Логика высказываний. Логика предикатов. Реляционная логика

Логика высказываний. Логика предикатов. Реляционная логика

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»

на тему: «Логика высказываний. Логика предикатов. Реляционная логика»

Cодержание

Введение

. Логика высказываний

. Логика предикатов

. Реляционная алгебра

Заключение

Список литературы

Введение

В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических электронных элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники. Эти проблемы изучает теория алгоритмов, основанная на математике, и математической логике в частности. Математическая логика нашла широкое применение в языках программирования. А в 80-х годах XX века начались исследования в области искусственного интеллекта на базе языков и систем логического программирования. Это направление является самым развивающимся и перспективным.

Поэтому целью данной курсовой работы является знакомство с методами решений задач логики высказываний, логики предикатов и реляционной логики.

Задачами, которые будут решаться в работе, являются:

ознакомиться с алгеброй логики высказываний и исчислением высказываний,

рассмотреть алгебру логики предикатов и исчисление предикатов,

изучить реляционную алгебру.

Для решения поставленных задач использовался теоретический материал научных работ Лаврова И.А., Максимовой Л.Л. и Пономарева В.Ф.

1. Логика высказываний

Выполнить задания по алгебре высказываний и исчислению высказываний:

{(AÚB); (A→C); (B→D)}├ CÚD

Обозначим F=AÚB , G=A→C, H=B→D, J=CÚD

а. Построить таблицу истинности.

Рисунок 1 - Таблица истинности

ABCDAÚBA→CB→DCÚDFGHJ00000110000101110010011100110111010011000101111101101101011111111000101010011011101011111011111111001000110110111110110111111111

В таблице истинности жирным шрифтом выделены столбцы с посылками, а жирным и курсивом выделено заключение. Смотря на те строчки, в которых истины все посылки одновременно видно, что заключение также истинно. Поэтому можно сделать вывод, что данное заключение выводимо из данного множества посылок.

б. Упростить посылки и заключения, т.е. привести их к базису {Ø, &, Ú} с минимальным числом операций:

= A® C = ØAÚC

G = B®D = ØBÚD

Формулы H и J остаются без изменения.

в. Привести посылки и заключение к базисам {Ø, &} и {Ø, Ú}:

=AvB=Ø(ØA&ØB) (в базисе {Ø, &})

H=AvB (в базисе {Ø, Ú})

F = = A®C= ØAÚC = Ø (ØØA&ØC) = Ø(A&ØC) (в базисе {Ø, &})= A®C = ØAÚC (в базисе {Ø, Ú})= B®D = ØBÚD = Ø (ØØB&ØD) = Ø(B&ØD) (в базисе {Ø, &}) = B®D = ØBÚD (в базисе {Ø, Ú})

J=CvD=Ø(ØC&ØD) (в базисе {Ø, &})

J=CvD (в базисе {Ø, Ú})

г. Для посылок и заключения построить КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ:

= AvB (КНФ, ДНФ, СКНФ) = (A&B) Ú (ØA&B) Ú (A&ØB) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности);

F = A®C = ØAÚC (КНФ, ДНФ, СКНФ) = (A&C) Ú (ØA&C) Ú (ØA&ØC) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности);

G = B®D = ØBÚD (КНФ, ДНФ, СКНФ)

G = (B&D) Ú (ØB&D) Ú (ØB&ØD) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности);

J = CvD (КНФ, ДНФ, СКНФ)

J = (C&D) Ú (ØC&D) Ú (C&ØD) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности);

д. Доказать истинность заключения путём построения дерева доказательства

вп {AvC}├ AvC

{AvC; DvC}├ AvC вп {DvC}├ DvC

mp{AvC; DvC}├ AÚB→DÚC

{A→C}├ AÚB→DÚC {AÚB}├ AÚB

вп {AÚB; A→C}├ AÚB→DÚC вп {AÚB; A→C}├ AÚB{B→D}├ BÚC→CÚD

вп {AÚB; B→D}├ BÚC→CÚD

{AÚB; A→C}├ BÚC вп {AÚB; A→C; B→D}├ BÚC→CÚD {AÚB; A→C; B→D}├ CÚD

Рисунок 2 - Граф построения дерева доказательства

е. Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода (с построением графа дедуктивного вывода):

AÚB A→C B→D

m.p. AÚB→BÚC BÚC→CÚD

BÚC

m.p.

CÚD

Рисунок 3 - Граф дедуктивного вывода

ж. Доказать истинность заключения методом резолюции (с построением графа вывода пустой резольвенты):

Приведем посылки и отрицание заключения к виду КНФ:

= AvB= A→C = ØAÚC= B→D = ØBÚD

ØJ ==Ø (CÚD)=( ØC)&( ØD)= { AvB, ØAÚC, ØBÚD, ØC, ØD }

Построим граф вывода пустой резольвенты:

ØAÚC ØC AÚB ØBÚD ØD

ØA

B

D

Рисунок 4 - Граф вывода пустой резольвенты

Выполнить задания по алгебре высказываний и исчислению высказываний:

Обозначим F= A® (B®C), G=A®B, H=A и J=C.

а. Построить таблицу истинности.

Рисунок 5 - Таблица истинности

ABCAàBBàCAà(BàC)HJGF000111001111010101011111100011101011110100111111

В таблице истинности жирным шрифтом выделены столбцы с посылками, а жирным и курсивом выделено заключение. Смотря на те строчки, в которых истины все посылки одновременно (в данном случае это последняя строчка, которая выделена жирной рамкой), видно, что заключение также истинно. Поэтому можно сделать вывод, что данное заключение выводимо из данного множества посылок.

б. Упростить посылки и заключения, т.е. привести их к базису {Ø, &, Ú} с минимальным числом операций:

= A® (B®C) = ØAÚ(B®C) = ØAÚØBÚC= A®B = ØAÚB

Формулы H и J остаются без изменения.

в. Привести посылки и заключение к базисам {Ø, &} и {Ø, Ú}:

= A® (B®C) = ØAÚØBÚC = Ø(ØØA&Ø(ØBÚC)) = Ø(A&ØØB&ØC) = Ø(A&B&ØC) (в базисе {Ø, &})= A® (B®C) = ØAÚØBÚC (в базисе {Ø, Ú})= A®B = ØAÚB = Ø (ØØA&ØB) = Ø(A&ØB) (в базисе {Ø, &})= A®B = ØAÚB (в базисе {Ø, Ú})

Формулы H и J остаются без изменения.

г. Для посылок и заключения построить КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ:

= A® (B®C) = ØAÚØBÚC (КНФ, ДНФ, СКНФ)=(A&B&C) Ú (ØA&B&C) Ú (ØA&B&ØC) Ú (ØA&ØB&ØC) Ú (A&ØB&C) Ú (A&ØB&ØC) Ú (ØA&ØB&C) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности)

G = A®B = ØAÚB (КНФ, ДНФ, СКНФ) = (A&B) Ú (ØA&B) Ú (ØA&ØB) (СДНФ, построенная с помощью таблицы истинности);

Формулы H и J остаются без изменения.

д. Доказать истинность заключения путём построения дерева доказательства

. {A→B} | A→B {A} | A

{A→B, A→(B→C), A}| A→B {A→B, A→(B→C), A}| A

{A→B, A→(B→C), A}|B

. {A→(B→C)} | A→(B→C) {A} | A

{A→B, A→(B→C), A}| A→B {A→B, A→(B→C), A}| A

{A→B, A→(B→C), A}|B→C

. {A→B, A→(B→C), A}|B {A→B, A→(B→C), A}|B→C

{A→B, A→(B→C), A}|C

Рисунок 6 - Граф построения дерева доказательства

е. Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода (с построением графа дедуктивного вывода):

Построим граф дедуктивного вывода.

A→(B→C) A A →B

B→C B

C

Рисунок 7 - Граф дедуктивного вывода

ж. Доказать истинность заключения методом резолюции (с построением графа вывода пустой резольвенты):

Приведем посылки и отрицание заключения к виду КНФ:

= A® (B®C) = ØAÚØBÚC=A®B = ØAÚB=A

ØJ=ØC= {ØAÚB,ØAÚØBÚC,A,ØC}

Построим граф вывода пустой резольвенты:

A ¬AÚB ¬AÚ¬ BÚC ¬C

¬AÚ¬B

¬A

Рисунок 8 -Граф вывода пустой резольвенты

2. Логика предикатов

Выполнить задание по алгебре предикатов и исчислению предикатов:

= ("x (B(x))→$x (A(x))) & $y (A(x)→C(y))→ ¬ (¬C(y) & B(x))

а. Привести выражение к виду ПНФ

= ("x(B(x))→$x(A(x)))&$y(A(x)→C(y))→¬(¬C(y)&B(x))=¬($x (¬B(x))Ú Ú$x (A(x))) Ú ¬($y (¬A(x) Ú C(y))) Ú C(y) Ú ¬B(x) = "x(B(x)) & "x(¬A(x))Ú Ú"y(A(x) & ¬C(y)) Ú C(y) Ú ¬B(x) = "x(B(x) & ¬A(x)) Ú "y(A(x) & ¬C(y)) Ú ÚC(y) Ú ¬B(x) = [x = t] = "t(B(t) & ¬A(t)) Ú "y(A(x) & ¬C(y)) Ú C(y) Ú ¬B(x) = =[y = n] = "t(B(t) & ¬A(t)) Ú "n(A(x) & ¬C(n)) Ú C(y) Ú ¬B(x) = "t "n (B(t) & &¬A(t) Ú A(x) & ¬C(n) Ú C(y) Ú ¬B(x)= "t "n ((B(t) Ú C(y) Ú ¬B(x)) & (¬A(t) Ú ÚC(y) Ú ¬B(x)) Ú A(x) & ¬C(n)) = "t "n ((B(t) Ú C(y) Ú ¬B(x) Ú A(x))& (¬A(t)Ú ÚC(y) Ú ¬B(x) ÚA(x))&(B(t)ÚC(y)Ú¬B(x)Ú¬C(n))&(¬A(t)ÚC(y)Ú ¬B(x)Ú¬C(n)))

Для приведения к виду ССФ воспользуемся алгоритмом Сколема, поэтому будут проведены следующие замены:

= t, где t - предметная постояннаяn

k = n, где n - предметная постоянная

В результате получится следующее выражение:

F="t"n((B(t)ÚC(y)Ú ¬B(x) Ú A(x)) & (¬A(t) Ú C(y)Ú¬B(x)ÚA(x)) &(B(t)Ú ÚC(y) Ú ¬B(x) Ú ¬C(n)) & (¬A(t) Ú C(y) Ú ¬B(x) Ú ¬C(n))).

в. Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода (с построением графа дедуктивного вывода):

Представим нашу формулу в следующем виде:

{("x (B(x))→$x (A(x))) & $y (A(x)→C(y))}├ ¬(¬C(y) & B(x))

Построим граф дедуктивного вывода для доказательства выводимости заключения из данного множества посылок:

"x (B(x))→$x (A(x)) $y (A(x)→C(y))

(t)→$x (A(x)) A(a)→C(a)

B(t)→A(a) B(t)→C(a)

¬B(x) Ú C(y)

¬ (¬C(y) & B(x))

Рисунок 9 - Граф дедуктивного вывода

г. Доказать истинность заключения методом резолюции (с построением графа вывода пустой резольвенты)

ØF = ("x (B(x))→$x (A(x))) & $y (A(x)→C(y)) = ($x (¬B(x)) Ú $x (A(x)))&

&$y(¬A(x) Ú C(y)) = [x=n] = $n ((¬B(n) Ú A(n)) & $y(¬A(x) Ú C(y)) = =$n$y((¬B(n) Ú A(n)) & (¬A(x) Ú C(y))) = $n((¬B(a) Ú A(a)) & (¬A(x)Ú

ÚC(y))) = (¬B(a) Ú A(a)) & (¬A(x) Ú C(b))

¬F = ¬C(y) & B(x)={¬B(a) Ú A(a); ¬A(x) Ú C(b); ¬C(y); B(x)}

¬B(a) Ú A(a) B(x)

(a) ¬A(x) Ú C(b)

C(b) ¬C(y)

Рисунок 10 -Граф вывода пустой резольвенты

Выполнить задание по алгебре предикатов и исчислению предикатов:

а. Привести выражение к виду ПНФ

= "x (A(x)®B(y))& "z(C(z)®A(x))®$y(C(z)®B(y))=

=¬("x (A(x) ®B(y))& "z(C(z) ®A(x)))V$y(C(z) ®B(y))=

=Ø "x (ØA(x)VB(y))V ¬"z(ØC(z)VA(x))V$y(ØC(z)VB(y)))=

=$x(A(x)&ØB(y))V $z (C(z)&ØA(x))V$y(ØC(z)VB(y))=

=$v(A(v)&ØB(y))V $w (C(w)&ØA(x))V$t(ØC(z)VB(t))=

=$v$w$t ((A(v)&ØB(y))V(C(w)&ØA(x))V(ØC(z)VB(t)))= $v$w$t ((A(v)&ØB(y))V(C(w)&ØA(x))V(ØC(z)VB(t)))

б. Привести выражение к виду ССФ

Для приведения к виду ССФ воспользуемся алгоритмом Сколема, поэтому будут проведены следующие замены:

= a, где a - предметная постоянная

w = b, где b - предметная постоянная

t = c, где c - предметная постоянная

В результате получится следующее выражение:

=((A(a)&ØB(y))V(C(b)&ØA(x)VØC(z)VB(c)))

в. Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода (с построением графа дедуктивного вывода):

Представим нашу формулу в следующем виде:

{"x (A(x)®B(y)); "z(C(z)®A(x)) }|- $y(C(z)®B(y))

истинность доказательство бинарный предикат

Построим граф дедуктивного вывода для доказательства выводимости заключения из данного множества посылок:

"x (A(x)®B(y))"z(C(z)®A(x))

A(x) ®B(y) C(z) ®A(x)

C(z) ®B(y)

$y(C(z)®B(y))

Рисунок 11 - Граф дедуктивного вывода

г. Доказать истинность заключения методом резолюции (с построением графа вывода пустой резольвенты)

ØF = Ø("x (A(x)®B(y))& "z(C(z)®A(x))®$y(C(z)®B(y))) =

= ¬(¬("x (¬A(x)VB(y))& "z(¬C(z)VA(x)))V$y(¬C(z)VB(y))) =

= "x (¬A(x)VB(y))& "z(¬C(z)VA(x))& "y(C(z)& ¬B(y)) =

="v (¬A(v)VB(y))& "w(¬C(w)VA(x))V"t(C(z)&B(t))=

= "v"w"t ((¬A(v)VB(y))&(¬C(w)VA(x))&C(z)& ¬B(t)

ØF = "v"w"t ((¬A(v)VB(y))&(¬C(w)VA(x))&C(z)& ¬B(t))

Д = { ¬A(v)VB(y); ¬C(w)VA(x); C(z); ¬B(t) }

Построим граф вывода пустой резольвенты:

¬A(v)VB(y) ¬C(w)VA(x) C(z) ¬B(t)

z∫w

v∫x A(x)

B(y)

t∫y

Рисунок 12 - Граф дедуктивного вывода

3. Реляционная алгебра

Выполнить следующие бинарные операции и составить результирующие таблицы.

) (r1Èr2)

) (r1Çr2)

) (r1 \ r2)

) Выполнить заданную композицию операций

Таблица 13- r1 Таблица 14 - r2

A1A2A5A6a3b434a1b143a2b232a3b321

A1A2A5A6a1b212a2b323a1b143a2b232

1)Таблица 15 - (r1Èr2) 2)Таблица 16 - (r1Çr2)

A1A2A5A6a3b434a1b143a2b232a3b321a1b212a2b323

A1A2A5A6a1b143a2b232

)Таблица 17 - (r1 \ r2)

A1A2A5A6a3b434a3b321

r = d ((r1>θ< r2, (r1× A6 = r2× A6)), d (r2× A1) = a2)

) Таблица 18 - r1 Ä r2

r1.A1r1.A2r1.A5r1.A6r2.A1r2.A2r2.A5r2.A6a3b434a1b212a3b434a2b323a3b434a1b143a3b434a2b232a1b143a1b212a1b143a2b323a1b143a1b143a1b143a2b232a2b232a1b212a2b232a2b323a2b232a1b143a2b232a2b232a3b321a1b212a3b321a2b323a3b321a1b143a3b321a2b232

)Таблица 19 - r1>θ< r2

r1.A1r1.A2r1.A5r1.A6r2.A1r2.A2r2.A5r2.A6a1b143a2b323a1b143a1b143a2b232a1b212a2b232a2b232

) Таблица 20 - r = d ((r1>θ< r2, (r1× A6 = r2× A6)), d (r2× A1) = a2)

r1.A1r1.A2r1.A5r1.A6r2.A1r2.A2r2.A5r2.A6a1b143a2b323a2b232a2b232

Выполнить следующие бинарные операции и составить результирующие таблицы.

) (r1Èr2)

) (r1Çr2)

) (r1 \ r2)

) Выполнить заданную композицию операций

А3А4А7А8c3d434c4d141c1d212c2d323

Таблица 21 - r1 Таблица 22 - r2

А3А4А7А8с1d212с2d323с1d121с2d214

A3A4A7A8c1d212c2d323

) Таблица 23 - (r1Èr2) 2) Таблица 24 - (r1Çr2)

) Таблица 25 - (r1 \ r2)

А3А4А7А8c1d121c2d214

) Таблица 26 - r1>q<r2, d(r1.A7)< d(r2.A7)

r1A3r1A4r1A7r1A8r2A3r2A4r2A7r2A8c1d212c3d434c1d212c4d141c1d212c2d323с2d323c3d434с2d323c4d141с1d121c3d434с1d121c4d141с2d214c3d434с2d214c4d141с2d214c2d323

5) Таблица 27 - p( r1.A3, r1.A4, r2×A7,r2.A8)(r1>q<r2, d(r1.A7)< d(r2.A7))

r1A3r2A4r2A7r2A8c1d234c1d241c1d223с2d334с2d341с1d134с1d141с2d234с2d241с2d223

Заключение

Вместе с развитием вычислительных систем, стремительно развиваются и другие отрасли цифрового мира. С каждым днем цифровые технологии все больше входят в нашу жизнь. И уже сложно представить себе окружающий мир без различных цифровых устройств, которые с каждой секундой появляются все новые и новые, и становятся все интеллектуальнее и интеллектуальнее.

Цель данной курсовой была достигнута.

В работе решены все поставленные задачи, такие как, ознакомление с алгеброй высказываний и исчислением высказываний, рассмотрение алгебры предикатов и исчисления предикатов, изучение реляционной алгебры.

В ходе работы над курсовой работой была изучена научная и учебная литература по теме «Математическая логика и теория алгоритмов», так же были широко использованы материалы Интернет-ресурсов.

Список литературы

1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 5-е изд., исправ. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2010. - 256 с.

2. Пономарев В.Ф. Математическая логика. Часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие - Калининград: КГТУ, 2001. - 140 с.

3. Пономарев В.Ф. Математическая логика. Часть 2. Логика реляционная. Логика нечеткая. Учебное пособие - Калининград: КГТУ, 2001. - 104 с.

. Фролов И.С. Элементы математической логики: Учеб. Пособие для студентов математических специальностей. - Самара: Изд-во «Самарский университет», 2011. - 80 с.