Ряды и интеграл Фурье
ГЛАВА
1
РЯДЫ И
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция f(x),
определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует
такое число 
, что при любом значении х выполняется
равенство 
. Число Т называется периодом
функции.
Отметим некоторые с в о й
с т в а этой функции:
1) Сумма, разность,
произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая
функция периода Т.
2) Если функция f(x)
период Т , то функция f(ax) имеет период 
.
3) Если f(x)
- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла
от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл
существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство 
.
Тригонометрический
ряд. Ряд Фурье
Если f(x)
разлагается на отрезке 
в равномерно сходящийся
тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение
единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2,
. . .
Тригонометрический ряд (1)
рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом
Фурье, а 
коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки
разложимости функции в ряд Фурье
Точка 
разрыва функции 
называют
точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева
этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1
(Дирихле). Если периодическая с периодом 
функция непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [
] и
этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x)
монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в
точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках
разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется
кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2.
Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна
или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x)
в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция
удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных
и нечетных функций
Пусть
f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая
условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее
ряда Фурье находим формулы:
=
=
= 0
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье
для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции
с периодом 2L выглядит так:
Пусть
теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L,
удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2,
. . .
Таким образом, в ряде Фурье
для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд
Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в
тригонометрический ряд Фурье на промежутке то 
, где 
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический
ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x)
соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L),
получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо :
доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо
доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой
ортогональной системе функций
Последовательность функций 
непрерывных
на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на
отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно
ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной
(ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция
непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x)
на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого
определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b]
ортонормированная, то в этом случаи
где n=1,2,...
Пусть теперь f(x)
- любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого
рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x)
на томже отрезке
по ортогональной системе
называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе
(1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности,
принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x)
на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма
ряда Фурье
Выражение 
называется комплексной формой ряда Фурье
функции f(x), если 
определяется
равенством
, где 
Переход от ряда Фурье в
комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с
помощью формул:
(n=1,2, . . .)
Задача о колебании
струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l
с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из
состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые
колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше
допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая
положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а -
положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t)
, график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти
решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1),
удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)
0 является решением уравнения (1),
удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные
тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t),
(4) , где 
, 
.
Из которого наша задача
сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X(0)=0,
X(l)=0, докажем, что 
отрицательное число,
разобрав все случаи.
a) Пусть 
Тогда X”=0 и его общее решение
запишется так:
откуда 
и 
,что
невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в
нуль.
б) Пусть 
. Тогда решив уравнение
получим 
, и, подчинив, найдем, что 
в) 
Если
то
Уравнения имеют корни :
получим:
где 
-произвольные
постоянные. Из начального условия найдем:
откуда 
,
т. е.
(n=1,2,...)
(n=1,2,...).
Учитывая это, можно
записать:
(n=1,2,...).
и, следовательно
, (n=1,2,...),
но так как A и B разные для
различных значений n то имеем
, (n=1,2,...),
где 
и 
произвольные постоянные, которые
попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1),
граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным
условиям, т. е. подберем 
и 
так , чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются
соответственно разложениями функций 
и 
на отрезки [0, l] в ряд Фурье по
синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной
функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и
начальными условиями дается формулой
где
(n=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия
представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x)
была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных
точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости
на 
(т.е. интеграл
сходится)
2) на любом конечном
отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции,
ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих
точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье
функции f(x) называется интеграл вида:
, где 
,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная
функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что 
, а также свойство интегралов по
симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из
равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл
Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u)
определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично,
получим, для нечетной функции f(x) :
(4)
и, следовательно, интеграл
Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u)
определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой
интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его
выражением, то получим:
, где правая часть
формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье
в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью
формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование
Фурье.
где n=1,2,... , k=1,2,...
Дискретным преобразованием
Фурье - называется N-мерный вектор 
при этом, 
.
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с
периодом 
.( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на
промежутке 
конечное число точек разрыва первого
рода.
Сумма ряда в точках
функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине 
, где 
-точки
разрыва.
Рис. 1
Производная также
непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод:
функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) -
кусочно-непрерывна на интервале 
.
2) F(x) -
кусочно-монотонна.
Так как отсутствует
симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая
функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что
при n нечетном 
принимает значения равные 0 ,
и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому формулу для можно записать в виде:
( так как 
).
Отдельно рассмотрим
случай когда n=1:
.
Подставим найденные
коэффициенты в получим:
и вообще
.
Найдем первые пять
гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника 
,
2-ая гармоника 
,
3-ая гармоника 
,
4-ая гармоника 
,
5-ая гармоника 
,
и общий график F(x), сумма
выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого
ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но при 
не существует, поэтому рассмотрим
случай когда n=+1 :
(т.к.
см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
(т.к.
)
И вообще комплексная
форма:
или
или
