицей для х. Для этого
натянем на неё координатную сетку из задачи по идентификации ПЧ и СЧ.
Таблица 6
(
в-а-1)/2 а
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
5
|
17
|
37
|
65
|
101
|
2
|
13
|
29
|
53
|
85
|
125
|
3
|
25
|
45
|
73
|
109
|
153
|
4
|
41
|
65
|
97
|
137
|
185
|
5
|
61
|
89
|
125
|
169
|
221
|
6
|
85
|
117
|
157
|
205
|
261
|
7
|
113
|
149
|
193
|
245
|
305
|
Нумерация вертикальных рядов
нормирована выражением .
Первый столбец уберём, т.к.
Матрица примет вид, -
Таблица 7
(
в-а-1)/2 а
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
17
|
37
|
65
|
101
|
2
|
29
|
53
|
85
|
125
|
3
|
45
|
73
|
109
|
153
|
4
|
65
|
97
|
137
|
185
|
5
|
89
|
125
|
169
|
221
|
6
|
117
|
157
|
205
|
261
|
7
|
149
|
193
|
245
|
305
|
Опишем вертикальные ряды, -
Составим общую формулу для «х», -
Если провести подобную работу для
«у», получим, -
Можно подойти к этому результату и с
другой стороны.
Возьмём уравнение, - а2 + N = в2.
Чуть преобразуем, - N = в2 - а2.
Возведём в квадрат, - N2 = в4 -
2в2а2 + а4.
К левой и правой части уравнения
добавим по величине 4в2а2, -
N2 + 4в2а2 =
в4 + 2в2а2 + а4.
И окончательно, - (в2 + а2)2 =
(2ва)2 + N2.
Пифагоровы тройки составляются так:
Рассмотрим пример с числом N = 117.
х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 =
117.
Вертикальные столбцы таблицы 2
пронумерованы величинами в - а, тогда как вертикальные столбцы таблицы 3
пронумерованы величинами х - у.
х - у = (в - а)2,
х = у + (в - а)2.
Составим три уравнения.
(у + 12)2 = у2 + 1172,
(у + 32)2 = у2 + 1172,
(у + 92)2 = у2 + 1172.
х1 = 6845, у1 = 6844, z1 = 117.
х2 = 765, у2 = 756, z2 = 117 (х2
= 85, у2 = 84, z2 = 13).
х3 = 125, у3 = 44, z3 = 117.
Сомножители 3 и 39 не являются
взаимно простыми числами, поэтому одна тройка получилась с коэффициентом 9.
Изобразим выше написанное в общих
символах, -
В данной работе всё, включая пример
на расчёт пифагоровых троек с числом
N = 117,
привязано к меньшему сомножителю в - а. Явная дискриминация по отношению к
сомножителю в + а. Исправим эту несправедливость, - составим три уравнения с
сомножителем в + а.
(у + 1172)2 = у2 + 1172
(у + 392)2 = у2 + 1172
(у + 132)2 = у2 + 1172
х1 = 6845, у1 = - 6844, z1 = 117.
х2 = 765, у2 = - 756, z2 = 117.
х3 = 125, у3 = - 44, z3 = 117.
Вернёмся к вопросу об идентификации
ПЧ и СЧ.
Много что было совершено в этом
направлении и на сегодняшний день через руки дошла следующая мысль, - уравнения
идентификации, да такого чтобы и сомножители определить, не существует.
Допустим найдено соотношение F = а,в (N).
Есть формула
.
.
Можно избавиться в формуле F от в и
получится однородное уравнение n - ой степени относительно а, т.е. F = а(N).
При любой степени n данного
уравнения найдётся число N имеющее m пар
сомножителей, при m > n.
И как следствие, однородное
уравнение n степени
должно иметь m корней.
Да быть такого не может.
В данной работе числа N
рассматривались для уравнения х2 = у2 + z2, когда они
находятся в уравнении на месте z. Когда N на месте х,
- это уже другая задача.