Переходные процессы в электрических цепях

1.      Схема

Дано:

E=180 [В]

L=0,09 [Гн]

R₁=300 [Ом]

R₂=300 [Ом]

R₃=600 [Ом]

C=5 [мкФ]

Ключ размыкается

2.    Составление характеристического уравнения по Zвх. и расчёт его корней

Z_вх(jw)=; (1)

Z_вх(a)=; (2)

Z_вх=0 ==>

=0; (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

 (9)

 (10)

 -корни характеристического уравнения. (11)

3.      Определение принужденных составляющих

 (12)

 (13)

 (14)

 (15)

 (16)

 (17)

. Определение начальных условий

А) Независимые начальные условия

 (19)

 (20)

Б) Зависимые начальные условия

Составим систему по законам Кирхгофа:

 (21)

Подставим в систему (21) t=0, учитывая ННУ из пункта 4.А)

 (22)

Преобразуя систему (22), получим:

 (23)

Таким образом, получим систему зависимых начальных условий (24):

 (24)

. Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа

Определяем i₁:

Из (27):  (28)

Дифференцируем (26):

 (29)

Дифференцируем (28):

 (30)

Подставим (30) в (29):

 ==> (31)

 (32)

Подставим (32) и (28) в (25):

 (33)

 (34)

6. Получение дифференциального уравнения методом Д-алгебраизации

Запишем исходную систему уравнений (25)…(27) с помощью Д-алгебраизации:

Из системы (35)…(37) получим i₁;

 (42)

 (43)

 (44)

==>  (45)

==>  (46)

 (47)

. Анализ полученного уравнения

 (47)

 (48)

 (49)

б) При :

=const и  ==>

 ==>  (50)

 [A]

. Решение дифференциального уравнения классическим методом

ток напряжение кирхгоф

 - корни вещественные, различные

 (51)

 [A] (52)

 (53)

Рассмотрим уравнение (53) при t=0:

 (54)

.3=A₁+ A₂ +0.15 ==> A₁ =0.15 - A₂ (55)

Подставим A₁ в (53):

 (56)

Продифференцируем (56):

 (57)

Рассмотрим (57) при t=0:

 (58)

-0.225==> A₁=0,375 (59)

Подставим (59) в (56):

 (60)

Таким образом:

 [A] (61)

9. Определение остальных токов и напряжений

. Проверочная таблица

11. Операторный метод

Составим систему уравнений в операторной форме:

 (69)

Подставим начальные условия:

и преобразуем систему (69) относительно :

 (70)

 (71)

 (71)

 (72)

 (73)

 (74)

 (75)

Перейти от изображения к оригиналу с помощью теоремы разложения (76):

 (76)

Найдём производную полинома F₂:

 (77)

Подставляем корни:

 (78)

 (79)

 (80)

Т. о. (81)

Формула (81), полученная операторным методом, совпадает с формулой (61), полученной с помощью классического метода.

. Расчёт методом переменных состояния

Из (84) получим:

 (86)

Подставим (86) в (83):

 (87)

Оставим в системе (82)…(85) переменные состояния цепи (i_L, u_c) ==> исключим токи i₂ и i₃ ==>, подставляя в (82) уравнения (85) и (86), получим:

 (88)

Выделим из уравнения (87) и (88) производные:

 (89)

 (90)

Составим матрицы коэффициентов, входных воздействий и начальных условий:

Используем полученные матрицы для построения графиков i_L и u_C , с помощью метода Рунге-Кутта в программе «MathCAD»

Т.к. корни вещественные, то :

 [c]  [c]

Используем для вычисления t наибольшее :

 [c]

Обращение к программе «MathCAD»

Расчет переходного процесса на ЦВМ совпадает с расчетом, выполненном классическим методом: значения тока i₁(t) и напряжения u_C(t) были проверены при

13. Графики токов и напряжений

А) Графики токов

Проверим выполнение 1-ого закона Кирхгофа при  [с]:

i1(0.001)=0.224 [A](0.001)=0.091 [A](0.001)=0.133 [A]

 Верно.

Проверим выполнение 2-ого закона Кирхгофа для первого контура при  [с]:

ul(0.001)= -6.9(0.001)=119.7(0.001)=67.2(0.001)=39.86(0.001)=79.73

Верно.

Список литературы

1.    Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. - 3-е изд.,перераб. и доп. - Л.: Энергоиздат. Ленинг. отд-ние, 1981. - 536 с.

2.         Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. - 7-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1978. - 528 с.

3.         Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. пособие для ву-зов. - 4-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 440 с.

4.         Методические указания к домашним заданиям по расчету электрических цепей /Под ред. Лысенко А.П. - Л.: ЛМИ, 1984. - 58 с.