Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
Множества с двумя
алгебраическими операциями кольца и поля
Предположим, что существует множество R, на котором
расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.
Принято считать, что умножение имеет свойство правой
дистрибутивности по отношению к сложению:
.
И соответственно сложение имеет свойство левой
дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения
коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.
Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем
двустороннюю дистрибутивность.
Допустим, операция сложения на множестве R имеет
нейтральный элемент, т. е. 0.
Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x *
0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.
В случае наличия у элемента y противоположный элемент,
т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда
следует, x *(-y) = -x * y.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное
кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .
Таким образом, по определению в поле отсутствуют
делители нуля.
Кольцом называется множество с двумя алгебраическими
операциями R (+, *), если:
0.
Обратимыми называют те элементы кольца R, которые
имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае
обозначается через .
Множество является группой по умножению, называемой
мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.
Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Ассоциативное кольцо — это кольцо, в котором операция
умножения обладает свойством ассоциативности.
Кольцо с единицей — наличие нейтрального элемента для
операции умножения.
(R, +) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).
Приведем некоторые примеры колец и полей.
Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R
можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R
[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет
единицей кольца R [x]. Если , то число n называется степенью этого
многочлена и обозначается deg (p).
Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p)
+ deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время
обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R,
рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
Данная конструкция позволяет рассматривать и
многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R
[y][x]).
Аддитивная группа этого кольца — хорошо известная нам
бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента — 1 и -1 —
и потому изоморфна .
Множество Z целых чисел с операциями сложения и
умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей.
Элементы, не входящие в ,
необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных,
рациональных и комплексных чисел.
Построенное поле из двух элементов обозначается GF
(2).
Если p — простое число, то все вычеты по модулю p,
кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по
крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен
для образования поля: операции определяются очевидным образом.
Рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы
получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).
Будем считать, что R является ассоциативным
коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не
коммутативно.
Множество квадратных матриц порядка n с элементами из
кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.
Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица
A обратима в кольце матриц: , где — присоединенная к А матрица.
Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.
Для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det (A) R, причем det (AB) = det (A)
det (B).
=
— группа матриц порядка
n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В
случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена.
В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А
линейно зависимы: ,
причем не все коэффициенты нулевые.
А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае,
если В — ненулевая матрица.
Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы.
Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может
случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.
Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней
строкой и последним столбцом, = diag (1,1,...,1,0) = diag (1,1,...,1).
Допустим, — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа
коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами
которой являются смежные классы r + K.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x * K K и K * y K.
Мы видим, что если К является идеалом в R,
произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r *
s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая
ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом
относительно тех же операций, которые определены в R.
Согласно данной интерпретации, К является подгруппой
аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: .
К будет обладать свойствами ассоциативности,
коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими
свойствами.
Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и называется гомоморфизмом колец .
Пусть — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S
изоморфно факторкольцу R / Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с
естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.
Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп называется ядром
гомоморфизма . Ядро
гомоморфизма колец является идеалом.
Пусть — гомоморфизм колец, I = Ker , — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит,
x * I Ker = I.
Аналогично проверяется, что I * x I.
Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.
Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их
отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность
и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу
Приведем примеры.
Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем,
если кольцо S является полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .
Если любой его элемент, то множество I = x * S
является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.
Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей
и элемент x обратим, то (x) = S.
Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю
n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ,
так как для любого целого m m (nZ) nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ
имеет делители нуля.
Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося
каждому элементу смежный
класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм , который называется естественным гомоморфизмом
кольца на факторкольцо.
Предположим, что I R [x] является множество всех многочленов , у которых = 0. Тогда I = xR [x]. Так как p * I
= (p * x) R [x] I,
значит, получаем идеал кольца многочленов.
Каждый смежный класс q + I содержит элемент , поэтому (q + I) * (s + I) =
(+ I) * (+ I) = * + I.
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта http://www.matematika-r.info/