Метод гармонической линеаризации
Контрольная
работа
Метод
гармонической линеаризации
Содержание
1.
Гипотеза фильтра
.
Исследование симметричных автоколебаний
.
Оценка устойчивости автоколебаний
Литература
1. Гипотеза фильтра
Метод гармонической линеаризации для анализа
систем автоматического управления предложен Л.С. Гольдфарбом в 1940 году. Он
базируется на теоремах, доказанных Н.М. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым. В его
основе лежит аппроксимация колебательного движения системы первой гармоникой
разложения в ряд Фурье периодической функции, описывающей это движение. Поэтому
метод является приближенным. В некоторых случаях он позволяет исследовать
устойчивость эталонного движения системы, а также качественный характер её
свободного движения.
Этот метод может быть применён для исследования
систем любого порядка, но структура системы должна быть приведена к
последовательному соединению нелинейного и линейного блоков. Чаще всего этим
методом исследуется устойчивость положения равновесия системы. При определенных
условиях можно установить наличие или отсутствие периодических движений, а
также определить параметры последних, если эти движения существуют в системе.
Переходя непосредственно к рассмотрению метода
гармонической линеаризации, будем считать, что исследуемая нелинейная система
приведена к виду, показанному на рис. 1.
Рис. 1
Так как исследуется устойчивость
системы, то внешнее воздействие 
. Уравнения линейной части (ЛЧ):
(1)
Далее будем считать, что линейная
часть рассматриваемой системы стабилизируемая, т.е. её неполная часть
асимптотически устойчива.
Обозначим через 
передаточную
функцию линейной части, соответствующую уравнениям (1), т.е.
. (2)
Нелинейный элемент может иметь любую
характеристику 
, лишь бы
она была интегрируемой (без разрывов второго рода).
В основе метода гармонической
линеаризации лежит следующее предположение: если исследуемая система
неустойчива, то в ней могут возникать незатухающие периодические колебания. Это
предположение позволяет считать, что переменная
, (3)
где 
- амплитуда и частота колебаний,
действующих на входе нелинейного элемента.
Преобразование данной переменной 
, для
примера, нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис. 2.
Как видно, выходная переменная нелинейного элемента 
также
является периодической функцией, т.е. её можно разложить в ряд Фурье с тем же
периодом 
. Тогда
будем иметь
(4)
Здесь 
- коэффициенты ряда Фурье, 
.
Далее делается второе, основное
предположение данного метода - так называемая «гипотеза фильтра». Гипотеза
фильтра состоит в предположении, что линейная часть с передаточной функцией
(2) нелинейной системы (см. рис. 1) является фильтром нижних частот (ФНЧ).
Другими словами, предполагается, что линейная часть подавляет все высшие
гармоники с частотами 
, начиная со
второй, т.е. с 
, и
пропускает только первую гармонику с частотой 
.
На рис. 3 показаны
амплитудно-частотные характеристики 
некоторых объектов управления. Причем
объект с характеристикой, приведённой на рис. 3,а, не удовлетворяет гипотезе
фильтра, а объект с характеристикой, приведённой на рис. 3,б, удовлетворяет
гипотезе фильтра.
Так как в начале исследования
частота колебаний 
неизвестна,
то проверить выполнимость гипотезы фильтра в начале расчёта нельзя. Поэтому
приходится сначала провести все необходимые расчеты, а затем уже после
определения частоты колебаний проверить гипотезу фильтра.
Рис. 2
Если она окажется выполненной, то результаты
расчетов будут соответствовать процессам, протекающим в исследуемой системе.
Если же гипотеза фильтра не будет выполняться, то результаты расчетов не будут
соответствовать процессам, протекающим в системе, т. е. метод гармонической
линеаризации, изложенный ниже, применять для исследования данной системы
нельзя.
а 
б 
Рис. 3
Гармоническая линеаризация. В дальнейшем
будем считать, что гипотеза фильтра выполняется, то есть все высшие гармоники
подавляются линейной частью системы, и поэтому они отсутствуют на выходе
линейной части. В этом случае высшие гармоники можно отбросить и на выходе
нелинейного элемента. В результате ряд (4) примет вид
. (5)
Коэффициенты ряда Фурье
периодической функции с периодом 
, как
известно из курса высшей математики [16], определяются по формулам
(6)
(7)
. (8)
Представим равенство (5) в
комплексной форме. С этой целью запишем очевидные равенства
. (9)
Отметим, что выражение вида 
называется
комплексом при любом 
. С учетом
равенств (6) - (9) выражение (5) принимает следующий вид:
. (10)
Обычно нелинейные характеристики
являются симметричными относительно начала координат, поэтому чаще всего 
. Если , то и на
входе, и на выходе нелинейного элемента переменные, как видно из (3) и (10),
являются мнимыми частями соответствующих комплексов. Именно такая ситуация
имеет место в случае линейных динамических звеньев. Поэтому нелинейный элемент
рассматриваемой системы можно заменить линейным звеном.
Комплексный коэффициент передачи
любого линейного звена, по определению, равен отношению выходного комплекса
звена к входному. Следовательно, в данном случае комплексный коэффициент
передачи линейного звена, эквивалентного нелинейному элементу, определяется
выражением
или
, (11)
, 
,
где 
определяются выражениями (7) и (8).
Величины 
и 
называются вещественным
и мнимым коэффициентами гармонической линеаризации, а 
- коэффициентом
гармонической линеаризации.
Важнейшей особенностью коэффициентов
гармонической линеаризации является то, что они зависят не от частоты 
, как в
линейном случае, а от амплитуды 
колебаний.
Рассмотренная процедура замены
нелинейного элемента линейным звеном с комплексным коэффициентом передачи (11)
называется гармонической линеаризацией. Основное достоинство этой
процедуры в том, что коэффициенты гармонической линеаризации 
для
заданной нелинейности 
можно
вычислять в общем виде.
Для типовых нелинейностей
коэффициенты гармонической линеаризации вычислены, табулированы и их можно
найти в соответствующей литературе, например, в [25. С. 140, 141].
Приведем для примера выражения для
коэффициентов гармони-
ческой линеаризации некоторых
нелинейностей [25].
В частности, для нелинейности, приведенной
на рис. 4, имеем
, (12)
т. е. коэффициент гармонической
линеаризации является вещественной функцией от амплитуды 
. Её график
приведен на рис. 5.
Рис. 4 Рис. 5
В случае нелинейности с гистерезисом
(рис. 6) коэффициент гармонической линеаризации определяется выражением (13) и
является комплексной величиной. Графики вещественного и мнимого коэффициентов
гармонической линеаризации этой нелинейности показаны на рис. 7.
. (13)
Рис. 6 Рис. 7
Для нелинейности типа идеальное реле
(рис. 8), где зона нечувствительности 
, коэффициент гармонической
линеаризации принимает вид
.
График этой функции приведен на рис.
9.
Коэффициенты гармонической
линеаризации используются при исследовании нелинейных систем различных типов
методом гармонической линеаризации.
2. Исследование симметричных
автоколебаний
Рассмотрим гармонически
линеаризованную нелинейную систему, схема которой приведена на рис. 10.
Выясним, при каких условиях в этой системе возможны автоколебания.
гармонический
линеаризация линейный автоколебание
Рис. 10
С этой целью условно разомкнем
контур системы, как показано на рис. 10, и обозначим переменные в точках
разрыва 
и 
.
Предположим, существуют их изображения по Фурье 
и 
. Тогда в соответствии со схемой на
рис. 10 можно записать равенство
. (14)
Если переменная 
описывает
незатухающее движение, то имеет место равенство 
, которое фактически является
условием существования периодических незатухающих колебаний в рассматриваемой
системе. С другой стороны, если указанное равенство выполняется, то из (14)
следует выражение
.
Сокращая здесь на 
, придем к
выражению
. (15)
Это равенство является частотным
условием существования автоколебаний. Впервые оно было получено Л.С.
Гольдфарбом. Равенство (15) можно переписать следующим образом:
. (16)
Полученное условие (16) практически
полностью соответствует условию существования автоколебаний в системе (рис.
1.10) по критерию Найквиста.
Это условие можно представить в виде
двух равенств:
, (17)
. (18)
Равенство (17) называется условием
баланса амплитуд, а (18) условием баланса фаз.
Если условия (16) или (17), (18)
выполняются по отношению к некоторой нелинейной системе, то в этой системе
возможны периодические движения, которые называются автоколебаниями,
т.е. собственными периодическими движениями системы. Другими словами, такая
система является генератором не затухающих периодических колебаний.
Если в системе существуют
автоколебания, то возникает задача определения их параметров (амплитуды и
частоты). Для решения этой задачи условие (16) записывается следующим образом:
. (19)
В соответствии с этим равенством для
установления факта отсутствия автоколебаний или их возможного существования
достаточно на комплексной плоскости построить годограф Найквиста 
и годограф 
.
Если эти годографы не пересекаются
(рис. 11, случай системы с 
), то автоколебаний в системе не
возникнет, и можно заключить, что положение равновесия рассматриваемой
нелинейной системы устойчиво. В этом случае исследование нелинейной системы
методом гармонической линеаризации завершается.
Рис. 11
Если же годографы и пересекаются,
то автоколебания возможны. При этом их параметры определяются значениями
амплитуды 
и частоты , которые
соответствуют точкам пересечения этих годографов.
Чаще всего точек пересечения
годографов, как видно на рис. 11, несколько. В случае системы с и 
это точки,
соответствующие 
, 
и 
, 
. Поэтому
для определения амплитуды и частоты автоколебаний,
которые действительно устанавливаются в системе, необходимо оценить
устойчивость всех возможных автоколебаний.
3. Оценка устойчивости автоколебаний
Для решения этой задачи
целесообразно воспользоваться критерием Найквиста. Как известно, по этому
критерию, если система находится на границе устойчивости, то годограф Найквиста
системы проходит через точку 
комплексной плоскости, т.е.
выполняется условие 
, где 
-
комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии.
Именно эта ситуация имеет место и в
нелинейной системе, когда её характеристики соответствуют годографам 
и (см. рис.
11). При этом в точках пересечения этих годографов выполняется условие 
, причем
левая часть этого равенства, очевидно, представляет собой коэффициент передачи
рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии.
Примем для определенности, что с
увеличением 
соответствующая
этому значению амплитуды точка годографа 
перемещается в направлении от 
к 
, как
показано на рис. 11 и на рис. 12,а стрелкой.
Предположим также, что в
рассматриваемой системе установились колебания с частотой 
и
амплитудой . Так как
системы всегда подвержены различным воздействиям, то амплитуда колебаний 
может
стать, скажем, меньшей чем . Тогда точка на годографе ,
соответствующая этим новым колебаниям с амплитудой , будет
располагаться вне годографа (см. рис. 12,а), т.е. не
будет охватываться им. В соответствии с критерием Найквиста, это новое
состояние нелинейной системы соответствует устойчивой линейной системе, в
которой всякие колебания затухают. Следовательно, с течением времени амплитуда
колебаний будет
уменьшаться, т.е. движение системы будет все более отклоняться от автоколебаний
с параметрами , .
Аналогично, если амплитуда под
действием возмущений примет значение 
, большее, чем , то
соответствующая ей точка на годографе будет охватываться годографом
Найквиста . В этом
случае, в соответствии с тем же критерием Найквиста, нелинейная система будет
эквивалентна линейной неустойчивой системе, в которой амплитуда колебаний
нарастает с течением времени. Следовательно, и в этом случае движение системы
будет все более отклоняться от автоколебаний с параметрами и . Поэтому
эти колебания неустойчивы и существовать продолжительное время в нелинейной
системе не могут.
В то же время, повторяя приведенные
рассуждения, можно убедиться, что автоколебания с параметрами , 
в рассматриваемой
системе асимптотически устойчивы, так как возникающие отклонения амплитуды
колебаний от будут
уменьшаться до нулевых значений. Поэтому в рассматриваемой нелинейной системе с
и установятся
автоколебания с параметрами и .
Аналогичная ситуация имеет место в
системе второго порядка, фазовый портрет которой имеет два цикла, вложенных
друг в друга, как показано на рис. 12,б.
а 
б 
Рис. 12
При этом внутренний цикл является
неустойчивым, а внешний - устойчивым. Поэтому, если начальные условия таковы,
что изображающая точка при 
лежит внутри внутреннего цикла, то
последующее движение будет затухающим и автоколебаний не возникает. Говорят,
система не возбуждается.
Если же начальные условия (начальный
толчок) таковы, что изображающая точка при окажется вне внутреннего цикла, но
внутри внешнего, то в дальнейшем амплитуда колебаний нарастает и движение
системы постепенно приближается к периодическому, которое соответствует
внешнему устойчивому циклу. В результате в системе устанавливаются
автоколебания.
Для исследования устойчивости
автоколебаний гармонически линеаризованных систем можно также применять
вытекающий из изложенного следующий критерий.
Критерий устойчивости
автоколебаний. Если при
увеличении амплитуды колебаний годограф нелинейного элемента пересекает
годограф линейной части извне вовнутрь, то точке пересечения соответствуют
неустойчивые автоколебания, если же - изнутри вовне, то - устойчивые
автоколебания. ■
Для завершения исследования свойств
нелинейной системы методом гармонической линеаризации необходимо, если выполняется
условие (19), проверить выполнимость гипотезы фильтра. Для этого необходимо
вычислить и сравнить значения 
и 
, где - частота устойчивых автоколебаний.
Если >>, то в
системе будут существовать автоколебания с полученными в результате расчетов
параметрами. В противном случае никаких выводов о свойствах системы на основе
проведенных в соответствии с методом гармонической линеаризации расчетов
сделать нельзя.
Пример 1. Проверить
возможность существования автоколебаний в системе, структурная схема которой
приведена на рис. 13.
Передаточные функции линейных
звеньев и параметры нелинейного элемента определяются следующими выражениями:
Если колебания возможны, то
определить их параметры. Оценить устойчивость возможных автоколебаний;
проверить, выполняется ли гипотеза фильтра, и сделать выводы о свойствах
движений данной системы.
Рис. 13
Решение. В
соответствии со схемой на рис. 13 и формулой (12) можно записать
, 
. (20)
Так как 
-
вещественная положительная функция, то пересечения годографов и возможно
лишь на отрицательной вещественной полуоси, которую годограф пересекает
при 
, как
показано на рис. 14. На этом рисунке годограф (20) для наглядности условно
показан в виде двух прямых, параллельных полуоси 
и соединенных дугой. На самом деле
обе эти ветви годографа совпадают с полуосью , а точки и совпадают с
точкой 
.
В связи с указанным свойством
годографов рассматриваемой системы сначала найдем частоту 
. На этой
частоте мнимая часть комплексного коэффициента равна нулю, поэтому, полагая в
знаменателе первого выражения (20) разность 
, найдём отсюда 
.
Рис. 14
Взаимное расположение годографов и ,
фигурирующих в условии (19), показано на рис. 14. Из условия их пересечения при
и выражений
(20) имеем уравнение
.
Графическое решение этого уравнения
показано на рис. 15. Как видно, это уравнение имеет два корня: 
и 
.
Следовательно, в системе возможны автоколебания либо с амплитудой и частотой 
, 
, либо с 
, 
.
Анализ их устойчивости с помощью
приведенного выше критерия приводит к выводу, что автоколебания с меньшей
амплитудой не устойчивы, а с большей - устойчивы. Поэтому заключаем, что в
данной системе могут установиться автоколебания с частотой 
и
амплитудой 
. Условием
возникновения автоколебаний являются достаточно большие начальные условия.
Однако эти заключения будут
справедливы, если выполняется гипотеза фильтра.
Для проверки гипотезы фильтра найдём
коэффициент передачи линейной части на частоте автоколебаний и 
и сравним
результаты. Имеем 
, а 
. Разница в
четыре раза, следовательно, гипотеза фильтра выполняется, но недостаточно
полно. Можно заключить, что автоколебания возникнут, но их амплитуда будет
несколько отличаться от расчетной. ■
Рис. 15
Пример 2. Найти
ошибку, обусловленную автоколебаниями, возникающими в системе, рассмотренной в
примере 1.
Решение. Для
определения указанной ошибки примем во внимание, что определённые в
соответствии с методом гармонической линеаризации параметры и это
амплитуда и частота переменной на входе нелинейного элемента.
С другой стороны, в соответствии со
схемой, приведенной на рис. 13, указанная переменная является выходной
переменной линейного звена с передаточной функцией
,
ко входу которого приложено
отклонение рассматриваемой системы. Амплитуда этого отклонения и является,
очевидно, искомой ошибкой.
Следовательно, можно записать
равенство
Отсюда, с учетом найденных значений , , находим
.
Как видно, несмотря на то, что зона
нечувствительности нелинейного элемента всего лишь 0,01, ошибка, обусловленная
автоколебаниями, возникающими в рассматриваемой системе, довольно значительна.
В данном случае она более чем в 60 раз превышает зону нечувствительности
нелинейного элемента.
В заключение этой главы отметим, что метод
гармонической линеаризации может применяться для анализа нелинейных систем не
только второго, но и более высоких порядков. Его можно использовать, в
частности, для исследования свойств несимметричных автоколебаний, т.е.
автоколебаний с постоянной составляющей.
Литература
Бесекерский
В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье,
исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция
физико-математической литературы, 2005
Зайцев
Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.- 2-е изд., перераб. и
доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2004
Ким
Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.
Ким
Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные,
оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 64 с.
- ISBN 5-9221-0534-5.
Сборник
задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В. А.
Бесекерского. - M.: Наука, 2013.