Исследование системы регистрации быстрых сигналов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-технический институт

Кафедра электроники и автоматики физических установок

Отчёт по лабораторной работе на тему:

«Исследование системы регистрации быстрых сигналов»

Выполнил: студент группы 0712 Столповский Алексей Евгеньевич

Принял: преподаватель Михалевич Сергей Сергеевич

Томск 2014

Теоретическая часть

Определение функционала:

Переменная величина V называется функционалом, определенным на некотором классе функций M, если каждой функции y(x) из класса M ставится в соответствие определенное число V ∈ R (v ∈ C), а сам класс M называется областью определения функционала. Для значений функционала v на элементе y = y(x) ∈ M используется символ V = V[y(x)].

Здесь в качестве функционального пространства M рассматривается пространство Ck([a, b]), состоящее из всех функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих непрерывные производные до k-го порядка включительно. Здесь k - некоторое фиксированное число. При k = 0 пространство C0([a, b]) = C([a, b]) есть пространство всех непрерывных на [a, b] функций.

Нормой элемента y(x) ∈ Ck([a, b]) называется неотрицательное число

Две функции y1(x) и y2(x) из пространства Ck[a, b] называются близкими в смысле близости k-го порядка, если норма их разности  мала на отрезке [a, b]. Другими словами, близость функций y(x) и y1(x) в пространстве Ck ([a, b]) с заданной точностью δ > 0 означает, что  , т.е. что близки не только сами функции, но и их производные до k-го порядка включительно.

Функционал  называется линейным, если для любого λ ∈ R (λ ∈ C) и любых y1(x), y2(x) ∈ K справедливо

называется действием, а  - функцией Лагранжа (или лагранжианом).

Каждой функции (траектории)  ставится в соответствие действие . Здесь  - непрерывная функция вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Свойства именно этого функционала и его обобщений обычно изучаются.

Исследуем поведение данного функционала при изменении функции y(x). Пусть y(x) - некоторая исходная функция, а y1(x) - некоторая другая функция, близкая (например, в смысле близости k-го порядка) к y(x). Функцию y1(x) будем называть проварьированной (изменённой, от латинского variatio - изменение) функцией. Существует несколько представлений проварьированной функции y1(x).

Можно, например, ввести понятие вариации аналогично тому, как вводится понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.

Приращением, или вариацией, «аргумента» y(x) функционала V[y(x)] называется разность между функциями y1(x) − y(x), y(x), y1(x) ∈ M. Для обозначения используется символ

Тогда проварьированную функцию можно записать как

Символ , согласно определению следует понимать как единый, причём , поскольку производная разности равна разности производных:

Другой подход состоит в том, что функция y(x) в функционале V[y(x)] рассматривается как однопараметрическое семейство

в котором изменение параметра α меняет функцию y(x), т.е. варьирует её. В этом случае сам функционал становится функцией от α, т.е , и его изменение в зависимости от вариации функции y(x) определяется параметром α. При этом вариацию  можно определить как:

и для её произвольности семейство  предполагать произвольным, а не фиксированным.

Обозначим через

где  - линейный по отношению к  функционал, а для функции  при выбранной  справедливо соотношение

Этот предел соответствует оценке

Фнукционал , имеющий вариацию при , называется дифференцируемым при . Для обозначения вариации функционала используется символ

Теорема

Если функционал  дифференцируем в точке , то при любом  функция  как функция числа  (при фиксированных  и ) дифференцируема по  при . Причём вариацию функционала можно определить равенством

Доказательство

Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала  по .

Ход работы

вариационный исчисление wolfram mathematica

Задание № 1

В первом задании мы нашли в символьной форме и вычислили приращение функционала, определённого на пространстве C1([a, b]) при различных  и

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

 при  и .

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что на промежутке  данный интеграл расходится за счёт слагаемых с  в знаменателе.

Задание № 2

Во втором задании мы доказали, что функционал, определённый на пространстве C1([a, b]) является дифференцируемым в каждой точке этого пространства, то есть он имеет линейную относительно  часть в своём приращении (вариацию).

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что в силу свойства линейности определённого интеграла, приращение функционала линейно относительно , а значит, данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Вычисляем приращение функционала:

Снова используя свойство линейности определённого интеграла, можно показать, что из приращения данного функционала возможно легко выделить линейную часть:

а следовательно данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Можно справедливо заметить, что изучаемый в данной лабораторной функционал - действие (см. теоретическую часть) является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, а следовательно, достаточно рассмотреть общий случай.

Задание № 3

В третьем задании мы вычислили и графически изобразили приращение и вариацию функционала.

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):

Вычисляем значение данных функций при различных α:

Таблица 1. Значения функций в точках

Рисунок 1. График приращения и вариации функционала

.

Вычислем :

Вычислем

Вычислем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):

Вычисляем значение данных функций при различных α:

Таблица 2. Значения функций в точках

Рисунок 2. График приращения и вариации функционала

Из полученных данных следует, что при малых α, а следовательно, при малых приращениях аргумента функционала (подробнее - см. вывод), приращение функционала можно заменить вариацией с незначительной погрешностью.

Задание № 4

При помощи теоремы, описанной в теоретической части нашли вариации заданных функционалов.

:

Здесь и в дальнейшем предполагаем, что функция  является непрерывной в области определения и имеет непрерывную первую производную по α. Это необходимое условие внесения операции дифференцирования под знак интеграла.

:

Положив , записываем вариацию функционала:

:

Итак, вариация функционала имеет вид:

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив  записываем вариацию функционала:

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив  записываем вариацию функционала:

.

Вычисляем

Вычисляем

:

Положив  записываем вариацию функционала:

Вывод

В ходе данной работы были изучены и проверены на практике основные постулаты вариационного исчисления, а также закреплены навыки работы с программным пакетом Wolfram Mathematica, то есть, цели работы были достигнуты. Более конкретные выводы приведены ниже:

1.      Как мы убедились функционал - действие не всегда имеет приращение. Например в случае, если на заданном пространстве интеграл функционала расходится. Однако это не означает, что при этом он не имеет вариации.

2.      Можно доказать, и мы убедились на частных случаях, что функционал - действие является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, то есть, имеет вариацию.

3.      При достаточно малых приращениях аргумента функционала (в нашем случае при приращении аргумента в 1% и менее) его нелинейное приращение может быть с достаточной степенью точности (до 4 знака после запятой) заменено линейной вариацией. Этот факт может быть использован при выведении теоретических закономерностей и при практических вычислениях.

4.      Взяв во внимание результаты вычисления вариаций функционалов 4 и 5 четвёртого задания, можно заметить, что функционал, линейную часть приращения которого выделить нельзя, всё равно может иметь вариацию. Иными словами, как написано в методическом пособии, «второе определение [вариации] является более широким».

.        Все данные примеры также были посчитаны в пакете Mathematica, их с подробными комментариями можно увидеть в приложении к данной работе. Сразу замечу, что все результаты полностью повторили полученные в данной работе. Для большей наглядности помимо вариаций функционалов четвёртого задания были посчитаны также их приращения.