Интегральные преобразования
Интегральные преобразования
Операционное исчисление и некоторые его приложения
Пусть задана
функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям
:
1)
2)
Функция f(t)
кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
3)
Для любого значения параметра t>0
существует M>0 и S0³0
такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим
функцию f(t)×e-pt
, где р – комплексное число р = ( а + i
b).
(1)
Применим к
этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав
это равенство получим :
(2)
Оценим левую
часть равенства (2) :
А согласно
свойству (3) |f(t)| < Me S0t
В случае если
a>S0 имеем :
Аналогично
можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом
при a>S0
интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот
интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :
(3)
Функция F(p)
называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по
отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) Ü F(p),
где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
- это оператор Лапласа.
Смысл
введения интегральных преобразований.
Этот смысл
состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается
упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач
дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к
решению алгебраических уравнений.
Теорема
единственности: если две функции j( t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p),
то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы
: если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по
изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно
утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и
причем единственным.
Изображение
функций s0(t), sin (t),
cos (t).
Определение: 
называется единичной функцией.
Единичная
функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для
существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
Изображение
единичной функции 
Рассуждая
аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
интегрируя по
частям получим :
т.е. 
Аналогично
можно доказать, что cos (t) переходит в функцию 
в
области преобразований. Откуда : 
Изображение
функции с измененным масштабом независимого переменного.
где а – константа.
Таким образом
: 
и 
Свойства
линейности изображения.
Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на
постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если 
, то 
,
где 
Теорема
смещения : если функция F(p) это изображение f(t),
то F(a+p)
является изображением функции e-at
f(t) (4)
Доказательство
:
Применим
оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Что и
требовалось доказать.
Таблица
основных изображений:
Изображение
производных.
Теорема. Если
, то справедливо выражение :
(1)
Доказательство
:
(2)
(3)
Подставляя
(3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
Что и
требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим,
что x(t) – решение в области оригиналов и 
, где 
- решение
в области изображений.
Изображающее
уравнение :
Теорема о
интегрировании оригинала. Пусть 
находится в области оригиналов, , тогда 
также
оригинал, а его изображение 
.
Таким образом
операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в
области изображений.
Теорема о
интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет
изображение и 
также
оригинал, а 
- является сходящимся интегралом, тогда 
.
Толкование
теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует
операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.
Понятие о
свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы
две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения
по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка
обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1)
и (1’) идентичны.
Свертка
функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о
умножении изображений. Пусть 
и 
, тогда произведение изображений 
представляется сверткой оригиналов 
.
Доказательство
:
Пусть
изображение свертки 
(1)
Интеграл (1)
представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной
производится эквивалентно.
Если в
последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований
последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция
умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции
свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть
теорема Эфроса.
Теорема
Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р)
– аналитические функции в области изображений, такие, что 
, тогда 
.
В
практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке,
наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение
(2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное
преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное
преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную
функцию-изображение :
, где s – некоторая константа.
Пользоваться
формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p),
либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы
разложения.
Известная
методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей
(1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая
теорема разложения. Пусть F(p) –
изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде 
, k – постоянная,
может быть сколь угодно большим числом, 
, то
возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : 
.
Вторая
теорема разложения. Если изображение
представляется дробно-рациональной функцией 
. Степень
числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель
имеет корни a1, a2, …, a n
соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по
формуле :
(3)
Например :
Преобразование
Лапласа имеет вид :
(1)
На f(t) наложены условия :
1)
f(t) определена
и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )
2)
f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0)
3)
При M, S0 >0 , для
всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t
Если
отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t
< 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
(2)
Формула (2) –
двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и
(2) p =a + in,
где a и n – действительные числа.
Предположим,
что Re(p) = a =
0, т.е.
(4)
(5)
(4)
и (5) соответственно односторонние
и двусторонние преобразования Фурье.
Для
существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
1)
Должна быть определена на
промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа
точек разрыва первого рода.
2)
Любой конечный промежуток оси t
можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо
кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
3)
Функция абсолютно интегрируема : 
, это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t
Из
существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье.
Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования
Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t)
= C
Аналогично
преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
т.к. 
Если
f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно
может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования
Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ¹ 0, t<0
(6)
Обозначим 
Очевидно, что
(6’)
Функция (6)
называется спектральной плотностью
В связи с
изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
1)
Вычисление интеграла (5)
2)
Использование преобразования
Лапласа или Фурье.
Непосредственное
вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена,
как комплексная функция действительной переменной
(7)
|F(iu)| - амплитудное значение
спектральной плотности, y (u) –
фазовый угол.
В алгебраической
форме : F(iu) = a(u)
+ib(u)
(8)
(9)
Для
непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а
затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол y (u).
Пример.
Найти
спектральную плотность импульса :
откуда 
, далее
Отыскание
спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое
преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование
Лагранжа.
Прямое
преобразование Фурье необходимо :
1)
Для облегчения процесса решения
дифференциальных и интегральных уравнений.
2)
Для исследования амплитудной и
частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой
оси.
Введем
следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых
функций:
Если для
заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется
изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной
плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой
функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно
интегрируемой функции.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/