Синтез оптимальной САУ

Синтез оптимальной САУ

ВВЕДЕНИЕ

Современные автоматизированные системы управления техническими процессами требуют значительного количества и разнообразия средств измерений, обеспечивающих выработку сигналов измерительной информации в форме, удобной для дистанционной передачи, сбора, дальнейшего преобразования, обработки и передачи.

В настоящее время существует большое число различных по своему назначению систем автоматического регулирования. Одни из них поддерживают заданную температуру, давление, расход жидкости или газов в объектах регулирования, другие изменяют эти параметры по различным законам.

Автоматизация - это применение комплекса средств, позволяющих осуществлять производственные процессы без непосредственного участия человека, но под его контролем. Автоматизация производственных процессов приводит к увеличению выпуска, снижению себестоимости и улучшению качества продукции и тд.

Автоматизация агрегатов включает в себя автоматическое регулирование, дистанционное управление, технологическую защиту, теплотехнический контроль, технологические блокировки и сигнализацию.

В качестве регуляторов в подавляющем большинстве систем используются так называемые типовые промышленные регуляторы П-, ПИ- и ПИД-законы регулирования. Широкий диапазон изменения настроечных параметров типовых регуляторов позволяет использовать их для управления процессами с различной инерционностью, обеспечивает их взаимозаменяемость, удобство в эксплуатации и, в конечном счете, надежность систем управления.

1. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ ОБЪЕКТА ПО ТАБЛИЧНЫМ ДАННЫМ

Переходной кривой называется реакция звена на единичное скачкообразное воздействие при нулевых начальных условиях. В реальности амплитуда входного сигнала может быть отлична от единицы, в этом случае переходную кривую называют кривой разгона.

В таблице 1 показаны исходные данные для построения кривой разгона.

Таблица 1 - Данные для построения кривой разгона

Также имеются следующие данные:

∆X_вх = 0,25 кг/см²- амплитуда входного сигнала;

∆Х_вых = 8 °С - диапазон изменения выходного сигнала;

- τ_зап = 1 мин - запаздывание;

∆Т_шк = 100°С - диапазон шкалы.

Так как выходной сигнал имеет конечное установившееся значение, то есть система приходит к статическому режиму, в котором скорости изменения входного и выходного сигналов равны нулю, то можно говорить о том, что объект с самовыравниванием.

На рисунке 1 изображены исходные данные и результаты, выполненные в программном продукте ТАУ2.

Рисунок 1 - Исходные данные и результаты

На рисунке 2 изображена кривая разгона, построенная в программном продукте ТАУ2.

Рисунок 2 - Кривая разгона с запаздыванием

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТА МЕТОДОМ СИМОЮ М.П.

Математической моделью называется система математических соотношений (уравнений), устанавливающих связь между входными и выходными сигналами объекта.

В данном случае общий вид модели будет следующий:

, (1)

где - нормированная передаточная функция;

K - коэффициент усиления;

τ - время запаздывания (0,15 мин).

Найдем коэффициент усиления:

. (2)

Нормированной передаточной функции соответствует нормированная переходная характеристика , которая определяется как отношение текущего значения выходного сигнала к его установившемуся значению:

. (3)

Для определения коэффициентов  и  нормированной передаточной функции  используется метод «площадей» Симою:

, (4)

где S_i - «площади» Симою, вычисляемые по переходной кривой.

При известных «площадях» Симою, задаваясь определённой структурой модели можно определить её параметры (коэффициенты). «Площади» Симою определяются с помощью вспомогательной φ(t) функции:

В таблице 2 рассчитаны значения вспомогательной функции.

Таблица 2 - Рассчитанные значения вспомогательной функции

По рассчитанным значениям построим график вспомогательной функции (рисунок 3).

Рисунок 3 - График вспомогательной функции

Методом трапеций определяется площадь под кривой вспомогательной функции:

S1=1*(1+0,9875+0,8375+0,65625+0,5125+0,3875+0,2875+0,2125+0,1625++0,01+0,0625+0,0375+0,01875+0,00625+0,5)=5,67875

где Dt = 1 мин - шаг по времени.

Рассчитав по формуле , получили S1 = 5,67875.

Рисунок 3- Результаты расчета

3. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Как видно из рисунка 4 переходная кривая первой модели объекта наиболее точно совпадает с переходной кривой объекта.

Рисунок 4- Сравнение переходных кривых

Произведём расчёт переходной кривой по передаточной функции методом обратного преобразования Лапласа для модели объекта 1:

Для передаточной функции 5 произведём замену s=jω, получим:

 (6)

Преобразуем показательную функцию e^jωτ по формуле Эйлера и получим следующее выражение:

 (7)

Запишем выражение для действительной части:

(8)

Вычисляем Re(ω) для нескольких значений частоты ω. Полученные результаты запишем в таблицу 3.

Таблица 3 - Значения Re(ω) и ω

Строим график вещественной частотной характеристики по таблице 3 (рисунок 5), заменяем кривую Re(ω) на трапеции.

Рисунок 5 - График вещественной частотной характеристики

Заменим область под кривой Re(ω) трапециями.

Рисунок 6 - График вещественной частотной характеристики с трапециями

Рисунок 7 - График трапеций

В результате замены кривойRe(ω) получаем 4 трапеции (рисунок 6), параметры которых сведены в таблицу 4. Построим 4 трапеции на отдельной вещественной частотной плоскости (рисунок 7).

Таблица 4 - Параметры трапеций

Также произвели расчет переходных процессов по методу Лапласа произведем в программе «ТАУ 2», результат расчёта представлен на рисунке8.

Рисунок 8 - Расчёт моделей передаточной функции №1

Для дальнейших расчетов определяются переходные процессы, которые соответствуют каждой из построенных трапеций. Для каждой из трапеций определяются соответствующие функции с помощью таблицы.

. ПОСТРОЕНИЕ АФХ РАБОЧЕЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

В данном задании используем полученную передаточную функцию 1.

После замены в передаточной функции s=jω и некоторых упрощениях и преобразованиях запишем действительную и мнимую части:

(9)

 . (10)

При подстановке ω = 0,2 получим одну точку АФХ (Re = 2,8; Im = -4,6).

На рисунке 9 показана АФХ рабочей модели объекта, построенная в программе ТАУ2.

Рисунок 9 - АФХ рабочей модели объекта

На рисунке 11 приведены результаты расчета.

Рисунок 11 - Результаты расчета

5. ВЫБОР ЗАКОНА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Дальнейшие расчеты будем вести для двух автоматических регуляторов: ПИ и ПИД, так как они наиболее полно отвечают основным требованиям регулирования: малому значению начального перерегулирования; малому значению статической ошибки регулирования.

Выходная величина пропорционально - интегрального регулятораизменяется под действием пропорциональной и интегральной составляющих. Уравнение динамики ПИ-регулятора имеет вид:

Пропорционально - интегральный закон позволяет изменять как величину, так и скорость перемещения регулирующего органа пропорционально отклонению регулируемой величины от заданного значения. ПИ-регулятор, включая в себя пропорциональный и интегральный законы регулирования, очень часто может обеспечивать высокое качество регулирования, исключающее статическую и уменьшающее динамическую ошибки системы. В ряде случаев качество регулирования можно повысить введением в закон регулирования составляющей, пропорциональной первой производной или скорости изменения входной величины регулятора. Эта дифференцирующая составляющая (Д-составляющая) формируется при помощи дополнительного устройства.

Уравнения динамики ПИД-регулятора имеют вид:

,

где k_р - коэффициент усиления регулятора;

Т_и- время интегрирования;

Т_д- время дифференцирования.

Воздействие входной величины этих регуляторов на выходнуювеличину повышается с увеличением коэффициента усиления, уменьшением времени интегрирования Т_и и увеличением времени дифференцирования Т_д.

При наличии Д - составляющей выходная величина регулятора х изменяется с некоторым опережением относительно входной величины, пропорциональным скорости ее изменения dy/dt.

При наличии в законе регулирования Д - составляющей регулятор реагирует и на изменения скорости входной величины, т. е. на интенсивность ее изменения; такой регулятор вступает в работу быстрее, чем П - регулятор. Введение в закон регулирования воздействия по производной приводит к усилению влияния регулятора на переходный процесс, при этом сокращается время переходного процесса и уменьшаются колебания регулируемой величины.

Время дифференцирования Т_д - это отрезок времени, на который выходная величина регулятора опережает его пропорциональную составляющую при изменении входной величины с постоянной скоростью и при условии, что коэффициент передачи регулятора k_р равен единице.

6. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПЛОСКОСТИ НАСТРОЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ

Кривая Д-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива.

Произведём расчёт одной точки кривой Д-разбиения для ПИ-регулятора. Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид:

(12)

Получим из передаточной функции ПИ-регулятора следующее уравнение:

(13)

Рассчитаем К₁, К₀ по формулам:

(14)

(15)

где

Запишем выражения для действительной и мнимой части полученные в пункте 4:

(16)

 . (17)

При подстановке ω = 0,2 получим одну точку АФХ (Re = 2,8; Im = -4,6).

Рассчитываем значения кривой Д-разбиения по формулам 16 и 17 в точке соответствующей частоте ω = 0,2:

Далее произведём расчёты кривых Д-разбиения ПИ и ПИД регуляторов в программе «ТАУ2». Настроечные параметры ПИ- и ПИД- регуляторов представлены на рисунках 12 и 14, а кривые Д-разбиения на рисунках13 и 15.

Полученные результаты при расчёте одной точки кривой Д-разбиения в ручную отличаются незначительно от результатов полученных при расчёте в программе «ТАУ2».

Рисунок 13 - Кривая D-разбиения ПИ-регулятора

Рисунок 14 - Параметры настройки ПИД-регулятора

Рисунок 15 - Кривая D-разбиения ПИД-регулятора при α=0,1

7. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЕК КРИВОЙ РАВНОГО ЗНАЧЕНИЯ

Показатель колебательности М определяется как относительный максимум амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы по задающему воздействию.

Расчет и построение в плоскости параметров настроек кривой равного значения осуществляется для показателя колебательности m_зад = 0,221.

Рассчитаем кривые и параметры настроек для ПИ- и ПИД- регуляторов в программе «ТАУ2». Результаты параметров настройки ПИ- и ПИД- регуляторов представлены на рисунках 16 и 17.

Рисунок 16 - Параметры настройки ПИ-регулятора при m_зад = 0,221

Рисунок 17 - Параметры настройки ПИД-регулятора при α=0,35

Рисунок 18 - Кривая D-разбиения ПИ-регулятора

Рисунок 19 - Кривая D-разбиения ПИД-регулятора приα=0,35

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРА

Положение оптимальной (рабочей) точки, как в случае ПИ, так и в случае ПИД-регулятора существенно зависит от степени неопределенности задачи. Известно возмущение и передаточная функция объекта по каналу возмущения. В нашем случае скачкообразное возмущение приложено со стороны регулирующего органа, а передаточная функция рассчитывается по переходной кривой. В этом случае рабочая точка лежит несколько правее максимума граничной кривой и определяется формулами:

; (18)

. (19)

Найдем оптимальные параметры регуляторов.

Для ПИ-регулятора:

;

К₀ = 0,29;

К₁ = 0,53.

Для ПИД-регулятора:

;

К₀ = 0,92;

К₁ = 1,04;

К₂ = 0,42.

9. ПОСТРОЕНИЕ АФХ РАЗОМКНУТОЙ АСР И АЧХ ЗАМКНУТОЙ ПО ЗАДАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРА

Передаточные функции разомкнутых систем для ПИ- и ПИД-регуляторов выглядят следующим образом:

ПИ-регулятор:

; (20)

. (21)

Вычислим:

.

ПИД-регулятор:

; (22)

. (23)

Вычислим:

Для расчёта АФХ в передаточную функцию разомкнутой системы сделаем подстановку s=j:

ПИ-регулятор:

;

 .

При подстановке

Re = -0,82;

Im = -0,22.

Сравним полученную точку, рассчитанную вручную с точкой, полученной в программном продукте ТАУ2 (рисунок 20).

Рисунок 20 - Результаты расчета

Рисунок 21 - График АФХ разомкнутой системы для ПИ-регулятора

Произведем расчет АФХ для ПИД-регулятора в программе ТАУ2.

Рисунок 22 - График АФХ разомкнутой системы для ПИД-регулятора

Рисунок 23 - Результаты расчета

Рассчитаем и построим АЧХ замкнутой системы по задающему воздействию в программном продукте ТАУ2.

Рисунок 24 - АЧХ замкнутой системы по заданию для ПИ-регулятора

Рисунок 25 - АЧХ замкнутой системы по заданию для ПИД-регулятора

10. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ КРИВЫХ В ЗАМКНУТОЙ АСР ПО ЗАДАЮЩЕМУ И ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ МЕТОДОМ АКУЛЬШИНА

В системах содержащих запаздываниедля расчета переходных процессов в замкнутых АСР, целесообразно применять частотные методы, не требующие вычисления корней характеристического полинома.Одним из таких методов является метод Акульшина

Для расчёта переходных кривых методом Акульшина используем следующую формулу:

 (24)

Определяем частоту ω₀ входного сигнала по формуле:

(25)

Резонансную частоту АЧХ ω_p находим по рисунку 24.

Вычисляем частоту ω₀ входного сигнала по формуле25:

Для построения переходного процесса возьмём следующие параметры: N = 12; x₀ = 1; ω₀ = 0,1; А(0) = К = 1,6 - коэффициент усиления.

Амплитуду A(kω₀) и фазу f(kω₀t) выбираем по рисункам 24 и 25.

Рассчитаем две точки переходной кривой для ПИ-регулятора методом Акульшина, используя формулу 24.

Рассчитаем точку для t = 1:

Рассчитаем точку для t = 2:

В результате расчётов методом Акульшина получили две точки переходной кривой для ПИ-регулятора: y(1) = 0,993 и y(2) = 1,4.

Произведём расчёты переходных кривых в замкнутой АСР по управлению и по ошибки в программе «ТАУ 2».

Рисунок 26 - Переходная кривая для ПИ-регулятора

Рисунок 27 - Переходный процесс для ПИ-регулятора по ошибке

Рисунок 28 - Переходный процесс для ПИ-регулятора по управлению

Рисунок 29 - Переходная кривая для ПИД-регулятора

Рисунок 30 - Переходный процесс для ПИД-регулятора по управлению

Рисунок 31 - Переходный процесс для ПИД-регулятора по ошибке

. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ. ВЫБОР НАИЛУЧШЕГО ЗАКОНА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Прямые показатели качества определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе управления при ступенчатом внешнем воздействии.К прямым показателям качества относятся следующие показатели: величина перерегулирования, время регулирования, степень затухания, статическая ошибка.

Рассчитаем с помощью программы «ТАУ 2» для ПИ и ПИД регуляторов прямые показатели качества, результаты представлены на рисунках 32 и 33.

Рисунок 32 - Прямые показатели качества для ПИ-регулятора

Рисунок33 - Прямые показатели качества для ПИД-регулятора

Анализируя полученные прямые показатели качества для ПИ и ПИД регуляторов, можно сделать вывод, что наилучшее регулирование осуществляется в системе с ПИД-регулятором. Поэтому для рассчитанной АСР выбираем ПИД-закон регулирования.

. ВЫБОР ТИПА ПРОМЫШЛЕННОГО РЕГУЛЯТОРА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЕГО НАСТРОЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Найдём истинные настройки регулятора. Для этого необходимо учесть коэффициенты усиления датчика и клапана:

; (26)

; (27)

; (28)

. (29)

К_кл = 1, К_д = 0,7 (кПа/°C).

Произведем расчет настроек ПИД-регулятора:

;

;

 .

Для нашей АСР выбираем ПИД-регулятор с передаточной функцией следующего вида:

 . (30)

Найдем значения параметров настройки:

предел пропорциональности:

; (31)

 = 0,79;

время изодрома:

; (32)

Т_и = 0,7;

постоянная времени дифференцирования:

; (33)

Т_д = 0,29.

Таким образом, передаточная функция регулятора примет вид:

 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

автоматический управление цифровой регулятор

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы - это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того, развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Г.К. Аязян «Расчет автоматических систем с типовыми алгоритмами регулирования» Уфа: УНИ, 2011г.-135с.

Г.К. Аязян «Исследование линейной системы по корневым критериям качества». Методическое руководство. Уфа: УНИ, 2012г. - 23с.

Г.К. Аязян. «Расчет настроечных параметров типовых регуляторов одноконтурных автоматических систем регулирования». Методическое руководство по курсовому и дипломному проектированию. Уфа: УНИ, 2011г. - 25с.

Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. “Элементы автоматики” . М. Машиностроение, 2010.