Общие сведения по теории надежности

Общие сведения по теории надежности

1. Основные термины и определения

Система и элементы. Под системой понимают совокупность элементов, взаимодействующих между собой в процессе выполнения заданных функций. Система предназначена для самостоятельного выполнения определенной практической задачи.

По степени сложности системы можно подразделять на простые и сложные. Отличительные особенности сложной системы таковы:

 большое количество элементов;

 сложный характер связей между элементами;

 многообразие функций выполняемых системой;

 наличие элементов самоорганизации;

сложность поведения при изменяющихся внешних воздействиях, обусловленная наличием обратных связей, участием оперативного персонала в функционировании системы.

В зависимости от факторов, учитываемых при классификации, различают:

а) структурно сложные системы;

б) функционально сложные системы.

Элементом системы называют составную часть системы, которая рассматривается без дальнейшего разделения как единое целое; внутренняя структура элемента при данном рассмотрении не является предметом исследования.

Понятия “система” и “элементы” выражены одно через другое и условны: то, что является системой для одних задач, для других принимается элементом в зависимости от целей изучения, требуемой точности, уровня знаний о надежности и т.д. Даже такая сложная система, как АСУ ТП, может рассматриваться как элемент более сложной системы - автоматизированного технологического комплекса, включающего, помимо АСУ ТП, технологический объект управления. Еще в большей степени это относится к составным частям АСУ ТП.

Состояния и события. Работоспособным называется такое состояние системы (элемента), при котором значения параметров, характеризующих способность системы выполнять заданные функции, находятся в пределах, установленных нормативно-технической или конструкторской документацией. Соответственно неработоспособным называется состояние системы, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не находится в пределах, установленных указанной документацией. Например, система измерения температуры является неработоспособной, если основной параметр, характеризующий качество ее функционирования - погрешность измерения, превышает заданную величину.

Состояния системы могут быть также разделены на исправное (при котором система соответствует всем требованиям нормативно-технической и конструкторской документации) и неисправное (при котором имеется хотя бы одно несоответствие этим требованиям).

Отличие между исправным и работоспособным состояниями заключается в следующем. Работоспособная система удовлетворяет только тем требованиям, которые существенны для функционирования, и может не удовлетворять прочим требованиям (например, по сохранности внешнего вида элементов), Система, находящаяся в исправном состоянии, заведомо работоспособна.

Событие, заключающееся в нарушении работоспособности системы, т. е. в переходе ее из работоспособного в неработоспособное состояние, называется отказом. Понятие «отказ» является важнейшим в теории надежности. Отказы можно различать по нескольким признакам:

1.  По характеру устранения различают: окончательные (устойчивые) отказы, являющиеся следствием необратимых процессов и перемежающиеся (то возникающие, то исчезающие отказы), которые в большинстве случаев являются следствием обратимых случайных изменений режимов работы и параметров объекта. Перемежающиеся отказы  существенно отличаются от окончательных причиной возникновения, внешними проявлениями и последствиями появления.

2. По связи с другими отказами различают первичные отказы, не являющиеся следствием ранее возникших отказов, и вторичные отказы, являющиеся следствием ранее возникших отказов. Например, значительная часть отказов электрических исполнительных механизмов являются вторичными, возникшими вследствие перегрузки по току в силовых цепях электродвигателя при одновременном несрабатывании защиты, что приводит к сгоранию обмотки электродвигателей.

3. По характеру возникновения можно различать отказы внезапные, состоящие в резком, практически мгновенном изменении характеристик системы, и отказы постепенные, наступающие в результате длительного, постепенного изменения параметров.. Разграничение отказов на внезапные и постепенные является в некоторой степени условным и зависит от возможности контроля процессов изменения параметров. Внезапные отказы обычно имеют характер обрывов, поломок, замыканий и часто проявляются в нарушении цепи прохождения сигнала (например, сгорание термопары, залипание контактов магнитного пускателя). Постепенные отказы часто имеют характер разрегулировок (например, дрейф нуля усилителя).

. По степени нарушения работоспособности отказы разделяют на полные (после которых функционирование системы полностью прекращается) и частичные (после которых может продолжаться функционирование, но с ухудшенными показателями). Такое деление отказов часто проводится для систем, участвующих в выполнении нескольких функций и (или) по нескольким каналам. Полным отказом при этом является прекращение выполнения всех функций по всем каналам, частичным  - прекращение выполнения части функций и (или) по части каналов.

. Отказы в АСУ целесообразно подразделять на:

а) аппаратурные, при которых утрачивается работоспособность и для ее восстановления требуется проведение ремонта или замена отказавшего элемента на идентичный работоспособный;

б)  программные, при которых утрачивается работоспособность по причине несовершенства программы, отсутствия программной защиты от сбоев, несовершенства алгоритма решения задачи и т. д.

Событие, заключающееся в переходе системы из исправного в неисправное (но работоспособное) состояние, называется повреждением. Предметом дальнейшего изучения будут, как правило, отказы. Отличительный признак или совокупность признаков, по которым устанавливается факт возникновения отказа, называют критериями отказа.

Восстановлением называется событие, заключающееся в переходе системы из неработоспособного в работоспособное состояние. Соответственно к невосстанавливаемым относят системы, восстановление которых непосредственно после отказа считается нецелесообразным или невозможным, а к восстанавливаемым - в которых проводится восстановление непосредственно после отказа.

Одна и та же система в различных условиях применения может быть отнесена к невосстанавливаемым (например, если она расположена в необслуживаемом помещении, куда запрещен доступ персонала во время работы технологического агрегата) и к восстанавливаемым, если персонал сразу же после отказа может начать восстановление. Само понятие “восстановление” следует понимать не только как корректировку, настройку, пайку или иные ремонтные операции по отношению к тем или иным техническим средствам, но и как замену этих средств.

В принципе подавляющее большинство систем, применяемых для автоматизации технологических процессов, подлежит восстановлению после отказа, после чего они вновь продолжают работу. То же относится к большей части технических средств; к числу невосстанавливаемых можно отнести только такие их элементы, как интегральные схемы, резисторы, конденсаторы и т. п.

Рис. 1 Схема основных состояний и событий восстанавливаемой системы

Схема основных состояний и событий, характерных для восстанавливаемых систем, приведена на рис.  На этой схеме выделено также предельное состояние, при котором дальнейшее применение системы по назначению недопустимо или нецелесообразно. Предельное состояние может иметь место, если дальнейшее восстановление работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно. После попадания в предельное состояние может следовать ремонт (капитальный или средний), в результате чего восстанавливается исправное состояние, или же система окончательно прекращает использоваться по назначению.

Понятие «наработка до отказа». Рассмотрим систему, начинающую функционировать в момент времени t=0, причем в этот момент система находится в работоспособном состоянии. Предположим сначала, что такая система отключается только вследствие отказа. Обозначим через Т время, прошедшее от момента начала функционирования до момента отказа. Величина Т зависит от случайных отклонений технологических условий изготовления отдельных элементов от номинальных, различия условий транспортировки, монтажа, наладки и не будет одинаковой у различных систем даже при абсолютно одинаковых условиях эксплуатации. К тому же сами условия эксплуатации (температура, вибрация, качество технического обслуживания, частота включения и т. д.) в определенной степени отличны друг от друга, поэтому величина Т случайна.

Отключения системы могут происходить не только из-за ее отказов, но и для проведения технического обслуживания, вследствие отказов автоматизируемого технологического агрегата, из-за циклического графика работы системы, когда она включается на некоторые промежутки времени, определяемые технологическим режимом   (например, в АСУ непрерывно-дискретными технологическими процессами).

Продолжительность работы системы в этой ситуации носит название наработки, а случайная величина - длительность работы до отказа называется наработкой до отказа, которую также будем обозначать Т. Наработка до отказа в отличие от времени безотказной работы не всегда измеряется единицами времени; наработка до отказа может измеряться и числом включений (срабатываний, циклов). Однако для большей части систем наработка до отказа измеряется единицами времени. На рис. 2 приведен график эксплуатации системы, где наработка до отказа

T = t1+ (t3 - t2) + (t5 - t4),

где t1 - момент отключения системы из-за останова технологического агрегата; t2, t4 - моменты включения системы в работу; t3 - момент отключения системы на профилактику; t5 - момент отказа системы.

Очевидно, что для систем, работающих без отключений (кроме отказов), наработка до отказа совпадает с временем безотказной работы.

Рис. 2  К определению понятия «наработка до отказа»

Надежность. Свойство системы сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность системы выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации называют надежностью.

Надежность является комплексным свойством, включающим в себя четыре составляющие: безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость.

Под безотказностью понимается свойство системы сохранять работоспособность (выполнять свои функции с эксплуатационными показателями не хуже заданных) в течение требуемого интервала времени непрерывно без вынужденных перерывов. Безотказность является наиболее важной компонентой надежности, так как она отражает способность длительное время функционировать без отказов. Безотказность систем в решающей степени влияет на эффективность их использования и определяется количеством и безотказностью элементов, режимом их работы, наличием резервирования, параметрами окружающей среды (температурой, запыленностью) и др.

Ремонтопригодность является свойством системы, заключающимся в ее приспособленности к предупреждению, обнаружению и устранению причин возникновения отказов, а также поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов. Ремонтопригодность зависит от того, выполнены ли элементы в виде отдельных, легко заменяемых блоков, а также от использования средств встроенного контроля работоспособности и диагностики. Следует отметить, что характеристики ремонтопригодности существенно зависят не только от свойств самой системы, но и от квалификации обслуживающего персонала и от организации эксплуатации.

Долговечность - свойство системы сохранять работоспособность до наступления предельного состояния с необходимыми перерывами для технического обслуживания и ремонтов. Долговечность системы зависит от долговечности технических средств и от подверженности системы моральному старению.

Сохраняемость характеризует свойство системы сохранять значения показателей безотказности и ремонтопригодности в течение и после срока хранения и транспортировки. Поскольку системы в целом не хранятся, а могут сохраняться только отдельные технические средства и их элементы, то свойство сохраняемости для систем несущественно. Для технических средств и элементов это свойство имеет определенное значение, но менее важное, чем предыдущие свойства, так как эти средства обычно транспортируются только один раз - от завода-изготовителя к месту установки и длительность их хранения от момента поступления до монтажа и наладки (кроме технических средств и элементов, используемых в качестве запасных частей) относительно невелика. Вследствие этого вопросы сохраняемости ниже рассматриваться не будут.

Виды надежности. При исследовании надежности  часто ставится задача определить причины, приводящие к формированию той или другой стороны надежности. Без этого невозможно наметить правильную  программу работ по повышению надежности. Это приводит к делению надежности на:

-  аппаратную надежность, обусловленную состоянием аппаратуры, которая может при необходимости расчленяться на более мелкие разновидности надежности: на надежность конструктивно-схемную и производственно-технологическую;

-  программную надежность, обусловленную состоянием программ;

-  надежность объекта, обусловленную качеством обслуживания;

надежность функциональную - это надежность выполнения отдельных функций, возлагаемых на систему. Примером функциональной надежности в АСУ может быть надежность передачи определенной информации в системе передачи данных.

2. Показатели надежности невосстанавливаемых систем

Показателями надежности называются количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность системы. При выборе показателей надежности следует иметь в виду, что эти показатели должны достаточно полно описывать надежностные свойства системы, быть удобными для аналитического расчета и экспериментальной проверки по результатам испытаний, должны иметь разумный физический смысл и, наконец, допускать возможность перехода к показателям эффективности.

Для невосстанавливаёмых систем ограничимся здесь показателями безотказности. Отметим, что эти же показатели описывают системы, в принципе подлежащие восстановлению после отказов, но поведение которых целесообразно рассматривать до момента первого отказа. К их числу, например, можно относить системы, чьи отказы чрезвычайно редки и вызывают особо тяжелые последствия.

Рис. 3 Примерный вид функции распределения F(t) и функции надежности P(t)

Функция и плотность распределения наработки до отказа. Наработка до отказа Т, как и любая иная случайная величина, описывается функцией распределения F(t), определяемой как вероятность Р случайного события, заключающегося в том, что наработка до отказа Т меньше некоторой заданной наработки t:

F(t)=P{T<t}.                                           (1)

Эта вероятность рассматривается как функция t во всем диапазоне возможных значений величины Т.

Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией времени t. Примерный вид функции F(t) дан на рис. 3. Так как значения Т не могут быть отрицательны, то F(0) = 0. При t величина F(t) стремится к единице.

Кроме указанного выше вероятностного определения функции F(t), для нее (как и для указанных ниже показателей надежности) можно привести и статистические определения, используемые при испытаниях на надежность. Статистические определения позволяют более полно объяснить смысл вероятностных определений. Чтобы их различать, обозначения статистических определений далее будут отмечать волнистой чертой сверху.

Для рассмотрения статистических определений показателей надежности невосстанавливаемых систем предположим, что на испытания поставлено N одинаковых систем, условия испытаний одинаковы, а испытания каждой из систем проводятся до ее отказа. Обозначим N(t) число систем, отказавших к моменту t, т. е. на интервале (0, t). Очевидно, что N(0) = 0, а при  t величина N(t) N.

Статистическим определением функции распределения F(t) (или, как говорят, эмпирической функцией распределения) является функция

(t)=N(t)/N,                                              (2)

причем (0) = 0, а при  t величина (t)  

График эмпирической функции распределения (t) представляет собой ступенчатую линию со скачками, кратными 1/N в моменты отказов (рис. 3).

Так как события, заключающиеся в наступлении или ненаступлении отказа к моменту t, являются противоположными, то в соответствии с (1) введем еще одну функцию

P(t) = P{T  t} =1 - F(t),                                      (3)

которую часто называют функцией надежности. Так как при t = 0 система работоспособна, то P(0) =  С увеличением времени t P(t) монотонно убывает, а при t величина P(t)0. Примерный вид функции P(t) дан на рис. 3.

(t) =1-(t) = [N - N(t)]/N,                                            (4)

где N-N (t) - число систем, работоспособных к  моменту t.

Функция F(t), как правило, непрерывна, и существует непрерывная плотность распределения наработки до отказа

f(t) = dF(t)/dt.                                           (5)

Для статистического определения плотности распределения f(t) рассмотрим интервал времени (t-t/2, t+t/2), где t - длина этого интервала. Тогда

,                 (6)

где N(t-t/2, t+t/2) - число систем, отказавших в интервале времени       (t-t/2, t+t/2).

Вероятности отказа и безотказной работы. Зафиксируем в выражении (1) определенное значение t = t Тогда

Q(t₁) = F(t_l) = P{T < t₁},                                        (7)

является вероятностью отказа системы до момента t

В отличие от статистического определения функции F(t) во всем диапазоне ее изменения при различных t статистическое определение вероятности отказа (t1) на интервале (0, t1) требует при той же точности оценивания меньших статистических данных. При фиксированном значении t = t1 статистическое определение вероятности отказа

(t1) = N(t1)/N.                                              (8)

Теперь зафиксируем значение t = t1 в выражении (3). При этом

Р(t1) = Р{T  > t1},                                            ( 9)

называем вероятностью безотказной работы до момента t1 - вероятностью того, что система проработает безотказно на интервале (0, t1), начав работать в момент времени  t = 0.

Статистическое определение вероятности безотказной работы

(t₁) = l - (t1) = [N-N(t₁)] / N.                                 (10)

Для решения различных задач в качестве показателя надежности используется вероятность безотказной работы P(t1, t2) системы на интервале (t1, t2) при условии, что эта система безотказно проработала до момента t Определим этот показатель по формуле умножения вероятностей, обозначив через А и В соответственно события, выражающие безотказную работу системы на интервалах (0, t1) и (t1, t2). Вероятность события АВ - безотказной работы на интервале (0, t2) будет

Р{AВ} = Р{A}Р{B/A}.

Отсюда

Р(t1, t2) = Р{В/А} = P{АВ}/Р{А} = Р(t2)/Р(t1).                (11)

Интенсивность отказов. При описании надежности невосстанавливаемых систем широкое применение получила такая  характеристика, как интенсивность отказов (t). Она определяется как условная плотность вероятности отказа системы в момент t при условии, что до этого момента отказы не возникали.

Условная вероятность безотказной работы системы на интервале     (t, t+t) при условии, что система работоспособна в момент t, определяется выражением (11):

P(t, t+t) = P(t+t)/P(t).

На интервале (t,  t+t) условная    вероятность   отказа   системы

1 - P(t, t+t)=1 - P(t, t+t) / P(t) = - [P(t+t) - P(t)] / P(t);

.

Устремив t  к нулю, получим

.                          (12)

Выражение ( 12) можно представить в виде

,                       (13)

из чего следует, что .

Решим соотношение (12) относительно P(t):

,

отсюда

P(t)=                                             (14)

Для статистического определения интенсивности отказов в выражение (13) вместо f(t) подставим (t) [см. (6)], а вместо P(t) подставим (t) [см. (4)], тогда

,               ( 15)

где N(t-t/2, t+t/2) - число систем, отказавших на интервале (t-t/2, t+t/2);

N - N(t) - число систем, работоспособных к моменту t.

Так как функции F(t) и P(t) безразмерны, то размерность интенсивности отказов, как это следует из (13) - величина, обратная наработке t (например, 1/ч).

Интенсивность отказов (t) дает наглядную картину изменения безотказности. Типичная зависимость (t) во времени дана на рис. 4. Ниспадающий вид кривой (t) относится к периоду приработки системы (1-й участок). При этом выявляются скрытые дефекты изготовления отдельных элементов системы, недостатки монтажа, наладки, нарушения, произошедшие в результате транспортировки. По окончании приработки наступает период нормальной эксплуатации (2-й участок). В течение этого времени интенсивность отказов относительно неизменна. Именно этот участок соответствует основному времени эксплуатации систем. Возрастание кривой (t) относится к периоду старения системы из-за износа отдельных ее элементов и изменения их характеристик (3-й участок).

Рис. 4 График изменения интенсивности отказов

Средняя наработка до отказа. Функции F(t), f(t), P(t), (t) полностью описывают случайную величину Т. В то же время для решения значительного числа задач надежности достаточно знать только показатели, являющиеся числовыми характеристиками этой случайной величины. К ним в первую очередь относится средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) - математическое ожидание случайной величины Т - наработки до отказа (или времени безотказной работы)

= М[T]=tf(t)dt,                               ( 16)

где М - символ математического ожидания.

Преобразуем выражение (16) к виду

.                        (17)

Отсюда следует, что средняя наработка до отказа геометрически равна площади под кривой P(t) (см. рис. 4).

Статистическое определение средней наработки до отказа

,                                        (18)

где t_i  - наработка до отказа i-й системы; N - число систем.

Реже используются такие показатели, как дисперсия и среднеквадратическое отклонение наработки до отказа:

;               (19)

где т и [Т] имеют размерность времени (обычно они выражаются в часах); D[Т] - квадрата времени.

Статистические определения дисперсии и среднеквадратического отклонения соответственно

      .                         (20)

Таблица 1

Функция надёжно-сти Р(t)                1-F(t)      -              1-=

3. Основные законы распределения наработки до отказа

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина - наработка системы до отказа может описываться различными законами распределения в зависимости от свойств системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распределения наработки до отказа

F(t) = l - е,                                    ( 21)

где  - параметр этого распределения.

Согласно  (5) соответствующая плотность распределения

,                                     ( 22)

Согласно (3) функция надежности

P(t)= е.                                            (23)

Согласно (7) и (9) вероятность отказа системы до момента t1 и вероятность безотказной работы до момента t\ соответственно будут

; ;

Согласно (17} средняя наработка до отказа

,                             (24)

т. е. равна величине, обратной параметру  экспоненциального распределения.

Подставив в (19) плотность распределения (22), после двукратного интегрирования по частям найдем дисперсию наработки до отказа

Из (13) следует, что интенсивность отказов

является постоянной величиной, не зависящей от времени и численно равной параметру распределения и, как видно из (24), обратной средней наработке до отказа.

Отметим одно характерное свойство, присущее только экспоненциальному распределению: вероятность Р(t1, t2) безотказной работы системы на интервале (t1, t2) (при условии, что в момент t1 система работоспособна) зависит только от длины интервала t2 - t1 и не зависит от времени t1 предшествующей работы системы, т. е. от ее “возраста”. Чтобы это доказать, достаточно в (11) подставить значение (23):

.                           (25)

Так как для экспоненциального закона характерно постоянство интенсивности отказов  = const, то область применения этого закона - системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования). Можно показать, что экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Наконец, одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины  расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.

Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут

;                                    ( 26)

,                                    (27)

где  и т - параметры нормального распределения.

Пользуясь соотношениями (16) и (19), можно показать, что при нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа будут

= m;  D[T]=².                                    ( 28)

Для практического использования соотношений (26) и (27) перейдем от случайной величины Т к иной случайной величине

Z=(T-m)/,                                   ( 29)

имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] =

Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента (см. [16]) плотность распределения величины Z следует из (27) и (29):

.

Соответственно функция распределения величины Z

.

Очевидно, что функция  является симметричной, т. е. =, а следовательно,

В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), а несколько иной функции

.                                      (30)

Функции Ф(z) и Ф₀ связаны между собой соотношением

                                      (31)

Приведем значения функции (30) для нескольких положительных z:

Ф₀(0,5) = 0,191; Ф₀(1) = 0,343; Ф₀(2) = 0,477.

Нормальное распределение, как это видно из соотношения (26), описывает поведение случайных величин в диапазоне (-,). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть, вместо нормального в принципе должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0, ), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределении случайной величины Т имеет вид

где с - нормирующий множитель; , т - параметры распределения.

При этом плотность распределения

.

Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (29), можно показать, что

.

В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа

;  ,

где                                         .

Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3. В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность.

Распределение Вейбулла-Гнеденко. В теории надежности получило применение распределение Вейбулла-Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно

Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, параметр  - его масштаб. Так, при k=1 распределение Вейбулла-Гнеденко совпадает с экспоненциальным когда интенсивность отказов постоянна; при k >1 интенсивность отказов монотонно возрастает, при k <1 монотонно убывает. Распределение Вейбулла-Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки. Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 2.

Таблица 2

Примечание: ,

, , , ,  - параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция

4. Потоки отказов восстанавливаемых систем

После каждого отказа восстанавливаемой системы следует ее восстановление, проводимое заменой отказавшего элемента на идентичный работоспособный или проведением ремонтных операций. Так же, как и наработка до первого отказа у невосстанавливаемой системы, моменты наступления отказов восстанавливаемой системы являются случайными. Также случайной является и продолжительность работ по проведению восстановления, но время восстановления, как правило, значительно меньше времени между отказами, и в настоящем параграфе продолжительностью восстановления будем пренебрегать, полагая восстановление мгновенным.

График функционирования восстанавливаемой системы при допущении о мгновенном восстановлении приведен на рис. 5,а. В момент t=0 система начинает работать, в момент t1 имеет место первый отказ и восстановление, после чего система продолжает работу. В момент t2 происходит второй отказ и восстановление, в момент t3 - третий отказ и восстановление и т. д. Последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени, носит название потока отказов. Понятие потока отказов является одним из основных при рассмотрении систем с восстановлением.

Рис. 5  К определению понятия «поток отказов»:

а - реализация последовательности наработок между отказами;

б - реализация случайного процесса

Возможны два основных способа задания потока отказов. Первый способ заключается в изучении некоторого дискретного случайного процесса  - числа отказов на промежутке времени (0, t) [одна из возможных реализаций n(t) этого процесса дана на рис. 5,б]. Второй способ заключается в изучении последовательности непрерывных случайных наработок ; ; ; … между отказами.

Остановимся сначала на первом способе задания потока. Так же, как случайную величину можно задать функцией распределения вероятностей принимаемых ею значений, процесс  можно было бы задать распределением вероятности всех его реализаций n(t). Однако попытка явного задания такого распределения сопряжена со значительными трудностями. При некоторых предположениях, о которых будет сказано ниже, такое задание потока можно существенно упростить.

В общем случае процесс восстановления может быть применен для систем (элементов), у которых распределение наработки между отказами не является экспоненциальным, причем это распределение не зависит ни от времени, ни от порядкового номера отказа, ни от наработки до предшествующего отказа. Такая независимость имеет место в том случае, когда восстановление свойств системы после отказа является полным, а условия эксплуатации не изменяются во времени.

5. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Показатели безотказности. В соответствии с двумя способами задания потока отказов для восстанавливаемых систем можно применять различные показатели безотказности.

При задании потока отказов как дискретного случайного процесса  - числа отказов на интервале (0, t) показателем безотказности является параметр потока отказов (t), определяемый соотношением (33). Для статистического определения параметра потока отказов поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем в одинаковых условиях эксплуатации и при одинаковом техническом обслуживании. В момент t=0 все системы работоспособны и начинают работу. Будем пренебрегать продолжительностью восстановления. Обозначим  число отказов i-й системы (i=) на интервале (0, t). Тогда

.

Таким образом, параметр потока отказов - отношение числа отказов системы на некотором малом отрезке времени к значению этого отрезка.

При задании потока отказов как последовательности случайных величин , … наработок между отказами [в предположении, что эти наработки имеют одинаковое распределение с плотностью f(t)] показателем безотказности является средняя наработка на отказ

   i = (1, 2…).

Отметим, что в простейшем потоке средняя наработка на отказ  и параметр потока  связаны соотношением .

Для статистического определения средней наработки на отказ  будем, как и выше, испытывать N одинаковых восстанавливаемых систем. Предположим, что каждая из них проработала в течение времени  t. Тогда

.                                                  (34)

Рис. 7 График функционирования системы с учетом времени восстановления

Показатели ремонтопригодности. Ранее предполагалось, что продолжительностью восстановления можно пренебречь по сравнению со временем между отказами. На практике продолжительность восстановления почти всегда существенно меньше времени между отказами, однако нельзя не учитывать продолжительность восстановления для решения многих задач надежности (например, расчета потерь из-за отказов, количества необходимого ремонтного персонала и др.).

Обозначим Т_в случайную величину - продолжительность восстановления работоспособного состояния системы после отказа (далее сокращенно - время восстановления).

Будем полагать, что распределение величины T_в не зависит ни от времени, ни от порядкового номера восстановления, ни от длительности предыдущего восстановления, ни от предшествующей наработки между отказами. Функцию распределения величины Т_в обозначим G(t), плотность распределения g(t). Если к тому же наработки между отказами , , … одинаково распределены и не зависят друг от друга и от величины Т_в, то такой поток отказов с учетом времени восстановления носит название альтернирующего процесса восстановления. Отметим, что в этом процессе, как и в процессе восстановления, средняя наработка па отказ  равна средней наработке до отказа .

График функционирования системы с учетом времени восстановления дан на рис. 7. Для упрощения принято, что единственной причиной отключения системы являются ее отказы - отключения по всем иным причинам не рассматриваются.

Показателями ремонтопригодности являются вероятность восстановления работоспособного состояния за заданное время t₁ и среднее время восстановления соответственно

;                                    (35)

.

Статистические определения этих показателей:

;    ,

где l(t₁) - число восстановлений, длительность которых меньше t₁; т - общее число восстановлений; t_Bi - время восстановления после i-гo отказа.

Показатели долговечности. Календарную продолжительность от начала эксплуатации системы до перехода в предельное состояние называют сроком службы системы. Срок службы системы может быть случайной величиной, которую обозначим Т_с. Тогда в качестве показателя долговечности можно принять средний срок службы

или гамма-процентный срок службы , который определяется соотношением

.

Таким образом - календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью  (выраженной в процентах). Для некоторых систем показателем долговечности является установленный срок службы, который должна достигнуть каждая система. Этот показатель можно интерпретировать как   при =100%. В качестве случайной величины при рассмотрении долговечности может быть принят не только календарный срок службы системы, но и ее ресурс - наработка от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние. Комплексные показатели надежности. Кроме приведенных выше показателей, каждый из которых характеризует одну из составляющих надежности, используются также комплексные показатели, отражающие совместно безотказность и ремонтопригодность.

К ним относятся: коэффициент готовности , коэффициент оперативной готовности  и коэффициент технического использования .Коэффициентом готовности  называют вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации. Можно показать что в альтернирующем процессе восстановления коэффициент готовности

,                                     ( 36)

т. е. этот коэффициент численно равен средней доле времени, в течение которого система пребывает в работоспособном состоянии. Для статистического определения коэффициента готовности, как и в начале настоящего параграфа, поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем и обозначим N_p(t_x) число систем, находящихся в состоянии работоспособности в произвольный, достаточно удаленный от начала испытаний момент времени t_x. Тогда статистическое определение коэффициента готовности

.

Коэффициентом оперативной готовности  называют вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся режиме эксплуатации и что, начиная с этого момента, система будет работать безотказно в течение заданного интервала времени t.

Из этого определения и из (36) следует, что в альтернирующем процессе восстановления

,                            (36)  

где P(t_x, t)-условная вероятность безотказной работы системы на интервале (t_x, t_x+ t) при условии, что в момент t_x система была работоспособна. Если распределение времени безотказной работы системы является экспоненциальным, то (36) можно упростить, учитывая свойство (25) экспоненциального распределения: независимость вероятности безотказной работы на интервале (t, t+) от момента t. Тогда

.                                             (37)

Отметим, что при определении коэффициента готовности и коэффициента оперативной готовности из рассмотрения исключены планируемые периоды времени, в течение которых применение систем по назначению не предусматривается (например, интервалы планового технического обслуживания). Эти периоды времени учитываются коэффициентом технического использования

,

где , ,  - соответственно математические ожидания суммарных времен пребывания системы в работоспособном состоянии, технического обслуживания и восстановления за некоторый период эксплуатации .

Список литературы

надежность отказ восстанавливаемый

1. Ястребенецкий, М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами [Текст]: учеб. пособие для вузов/ М.А. Ястребенецкий, Г.М. Иванова. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 264 с.: ил.; 21 см. - Библиогр.: с. 259-260. - 8700 экз. - ISBN 5-283-01549-1.

. ГОСТ 27.301-95. Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения. М.: Издательство стандартов, 1997. - 15 с.

. ГОСТ 24.701-86. Единая система стандартов автоматизированных систем управления. Надежность автоматизированных систем управления. Основные положения. М.: Издательство стандартов, 1987. - 17 с.

. РД 03-418-01. Методические указания по проведению анализа риска опасных производственных объектов. Госгортехнадзор России, 2001.// Безопасность труда в промышленности. - 2001. - № 10. С. 40-50.

. Черкесов, Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов [Текст]: учеб. пособие/ Г.Н. Черкесов. - СПб.: Питер, 2005. - 479 с.: ил.;  24 см. - Библиогр.: с. 473. - 4000 экз. - ISBN 5-469-00102-4.

. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст]: учеб. пособие для втузов/ Л.А. Овчаров, Е.С. Вентцель. -   2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.: ил.; 21 см. - Библиогр.:        с. 378-379. - 8000 экз. - ISBN 5-06-003831-9.