Двойной интеграл
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы
желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos
j, y = r sin j. (2)
Область
интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как
окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их
площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой
такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области
интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного
интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем
вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj
cos ji, yij = rj sin ji.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1)
представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать,
что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы,
являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы
(3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный
диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше
вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные
декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4)
является интегральной суммой для функции
соответствующая прямоугольной сетке с линейными
элементами Dji и Dri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим
окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным
элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1)
перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y
заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить
выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно
заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется
неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные
непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S -
первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
Область S
определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным
координатам.
Область интегрирования здесь
есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1
(рис 4).
В полярных координатах
уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, r cosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем