Случайные сигналы и помехи и их характеристики
Реферат
Случайные сигналы и помехи и их характеристики
Одной из важнейших задач,
которую должны решать устройства обработки радиосигналов является минимизация
влияния помех на качество их работы. Модели помех многообразны. Вид и характер
помех зависят от назначения устройства обработки сигнала и условий его работы.
Для случайных сигналов и шумов энергетические и
частотно-временные параметры определяют подобно тому, как это делается для
детерминированных сигналов, с тем отличием, что они должны быть усреднены по
всем возможным значениям случайного сигнала. В задачах обработки сигналов, как
правило, рассматриваются эргодические случайные сигналы, т.е. такие сигналы,
для которых статистическое усреднение и усреднение по времени эквивалентны. Ниже
приводятся определения энергетических и частотно-временных параметров случайных
сигналов для таких случайных сигналов.
Энергетическими параметрами
случайного сигнала, прежде всего, являются среднее значение напряжения mx
(математическое ожидание, постоянная составляющая), а также среднеяя мощность
флуктуаций Dx
(дисперсия), которые определяют следующим образом:
Квадратный корень из дисперсии
называют среднеквадратическим отклонением - с.к.о. (английский термин RMS - root mean square).
Таким образом, с.к.о. характеризует
средний квадрат отклонения напряжения случайного сигнала от постоянной
составляющей напряжения, т.е. является действующим значением напряжения
флуктуаций случайного сигнала.
Помимо этих характеристик случайный
сигнал можно характеризовать пиковой мощностью, пик-фактором и динамическим
диапазоном, подобно тому, как это делалось ранее для детерминированных
сигналов.
Частотно- временные свойства случайного сигнала
характеризуют корреляционными характеристиками и спектральной плотностью
мощности. Эти характеристики определяются скоростью изменения случайного
сигнала во времени и степенью линейной статистической связи между отсчетами
случайного сигнала, отстоящими друг от друга на некоторый интервал времени.
Корреляционная функция случайного сигнала
определяется следующим образом:
.
Корреляционная функция
случайного сигнала и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом
преобразованием Фурье. Это соотношение носит название теоремы Винера-Хинчина.
Функция 
показывает,
как распределена мощность случайного сигнала по частоте.
Обычно, в задачах обработки
сигналов рассматривают случайные сигналы, функция корреляции которых стремится
к нулю с увеличением τ - это
является достаточным условием эргодичности процесса. Чем быстрее убывает Rx(τ),
тем слабее оказывается линейная статистическая связь между отсчетами случайного
сигнала отстоящими друг от друга на интервал времени τ.
Для грубой оценки скорости
изменения случайного процесса во временной области используют интервал
корреляции τк, определяемый
следующим образом:
В частотной области случайный
сигнал характеризуют эффективной шириной спектра, которую определяют
несколькими способами. В научной литературе часто используется следующее
определение:
В этом случае 
представляет
собой ширину спектра случайного сигнала с равномерным спектром и плотностью
мощности Wx max в полосе
частот .
Эффективную ширину спектра случайного сигнала можно определить и другими
способами. Например, исходя из уменьшения функции 
на границе
этого частотного интервала до некоторого заданного уровня (10%, 5% и т.д.) от
максимума Wx max. В любом
случае величины τк и связаны
известным из свойств преобразования Фурье соотношением неопределенности 
, из
которого следует: чем шире спектр, тем меньше интервал корреляции и наоборот
(рис.1).
радиосигнал диапазон частота случайный
Рис. 1. Корреляционные функции
и энергетические спектры случайных сигналов
В качестве модели помех часто
рассматривают гауссов шум - случайный процесс с нормальным распределением
мгновенных значений напряжения и нулевой постоянной составляющей (средним
значением). Это объясняется следующими причинами. Во-первых, тем, что помеха в
виде нормального шума всегда присутствует в устройствах обработки радиосигналов
вследствие наличия собственных шумов его узлов. Во-вторых вследствие
нормализации внешних помех узкополосными узлами устройств обработки
радиосигналов. Ну и, наконец, как известно из теории информации гауссов шум при
заданной средней мощности обладает максимальной энтропией среди всех других
случайных процессов. Следовательно, оптимизация работы устройства в условиях
такой помехи позволяет надеяться на то, что другие помехи с такой же средней
мощностью окажутся менее “зловредными”. При анализе работы устройств обработки
радиосигналов рассматривают две модели гауссова шума: белый гауссов шум и
узкополосный гауссов шум.
Белым шумом n(t)
называют стационарный случайный процесс, спектральная плотность мощности
которого постоянна на всех частотах:
()
= Wn0 = const.
Как следует из теоремы
Винера-Хинчина, корреляционная функция белого шума представляет собой
дельта-функцию: то она равна нулю всюду, кроме течки =
0. Дисперсия белого шума бесконечно велика.
несовпадающие моменты времени
значения белого шума некоррелированы - т.е. как бы ни был мал интервал , шум за это
время может измениться на любую величину. Белый шум является абстрактной
математической моделью и физически существовать не может. Это объясняется
прежде всего бесконечностью его дисперсии (то есть средней мощности). Однако в
тех случаях, когда полоса пропускания устройства обработки существенно уже
эффективной ширины спектра действующего на нее шума, для упрощения анализа
реальный случайный процесс заменяют белым шумом.
Узкополосный гауссов шум образуется
при прохождении помех через узлы узкополосных избирательных устройств обработки
радиосигналов. Такой шум иногда называют квазигармоническим, поскольку его
реализации близки по форме к гармоническому сигналу (рис. 2), причем степень
близости зависит от ширины энергетического спектра сигнала. Эффективная ширина
спектра узкополосного шума, показанного на рис. 2а в два раза меньше чем у
такого же шума, показанного на рис. 2б.
Рис. Узкополосный гауссов шум
Подобно детерминированным сигналам
можно рассматривать комплексную огибающую узкополосных случайных сигналов и
шумов. Мгновенные значения квадратурных компонент узкополосного гауссова шума
распределены по нормальному закону с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями 
, а
мгновенные значения огибающей 
- по закону Релея:
а фазы 
-
равновероятно на интервале [0, 2].
Энергетический спектр квадратурных составляющих одинаков и в первом приближении
совпадает со смещенным на нулевую частоту энергетическим спектром исходного
шума x(t). На рис.
3а показано, как изменяется вид плотности вероятности огибающей X в
зависимости от среднеквадратического значения узкополосного гауссова шума sx , а на рис.
3б вид закона Релея, если огибающую X(t)
пронормировать по sx .
a) б)
Рис. 3. Распределение огибающей
узкополосного гауссова шума
Среднее значение 
и дисперсия 
огибающей
узкополосного гауссова шума однозначно определяются его дисперсией 
:
Если к узкополосному гауссову
шуму x(t)
добавлен узкополосный детерминированный сигнал a(t),
то мгновенные значения огибающей Y(t)
полученного узкополосного случайного процесса y(t)=x(t)+a(t)
распределены по закону Райса плотность вероятности которого имеет следующий
вид:
где A - амплитуда
огибающей 
детерминированного
сигнала a(t);
I0 -
модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
При A=0
распределение Райса совпадает с распределением Релея, поэтому его называют
также обобщенным распределением Релея а также распределением Рэлея-Райса).
Рис. 4. Плотность вероятности огибающей смеси
узкополосного гауссова шума и детерминированного сигнала (закон Райса)
На рис. 4 показаны графики
рассматриваемой плотности вероятности для разных отношений сигнал/шум 
. Как видно
из графиков при 
эта
плотность вероятности совпадает с законом Рэлея (рис. 3б). При 
распределение
Райса приближается к нормальному закону со следующими параметрами:
Выводы и результаты
. Случайный процесс или шум
подобно детерминированному сигналу можно характеризовать энергетическими и
частотно-временными параметрами. В качестве энергетических параметров можно
рассматривать математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию
(среднеквадратическое значение). Частотно-временными параметрами являются
интервал корреляции и эффективная ширина энергетического спектра шума. Они
однозначно связаны между собой.
При анализе работы и проектировании
устройств обработки радиосигналов в качестве моделей шума используют шумы с
нормальным распределением мгновенных значений: белый гауссов шум и узкополосный
гауссов шум.
. Узкополосный гауссов шум
подобно узкополосному детерминированному сигналу можно характеризовать
комплексной огибающей, квадратурные составляющие которой распределены по
нормальному закону, а огибающая узкополосного шума - по закону Релея (Райса).
Список литературы
1.
Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. СПб.:
Питер, 2006.- 751с.: ил.
2. Акимов П.С. и др. Сигналы и их обработка в
информационных системах. Учеб. Пособие для вузов/ П.С. Акимов, А.И. Сенин, В.И.
Соленов.- М.: Радио и связь, 1994 .- 256 с. : ил.